高中數(shù)學(xué)立體幾何知識點總結(jié)大全

PAGE高中數(shù)學(xué)立體幾何知識點總結(jié)大全高中課程復(fù)習(xí)專題——數(shù)學(xué)立體幾何一空間幾何體㈠空間幾何體的類型1多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。2旋轉(zhuǎn)體：把一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。㈡幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1棱柱的結(jié)構(gòu)特征1.1棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。圖1-1棱柱圖1-1棱柱1.2棱柱的分類圖1-1棱柱圖1-1棱柱1.3棱柱的性質(zhì)⑴側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；⑵兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；⑶過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；⑷直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面的對角面是矩形。1.4長方體的性質(zhì)圖1-2長方體⑴長方體的一條對角線的長的平方等于一個頂點上三條棱的平方和：圖1-2長方體AC12=AB2+AC2+AA12⑵長方體的一條對角線AC1與過定點A的三條棱所成的角分別是α、β、γ，那么：cos2α+cos2β+cos2γ=1sin2α+sin2β+sin2γ=2⑶長方體的一條對角線AC1與過定點A的相鄰三個面所組成的角分別為α、β、γ，則：cos2α+cos2β+cos2γ=2sin2α+sin2β+sin2γ=11.5棱柱的側(cè)面展開圖：正n棱柱的側(cè)面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側(cè)棱為鄰邊的矩形。1.6棱柱的面積和體積公式S直棱柱側(cè)面=c·h(c為底面周長，h為棱柱的高)S直棱柱全=c·h+2S底V棱柱=S底·h2圓柱的結(jié)構(gòu)特征圖1-3圓柱2-1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。圖1-3圓柱2-2圓柱的性質(zhì)⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圓；⑵過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。2-3圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。2-4圓柱的面積和體積公式S圓柱側(cè)面=2π·r·h(r為底面半徑，h為圓柱的高)S圓柱全=2πrh+2πr2V圓柱=S底h=πr2h3棱錐的結(jié)構(gòu)特征3-1棱錐的定義⑴棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。圖1-4棱錐⑵正棱錐：如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的投影是底面的中心，圖1-4棱錐這樣的棱錐叫做正棱錐。3-2正棱錐的結(jié)構(gòu)特征⑴平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；⑵正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；⑶正棱錐中的六個元素，即側(cè)棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、側(cè)棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面邊長的一半(BH)，構(gòu)成四個直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均為直角三角形)。3-3正棱錐的側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是由n個全等的等腰三角形組成。3-4正棱錐的面積和體積公式S正棱錐側(cè)=0.5ch’(c為底面周長，h’為側(cè)面斜高)S正棱錐全=0.5ch’+S底面V棱錐=1/3S底面·h(h為棱錐的高)4圓錐的結(jié)構(gòu)特征4-1圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。4-2圓錐的結(jié)構(gòu)特征⑴平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；圖1-5圓錐⑵軸截面是等腰三角形；圖1-5圓錐⑶母線的平方等于底面半徑與高的平方和：l2=r2+h24-3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。4-4圓錐的面積和體積的公式S圓錐側(cè)=πr·l(r為底面半徑，l為母線長)S圓錐全=πr·(r+l)V圓錐=1/3πr2·h(h為圓錐高)5棱臺的結(jié)構(gòu)特征圖1-6棱臺5.1棱臺的定義：用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺。圖1-6棱臺5.2正棱臺的結(jié)構(gòu)特征⑴各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；⑵正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；⑶正棱臺的對角面也是等腰梯形；⑷棱臺經(jīng)常被補成棱錐，然后利用形似三角形進行研究。5-3正棱臺的面積和體積公式S棱臺側(cè)=n/2(a+b)·h’(a為上底邊長，b為下底邊長，h’為棱臺的斜高，n為邊數(shù))S棱臺全=S上底+S下底+S側(cè)V棱臺=6圓臺的結(jié)構(gòu)特征6-1圓臺的定義：用一個平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為圓臺。