七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-8.3實(shí)際問題與二元一次方程組 解析版

.3實(shí)際問題與二元一次方程組【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：根據(jù)實(shí)際問題列方程組 考點(diǎn)二：行程問題考點(diǎn)三：工程問題 考點(diǎn)四：數(shù)字問題考點(diǎn)五：分配問題 考點(diǎn)六：銷售、利潤(rùn)問題考點(diǎn)七：和差倍分問題 考點(diǎn)八：方案問題考點(diǎn)九：表格或者圖示信息題 考點(diǎn)十：古代問題考點(diǎn)十一：年齡問題 考點(diǎn)十二：幾何問題知識(shí)點(diǎn)一、利用二元一次方程組解實(shí)際應(yīng)用問題的一般過程：審題并找出數(shù)量關(guān)系式—>設(shè)元（設(shè)未知數(shù)）—>根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出方程組—>解方程組—>檢驗(yàn)并作答（注意：此步驟不要忘記）知識(shí)點(diǎn)二、列方程組解應(yīng)用題的常見題型：（1）、和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：較大量-較小量=相差量，總量=倍數(shù)×倍量；（2）、產(chǎn)品配套問題：解這類題的基本等量關(guān)系式是：加工總量成比例；（3）、速度問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：路程=速度×?xí)r間，包括相遇問題、追及問題等；（4）、航速問題：①、順流（風(fēng)）：航速=靜水（無(wú)風(fēng)）時(shí)的速度+水（風(fēng)）速；②、逆流（風(fēng)）：航速=靜水（無(wú)風(fēng)）時(shí)的速度–水（風(fēng)）速；（5）、工程問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間，（有時(shí)需把工作總量看作1）；（6）、增長(zhǎng)率問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：原量×（1+增長(zhǎng)率）=增長(zhǎng)后的量，原量×（1-減少率）=減少后的量；（7）、盈虧問題：解這類問題的關(guān)鍵是從盈（過剩）、虧（不足）兩個(gè)角度來把握事物的總量；（8）、數(shù)字問題：解這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示；（9）、幾何問題：解這類問題的基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式；（10）、年齡問題：解這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)相等。題型一：根據(jù)實(shí)際問題列方程組1．（23-24九年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州）“踐行垃圾分類?助力雙碳目標(biāo)”主題班會(huì)結(jié)束后，米樂和琪琪一起收集了一些廢電池，米樂說：“我比你多收集了7節(jié)廢電池”琪琪說：“如果你給我8節(jié)廢電池，我的廢電池?cái)?shù)量就是你的2倍．”如果他們說的都是真的，設(shè)米樂收集了x節(jié)廢電池，琪琪收集了y節(jié)廢電池，根據(jù)題意可列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了列二元一次方程組；根據(jù)米樂說：“我比你多收集了7節(jié)廢電池”琪琪說：“如果你給我8節(jié)廢電池，我的廢電池?cái)?shù)量就是你的2倍．”列出方程組即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故選：A．2．（23-24七年級(jí)下·山東濰坊·階段練習(xí)）甲、乙兩人在相距18千米的兩地，若同時(shí)出發(fā)相向而行，經(jīng)2小時(shí)相遇；若同向而行，且甲比乙先出發(fā)1小時(shí)追乙，那么在乙出發(fā)4小時(shí)后兩人相遇，求甲、乙兩人的速度．設(shè)甲的速度是千米/小時(shí)，乙的速度為千米/小時(shí)，依題意可列方程組（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知行程問題的等量關(guān)系．設(shè)甲的速度是千米/小時(shí)，乙的速度為千米/小時(shí)，根據(jù)題意可列出二元一次方程組即可．【詳解】解∶根據(jù)題意，得，即，故選：B．3．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）某校九年級(jí)師生共496人，準(zhǔn)備組織去某地參加綜合社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．現(xiàn)已預(yù)備了46座和52座兩種客車共10輛，剛好坐滿．設(shè)46座客車x輛，52座客車y輛，根據(jù)題意可列出方程組為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組，根據(jù)兩種客車共10輛，可得方程，根據(jù)496人剛好坐滿，可得方程，據(jù)此列出方程組即可．【詳解】解：設(shè)46座客車x輛，52座客車y輛，由題意得，，故選：C題型二：行程問題4．（22-23七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）A地至B地的航線長(zhǎng)，一架飛機(jī)從A地順風(fēng)飛往B地需，它逆風(fēng)飛行同樣的航線需，求飛機(jī)無(wú)風(fēng)時(shí)的平均速度與風(fēng)速．解：設(shè)這架飛機(jī)無(wú)風(fēng)時(shí)的平均速度為，風(fēng)速為．(1)用含x，y的代數(shù)式表示：①順風(fēng)速度為____；②逆風(fēng)速度為____；(2)根據(jù)題意，列出方程組解決問題．【答案】(1)①；②；(2)這架飛機(jī)無(wú)風(fēng)時(shí)的平均速度為，風(fēng)速為【分析】本題考查了列代數(shù)式，二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用．（1）根據(jù)順風(fēng)速度=飛機(jī)速度+風(fēng)速．逆風(fēng)速度=飛機(jī)速度風(fēng)速，即可解答；（2）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，列出方程組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)這架飛機(jī)無(wú)風(fēng)時(shí)的平均速度為，風(fēng)速為，則風(fēng)速度為；逆風(fēng)速度為．故答案為：，；（2）解：根據(jù)題意得：，解得：．答：這架飛機(jī)無(wú)風(fēng)時(shí)的平均速度為，風(fēng)速為．5．（22-23七年級(jí)下·重慶渝中·期中）甲乙兩地相距240千米，一輛小車和一輛摩托車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，1小時(shí)20分兩車相遇．相遇后，摩托車?yán)^續(xù)前進(jìn)，小車在相遇處停留1個(gè)小時(shí)后調(diào)頭按原速返回甲地，小車在返回后半小時(shí)追上了摩托車，(1)求小車和摩托車的速度．(2)求相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛多少小時(shí)兩車相距30千米？【答案】(1)小汽車和摩托車速度分別為135千米/小時(shí)，45千米/小時(shí)(2)小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)【分析】（1）小車的速度為千米時(shí)，摩托車的速度為千米時(shí)，利用路程速度時(shí)間，結(jié)合兩車速度間的關(guān)系，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出小車和摩托車的速度；（2）設(shè)相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛小時(shí)兩車相距30千米，利用路程速度時(shí)間，結(jié)合兩車相距30千米，可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：1小時(shí)20分小時(shí)．