專題7.2 二元一次方程組的應用【十一大題型】（舉一反三）（華東師大版）（解析版）

專題7.2二元一次方程組的應用【十一大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1行程問題】 1【題型2工程問題】 4【題型3配套問題】 6【題型4年齡問題】 10【題型5銷售問題】 12【題型6分配問題】 16【題型7幾何圖形問題】 20【題型8數(shù)字問題】 22【題型9古代問題】 26【題型10方案問題】 28【題型11圖表問題】 33【題型1行程問題】【例1】（2023春·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上練習賽跑，如果兩人同時同地反向跑，經(jīng)過25秒第一次相遇；如果兩人同時同地同向跑，經(jīng)過200秒甲第一次追上乙，求甲、乙兩人的平均速度．【答案】甲的速度為9米/秒，乙的速度為7米/秒【分析】設(shè)甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，根據(jù)“如果兩人同時同地反向跑，經(jīng)過25秒第一次相遇；如果兩人同時同地同向跑，經(jīng)過200秒甲第一次追上乙”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲的速度為x米/秒，乙的速度為y米/秒，依題意，得：25x+25y=400解得：x=9答：甲的速度為9米/秒，乙的速度為7米/秒．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）我縣境內(nèi)的某段鐵路橋長2200m，現(xiàn)有一列高鐵列車從橋上通過，測得此列高鐵從開始上橋到完全過橋共用30s，整列高鐵在橋上的時間是25s，試求此列高鐵的車速和車長．【答案】此列高鐵的車速為80m/s，車長為200m【分析】設(shè)此列高鐵的車長為xm，車速為ym/s，利用路程＝速度×時間，結(jié)合題意即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)此列高鐵的車長為xm，車速為ym/s，依題意得：30y=2200+x25y=2200?x解得：x=200y=80答：此列高鐵的車速為80m/s，車長為200m．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·河北廊坊·七年級廊坊市第四中學校考期中）琪琪沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔12min從背后駛過一輛7路公交車，每隔6問：（1）7路公交車行駛速度是琪琪行走速度的倍．（2）7路公交車總站每間隔min發(fā)一輛車．【答案】38【分析】設(shè)7路公交車行駛速度x米/分鐘，琪琪勻速行走的速度y米/分鐘，7路公交車發(fā)出時間間隔為t分鐘，等量關(guān)系式：12分鐘公交車行駛的路程?12分鐘琪琪走的路程=兩站之間的距離，5分鐘公交車行駛的路程+5分鐘琪琪走的路程=兩站之間的距離；據(jù)此列出方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)7路公交車行駛速度x米/分鐘，琪琪勻速行走的速度y米/分鐘，7路公交車發(fā)出時間間隔為t分鐘，由題意得12x?12y=xt6x+6y=xt解得：x=3yt=8故答案：（1）3（2）8．【點睛】本題主要考查了含參數(shù)的二元一次方程組的應用，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）小華從家里到學校的路是一段平路和一段下坡路．假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80米，上坡路每分鐘走40米，則他從家里到學校需10分鐘，從學校到家里需15分鐘．

(1)小華家離學校多遠？(2)小華從家里到學校到達中點的時間與小華從學校到家里到達中點的時間會一樣嗎？如果不一樣，哪種情況所花的時間更多？請通過計算說明理由．【答案】(1)小華家離學校700米(2)小華從學校到家里到達中點的時間比小華從家里到學校到達中點的時間要多一些【分析】（1）設(shè)小華從家里到學校的路是一段平路長為x米，小華從家里到學校的下坡路長為y米，根據(jù)小華從家里到學校和從學校到家里的時間列二元一次方程組，求出x與y，并求和即可；（2）先求出中點位置與學校和家里的距離，再分別求出所需時間，比較即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)小華從家里到學校的路是一段平路長為x米，小華從家里到學校的下坡路長為y米．由題意得：x60解得：x=300y=400∴x+y=700．答：小華家離學校700米；（2）中點距離小華家和學校的距離為：700÷2=350(米)．小華從家里到學校到達中點所需的時間為：300÷60+350?300小華從學校到家里到達中點所需的時間為：350÷40=8.75(分鐘)；8.75>5.625∴小華從學校到家里到達中點的時間比小華從家里到學校到達中點的時間要多一些．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，有理數(shù)的混合運算的應用，根據(jù)題意列方程組和列算式是解題的關(guān)鍵．【題型2工程問題】【例2】（2023春·安徽蕪湖·七年級?？计谀┳詠硭畯S的供水池有7個進出水口，每天早晨6點開始進出水，且此時水池中有水15%，在每個進出水口是勻速進出的情況下，如果開放3個進口和4個出口，5小時將水池注滿；如果開放4個進口和3個出口，2小時將水池注滿．若某一天早晨6點時水池中有水24%，又因為水管改造，只能開放3個進口和2個出口，則從早晨6點開始經(jīng)過小時水池的水剛好注滿．【答案】3817【分析】設(shè)每個進水口每小時進水量為x，每個出水口每小時出水量為y，根據(jù)題意，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再將其代入1?24%3x?2y【詳解】設(shè)每個進水口每小時進水量為x，每個出水口每小時出水量為y，依題意，得：53x?4y解得：x=0.17y=0.085∴1?24%3x?2y故答案為：3817【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·四川瀘州·七年級瀘縣五中校考期中）制造某種產(chǎn)品，1人用機器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用機器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用機器，1人靠手工，每天可制造多少件產(chǎn)品？【答案】3人用機器，1人靠手工，每天可制造100件產(chǎn)品【分析】設(shè)利用機器每人每天可制造x件產(chǎn)品，手工每人每天可制造y件產(chǎn)品，根據(jù)“1人用機器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用機器，2人靠手工，每天可制造80件”列出二元一次方程組，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)利用機器每人每天可制造x件產(chǎn)品，手工每人每天可制造y件產(chǎn)品，根據(jù)題意得，x+3y=602x+2y=80解得：x=30y=10∴3人用機器，1人靠手工，每天可制造的產(chǎn)品件數(shù)為：3×30+1×10=100（件），答：3人用機器，1人靠手工，每天可制造100件產(chǎn)品．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，讀懂題意，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·湖南常德·七年級統(tǒng)考期末）玲玲家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作，需要6周完成，共需裝修費5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，共需裝修費4.8萬元，玲玲的爸爸媽媽商量后決定只選一個公司單獨完成．(1)設(shè)工作總量為1，甲公司的每周工作效率為m，乙公司每周的工作效率為n，根據(jù)題意列出關(guān)于m、n的二元一次方程組．(2)如果從節(jié)約時間的角度考慮，應選哪家公司？請說明理由．