6-2圓臺的結(jié)構(gòu)特征⑴圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；⑵圓臺的截面是等腰梯形；圖1-7圓臺⑶圓臺經(jīng)常補成圓錐，然后利用相似三角形進行研究。圖1-7圓臺6-3圓臺的面積和體積公式S圓臺側(cè)=π·(R+r)·l(r、R為上下底面半徑)S圓臺全=π·r2+π·R2+π·(R+r)·lV圓臺=1/3(πr2+πR2+πrR)h(h為圓臺的高)7球的結(jié)構(gòu)特征圖1-8球7-1球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體?？臻g中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。圖1-8球7-2球的結(jié)構(gòu)特征⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面；⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2=R2–d2★7-3球與其他多面體的組合體的問題球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思路是：⑴根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形；⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖；⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題；⑷注意圓與正方體的兩個關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對角線；球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長。7-4球的面積和體積公式S球面=4πR2(R為球半徑)V球=4/3πR3㈢空間幾何體的視圖1三視圖：觀察者從三個不同的位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形。正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。注意：⑴俯視圖畫在正視圖的下方，“長度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右方，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖相等。(正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬)⑵正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。2直觀圖2-1直觀圖的定義：是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形，直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。2-2斜二測法做空間幾何體的直觀圖⑴在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，即取∠xOy=90°；⑵畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的軸O’x’、O’y，取∠x’O’y’=45°或135°，它們確定的平面表示水平平面；⑶在坐標(biāo)系x’o’y’中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變；平行于x軸的線段保持長度不變；平行于y軸的線段長度減半。結(jié)論：采用斜二測法作出的直觀圖的面積是原平面圖形的2-3解決關(guān)于直觀圖問題的注意事項⑴由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖”；⑵由幾何體的直觀圖畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱畫成實線，不能看見的輪廓線和棱畫成虛線。二點、直線、平面之間的關(guān)系㈠平面的基本性質(zhì)1立體幾何中圖形語言、文字語言和符號語言的轉(zhuǎn)化圖形語言文字語言符號語言點A在直線a上點B在直線a外A∈aBa點A在平面α內(nèi)點B在平面α外A∈αBα直線a在平面α內(nèi)直線b在平面α外aαbα直線a與平面α相交于點Aa∩α=A直線a與直線b相交于點Aa∩b=A平面α與平面β交于直線aα∩β=a★2平面的基本性質(zhì)公理一：如果一條直線上有兩點在一個平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。公理二：不共線的三點確定一個平面。推論一：直線與直線外一點確定一個平面。推論二：兩條相交直線確定一個平面。推論三：兩條平行直線確定一個平面。公理三：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線(兩個平面的交線)。㈡空間圖形的位置關(guān)系1空間直線的位置關(guān)系(相交、平行、異面)1.1平行線的傳遞公理：平行于同一直線的兩條直線相互平行。即：a∥b，b∥ca∥c1.2等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。1.3異面直線⑴定義：不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線。⑵判定定理：連平面內(nèi)的一點與平面外一點的直線與這個平面內(nèi)不過此點的直線為異面直線。即：圖2-1異面直線1.4異面直線所成的角圖2-1異面直線⑴異面直線成角的范圍：(0°，90°].⑵作異面直線成角的方法：平移法。注意：找異面直線所成角時，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(如中點、端點等)，形成異面直線所成的角。2直線與平面的位置關(guān)系(直線在平面內(nèi)、相交、平行)圖2-2直線與平面的位置關(guān)系圖2-2直線與平面的位置關(guān)系3平面與平面的位置關(guān)系(平行、斜交、垂直)㈢平行關(guān)系(包括線面平行和面面平行)1線面平行1.1線面平行的定義：平面外的直線與平面無公共點，則稱為直線和平面平行。