設(shè)小車的速度為千米時(shí)，摩托車的速度為千米時(shí)，根據(jù)題意得：，解得：．答：小車的速度為135千米時(shí)，摩托車的速度為45千米時(shí)；（2）設(shè)相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛小時(shí)兩車相距30千米，根據(jù)題意得：或或或，解得：或或或．答：相遇后，摩托車?yán)^續(xù)行駛小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)兩車相距30千米．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)于（2）要用分類討論的思想求解，注意不要漏解．題型三：工程問題6．（22-23七年級(jí)下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）宿鴨湖是亞洲面積最大平原人工水庫(kù)，位于河南省駐馬店市汝南縣羅店鎮(zhèn)東2公里處，為打造駐馬店宿鴨湖沿岸的風(fēng)景帶，有一段長(zhǎng)為720米的水庫(kù)清淤擴(kuò)容工程由A、B兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成，A工程隊(duì)每天整治48米，B工程隊(duì)每天整治32米，共用20天．(1)根據(jù)題意，小華和小軍分別列出了尚不完整的方程組如下：根據(jù)小華、小軍所列的方程組，請(qǐng)你分別指出未知數(shù)x，y表示的意義，并在表格中補(bǔ)全兩人所列的方程組．小華：x表示_______________，y表示_____________；小軍：x表示_______________，y表示____________．(2)求出其中一個(gè)方程組的解，并回答A、B兩工程隊(duì)分別整治河道多少米？【答案】(1)見解析(2)甲方程的解為，乙方程的解為，A隊(duì)整治河道120米，B隊(duì)整治河道240米【分析】（1）根據(jù)甲、乙兩名同學(xué)所列的方程組可得，甲：x表示A隊(duì)的工作時(shí)間，y表示B隊(duì)的工作時(shí)間；乙：x表示A隊(duì)的工作量，y表示B隊(duì)的工作量，補(bǔ)全方程組即可；（2）根據(jù)二元一次方程組的解法求解方程組甲．【詳解】（1）解：由題意得，甲：x表示A隊(duì)的工作時(shí)間，y表示B隊(duì)的工作時(shí)間；乙：x表示A隊(duì)的工作量，y表示B隊(duì)的工作量；甲：，乙：；（2）解：得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程組的解為，則，，∴A隊(duì)整治河道120米，B隊(duì)整治河道240米；，整理得，得：，把代入③得：，解得，∴方程組的解為，∴A隊(duì)整治河道120米，B隊(duì)整治河道240米．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，正確找出題目中的相等關(guān)系，列方程組求解．7．（22-23七年級(jí)下·湖南邵陽(yáng)·期末）一家商店進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付給兩組費(fèi)用共元；若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做天可以完成，需付給兩組費(fèi)用共元，問：(1)甲、乙兩組單獨(dú)工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)完成需要天，乙組單獨(dú)完成需要天，若裝修完后，商店每天可盈利元，你認(rèn)為如何安排施工有利于商店經(jīng)營(yíng)？說說你的理由．（提示：三種施工方式：方式一甲單獨(dú)完成；方式二乙組單獨(dú)完成；方式三甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工．）【答案】(1)甲單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，乙單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元(2)由甲、乙兩個(gè)裝修隊(duì)同時(shí)施工有利于商店經(jīng)營(yíng)，理由見解析【分析】（1）設(shè)甲單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，乙單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，依題意得：，進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）分別算出甲單獨(dú)完成時(shí)需裝修的費(fèi)用和少盈利的錢，乙單獨(dú)完成時(shí)需裝修的費(fèi)用和少盈利的錢，甲乙合作完成時(shí)需裝修的費(fèi)用和少盈利的錢，進(jìn)行比較即可得．【詳解】（1）解：設(shè)甲單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，乙單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，依題意得：，解得，答：設(shè)甲單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元，乙單獨(dú)工作一天應(yīng)付工資元．（2）解：甲單獨(dú)完成：（元）乙單獨(dú)完成：（元）甲、乙兩隊(duì)完成：（元），∴由甲、乙兩個(gè)裝修隊(duì)同時(shí)施工有利于商店經(jīng)營(yíng)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，正確計(jì)算．題型四：數(shù)字問題8．（22-23七年級(jí)下·河北唐山·期中）某兩位數(shù)，兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和為．這個(gè)兩位數(shù)加上，得到的兩位數(shù)恰好等于原兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字交換位置所表示的數(shù)，求原兩位數(shù)．(1)列一元一次方程求解．(2)如果設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，列二元一次方程組．(3)檢驗(yàn)（1）中求得的結(jié)果是否滿足（2）中的方程組．【答案】(1)原兩位數(shù)為38(2)(3)（1）中求得的結(jié)果滿足（2）中的方程組【分析】（1）設(shè)原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，根據(jù)題意，列出方程組即可求解；（3）結(jié)合（1），可知：，，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，依題意，得：，解得：，∴．答：原兩位數(shù)為38；（2）設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，依題意，得：；（3）結(jié)合（1）可知，，，∴，，∴（1）中求得的結(jié)果滿足（2）中的方程組．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．9．（21-22七年級(jí)下·重慶銅梁·期末）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)N，滿足十位數(shù)字與百位數(shù)字之和等于個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字之和的兩倍，則稱這個(gè)數(shù)為“相映數(shù)”．