(3)如果從節(jié)約開支的角度考慮，應選哪家公司？請說明理由．【答案】(1)6(m+n)=1(2)甲公司，理由見解析(3)乙公司，理由見解析【分析】（1）利用時間×工作效率=工作量，建立等式，構(gòu)造方程組即可．（2）比較工作效率的大小，選擇工作效率高的公司即可．（3）設(shè)設(shè)甲公司每周費用為a萬元，乙公司每周費用為b萬元，計算兩個公司完成工作任務后的總費用，比較大小決定即可．【詳解】（1）設(shè)工作總量為1，甲公司的每周工作效率為m，乙公司每周的工作效率為n，根據(jù)題意，得6(m+n)=14m+9n=1（2）由（1）解得方程組的解為：m=因為110所以從時間上考慮，應選擇甲公司．（3）解：設(shè)甲公司每周費用為a萬元，乙公司每周費用為b萬元，根據(jù)題意得：6a+6b=5.2解得：a=甲公司共需35×10=30因為4萬元＜6萬元，所以從節(jié)約開支上考慮，應選擇乙公司．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，正確找到等量關(guān)系，列出方程組是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期中）有一塊面積為180畝的荒地需要綠化，甲工程隊綠化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程隊完成，已知甲工程隊每天綠化8畝，乙工程隊每天綠化12畝，一共用20天完成．(1)設(shè)甲工程隊綠化m天，乙工程隊綠化n天，依題意可列方程組：______．(2)設(shè)甲工程隊綠化荒地x畝，乙工程隊綠化荒地y畝，請列方程組求甲、乙兩工程隊分別綠化荒地的畝數(shù)．【答案】(1)8m+12n=180(2)甲、乙兩工程隊分別綠化荒地120畝，60畝．【分析】（1）設(shè)甲工程隊綠化m天，乙工程隊綠化n天，再由工作總量為180畝，工作總時間為20天列方程組即可；（2）設(shè)甲工程隊綠化荒地x畝，乙工程隊綠化荒地y畝，再由工作總量為180畝，工作總時間為20天列方程組，再解方程組即可；【詳解】（1）解：設(shè)甲工程隊綠化m天，乙工程隊綠化n天，則8m+12n=180m+n=20（2）設(shè)甲工程隊綠化荒地x畝，乙工程隊綠化荒地y畝，則x+y=180x8+解得：x=120y=60答：甲、乙兩工程隊分別綠化荒地120畝，60畝．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【題型3配套問題】【例3】（2023春·全國·七年級期末）張氏包裝廠承接了一批紙盒加工任務，用如圖①所示的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種上面無蓋的長方體紙盒（加工時接縫材料不計）．(1)做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒，需正方形紙板___________張（直接填空），需長方形紙板___________張（直接填空）．(2)若該廠購進正方形紙板162張，長方形紙板338張，問豎式紙盒、橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完？（要求列二元一次方程組解決此問題）【答案】(1)5；10(2)制作豎式紙盒38個、橫式紙盒62個，恰好能將購進的紙板全部用完【分析】（1）根據(jù)1個豎式紙盒需要長方形紙板4張，正方形紙板1張，1個橫式紙盒需要長方形紙板3張，正方形紙板2張，求出做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒需要的正方形紙板和長方形紙片的張數(shù)即可；（2）設(shè)制作豎式紙盒x個、橫式紙盒y個，根據(jù)制作豎式紙盒和橫式紙盒需要的正方形和長方形紙板數(shù)列出方程組，解方程即可．【詳解】（1）解：需正方形紙板：1+2×2=5（張），長方形紙板：4+3×2=10（張），故答案為：5；10．（2）解：設(shè)制作豎式紙盒x個、橫式紙盒y個，根據(jù)題意得：4x+3y=338x+2y=162解得：x=38y=62答：制作豎式紙盒38個、橫式紙盒62個，恰好能將購進的紙板全部用完．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形和長方形張數(shù)列出方程組．3．（2023秋·山東濟南·七年級校考期末）列方程組解應題某校為7年級寄宿學生安排宿舍，每間宿舍住5人，則有4人住不下；若每間住6人，則有一間只住4人，求該年級寄宿的學生人數(shù)和宿舍間數(shù)？【答案】寄宿生人數(shù)為34人，宿舍間數(shù)為6間．【分析】設(shè)寄宿生人數(shù)為x人，宿舍間數(shù)為y間，根據(jù)學生的人數(shù)與房間的數(shù)量之間的關(guān)系建立方程組求出其解即可．【詳解】解：設(shè)寄宿生人數(shù)為x人，宿舍間數(shù)為y間，由題意，得x?5y=4x?6解得：x=34y=6答：寄宿生人數(shù)為34人，宿舍間數(shù)為6間．【點睛】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，二元一次方程組的解法的運用，解答時根據(jù)學生的人數(shù)與房間的數(shù)量之間的關(guān)系建立方程組是關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期中）一套餐桌有一張桌子和六把椅子組成．如果1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子．現(xiàn)有15立方米的木料，請你設(shè)計一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【分析】根據(jù)題意找出等量關(guān)系：1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子和總共15立方米的木料，設(shè)出未知量列方程組計算即可．【詳解】解：設(shè)用x立方米的木料做桌子，用y立方米的木料做椅子，根據(jù)題意，得x+y=156×(10x)=15y解這個方程組，得x=3y=12經(jīng)檢驗，方程組的解符合題意．所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【點睛】此題考查二元一次方程的應用，難度一般，找準等量關(guān)系是關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·廣東江門·七年級統(tǒng)考期末）用鐵皮材料做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身30個，或制盒底50個，一個盒身與兩個盒底配成一套．現(xiàn)有33張鐵皮材料，分別用多少張制盒身、盒底，才能保證既恰好用完鐵皮材料，又使盒身和盒底正好配套？【答案】用15張制盒身，用18張制盒底，才能保證既恰好用完鐵皮材料，又使盒身和盒底正好配套【分析】設(shè)用x張制盒身，用y張制盒底，根據(jù)題中等量關(guān)系列出x、y的方程組，然后解方程組可求解．【詳解】解：設(shè)用x張制盒身，用y張制盒底，根據(jù)題意，得x+y=332×30x=50y解得x=15y=18答：用15張制盒身，用18張制盒底，才能保證既恰好用完鐵皮材料，又使盒身和盒底正好配套．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，理解題意，找準等量關(guān)系并正確列出方程組是解答的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023秋·安徽滁州·七年級校考開學考試）一工廠有60名工人，要完成1200套產(chǎn)品的生產(chǎn)任務，每套產(chǎn)品由4個A型零件和3個B型零件配套組成，每個工人每天能加工6個A型零件或者3個B型零件．現(xiàn)將工人分成兩組，每組分別加工一種零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工廠每天應安排多少名工人生產(chǎn)A型零件?每天能生產(chǎn)多少套產(chǎn)品?(2)現(xiàn)工廠要在20天內(nèi)完成1200套產(chǎn)品的生產(chǎn)，決定補充一些新工人，這些新工人只能獨立進行A型零件的加工，且每人每天只能加工4個A型零件．①設(shè)每天安排x名熟練工人和m名新工人生產(chǎn)A型零件，求x的值（用含m的代數(shù)式表示）②請問至少需要補充多少名新工人才能在規(guī)定期限完成生產(chǎn)任務?