1.2判定定理：1.3性質(zhì)定理：1.4判斷或證明線面平行的方法⑴利用定義(反證法)：l∩α=ф，l∥α(用于判斷)；⑵利用判定定理：線線平行線面平行(用于證明)；⑶利用平面的平行：面面平行線面平行(用于證明)；⑷利用垂直于同一條直線的直線和平面平行(用于判斷)。2線面斜交和線面角：l∩α=A圖2-3線面角2.1直線與平面所成的角(簡稱線面角)：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角θ。圖2-3線面角2.2線面角的范圍：θ∈[0°，90°]注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時，θ=0°；當(dāng)直線垂直于平面時，θ=90°3面面平行3.1面面平行的定義：空間兩個平面沒有公共點，則稱為兩平面平行。3.2面面平行的判定定理：圖2-4面面平行⑴判定定理1：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面相互平行。即：圖2-4面面平行推論：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條線段，那么這兩個平面平行。即：圖2-5判定1推論圖2-5判定1推論⑵判定定理2：垂直于同一條直線的兩平面互相平行。即：圖2-6判定23.3面面平行的性質(zhì)定理圖2-6判定2⑴(面面平行線面平行)⑵⑶夾在兩個平行平面間的平行線段相等。㈣垂直關(guān)系(包括線面垂直和面面垂直)1線面垂直1.1線面垂直的定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。1.2線面垂直的判定定理：1.3線面垂直的性質(zhì)定理：⑴若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。即：⑵垂直于同一平面的兩直線平行。即：1.4常用的判定或證明線面垂直的依據(jù)⑴利用定義，用反證法證明。⑵利用判定定理證明。⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。⑷一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則也垂直于另一個。⑸如果兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面。★1.5三垂線定理及其逆定理圖2-7斜線定理⑴斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的所有線段中，斜線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。圖2-7斜線定理如圖：⑵三垂線定理及其逆定理已知PO⊥α，斜線PA在平面α內(nèi)的射影為OA，a是平面α內(nèi)的一條直線。①三垂線定理：若a⊥OA，則a⊥PA。即垂直射影則垂直斜線。②三垂線定理逆定理：若a⊥PA，則a⊥OA。即垂直斜線則垂直射影。圖2-8三垂線定理⑶三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用圖2-8三垂線定理①證明異面直線垂直；②作出和證明二面角的平面角；③作點到線的垂線段。2面面斜交和二面角2.1二面角的定義：兩平面α、β相交于直線l，直線a是α內(nèi)的一條直線，它過l上的一點O且垂直于l，直線b是β內(nèi)的一條直線，它也過O點，也垂直于l，則直線a、b所形成的角稱為α、β的二面角的平面角，記作∠α-l-β。2.2二面角的范圍：∠α-l-β∈[0°,180°]2.3二面角平面角的作法：⑴定義法：證明起來很麻煩，一般不用；⑵三垂線法：常用方法；⑶垂面法：常用于空間幾何體中的二面角。3面面垂直圖2-9面面垂直3.1面面垂直的定義：若二面角α-l-β的平面角為90°，則兩平面α⊥β。圖2-9面面垂直3.2判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。即：3.3面面垂直的性質(zhì)定理⑴若兩面垂直，則這兩個平面的二面角的平面角為90°；⑵圖2-10面面垂直性質(zhì)2圖2-10面面垂直性質(zhì)2⑶圖2-11面面垂直性質(zhì)3圖2-11面面垂直性質(zhì)3⑷三立體幾何主要難點1三種角的對比角的類型范圍解題步驟異面直線所成角0°～90°1找：利用平移法找出異面直線所成角；⑴固定一條直線，平移另一條直線，⑵將兩條直線都平移至一特殊位置。2證：證明所作出的角就是異面直線所成角或其補角，常需證明線線平行；3計算：通過解三角形，算出異面直線角的角度。直線與平面所成角0°～90°1找：作出斜線與其在平面內(nèi)射影的夾角，一般用三垂線定理；2證：證明所作出的角就是直線與平面所成角或其補角，常證明線面垂直；3計算：通過解三角形，求出線面角的角度。二面角的平面角0～π1作：根據(jù)二面角平面角的定義，作出這個平面角；2證：證明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂線法和垂面法；3計算：通過解三角形，求出二面角平面角的角度。2立體幾何知識網(wǎng)絡(luò)高中課程復(fù)習(xí)專題——數(shù)學(xué)立體幾何一空間幾何體㈠空間幾何體的類型1多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。2旋轉(zhuǎn)體：把一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。㈡幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1棱柱的結(jié)構(gòu)特征1.1棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。圖1-1棱柱圖1-1棱柱1.2棱柱的分類圖1-1棱柱圖1-1棱柱1.3棱柱的性質(zhì)⑴側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；⑵兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；⑶過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；⑷直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面的對角面是矩形。