例如，對(duì)于3621，∵，∴3621是“相映數(shù)”；再如，對(duì)于4271，∵，∴4671不是“相映數(shù)”；(1)判斷2532，5461是否是“相映數(shù)”，并說明理由；(2)已知“相映數(shù)”N＝3000＋100b＋10c＋2，其中，，滿足，求所有符合條件的N．【答案】(1)2532是“相映數(shù)”，5461不是“相映數(shù)”，理由見解析(2)3372或3282【分析】（1）根據(jù)“相映數(shù)”的定義即可作出判斷；（2）由題意知，N的千位數(shù)字為3，百位與十位數(shù)字分別為b與c，個(gè)位數(shù)字為2，由“相映數(shù)”的定義可得關(guān)于b、c的等式，結(jié)合，即可確定b、c，從而求得符合條件的數(shù)N．【詳解】（1）∵5+3=2×（2+2），∴2531是“相映數(shù)”；∵4+6≠2×（5+1），∴5461不是“相映數(shù)”；（2）∵“相映數(shù)”N＝3000＋100b＋10c＋2，∴N的千位數(shù)字為3，百位與十位數(shù)字分別為b與c，個(gè)位數(shù)字為2，∴b+c=2×（3+2），即b+c=10，∵，∴或，分別解方程組及，得及，所以滿足條件的“相映數(shù)”N分別為：3372或3282．題型五：分配問題10．（21-22七年級(jí)下·廣西桂林·階段練習(xí)）某紙品加工廠利用邊角料裁出正方形和長(zhǎng)方形兩種硬紙片，長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等（如圖2），再將它們制作成甲乙兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體小盒（如圖1）．（注：圖1中向上的一面無(wú)蓋）(1)如果制作甲、乙兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體小盒各一個(gè)，則共需長(zhǎng)方形紙片張，正方形紙片張；(2)現(xiàn)將400張長(zhǎng)方形硬紙片和200張正方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒，可以做成甲乙兩種小盒各多少個(gè)？【答案】(1)7；3(2)可以做成甲乙兩種小盒各40個(gè)，80個(gè)【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用：（1）分別求出1個(gè)甲種長(zhǎng)方體小盒需要4個(gè)長(zhǎng)方形硬紙片，1個(gè)正方形硬紙片，1個(gè)乙種長(zhǎng)方體小盒需要3個(gè)長(zhǎng)方形硬紙片，2個(gè)正方形硬紙片即可得到答案；（2）設(shè)可以做成甲乙兩種小盒各x個(gè)，y個(gè)，根據(jù)將400張長(zhǎng)方形硬紙片和200張正方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒列出方程組求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，1個(gè)甲種長(zhǎng)方體小盒需要4個(gè)長(zhǎng)方形硬紙片，1個(gè)正方形硬紙片，1個(gè)乙種長(zhǎng)方體小盒需要3個(gè)長(zhǎng)方形硬紙片，2個(gè)正方形硬紙片，∴制作甲、乙兩種無(wú)蓋的長(zhǎng)方體小盒各一個(gè)，則共需長(zhǎng)方形紙片7張，正方形紙片3張，故答案為：7；3；（2）解：設(shè)可以做成甲乙兩種小盒各x個(gè)，y個(gè)，由題意得，，解得，答：可以做成甲乙兩種小盒各40個(gè)，80個(gè)．11．（22-23七年級(jí)下·貴州·階段練習(xí)）已知：用2輛型車和1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸．某物流公司現(xiàn)有34噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用型車輛，型車輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛型車和1輛車型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？(2)若型車每輛需租金100元/次，型車每輛需租金120元/次．請(qǐng)選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．【答案】(1)1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨3噸，1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨4噸．(2)租用型車2輛、型車7輛最省錢，最少租車費(fèi)為1040元．【分析】（1）設(shè)1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨噸，1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨噸，根據(jù)“用2輛型車和1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨11噸”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)租用的兩種車載滿貨物一次可運(yùn)貨34噸，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為非負(fù)整數(shù)，即可得出各租車方案，再根據(jù)總租金每輛車的租金租車輛數(shù)，可分別求出三種租車方案所需租金，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨噸，1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨噸，依題意，得：，解得：．答：1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨3噸，1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨4噸．（2）依題意，得：，．，均為非負(fù)整數(shù)，，，，該物流公司共有三種租車方案，方案1：租用型車10輛，型車1輛；方案2：租用型車6輛，型車4輛；方案3：租用型車2輛，型車7輛．方案1所需租金：（元，方案2所需租金：（元，方案3所需租金：（元．，方案3租用型車2輛、型車7輛最省錢，最少租車費(fèi)為1040元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程，并利用總租金每輛車的租金租車輛數(shù)，分別求出三種租車方案所需租金．題型六：銷售、利潤(rùn)問題12．（23-24七年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）某班級(jí)開展知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，去咖啡店購(gòu)買A、B兩種款式的咖啡作為獎(jiǎng)品．若買10杯A款咖啡，15杯B款咖啡共需230元；若買25杯A款咖啡，25杯B款咖啡共需450元．(1)A款咖啡和B款咖啡的銷售單價(jià)各是多少？(2)若購(gòu)買A、B兩種款式的咖啡（兩種都要）剛好花費(fèi)200元，那么有幾種購(gòu)買方案？【答案】(1)A款咖啡的銷售單價(jià)為元，B款咖啡的銷售單價(jià)為元；(2)有4種購(gòu)買方案，方案一：購(gòu)買5杯A款咖啡，16杯B款咖啡；方案二：購(gòu)買10杯A款咖啡，12杯B款咖啡；方案三：購(gòu)買15杯A款咖啡，8杯B款咖啡；方案四：購(gòu)買20杯A款咖啡，4杯B款咖啡．【分析】本題考查了二元一次方程（組）的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，根據(jù)題意正確列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A款咖啡和B款咖啡的銷售單價(jià)分別為元和元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解．