【答案】(1)工廠每天應安排24名工人生產(chǎn)A型零件，每天能生產(chǎn)36套產(chǎn)品(2)①x=?2【分析】（1）設(shè)工廠每天安排x名工人生產(chǎn)A型零件，則工廠每天安排(60?x)名工人生產(chǎn)B型零件，根據(jù)“每套產(chǎn)品由4個A型零件和3個B型零件配套組成”列方程求解即可；（2）①根據(jù)“x名熟練工人和m名新工人生產(chǎn)的A型零件等于1200套產(chǎn)品的A型零件總數(shù)”可列方程，進行整理即可；②設(shè)需要補充m名新工人才能在規(guī)定期限完成生產(chǎn)任務，安排n名熟練工人生產(chǎn)A型零件，則安排(60?n)名熟練工人生產(chǎn)B型零件，根據(jù)題意，可得關(guān)于m、n的方程組，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)工廠每天安排a名工人生產(chǎn)A型零件，則工廠每天安排(60?a)名工人生產(chǎn)B型零件，由題意得：6a4解得a=24，6a4所以，工廠每天應安排24名工人生產(chǎn)A型零件，每天能生產(chǎn)36套產(chǎn)品．（2）①設(shè)每天安排x名熟練工人和m名新工人生產(chǎn)A型零件，則安排(60?x)名熟練工人生產(chǎn)B型零件，由題意得，3×(6x+4m)=4×3(60?x)，整理得x=?2②設(shè)需要補充m名新工人才能在規(guī)定期限完成生產(chǎn)任務，安排n名熟練工人生產(chǎn)A型零件，則安排(60?n)名熟練工人生產(chǎn)B型零件，由題意得20(6n+4m)4解得m=60n=0所以，至少需要補充60名新工人才能在規(guī)定期限完成生產(chǎn)任務．【點睛】本題考查了一元一次方程的實際應用，二元一次方程組的實際應用，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【題型4年齡問題】【例4】（2023春·全國·七年級專題練習）5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現(xiàn)在這對母女的年齡分別是多少？【答案】母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲【分析】設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，然后根據(jù)5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲，列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，則x?5=15(y?5)解得x=35答：母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意列出方程求解．【變式4-1】（2023春·七年級課時練習）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（

）A．38歲 B．39歲 C．40歲 D．41歲【答案】C【分析】由題意得：妹妹今年的年齡為8歲，我今年的年齡為14歲，設(shè)媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，再由題意：一家四口人的年齡加在一起是101歲，爸爸比媽媽大1歲，列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：現(xiàn)在一家四口人的年齡之和應該比十年前全家人年齡之和多40歲，但實際上101?63=38（歲），說明十年前妹妹沒出生，則妹妹今年的年齡為10?(40?38)=8（歲），我的年齡為6+8=14（歲），設(shè)媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，由題意得：x+y+8+14=101y=x+1解得：x=39y=40即爸爸今年的年齡為40歲，故選：C．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023秋·湖南永州·七年級?？奸_學考試）甲對乙說：“我像你這樣大歲數(shù)的那年，你的歲數(shù)等于我今年的歲數(shù)的一半；當你到我這樣大歲數(shù)的時候，我的歲數(shù)是你今年歲數(shù)的二倍少7歲．”則今年甲的年齡為歲，乙的年齡為歲．【答案】2821【分析】設(shè)今年甲的年齡為x歲，乙的年齡為y歲，則甲比乙大x?y歲，然后根據(jù)題意列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)今年甲的年齡為x歲，乙的年齡為y歲，則甲比乙大x?y歲，由題意得：x2解得：x=28y=21即今年甲的年齡為28歲，乙的年齡為21歲，故答案為：28，21．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找出合適的等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）南安英都拔拔燈是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，因疫情原因停辦了好幾年，今年正月又重新舉行，吸引了眾多的海內(nèi)外游客參與．其中一位34歲的男子帶著他的兩個孩子參與了拔拔燈活動，下面是記者與兩個孩子的對話：記者：兩位小朋友，你們幾歲了？這么小就來拔拔燈了．妹妹：我比哥哥少4歲；哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加．恰好等于爸爸的年齡；根據(jù)對話內(nèi)容，請你用方程（組）的知識幫記者求出今年哥哥和妹妹的年齡．【答案】今年妹妹6歲，哥哥10歲．【分析】設(shè)今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，根據(jù)兩個孩子的對話，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)今年妹妹的年齡為x歲，哥哥的年齡為y歲，根據(jù)題意得：x+4=y3(x+2)+(y+2)=34+2解得：x=6y=10答：今年妹妹6歲，哥哥10歲．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【題型5銷售問題】【例5】（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）2020年1月底，武漢爆發(fā)“新冠”疫情，并開始向全國蔓延，出于防疫的需求，醫(yī)用口罩迅速成為緊俏物資．某藥店為解市民的燃眉之急，先后兩次采購了A、B兩種型號的醫(yī)用口罩進行銷售．已知這兩種型號的醫(yī)用口罩進貨情況如表：第一次第二次A型口罩(箱)2030B型口罩(箱)3040累計采購款(元)5100072000（1）問A，B兩種型號的口罩的進貨單價各是多少元？（2）銷售中發(fā)現(xiàn)B型口罩的銷量明顯好于A型，藥店在計劃第三次采購時，決定購進B型口罩的箱數(shù)比A型口罩的箱數(shù)的2倍還多10箱，在采購總價不超過90000元的情況下，最多能購進多少箱B型口罩？【答案】（1）A種型號的口罩的進貨單價是1200元，B種型號的口罩的進貨單價是900元；（2）最多能購進64箱B型口罩．【分析】（1）設(shè)A種型號的口罩的進貨單價是x元，B種型號的口罩的進貨單價是y元，根據(jù)題意列出關(guān)于x和y的二元一次方程組，進而求出A，B兩型口罩的進貨單價．（2）設(shè)購進m箱A型口罩，購進(2m+10)箱B型口罩，列出不等式1200m+900(2m+10)≤90000求解即可．【詳解】（1）設(shè)A種型號的口罩的進貨單價是x元，B種型號的口罩的進貨單價是y元，根據(jù)題意可得：20x+30y=5100030x+40y=72000解得：x=1200y=900答：A種型號的口罩的進貨單價是1200元，B種型號的口罩的進貨單價是900元．（2）設(shè)購進m箱A型口罩，購進(2m+10)箱B型口罩，由題意可得：1200m+900(2m+10)≤90000；解得：m≤27，又∵m為正整數(shù)∴m的最大值為27．此時2m+10=64．答：最多能購進64箱B型口罩．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用；在求解的過程中二元一次方程組可用加減消元法和代入消元法兩種消元的方法，而一元一次不等式的解集求出以后，還要根據(jù)題意對于未知數(shù)進行正確的取值．