1.4長方體的性質(zhì)圖1-2長方體⑴長方體的一條對角線的長的平方等于一個頂點上三條棱的平方和：圖1-2長方體AC12=AB2+AC2+AA12⑵長方體的一條對角線AC1與過定點A的三條棱所成的角分別是α、β、γ，那么：cos2α+cos2β+cos2γ=1sin2α+sin2β+sin2γ=2⑶長方體的一條對角線AC1與過定點A的相鄰三個面所組成的角分別為α、β、γ，則：cos2α+cos2β+cos2γ=2sin2α+sin2β+sin2γ=11.5棱柱的側(cè)面展開圖：正n棱柱的側(cè)面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側(cè)棱為鄰邊的矩形。1.6棱柱的面積和體積公式S直棱柱側(cè)面=c·h(c為底面周長，h為棱柱的高)S直棱柱全=c·h+2S底V棱柱=S底·h2圓柱的結(jié)構(gòu)特征圖1-3圓柱2-1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。圖1-3圓柱2-2圓柱的性質(zhì)⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圓；⑵過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。2-3圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。2-4圓柱的面積和體積公式S圓柱側(cè)面=2π·r·h(r為底面半徑，h為圓柱的高)S圓柱全=2πrh+2πr2V圓柱=S底h=πr2h3棱錐的結(jié)構(gòu)特征3-1棱錐的定義⑴棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。圖1-4棱錐⑵正棱錐：如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的投影是底面的中心，圖1-4棱錐這樣的棱錐叫做正棱錐。3-2正棱錐的結(jié)構(gòu)特征⑴平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；⑵正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；⑶正棱錐中的六個元素，即側(cè)棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、側(cè)棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面邊長的一半(BH)，構(gòu)成四個直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均為直角三角形)。3-3正棱錐的側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是由n個全等的等腰三角形組成。3-4正棱錐的面積和體積公式S正棱錐側(cè)=0.5ch’(c為底面周長，h’為側(cè)面斜高)S正棱錐全=0.5ch’+S底面V棱錐=1/3S底面·h(h為棱錐的高)4圓錐的結(jié)構(gòu)特征4-1圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。4-2圓錐的結(jié)構(gòu)特征⑴平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；圖1-5圓錐⑵軸截面是等腰三角形；圖1-5圓錐⑶母線的平方等于底面半徑與高的平方和：l2=r2+h24-3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。4-4圓錐的面積和體積的公式S圓錐側(cè)=πr·l(r為底面半徑，l為母線長)S圓錐全=πr·(r+l)V圓錐=1/3πr2·h(h為圓錐高)5棱臺的結(jié)構(gòu)特征圖1-6棱臺5.1棱臺的定義：用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺。圖1-6棱臺5.2正棱臺的結(jié)構(gòu)特征⑴各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；⑵正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；⑶正棱臺的對角面也是等腰梯形；⑷棱臺經(jīng)常被補成棱錐，然后利用形似三角形進行研究。5-3正棱臺的面積和體積公式S棱臺側(cè)=n/2(a+b)·h’(a為上底邊長，b為下底邊長，h’為棱臺的斜高，n為邊數(shù))S棱臺全=S上底+S下底+S側(cè)V棱臺=6圓臺的結(jié)構(gòu)特征6-1圓臺的定義：用一個平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為圓臺。6-2圓臺的結(jié)構(gòu)特征⑴圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；⑵圓臺的截面是等腰梯形；圖1-7圓臺⑶圓臺經(jīng)常補成圓錐，然后利用相似三角形進行研究。圖1-7圓臺6-3圓臺的面積和體積公式S圓臺側(cè)=π·(R+r)·l(r、R為上下底面半徑)S圓臺全=π·r2+π·R2+π·(R+r)·lV圓臺=1/3(πr2+πR2+πrR)h(h為圓臺的高)7球的結(jié)構(gòu)特征圖1-8球7-1球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體?？臻g中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。圖1-8球7-2球的結(jié)構(gòu)特征⑴球心與截面圓心的連線垂直于截面；⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2=R2–d2★7-3球與其他多面體的組合體的問題球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思路是：⑴根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形；⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖；⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題；⑷注意圓與正方體的兩個關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對角線；球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長。