（2）設(shè)購(gòu)買A款咖啡杯，購(gòu)買B款咖啡杯，根據(jù)題意列出二元一次方程，進(jìn)而根據(jù)整數(shù)解求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A款咖啡和B款咖啡的銷售單價(jià)分別為元和元，由題意可得，，解得，答：A款咖啡的銷售單價(jià)為元，B款咖啡的銷售單價(jià)為元；（2）解：設(shè)購(gòu)買A款咖啡杯，購(gòu)買B款咖啡杯，由題意可得，，，、都為正整數(shù)，為的倍數(shù)，，，，，共有4種購(gòu)買方案：方案一：購(gòu)買5杯A款咖啡，16杯B款咖啡；方案二：購(gòu)買10杯A款咖啡，12杯B款咖啡；方案三：購(gòu)買15杯A款咖啡，8杯B款咖啡；方案四：購(gòu)買20杯A款咖啡，4杯B款咖啡．13．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）某體育用品商場(chǎng)銷售A、B兩款足球，售價(jià)和進(jìn)價(jià)如表：類型進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）售價(jià)（元/個(gè)）A款m120B款n90若該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)10個(gè)A款足球和20個(gè)B款足球需2000元；若該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)20個(gè)A款足球和30個(gè)B款足球需3400元．(1)求m和n的值；(2)某校在該商場(chǎng)一次性購(gòu)買A款足球x個(gè)和B款足球y個(gè)，共消費(fèi)3600元，那么該商場(chǎng)可獲利多少元？(3)為了提高銷量，商場(chǎng)實(shí)施：“買足球送跳繩”的促銷活動(dòng)：“買1個(gè)A款足球送1根跳繩，買3個(gè)B款足球送2根跳繩”，每根跳繩的成本為10元，某日售賣兩款足球總計(jì)盈利600元（統(tǒng)計(jì)購(gòu)買B款足球的數(shù)量為3的倍數(shù)），那么該日銷售A、B兩款足球各多少個(gè)？【答案】(1)m的值為80，n的值為60(2)該商場(chǎng)可獲利1200元(3)該日銷售A款足球13個(gè)，B款足球9個(gè)或A款足球6個(gè)，B款足球18個(gè)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．（1）根據(jù)“購(gòu)進(jìn)10個(gè)A款足球和20個(gè)B款足球需2000元；購(gòu)進(jìn)20個(gè)A款足球和30個(gè)B款足球需3400元”，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，變形后可得出，再將其代入中即可求出結(jié)論；（3）設(shè)該日銷售A款足球a個(gè)，B款足球b個(gè)，利用總利潤(rùn)=每個(gè)足球的銷售利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為正整數(shù)，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）依題意得：，解得：．答：m的值為80，n的值為60．（2）依題意得：，∴，∴．答：該商場(chǎng)可獲利1200元．（3）設(shè)該日銷售A款足球a個(gè)，B款足球b個(gè)，依題意得：，又∵a，b均為正整數(shù)，b為3的倍數(shù)，∴或．答：該日銷售A款足球13個(gè)，B款足球9個(gè)或A款足球6個(gè)，B款足球18個(gè)．題型七：和差倍分問題14．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期末）某班舉行了演講活動(dòng)，班長(zhǎng)安排淇淇去購(gòu)買獎(jiǎng)品，下圖是淇淇與班長(zhǎng)的對(duì)話：請(qǐng)根據(jù)淇淇與班長(zhǎng)的對(duì)話，解答下列問題：(1)若找回55元錢，則淇淇買了兩種筆記本各多少本？(2)可能找回68元錢嗎？若能，求出此時(shí)買了兩種筆記本各多少本；若不能，說明理由．【答案】(1)淇淇買了5元的筆記本25本，8元的筆記本15本．(2)不能找回68元，理由見解析【分析】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)買x本5元的筆記本，則買本8元的筆記本，根據(jù)題意列方程求解即可；（2）設(shè)買y本5元的筆記本，則買本8元的筆記本，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)買x本5元的筆記本，則買本8元的筆記本，根據(jù)依題意，得，

解得，

則（本）．

答：淇淇買了5元的筆記本25本，8元的筆記本15本．（2）不能，理由如下；設(shè)買y本5元的筆記本，則買本8元的筆記本，根據(jù)題意，得，

解得，∵不是整數(shù)，∴不能找回68元．15．（22-23七年級(jí)下·河北滄州·期中）庚子鼠年，疫情肆慮，口罩成為生活必需品．甲、乙兩廠分別有4條和5條口罩生產(chǎn)線，兩廠計(jì)劃用3天時(shí)間趕制1000箱口罩支援疫情．若甲廠啟用1條乙廠啟用2條生產(chǎn)線，一天可以生產(chǎn)口罩112箱；若甲廠啟用2條乙廠啟用3條口罩生產(chǎn)線，一天可以生產(chǎn)口罩189箱．(1)甲、乙兩廠每條口罩生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量各是多少箱？(2)兩廠滿負(fù)荷生產(chǎn)，是否可以如期完成任務(wù)？【答案】(1)甲廠每條口罩生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量是42箱，乙廠每條口罩生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量是35箱(2)能如期完成任務(wù)【分析】（1）設(shè)甲、乙兩廠每條口罩生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量分別為箱和箱，根據(jù)甲廠啟用1條乙廠啟用2條生產(chǎn)線，一天可以生產(chǎn)口罩112箱；甲廠啟用2條乙廠啟用3條口罩生產(chǎn)線，一天可以生產(chǎn)口罩189箱，列出方程組進(jìn)行求解即可；（2）求出滿負(fù)荷生產(chǎn)時(shí)，3天能夠生產(chǎn)的總量，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩廠每條口罩生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量分別為箱和箱，則，解得；答：甲廠每條口罩生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量是42箱，乙廠每條口罩生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量是35箱．（2）∵，∴能如期完成任務(wù)．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程組．題型八：方案問題16．（23-24七年級(jí)下·重慶·期中）為實(shí)現(xiàn)“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略目標(biāo)，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)制定了“以產(chǎn)業(yè)帶動(dòng)發(fā)展”的策略，開發(fā)出了某新型農(nóng)產(chǎn)品，計(jì)劃租用，兩種型號(hào)的貨車將該農(nóng)產(chǎn)品運(yùn)往外地銷售，已知用1輛型車和2輛型車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)11噸；用2輛型車和1輛型車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)10噸．現(xiàn)有該農(nóng)產(chǎn)品31噸，計(jì)劃一次運(yùn)完，且每輛車都滿載．(1)1輛型貨車和1輛型貨車滿載時(shí)一次分別運(yùn)該農(nóng)產(chǎn)品多少噸？(2)若1輛型貨車需租金100元/次，1輛型貨車需租金120元/次，請(qǐng)問有幾種租車方案？并算出最少費(fèi)用？【答案】(1)1輛型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送3噸，1輛型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送4噸；(2)租用1輛型車，7輛型車最省錢．