【變式5-1】（2023春·重慶·七年級重慶市育才中學?？计谥校┫蛉湛晖瞥黾滓覂煞N禮盒，甲禮盒中有櫻桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，乙禮盒中有櫻桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，已知櫻桃每千克30元，甲禮盒每盒100元，乙禮盒每盒98元，當然，顧客也可根據(jù)需要自由搭配，小陶用1100元買乙禮盒和自由搭配禮盒(香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克)若干盒，則小陶一共可買禮盒個．【答案】10【分析】設(shè)枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，列出方程組，得到自由搭配禮盒每盒138元，設(shè)乙禮盒m個，自由搭配禮盒n個，得到98m+138n=1100，根據(jù)m，n為非負整數(shù)，得到m，n的值即可．【詳解】解：設(shè)枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，則30+0.5x+y=100①30+0.5x+a=98②由①+②得：x+y+a=138，即自由搭配禮盒每盒138元，設(shè)乙禮盒m個，自由搭配禮盒n個，則98m+138n=1100，∵m，n為非負整數(shù)，當且僅當m=7，n=3時，等式成立，∴一共可以買禮盒7+3=10（個），故答案為：10．【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，確定自由搭配禮盒每盒138元．【變式5-2】（2023春·黑龍江大慶·七年級校考期末）某商店分兩次購進A，B型兩種臺燈進行銷售，兩次購進的數(shù)量及費用如下表所示，由于物價上漲，第二次購進A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進價分別上漲30%，20購進的臺數(shù)購進所需要的費用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購進A，B型兩種臺燈每臺進價分別是多少元？(2)A，B型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．①求A，B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？②若按照第二次購進A，B型兩種臺燈的價格再購進一次，將再次購進的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為1000元，求有哪幾種購進方案？【答案】(1)第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元(2)①A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；②有4種購進方案：①購進A型臺燈2臺，B型臺燈14臺；②購進A型臺燈5臺，B型臺燈10臺；③購進A型臺燈8臺，B型臺燈6臺；④購進A型臺燈11臺，B型臺燈2臺【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系式：第一次購買10臺A型臺燈的費用+第一次購買20臺B型臺燈的費用=3000元，第二次購買15臺A型臺燈的費用+第二次購買10臺B型臺燈的費用=4500元，列出方程組，接可求解；（2）①根據(jù)等量關(guān)系式：第一次的10臺A型臺燈的利潤+第一次的20臺B型臺燈的利潤=2800元，第二次的15臺A型臺燈的利潤+第二次購買10臺B型臺燈的利潤=1000元，列出方程組，接可求解；②設(shè)再購進A型臺燈a臺，B型臺燈b臺，由按第二次購買的價格購買，a臺A型臺燈售出獲得利潤+b臺B型臺燈售出獲得利潤=1000元，列方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)第一次購進A型臺燈每臺進價為x元，B型臺燈每臺進價為y元，由題意得：10x+20y=300015解得：x=200y=50答：第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元．（2）解：①設(shè)A型臺燈每臺售價為m元，B型臺燈每臺售價為n元，由題意得：10m?200解得，m=340n=120答：A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；②第二次購進的A型臺燈的價格為：2001+30%=260（元），B設(shè)購進A型臺燈a臺，B型臺燈b臺，由題意得：340?260a+整理得：4a+3b=50，∴b=∵a、b為自然數(shù)，∴a=2b=14或a=5b=10或a=8∴有4種購進方案：①購進A型臺燈2臺，B型臺燈14臺；②購進A型臺燈5臺，B型臺燈10臺；③購進A型臺燈8臺，B型臺燈6臺；④購進A型臺燈11臺，B型臺燈2臺．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找出等量關(guān)系式，正確列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023秋·全國·七年級統(tǒng)考期末）為了解決農(nóng)民工子女入學難的問題，我市建立了一套進城農(nóng)民工子女就學的保障機制，其中一項就是免交“借讀費”．據(jù)統(tǒng)計，2004年秋季有5000名農(nóng)民工子女進入主城區(qū)中小學學習，預計2005年秋季進入主城區(qū)中小學學習的農(nóng)民工子女比2004年有所增加，其中小學增加20%，中學增加30%，這樣，2005年秋季將新增1160名農(nóng)民工子女在主城區(qū)中小學學習．（1）如果按小學每生每年收“借讀費”500元，中學每生每年收“借讀費”1000元計算，求2005年新增加的1160名中小學學生共免收多少“借讀費”？（2）如果小學每增加40名學生需配備2名教師，中學每增加40名學生需配備3名教師，若按2005年秋季入學后，農(nóng)民工子女在主城區(qū)中小學就讀的學生增加的人數(shù)計算，一共需要配備多少名中小學教師？【答案】(1)820000元；(2)480人.【詳解】本題考查的是方程組的應用（1）根據(jù)題意可知本題的等量關(guān)系有，2005年進入小學學習的人數(shù)=（1+20%）×2004年進入小學學習的人數(shù)，2005年進入中學學習的人數(shù)=（1+30%）×2004進入中學學習的人數(shù)．2005年進入中小學學習的總?cè)藬?shù)=5000+1160．依此列方程組再求解．（2）先算出秋季入學后，在小學就讀的學生人數(shù)及在中學就讀的學生人數(shù)，再根據(jù)師生比例即得結(jié)果．（1）設(shè)2004年秋季在主城區(qū)小學學習的農(nóng)民工子女有x人，在主城區(qū)中學學習的農(nóng)民工子女有人，由題意可得：解得{∴，30%y=30%×1600=480∴500×680＋1000×480＝820000（元）＝82（萬元）答：共免收82萬元（或820000元）“借讀費”.（2）2005年秋季入學后，在小學就讀的學生有（名），在中學就讀的學生有（名）.∴（名）答：一共需要配備360名中小學教師.【題型6分配問題】【例6】（2023春·北京海淀·七年級北京育英中學?？计谀橛?008年奧運會，某工藝廠準備生產(chǎn)奧運會標志“中國印”和奧運會吉祥物“福娃”.該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產(chǎn)一套奧運會標志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒．該廠購進甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進原料全部用完，求該廠能生產(chǎn)奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套？【答案】生產(chǎn)奧運會標志2000套，生產(chǎn)奧運會吉祥物2400套【分析】設(shè)生產(chǎn)奧運會標志x套，生產(chǎn)奧運會吉祥物y套．兩個等量關(guān)系為：4×奧運會標志套數(shù)+5×奧運會吉祥物套數(shù)=20000；3×奧運會標志套數(shù)+10×奧運會吉祥物套數(shù)=30000．