7-4球的面積和體積公式S球面=4πR2(R為球半徑)V球=4/3πR3㈢空間幾何體的視圖1三視圖：觀察者從三個不同的位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形。正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。注意：⑴俯視圖畫在正視圖的下方，“長度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右方，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖相等。(正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬)⑵正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。2直觀圖2-1直觀圖的定義：是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形，直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。2-2斜二測法做空間幾何體的直觀圖⑴在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，即取∠xOy=90°；⑵畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的軸O’x’、O’y，取∠x’O’y’=45°或135°，它們確定的平面表示水平平面；⑶在坐標(biāo)系x’o’y’中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變；平行于x軸的線段保持長度不變；平行于y軸的線段長度減半。結(jié)論：采用斜二測法作出的直觀圖的面積是原平面圖形的2-3解決關(guān)于直觀圖問題的注意事項⑴由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖”；⑵由幾何體的直觀圖畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱畫成實線，不能看見的輪廓線和棱畫成虛線。二點、直線、平面之間的關(guān)系㈠平面的基本性質(zhì)1立體幾何中圖形語言、文字語言和符號語言的轉(zhuǎn)化圖形語言文字語言符號語言點A在直線a上點B在直線a外A∈aBa點A在平面α內(nèi)點B在平面α外A∈αBα直線a在平面α內(nèi)直線b在平面α外aαbα直線a與平面α相交于點Aa∩α=A直線a與直線b相交于點Aa∩b=A平面α與平面β交于直線aα∩β=a★2平面的基本性質(zhì)公理一：如果一條直線上有兩點在一個平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。公理二：不共線的三點確定一個平面。推論一：直線與直線外一點確定一個平面。推論二：兩條相交直線確定一個平面。推論三：兩條平行直線確定一個平面。公理三：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線(兩個平面的交線)。㈡空間圖形的位置關(guān)系1空間直線的位置關(guān)系(相交、平行、異面)1.1平行線的傳遞公理：平行于同一直線的兩條直線相互平行。即：a∥b，b∥ca∥c1.2等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。1.3異面直線⑴定義：不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線。⑵判定定理：連平面內(nèi)的一點與平面外一點的直線與這個平面內(nèi)不過此點的直線為異面直線。即：圖2-1異面直線1.4異面直線所成的角圖2-1異面直線⑴異面直線成角的范圍：(0°，90°].⑵作異面直線成角的方法：平移法。注意：找異面直線所成角時，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(如中點、端點等)，形成異面直線所成的角。2直線與平面的位置關(guān)系(直線在平面內(nèi)、相交、平行)圖2-2直線與平面的位置關(guān)系圖2-2直線與平面的位置關(guān)系3平面與平面的位置關(guān)系(平行、斜交、垂直)㈢平行關(guān)系(包括線面平行和面面平行)1線面平行1.1線面平行的定義：平面外的直線與平面無公共點，則稱為直線和平面平行。1.2判定定理：1.3性質(zhì)定理：1.4判斷或證明線面平行的方法⑴利用定義(反證法)：l∩α=ф，l∥α(用于判斷)；⑵利用判定定理：線線平行線面平行(用于證明)；⑶利用平面的平行：面面平行線面平行(用于證明)；⑷利用垂直于同一條直線的直線和平面平行(用于判斷)。2線面斜交和線面角：l∩α=A圖2-3線面角2.1直線與平面所成的角(簡稱線面角)：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角θ。圖2-3線面角2.2線面角的范圍：θ∈[0°，90°]注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時，θ=0°；當(dāng)直線垂直于平面時，θ=90°3面面平行3.1面面平行的定義：空間兩個平面沒有公共點，則稱為兩平面平行。3.2面面平行的判定定理：圖2-4面面平行⑴判定定理1：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面相互平行。即：圖2-4面面平行推論：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條線段，那么這兩個平面平行。即：圖2-5判定1推論圖2-5判定1推論⑵判定定理2：垂直于同一條直線的兩平面互相平行。即：圖2-6判定23.3面面平行的性質(zhì)定理圖2-6判定2⑴(面面平行線面平行)⑵⑶夾在兩個平行平面間的平行線段相等。㈣垂直關(guān)系(包括線面垂直和面面垂直)1線面垂直1.1線面垂直的定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。1.2線面垂直的判定定理：1.3線面垂直的性質(zhì)定理：⑴若直線垂直于平