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)1輛型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送噸，1輛型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送噸，根據(jù)“用2輛型車和1輛型車載滿洋蔥一次可運(yùn)走10噸；用1輛型車和2輛型車載滿洋蔥一次可運(yùn)走11噸”，列出二元一次方程組，解之即可；（2）設(shè)租用型貨車輛，型貨車輛，根據(jù)一次運(yùn)送31噸該農(nóng)產(chǎn)品，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，解之，均為非負(fù)整數(shù)，即可得出各租車方案；【詳解】（1）解：設(shè)1輛型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送噸，1輛型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送噸，由題意可得：，解得：，答：1輛型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送3噸，1輛型貨車載滿該農(nóng)產(chǎn)品一次可運(yùn)送4噸．（2）解：設(shè)租用型貨車輛，型貨車輛，由題意可得：，，又，均為非負(fù)整數(shù)，或或，該物流公司共有3種租車方案，方案1：租用9輛型車，1輛型車，方案2：租用5輛型車，4輛型車，方案3：租用1輛型車，7輛型車，方案1的費(fèi)用：元，方案2的費(fèi)用：元，方案3的費(fèi)用：元，，方案3最省錢．題型九：表格或者圖示信息題17．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）元旦期間，若干名家長(zhǎng)和學(xué)生去某景區(qū)游玩．請(qǐng)根據(jù)景區(qū)票價(jià)公示欄中的信息及兩人的對(duì)話，解答下列問題：景區(qū)票價(jià)成人票：每張90元學(xué)生票：按成人票價(jià)5折優(yōu)惠團(tuán)體票：按成人票價(jià)8折優(yōu)惠（10張及以上）咱們一行9人，購(gòu)票需要多少元？我算了一下，家長(zhǎng)和學(xué)生分別購(gòu)買成人票和學(xué)生票共需630元．(1)求這次參加游玩的家長(zhǎng)和學(xué)生各多少人？(2)通過計(jì)算說明，如果家長(zhǎng)和學(xué)生一起購(gòu)買團(tuán)體票，能否比分別購(gòu)票更省錢？若省錢省多少？若不省錢，多花多少？【答案】(1)家長(zhǎng)5人，學(xué)生4人(2)家長(zhǎng)和學(xué)生一起購(gòu)買團(tuán)體票，不能比分別購(gòu)票更省錢，理由見解析【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用，（1）設(shè)游玩的家長(zhǎng)為x人，學(xué)生為y人，由題意列方程組，求出x，y即可；（2）求出團(tuán)體購(gòu)票需要花費(fèi)的錢數(shù)，然后求出團(tuán)體購(gòu)票需要花費(fèi)的錢數(shù)比家長(zhǎng)和學(xué)生分別購(gòu)買成人票和學(xué)生的錢數(shù)多多少即可．【詳解】（1）設(shè)參加游玩的家長(zhǎng)為x人，學(xué)生為y人，由題意列方程組得：，化簡(jiǎn)得：，得：，把代入①得：，∴，答：家長(zhǎng)5人，學(xué)生4人；（2）家長(zhǎng)和學(xué)生一起購(gòu)買團(tuán)體票，不能比分別購(gòu)票更省錢，理由如下：∵購(gòu)買團(tuán)體票需要買10張或10張以上，家長(zhǎng)和學(xué)生共9人，∴團(tuán)體購(gòu)票需要購(gòu)買10張，∴花費(fèi)的錢數(shù)為：（元），（元），∵如果家長(zhǎng)和學(xué)生一起購(gòu)買團(tuán)體票，費(fèi)用至少為720元，∵，∴家長(zhǎng)和學(xué)生一起購(gòu)買團(tuán)體票，不能比分別購(gòu)票更省錢，多花了90元．18．（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）某公司用甲、乙兩種貨車運(yùn)輸原料，兩次滿載的運(yùn)輸情況如表：甲種貨車/輛乙種貨車/輛總量（噸）第一次4531第二次3630(1)甲、乙兩種貨車滿載時(shí)每輛分別能運(yùn)輸原料多少噸？(2)該公司又新購(gòu)買45噸原料，準(zhǔn)備同時(shí)租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿，問有哪幾種租車方案？(3)在（2）的前提下，已知甲種貨車每輛租金為300元，乙種貨車每輛租金為200元，選擇哪種租車方案最省錢？【答案】(1)甲種貨車每輛能裝貨4噸，乙種貨車每輛能裝貨3噸；(2)共有3種租車方案，方案1：租用9輛甲種貨車，3輛乙種貨車；方案2：租用6輛甲種貨車，7輛乙種貨車；方案3：租用3輛甲種貨車，11輛乙種貨車．(3)方案3：租用3輛甲種貨車，11輛乙種貨車，所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是元．【分析】本題考查二元一次方程組和二元一次方程的應(yīng)用．讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，設(shè)甲種貨車每輛能裝貨x噸，乙種貨車每輛能裝貨y噸，然后列出方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)租用甲種貨車m輛，乙種貨車n輛，然后列出方程，根據(jù)m，n均為非負(fù)整數(shù)，解出m，n，即可得到租車的方案；（3）分別求出每個(gè)方案的費(fèi)用，然后進(jìn)行比較，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)甲種貨車每輛能裝貨x噸，乙種貨車每輛能裝貨y噸，依題意有：，解得：，答：甲種貨車每輛能裝貨4噸，乙種貨車每輛能裝貨3噸；（2）設(shè)租用甲種貨車m輛，乙種貨車n輛，依題意有：，∴．∵m，n均為正整數(shù)，∴或或，∴共有3種租車方案，方案1：租用9輛甲種貨車，3輛乙種貨車；方案2：租用6輛甲種貨車，7輛乙種貨車；方案3：租用3輛甲種貨車，11輛乙種貨車．（3）方案1所需費(fèi)用：（元）；方案2所需費(fèi)用：（元）；方案3所需費(fèi)用：（元）．∵，∴方案3所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是元．題型十：古代問題19．（22-23七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）今年“五一”期間，桐柏水簾洞火爆桐柏，打卡次數(shù)之多，位居桐柏首位，實(shí)現(xiàn)了416萬(wàn)左右的收入．某游客購(gòu)買了三種桐柏特色商品，因不小心污染了相關(guān)信息，導(dǎo)致部分信息無(wú)法識(shí)別，根據(jù)下表解決問題：商品名稱單價(jià)（元）數(shù)量（袋/件）金額（元）桐柏山板栗15桐柏豆筋40樂神康a290合計(jì)5185(1)某游客購(gòu)?fù)┌厣桨謇酰┌囟菇罡鲙状?2)某游客再次購(gòu)買3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱樂神康共多少錢？【答案】(1)購(gòu)買桐柏山板栗1袋，購(gòu)買桐柏豆筋2袋(2)游客再次購(gòu)買3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱樂神康共340元【分析】（1）設(shè)購(gòu)買桐柏山板栗袋，購(gòu)買桐柏豆筋袋，根據(jù)題意聯(lián)立二元一次方程組并解方程組即可求解．（2）利用，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)買桐柏山板栗袋，購(gòu)買桐柏豆筋袋，由題意得：，解得：，答：購(gòu)買桐柏山板栗1袋，購(gòu)買桐柏豆筋2袋．