再列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)生產(chǎn)奧運會標志x套，生產(chǎn)奧運會吉祥物y套．根據(jù)題意得4x+5y=20000①①×2?②得∴x=2000．把x=2000代入①得5y=12000．∴y=2400．答：該廠能生產(chǎn)奧運會標志2000套，生產(chǎn)奧運會吉祥物2400套．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系：4×奧運會標志套數(shù)+5×奧運會吉祥物套數(shù)=20000；3×奧運會標志套數(shù)+10×奧運會吉祥物套數(shù)=30000，列出方程組，再求解．本題需注意應根據(jù)用的原料種類分類判斷得到等量關(guān)系．【變式6-1】（2023春·廣西桂林·七年級?？计谥校┠称囍圃鞆S生產(chǎn)一款電動汽車，計劃一個月生產(chǎn)200輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人，也能獨立進行電動汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車，2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？（2）若工廠現(xiàn)在有熟練工人30人，求還需要招聘多少新工人才能完成一個月的生產(chǎn)計劃？【答案】（1）每名熟練工每月可以安裝4輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車；（2）40名【分析】（1）設(shè)每名熟練工每月可以按裝x輛電動汽車，每名新工人每月可以按裝y輛電動汽車，根據(jù)“1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車；2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)還需要招聘m名新工人才能完成一個月的生產(chǎn)計劃，根據(jù)工作總量＝工作效率×人數(shù)結(jié)合計劃一個月生產(chǎn)200輛，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)每名熟練工每月可以安裝x輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝y輛電動汽車，依題意，得：x+2y=82x+3y=14解得：x=4y=2答：每名熟練工每月可以安裝4輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車．（2）設(shè)還需要招聘m名新工人才能完成一個月的生產(chǎn)計劃，依題意，得：4×30+2m＝200，解得：m＝40．答：還需要招聘40名新工人才能完成一個月的生產(chǎn)計劃．【點睛】本題考查的是用二元一次方程組解決問題中的工程問題，理解題意，找準數(shù)量關(guān)系列出方程組是解答關(guān)鍵.【變式6-2】（2023春·浙江·七年級期末）杭州某公司準備安裝完成6000輛如圖所示款共享單車投入市場．由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，公司準備招聘一批新工人．生產(chǎn)開始后發(fā)現(xiàn)：1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．（1）求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車?（2）若公司原有熟練工a人，現(xiàn)招聘n名新工人a>n，使得最后能剛好一個月（30天）完成安裝任務，求a的值．【答案】（1）每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車；（2）a的值為16或14或12．【分析】（1）設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)“1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天安裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)抽調(diào)a名熟練工人，由工作總量＝工作效率×工作時間，即可得出關(guān)于n，a的二元一次方程，再根據(jù)n，a均為正整數(shù)且n＜a，即可求出n的值．【詳解】解：（1）設(shè)每名熟練工人每天可以安裝x輛共享單車，每名新工人每天可以安裝y輛共享單車，根據(jù)題意得：x+2y=282x=3y解得：x=12y=8答：每名熟練工人每天可以安裝12輛共享單車，每名新工人每天可以安裝8輛共享單車．（2）根據(jù)題意得：30×（8n+12a）＝6000，整理得：n＝25﹣32a∵n，a均為正整數(shù)，且n＜a，∴n=1a=16，n=4a=14，∴a的值為16或14或12．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．【變式6-3】（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）問題解決：糖葫蘆一般是用竹簽串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，現(xiàn)將一些山楂分別串在若干個竹簽上，如果每根竹簽串4個山楂，還剩余3個山楂；如果每根竹簽串7個山楂，還剩余6根竹簽，求竹簽有多少根？山楂有多少個？反思歸納：現(xiàn)有m根竹簽，n個山楂，若每根竹簽串a(chǎn)個山楂，還剩b個山楂，則m、n、a、b滿足的等量關(guān)系為（用含m、n、a、b的代數(shù)式表示）．【答案】竹簽有15根，山楂有63個；am+b＝n．【分析】設(shè)竹簽有x根，山楂有y個，根據(jù)“如果每根竹簽串4個山楂，還剩余3個山楂；如果每根竹簽串7個山楂，還剩余6根竹簽”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出竹簽及山楂的數(shù)量；利用山楂的個數(shù)＝每根竹簽串的山楂個數(shù)×竹簽數(shù)量+剩余山楂的數(shù)量，即可找出m、n、a、b之間的等量關(guān)系．【詳解】問題解決：設(shè)竹簽有x根，山楂有y個，依題意得：4x+3=y7(x?6)=y解得：x=15y=63答：竹簽有15根，山楂有63個．∵山楂的個數(shù)＝每根竹簽串的山楂個數(shù)×竹簽數(shù)量+剩余山楂的數(shù)量∴am+b＝n．故答案為：am+b＝n．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．【題型7幾何圖形問題】【例7】（2023春·江蘇蘇州·七年級校聯(lián)考階段練習）把長都是寬的兩倍的1個大長方形紙片和4個相同的小長方形紙片按圖①、圖②方式擺放，則圖②中的大長方形紙片未被4個小長方形紙片覆蓋部分的面積為cm2．【答案】24【分析】根據(jù)題意中的等量關(guān)系大長方形的長+2倍小長方形的長=12，大長方形的長-2倍小長方形的長=4列出方程組進行求解.【詳解】解：設(shè)大長方形長為x,小長方形長為y.根據(jù)題意，得{x+2y=12,x?2y=4,∴大長方形的寬為4，小長方形的寬為1.4×8?1×2×4=24.所以被覆蓋部分的面積為24【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，再列出方程．【變式7-1】（2023春·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）在長為18m，寬為15m的長方形空地上，沿平行于長方形各邊的方向分別割出三個大小完全一樣的小長方形花圃，其示意圖如圖所示，則其中一個小長方形花圃的面積為（

）

A．10m2 B．12m2 C．【答案】D【分析】設(shè)小長方形花圃的長為xm，寬為y【詳解】解：設(shè)小長方形花圃的長為xm，寬為y根據(jù)題意可得：2x+y=18x+2y=15解得：x=7y=4∴xy=7×4=28m∴一個小長方形花圃的面積為：28m故選：D．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級?？茧A段練習）如圖，在長方形ABCD中，放入6個形狀、大小都相同的小長方形，所標尺寸如圖所示.