（2）（元），答：游客再次購(gòu)買3袋桐柏山板栗，4袋桐柏豆筋和3箱樂神康共340元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理清題意，根據(jù)等量關(guān)系列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．20．（2024七年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）《孫子算經(jīng)》是唐初作為“算學(xué)”教科書的著名的《算經(jīng)十書》之一，共三卷，上卷敘述算籌記數(shù)的制度和乘除法則，中卷舉例說明籌算分?jǐn)?shù)法和開平方法，都是了解中國(guó)古代籌算的重要資料．下卷收集了一些算術(shù)難題，“雞兔同籠”問題是其中之一．原題如下：令有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雉、兔各幾何？【答案】雞有23只，兔有12只【分析】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用；根據(jù)總頭數(shù)和總腳數(shù)得到兩個(gè)等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．設(shè)雞有只，兔有只，根據(jù)：雞的頭數(shù)兔的頭數(shù)；雞的頭數(shù)兔的頭數(shù)，列出二元一次方程組，解方程組即可得出答案．【詳解】解：設(shè)雞有只，兔有只，由題意得：，解得．答：雞有23只，兔有12只．題型十一：年齡問題21．（22-23七年級(jí)下·江蘇南通·期末）我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個(gè)問題：(1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？(2)某商人準(zhǔn)備用兩銀子買牛和羊要求既有羊又有牛，且銀兩須全部用完，且羊的數(shù)量不少于牛數(shù)量的倍，請(qǐng)問商人有幾種購(gòu)買方法？列出所有的可能．【答案】(1)每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子(2)購(gòu)買頭牛，只羊；購(gòu)買頭牛，只羊．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確列出二元一次方程．（1）設(shè)每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，根據(jù)“頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買頭牛，只羊，根據(jù)某商人準(zhǔn)備用兩銀子買牛和羊，列出二元一次方程，再根據(jù)羊的數(shù)量不少于牛數(shù)量的倍，得，然后求出滿足條件的正整數(shù)解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，依題意得：，解得：，答：每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子；（2）設(shè)購(gòu)買頭牛，只羊，依題意得：，整理得：，、均為正整數(shù)，為的倍數(shù)，羊的數(shù)量不少于牛數(shù)量的倍，，或，商人有種購(gòu)買方法：購(gòu)買頭牛，只羊；購(gòu)買頭牛，只羊．22．（21-22七年級(jí)下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請(qǐng)問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？【答案】(1)爸爸36歲，爺爺76歲(2)爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子【分析】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲，根據(jù)“爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40”列出二元一次方程組求解即可．（2）用現(xiàn)在年份減去年齡加15即可得到答案．【詳解】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲．．解得：答：今年小明的爸爸36歲，爺爺76歲；（2）（年）（年）小明的爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子．題型十二：幾何問題23．（2022八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）根據(jù)小頭爸爸與大頭兒子的對(duì)話，求出大頭兒子現(xiàn)在的年齡．小頭爸爸：兒子，現(xiàn)在我的年齡比你大23歲．大頭兒子：5年后，您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲．【答案】大頭兒子現(xiàn)在的年齡為10歲【分析】設(shè)大頭兒子現(xiàn)在的年齡是x歲，爸爸的年齡是y歲，根據(jù)題意列出二元一次方程組解得即可．【詳解】解：設(shè)大頭兒子現(xiàn)在的年齡是x歲，爸爸的年齡是y歲，由題意得：，解得：，答：大頭兒子現(xiàn)在的年齡為10歲．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出二元一次方程組．24．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長(zhǎng)方形墻磚砌成．(1)求一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)和寬；(2)求該電視背景墻的面積．【答案】(1)長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為，寬為(2)【分析】（1）設(shè)長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為x米，寬為y米，根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)列出方程組，解方程組即可得出答案；（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式即可得出答案．此題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，根據(jù)長(zhǎng)方形的兩組對(duì)邊分別相等列出方程組是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）設(shè)長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為x米，寬為y米，由題意得：，解得答：長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為，寬為；（2）答：電視墻的面積是．25．（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）如圖1，一張正方形紙板可以裁成甲、乙2種長(zhǎng)方形紙板，分別用4個(gè)甲、乙紙板可以拼成圖2、圖3所示的中間有方孔的正方形框架．已知圖2、圖3中框架的內(nèi)正方形方孔的周長(zhǎng)之比為，且圖3中正方形框架的外圍邊長(zhǎng)為36厘米．求圖1中原正方形紙板的面積．【答案】【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)甲紙板的寬為厘米，乙紙板的寬為厘米，根據(jù)圖形找準(zhǔn)等量列方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)甲紙板的寬為厘米，乙紙板的寬為厘米，則由題意得，解得，原正方形紙板的邊長(zhǎng)為（厘米），面積為（平方厘米）．答：圖1中原正方形紙板的面積為平方厘米．一、單選題26．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中記載：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買東西，每人出8錢，會(huì)多3錢，每人出7錢，又會(huì)差4錢，問人數(shù)、物價(jià)各是多少？設(shè)合伙人有x人，物價(jià)為y錢，則可列方程組為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)合伙人有x人，物價(jià)為y錢，根據(jù)“每人出8錢，會(huì)多3錢，每人出7錢，又會(huì)差4錢”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：依題意得：．故選：A．27．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）某學(xué)?，F(xiàn)有甲種材料，乙種材料，制作A，B兩種型號(hào)的工藝品，用料情況如下表：需甲種材料需乙種材料1件A型工藝品1件B型工藝品(1)利用這些材料能制作A，B兩種型號(hào)的工藝品各多少件？(2)若每千克甲、乙兩種材料分別為8元和10元，問：制作A，B兩種型號(hào)的工藝品各需材料費(fèi)多少錢？【答案】(1)制作A種型號(hào)的工藝品30件，B種型號(hào)的工藝品20件(2)306元，264元【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，另外還涉及有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用；（1）設(shè)利用這些材料能制作A種型號(hào)的工藝品x件，B種型號(hào)的工藝品y件，根據(jù)等量關(guān)系：兩種工藝品所需甲種材料為，兩種工藝品所需乙種材料為，列出二元一次方程組，并求解即可；（2）分別計(jì)算出制作1件兩種型號(hào)的工藝品需要的費(fèi)用，則可計(jì)算出制作A，B兩種型號(hào)的工藝品各需材料費(fèi)．【詳解】（1）解：設(shè)利用這些材料能制作A種型號(hào)的工藝品x件，B種型號(hào)的工藝品y件，由題意，得，解得；答：利用這些材料能制作A種型號(hào)的工藝品30件，B種型號(hào)的工藝品20件．（2）解：制作1件A種型號(hào)的工藝品需要（元），則制作A種型號(hào)的工藝品需材料費(fèi)（元）；制作1件B種型號(hào)的工藝品需要（元），則制作B種型號(hào)的工藝品需材料費(fèi)（元）．答：制作A，B兩種型號(hào)的工藝品各需材料費(fèi)306元，264元．28．（23-24七年級(jí)下·浙江·期中）某校組織七年級(jí)350名學(xué)生去研學(xué)，已知1輛A型車和2輛B型車可以載學(xué)生110人；3輛A型車和1輛B型車可以載學(xué)生130人．(1)A型、B型車每輛可分別載學(xué)生多少人？(2)若租一輛型車需要1000元，一輛型車需1200元，請(qǐng)你設(shè)計(jì)租車方案，使得恰好送完學(xué)生，并且租車費(fèi)用最少？【答案】(1)型車每輛載學(xué)生30人，型車每輛載學(xué)生40人(2)租用1輛型8輛型車花費(fèi)最少，為10600元【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組．（1）設(shè)型車每輛載學(xué)生人，型車每輛載學(xué)生人，根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）設(shè)租用型輛，型輛，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)型車每輛載學(xué)生人，型車每輛載學(xué)生人，可得：解得：，答：型車每輛載學(xué)生30人，型車每輛載學(xué)生40人．（2）解：設(shè)租用型輛，型輛，可得：，因?yàn)椋瑸檎麛?shù)，所以方程的解為：，，方案一：型1輛，型8輛，費(fèi)用：元；方案二：型5輛，型5輛，費(fèi)用：元；方案三：型9輛，型2輛，費(fèi)用：元；所以租用1輛型8輛型車花費(fèi)最少，為10600元．29．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·階段練習(xí)）已知：用3輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨17噸；用2輛型車和3輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨18噸．某物流公司現(xiàn)有35噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用型車輛，型車輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛型車和1輛型車都載滿貨物一次分別可運(yùn)貨多少噸?(2)該物流公司有哪幾種租車方案?(3)若型車每輛需租金200元/次；型車每輛需租金250元/次，請(qǐng)選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．【答案】(1)1輛型車和1輛型車都載滿貨物一次分別可運(yùn)貨3噸、4噸(2)該物流公司有三種租車方案：型車1輛、型車8輛或型車5輛、型車5輛或型車9輛、型車2輛；(3)租型車1輛、型車8輛最省錢，最少租車費(fèi)為2200元【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程、有理數(shù)的四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵．（1）設(shè)1輛型車和1輛型車都載滿貨物一次分別可運(yùn)貨x噸，y噸，根據(jù)題意列出方程組并正確求解即可；（2）根據(jù)題意，得，根據(jù)a、b為正整數(shù)求解出a、b值即可；（3）分別求得（2）中每個(gè)方案的租車費(fèi)用，然后比較大小即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)1輛型車和1輛型車都載滿貨物一次分別可運(yùn)貨x噸，y噸，根據(jù)題意，得，解得，答：1輛型車和1輛型車都載滿貨物一次分別可運(yùn)貨3噸、4噸；（2）解：由題意，，∵a、b為正整數(shù)，∴或或，故該物流公司有三種租車方案：型車1輛、型車8輛或型車5輛、型車5輛或型車9輛、型車2輛；（3）解：當(dāng)租型車1輛、型車8輛時(shí)，租車費(fèi)用為（元），當(dāng)租型車5輛、型車5輛時(shí)，租車費(fèi)用為（元），當(dāng)租型車9輛、型車2輛時(shí)（元）∵，∴租型車1輛、型車8輛最省錢，最少租車費(fèi)為2200元．30．（23-24七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，鹽城市居民生活用水按階梯式水價(jià)計(jì)費(fèi)．下表是鹽城市居民“一戶一表”生活用水階梯式計(jì)費(fèi)價(jià)格表的一部分信息：用戶每月用水量自來水單價(jià)（元/噸）污水處理費(fèi)用（元/噸）17噸及以下a超過17噸不超過30噸的部分b超過30噸的部分（說明：①每戶產(chǎn)生的污水量等于該戶的用水量，②水費(fèi)自來水費(fèi)污水處理費(fèi)）已知小明家2015年2月份用水20噸，交水費(fèi)66元；3月份用水35噸，交水費(fèi)150元．(1)求a、b的值．(2)實(shí)行“階梯水價(jià)”收費(fèi)之后，該市一戶居民用水多少噸時(shí)，其當(dāng)月的平均水費(fèi)為每噸元？【答案】(1)(2)該市一戶居民用水20噸時(shí)，其當(dāng)月的平均水費(fèi)為每噸元【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)所給的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合用水20噸，交水費(fèi)66元；用水35噸，交水費(fèi)150元，列出方程組求解即可；（2）設(shè)居民用水位x噸，根據(jù)（1）所求，分三種情況列出對(duì)應(yīng)的方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，解得；（2）解：設(shè)居民用水位x噸，當(dāng)時(shí)，由題意得，，解得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意得，，解得；當(dāng)時(shí)，由題意得，，解得，不符合題意；綜上所述，該市一戶居民用水20噸時(shí)，其當(dāng)月的平均水費(fèi)為每噸元．一、單選題31．