(1)小長方形的長和寬各是多少？(2)求陰影部分的面積.【答案】(1)小長方形的長為10cm，寬為3cm；(2)67cm【分析】（1）設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，觀察圖形即可列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、（2）根據(jù)陰影部分的面積=大長方形的面積?6個小長方形的面積，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)小長方形的長為xcm，寬為y根據(jù)圖形可知：x+3y=19x+y=2y+7解得：x=10y=3答：小長方形的長為10cm，寬為3cm；（2）由（1）得：小長方形的長為10cm，寬為3cm，∴長方形ABCD的寬為13cm，則陰影部分的面積=大長方形的面積?6個小長方形的面積，=13×19?6×3×10，=67(cm答：陰影部分的面積為67cm【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，觀察圖形列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·山西·七年級統(tǒng)考期中）小敏通過觀察發(fā)現(xiàn)，生活中很多產(chǎn)品的包裝都是長方體，她從家里找了一個長方體包裝盒，將其展開后，得到如圖所示的示意圖，根據(jù)示意圖中的數(shù)據(jù)可得原長方體的體積為cm【答案】192【分析】根據(jù)圖形分析得到長方體的長是8cm，設(shè)寬是xcm，高是ycm，列方程組求解即可得到寬和高，再根據(jù)長方體體積公式計算體積.【詳解】設(shè)長方體的寬是xcm，高是ycm，由題意得2×8+x+y=26x+2y=14解得x=6y=4∴長方體的體積是8×6×4=192（cm故答案為：192.【點睛】此題考查二元一次方程組的實際應用，正確觀察圖形理解長、寬、高之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【題型8數(shù)字問題】【例8】（2023春·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）某兩位數(shù)，兩個數(shù)位上的數(shù)之和為11．這個兩位數(shù)加上45，得到的兩位數(shù)恰好等于原兩位數(shù)的兩個數(shù)字交換位置所表示的數(shù)，求原兩位數(shù)．(1)列一元一次方程求解．(2)如果設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，列二元一次方程組．(3)檢驗（1）中求得的結(jié)果是否滿足（2）中的方程組．【答案】(1)原兩位數(shù)為38(2)x+y=11(3)（1）中求得的結(jié)果滿足（2）中的方程組【分析】（1）設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為m，則十位數(shù)字為11?m，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，根據(jù)題意，列出方程組即可求解；（3）結(jié)合（1），可知：x=3，y=8，進而即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為m，則十位數(shù)字為11?m，依題意，得：10×11?m解得：m=8，∴11?m=3．答：原兩位數(shù)為38；（2）設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，依題意，得：x+y=1110x+y+45=10y+x（3）結(jié)合（1）可知，x=3，y=8，∴x+y=11，10x+y+45=83=10y+x，∴（1）中求得的結(jié)果滿足（2）中的方程組．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，二元一次方程組的應用，根據(jù)題意列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶市第七中學校?？计谀┗梅降臍v史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”．三階幻方的填寫規(guī)則是將9個不同的整數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都相等．

(1)如圖1所示幻方，求x的值；(2)如圖2所示幻方，求a，b的值；(3)如圖3所示幻方，若m，n為正整數(shù)，直接寫出一共有多少種填法，并把其中一種幻方填寫完整．【答案】(1)x=5(2)a=4(3)一共有3種填法；填寫見解析【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）根據(jù)題意列出關(guān)于a、b的方程組，解方程組即可；（3）根據(jù)題意列出關(guān)于m、n的二元一次方程，求出整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：9+x+1=x+3+1+2x?4，解得：x=5；（2）解：根據(jù)題意得：12+2a+1+3b?3=12+7+2a4b?2+2a+1+2a=12+7+2a解得：a=4b=3（3）解：根據(jù)題意得：13+12+11=13+2m+2+3n，即2m+3n=21，∵m，n為正整數(shù)，∴m=3n=5，m=6n=3，∴共有3種填法；

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組和一元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)表格列出方程或方程組．【變式8-2】（2023秋·遼寧鐵嶺·七年級統(tǒng)考階段練習）在《最強大腦》節(jié)目中，有很多具有挑戰(zhàn)性的比賽項目，其中《幻圖圓》這個項目充分體現(xiàn)了數(shù)學的魅力．如圖是一個最簡單的二階幻圓的模型，要求：①內(nèi)、外兩個圓周上的四個數(shù)字之和相等；②外圓兩直徑上的四個數(shù)字之和相等；則圖中外圓周上空白圓圈內(nèi)填，內(nèi)圓周上空白圓圈內(nèi)填內(nèi)應填．【答案】?1?7【分析】設(shè)外圓空白數(shù)字為x,內(nèi)圓空白數(shù)據(jù)為y,根據(jù)題意可列出關(guān)于x、y的方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)外圓空白數(shù)字為x，內(nèi)圓空白數(shù)據(jù)為y，根據(jù)題意得：?3+9?5+x=6?1+2+y；整理得：x?y=6x+y=?8，解得：故答案為?1,?7．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法運算、二元一次方程組等知識點，根據(jù)題意列出一元二次方程組是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·山東濰坊·七年級?？茧A段練習）小明和小華在一起玩數(shù)字游戲，他們每人取了一張數(shù)字卡片，拼成了一個兩位數(shù)，小明說：“哇！這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和恰好是9．”他們又把這兩張卡片對調(diào)，得到了一個新的兩位數(shù)，小華說：“這個兩位數(shù)恰好也比原來的兩位數(shù)大9．”那么，你能回答以下問題嗎？(1)他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ系臄?shù)字分別是幾？(2)第一次，他們拼出的兩位數(shù)是多少？(3)第二次，他們拼成的兩位數(shù)又是多少呢？請你好好動動腦筋喲！【答案】(1)他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ系臄?shù)字分別是4、5(2)第一次他們拼成的兩位數(shù)為45(3)第二次拼成的兩位數(shù)是54【詳解】（1）解：設(shè)他們?nèi)〕龅膬蓚€數(shù)字分別為x、y．第一次拼成的兩位數(shù)為10x+y，第二次拼成的兩位數(shù)為10y+x．根據(jù)題意得：x+y=9①10y+x?9=10x+y②由②，得：y?x=1③，①+③得：把y=5代入①得：x=4，∴他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ系臄?shù)字分別是4、5．（2）解：根據(jù)（1）得：十位數(shù)字是4，個位數(shù)字是5，所以第一次他們拼成的兩位數(shù)為45．（3）解：根據(jù)（1）得，x，y的位置調(diào)換，所以十位數(shù)字是5，個位數(shù)字是，所以第二次拼成的兩位數(shù)是54．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，找出合適的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型9古代問題】【例9】（2023秋·安徽滁州·七年級校聯(lián)考期中）被歷代數(shù)學家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國古代算法的扛鼎之作．《九章算術(shù)》中記載：“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕．一雀一燕交而處，衡適平．并燕、雀重一斤．問燕、雀一枚各重幾何？”譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤．問雀、燕每1只各重多少斤？”請列方程組解答上面的問題．【答案】雀、燕每一只各重219斤、3【分析】設(shè)雀、燕每1只各重x斤、y斤，根據(jù)等量關(guān)系：今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤，列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)雀、燕每1只各重x斤、y斤．根據(jù)題意，得4x+y=5y+x整理，得3x?4y=0解得x=答：雀、燕每1只各重219斤、3【點睛】考查二元一次方程組得應用，解題的關(guān)鍵是分析題意，找出題中的等量關(guān)系．【變式9-1】（2023春·湖北武漢·七年級校考階段練習）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺，若將繩四折測之，繩多一尺，井深幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺，把繩四折來量，井外余繩一尺，井深幾尺？則該問題的井深是（

）尺．A．5 B．8 C．32 D．36【答案】B【分析】設(shè)繩長為x尺，井深為y尺，根據(jù)等量關(guān)系“把繩三折來量，井外余繩四尺，把繩四折來量，井外余繩一尺”列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)繩長是x尺，井深是y尺，由題意可得：13x?y=41所以井深是8尺．故選B．【點睛】本題主要考查了二元一次方程的應用．要讀懂題目的意思、根據(jù)題目給出的條件、找出合適的等量關(guān)系列出方程（組）是解題關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·江西南昌·七年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學專著，書中記載了這樣一個問題：“今有上禾三秉，益實六斗，當下禾十秉．下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉．問上、下禾實一秉各幾何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，與下等水稻10捆相當．下等水稻5捆，加稻谷1斗，與上等水稻2捆相當．問上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？【答案】上等水稻每捆有稻谷8斗，下等水稻每捆有稻谷3斗【分析】設(shè)上等水稻每捆有稻谷x斗，下等水稻每捆有稻谷y斗，根據(jù)題意“上等水稻3捆，加稻谷6斗，與下等水稻10捆相當．下等水稻5捆，加稻谷1斗，與上等水稻2捆相當”，列出二元一次方程并求解即可．【詳解】.解：設(shè)上等水稻每捆有稻谷x斗，下等水稻每捆有稻谷y斗，根據(jù)題意可得3x+6=10y5y+1=2x，解得x=8答：上等水稻每捆有稻谷8斗，下等水稻每捆有稻谷3斗．【點睛】本題主要考查了二元一次方程的應用，理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2023秋·安徽·七年級校聯(lián)考階段練習）《九章算術(shù)》中有這樣一道題，原文如下：今有上禾六秉，損實一斗八升，當下禾一十秉．下禾十五秉，損實五升，當上禾五秉．問：上、下禾實一秉各幾何？大意為：今有上禾6束，減損其中之“實”1斗8升，與下禾10束之“實”相當；下禾15束，減損其中之“實”5升，與上禾5束之“實”相當．問上、下禾每1束之實各為多少?（10升為1斗）【答案】上、下禾每1束之實分別為8升和3升【分析】分析題意，設(shè)上、下禾每1束之實各為x，y升，根據(jù)相等關(guān)系列出二元一次方程組求解.【詳解】解：設(shè)上、下禾每1束之實各為x，y升，根據(jù)題意可列方程組：6x?18=10y15y?5=5x，解得：x=8答：上、下禾每1束之實分別為8升和3升．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找到題中的2個相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【題型10方案問題】【例10】（2023春·湖南株洲·七年級校考期末）某電器超市銷售每臺進價為200元，170元的A、B兩種型號的電風扇．如表所示是近2周的銷售情況：（進價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入－進貨成本）銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號第一周351750元第二周4103000元(1)求A、B兩種型號電風扇的銷售單價；(2)超市銷售完A、B兩種型號的電風扇共25臺，能否實現(xiàn)利潤為1200元的目標？請說明理由．(3)一家公司打算花費4000元同時購買A、B兩種型號的電風扇若干臺，請你為該公司設(shè)計不同的購買方案．【答案】(1)A種型號電風扇的銷售單價為250元，B種型號電風扇的銷售單價為200元(2)不能，理由見解析(3)見解析【分析】（1）設(shè)A種型號電風扇的銷售單價為x元，B種型號電風扇的銷售單價為y元，根據(jù)近2周的銷售情況表格中的數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標，設(shè)銷售m臺A種型號電風扇，n臺B種型號電風扇，利用總利潤=每臺的銷售利潤×銷售數(shù)量，結(jié)合銷售完A、B兩種型號的電風扇共25臺且共獲得1200元利潤，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值，結(jié)合m，n需為正整數(shù)，即可得出不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標；（3）設(shè)購買a臺A種型號電風扇，b臺B種型號電風扇，利用總價=單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．【詳解】（1）解：設(shè)A種型號電風扇的銷售單價為x元，B種型號電風扇的銷售單價為y元，依題意得：3x+5y=17504x+10y=3000解得：x=250y=200答：A種型號電風扇的銷售單價為250元，B種型號電風扇的銷售單價為200元．（2）不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標，理由如下：設(shè)銷售m臺A種型號電風扇，n臺B種型號電風扇，依題意得：m+n=25(250?200)m+(200?170)n=1200解得：m=45又∵m，n均為正整數(shù)，∴m=45即不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標．（3）設(shè)購買a臺A種型號電風扇，b臺B種型號電風扇，依題意得：250a+200b=4000，∴b=20?5又∵a，b均為正整數(shù)，∴a=4b=15或a=8b=10或∴該公司共有3種購買方案，方案1：購買4臺A種型號電風扇，15臺B種型號電風扇；方案2：購買8臺A種型號電風扇，10臺B種型號電風扇；方案3：購買12臺A種型號電風扇，5臺B種型號電風扇．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組（或二元一次方程）是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2023秋·福建漳州·七年級?？茧A段練習）某公司接到240臺空調(diào)的安裝任務．由于時間緊，該公司沒有足夠的熟練工人，故決定招聘一批新工人．根據(jù)以往安裝經(jīng)驗可知，1名熟練工人和2名新工人每天一共可以安裝8臺空調(diào)；2名熟練工人和3名新工人每天一共可以安裝14臺空調(diào)．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少臺空調(diào)？(2)若該公司原有m名熟練工人，現(xiàn)計劃招聘n名新工人（m，n均為正整數(shù)），為保證剛好用12天完成安裝任務，你認為該公司有哪幾種招聘方案？【答案】(1)1名熟練工人1天可以安裝4臺空調(diào)，1名新工人1天可以安裝2臺空調(diào)(2)m=1，n=8或m=2，n=6或m=3，n=4或m=4，n=2【分析】（1）設(shè)1名熟練工人1天可以安裝x臺空調(diào)，1名新工人1天可以安裝y臺空調(diào)，由題意列出方程組，即可求解；（2）由題意列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)1名熟練工人1天可以安裝x臺空調(diào)，1名新工人1天可以安裝y臺空調(diào)，由題意可得：x+2y=82x+3y=14解得：x=4y=2故1名熟練工人1天可以安裝4臺空調(diào)，1名新工人1天可以安裝2臺空調(diào)．（2）解：由題意可得：124m+2n∴2m+n=10，∵m，n為正整數(shù)，∴m=1，n=8或m=2，n=6或m=3，n=4或m=4，n=2；故有四種方案，分別為m=1，n=8或m=2，n=6或m=3，n=4或m=4，n=2．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，二元一次方程的應用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2023春·湖北荊州·七年級統(tǒng)考期末）荊州作為荊楚文化根脈所在，是楚文化發(fā)祥地．首屆楚文化節(jié)于2023年3月至4月在荊州舉辦．為更好展現(xiàn)荊州，荊州市特推出A、B兩種不同明信片套盒和單張明信片．已知一種A套盒和一種B套盒總價13元，2種A套盒和3種B套盒總價31元；單張明信片1元/張．(1)請求出A、B兩種套盒的單價各是多少元？(2)某顧客計劃用200元購買這三種商品共127件，如果資金剛好全部用完，問有幾種購買方案？【答案】(1)A套盒單價為8元，B套盒單價為5元(2)兩種【分析】（1）設(shè)A套盒單價為x元，B套盒單價為y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設(shè)購A套盒a件，B套盒b件，則單張明信片127?a?b件，則8a+5b+127?a?b=200，可得b=73?7a4，再根據(jù)【詳解】（1）設(shè)A套盒單價為x元，B套盒單價為y元，則x+y=132x+3y=31解得x=8y=5∴A套盒單價為8元，B套盒單價為5元；（2）設(shè)購A套盒a件，B套盒b件，則單張明信片127?a?b件，則8a+5b+127?a?b∴b=73?7a∵a、b為正整數(shù)，∴a=3b=13或a=7∴共兩種方案．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及求解二元一次方程的正整數(shù)解的知識，明確題意列出二元一次方程組以及二元一次方程，是解答本題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2023春·廣東廣州·七年級執(zhí)信中學?？计谥校╇s交水稻的發(fā)展對解決世界糧食不足問題有著重大的貢獻，某超市購進A、B兩種大米銷售，其中兩種大米的進價、售價如下表：類型進價（元/袋）售價（元/袋）A種大米2030B種大米3045(1)該超市在3月份購進A、B兩種大米共70袋，進貨款恰好為1800元．①求這兩種大米各購進多少袋；②據(jù)3月份的銷售統(tǒng)計，兩種大米的銷售總額為900元，求該超市3月份已售出大米的進貨款為多少元．(2)超市決定在4月份銷售A、B兩種大米共盈利100元（A，B兩種品種都有購進），請你幫助設(shè)計一下進貨方案，并寫出來．【答案】(1)①購進A種大米30袋，B種大米40袋；②600元(2)方案一：購進A種大米1袋，B種大米6袋；方案二：購進A種大米4袋，B種大米4袋；方案三：購進A種大米7袋，B種大米2袋【分析】（1）①：設(shè)購進A種大米a袋，B種大米b袋，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；②設(shè)購進A種大米m袋，B種大米n袋，根據(jù)“兩種大米的銷售總額為900元，”可得2m+3n=60，即可求解；（2）設(shè)購進A種大米m袋，B種大米n袋，根據(jù)“銷售A、B兩種大米共盈利100元”得到關(guān)于x，y的方程，再根據(jù)x，y均為正整數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解①：設(shè)購進A種大米a袋，B種大米b袋，根據(jù)題意得：a+b=7020a+30b=1800解得：a=30答：購進A種大米30袋，B種大米40袋；②設(shè)購進A種大米m袋，B種大米n袋，根據(jù)題意得：30m+45n=900，即2m+3n=60，∴超市3月份已售出大米的進貨款為20m+30n=102m+3n（2）解：設(shè)購進A種大米x袋，B種大米y袋，根據(jù)題意得：30x+45y?整理得：2x+3y=20，即y=20?2x∴20?2x是3的倍數(shù)，∵x，y均為正整數(shù)，∴x=1,y=6或x=4,y=4或x=7,y=2，∴方案一：購進A種大米1袋，B種大米6袋；方案二：購進A種大米4袋，B種大米4袋；方案三：購進A種大米7袋，B種大米2袋．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，二元一次方程的應用，明確題意，準確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型11圖表問題】【例11】（2023春·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考階段練習）流感期間，小李家購買防護用品的收據(jù)如表，有部分數(shù)據(jù)因污染無法識別，根據(jù)表格，解決下列問題：商品名單價（元）數(shù)量（件）金額（元）溫度計1901190消毒水

2100酒棈噴劑30

消毒紙巾205

醫(yī)用口罩50

合計14650(1)小李家此次購買的酒精噴劑和醫(yī)用口罩各多少件?(2)小李家計劃再次購買消毒水和酒精噴劑共15件，且總價剛好490元，則消毒水購買多少件?(3)小李家準備用270元再次購買消毒紙巾和醫(yī)用口罩，在270元剛好用完的條件下，有哪些購買方案?【答案】(1)酒精噴劑2件，醫(yī)用口罩4件(2)2件(3)一共有3種方案：①購買消毒紙巾1件，醫(yī)用口罩5件；②購買消毒紙巾6件，醫(yī)用口罩3件；③購買消毒紙巾11件，醫(yī)用口罩1件【分析】（1）設(shè)小李家此次購買的酒精噴劑x件，醫(yī)用口罩y件，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）由表格內(nèi)數(shù)據(jù)可知消毒水每件50（元），設(shè)買消毒水m件，則酒精噴劑15?m件，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，結(jié)合總價為490元，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，求出結(jié)果即可；（3）設(shè)購買消毒紙巾a件，醫(yī)用口罩b件，根據(jù)總價=單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為整數(shù)即可得出購買方案．【詳解】（1）解：設(shè)小李家此次購買的酒精噴劑x件，醫(yī)用口罩y件，根據(jù)題意得：1+2+x+5+y=14190+100+30x+20×5+50y=650解得：x=2y=4答：小李家此次購買的酒精噴劑2件，醫(yī)用口罩4件；（2）由表格內(nèi)數(shù)據(jù)可知消毒水每件100÷2=50（元），設(shè)購買消毒水m件，則酒精噴劑15?m件，∴50m+15?m解得：m=2，答：消毒水購買2件；（3）設(shè)購買消毒紙巾a件，