（2024七年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形中放置9個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形，與的差為2，小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14，則圖中陰影部分的面積為（）A．26 B．25 C．24 D．23【答案】A【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)“與的差為2，小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14”，可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之可得出，的值，再利用圖中陰影部分的面積大長(zhǎng)方形的面積小長(zhǎng)方形的面積，即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，根據(jù)題意得：，解得：，∴圖中陰影部分的面積，故選：A．32．（2024·湖北襄陽(yáng)·一模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一題，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器—小器五容二斛，問大小器各容幾何？”意思是：有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斜斛（斛，音hú，是古代的一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛；問：1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？若設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒x斛，1個(gè)小桶可以盛酒y斛，則列方程組是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組若設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒斛，1個(gè)小桶可以盛酒斛，根據(jù)“5個(gè)大桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛，1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2斛”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒斛，1個(gè)小桶可以盛酒斛，則列方程組是，故選：B．33．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）現(xiàn)用95張紙板制作一批盒子，每張紙板可做4個(gè)盒身或做11個(gè)盒底，而一個(gè)盒身和兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整的盒子．問用多少?gòu)埣埌逯坪猩?、多少?gòu)埣埌逯坪械祝梢允购猩砗秃械渍门涮?，設(shè)用x張紙板做盒身，y張紙板做盒底，可以使盒身與盒底正好配套，則可列方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組，根據(jù)“制作盒身和制作盒底的紙板共95張，每張紙板可做4個(gè)盒身或做11個(gè)盒底，且一個(gè)盒身和兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整的盒子（即制作的盒底的總數(shù)量是制作盒身總數(shù)量的2倍）”，即可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：∵制作盒身和制作盒底的紙板共95張，∴；∵每張紙板可做4個(gè)盒身或做11個(gè)盒底，且一個(gè)盒身和兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整的盒子，∴．∴根據(jù)題意可列方程組．故選：D．二、填空題34．（2024·陜西西安·一模）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫的三個(gè)數(shù)之外的每一個(gè)方格中，填入一個(gè)數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，很快就完成了這個(gè)游戲，則m的值為．【答案】9【分析】本題考查了九宮格的知識(shí)，根據(jù)九宮格每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等的規(guī)律，觀察九宮格中數(shù)的排列特征建立方程是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)九宮格中最中間的數(shù)為x，由于第3列中間數(shù)與第2行的最右邊的數(shù)重合，建立方程，求得x，設(shè)第1列最下面的數(shù)為y，第2行最右邊數(shù)為z，由第1列與其中一條對(duì)角線的數(shù)之和相等得：，再由最后一列和另一條對(duì)角線的數(shù)之和相等得：，最后解方程組，然后再計(jì)算m值．【詳解】解：設(shè)九宮格中最中間的數(shù)為x，∵第3列中間數(shù)與第2行的最右邊的數(shù)重合，∴解得：．設(shè)第1列最下面的數(shù)為y，第2行最右邊數(shù)為z，則由題意得：，解得：，∴．故答案為：9．35．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中有這樣一個(gè)問題：若2人坐一輛車，則9人需要步行，若“……”．問：人與車各多少？小明同學(xué)設(shè)有x輛車，人數(shù)為y，根據(jù)題意可列方程組為，根據(jù)已有信息，題中用“……”表示的缺失條件應(yīng)補(bǔ)為，．【答案】三人坐一輛車，則有兩輛空車【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵；根據(jù)列出的方程，來反推題目條件即可求解．【詳解】解：∵小明同學(xué)設(shè)有輛車，人數(shù)為，第二個(gè)方程右邊是，說明車有兩輛是空的，坐滿人的車是輛，說明每輛車坐3人；故補(bǔ)充的條件為：三人坐一輛車，則有兩輛空車；根據(jù)題意有：，解得，，故答案是：三人坐一輛車，則有兩輛空車，．36．（23-24七年級(jí)下·四川眉山·階段練習(xí)）2023年杭州亞運(yùn)會(huì)期間，吉祥物琮琮、宸宸、蓮蓮因其靈動(dòng)可愛的形象受到了大家的喜愛．為了提高銷量，某店家推出了吉祥物套裝禮盒，一個(gè)套裝禮盒里包含1個(gè)吉祥物宸宸玩偶和2個(gè)其他吉祥物的鑰匙扣．已知一個(gè)玩偶的進(jìn)價(jià)為60元，一個(gè)鑰匙扣的進(jìn)價(jià)為20元，該店家計(jì)劃用5000元購(gòu)進(jìn)一批玩偶和鑰匙扣，使得剛好配套，設(shè)購(gòu)進(jìn)x個(gè)玩偶，y個(gè)鑰匙扣，根據(jù)題意列方程組．【答案】【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合購(gòu)進(jìn)玩偶和鑰匙扣數(shù)量間的關(guān)系，即可列出關(guān)于，的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：一個(gè)套裝禮盒里包含1個(gè)吉祥物宸宸玩偶和2個(gè)其他吉祥物的鑰匙扣，購(gòu)進(jìn)鑰匙扣的數(shù)量是購(gòu)進(jìn)宸宸玩偶數(shù)量的2倍，；一個(gè)玩偶的進(jìn)價(jià)為60元，一個(gè)鑰匙扣的進(jìn)價(jià)為20元，且店家共花費(fèi)5000元，．根據(jù)題意可列出方程組．故答案為：．37．（2024·湖北·一模）明代數(shù)學(xué)家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托，折回索子來量竿，卻比竿子短一托．”譯文為：“有一根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長(zhǎng)5尺；若將繩對(duì)折后再去量竿，則繩比竿短5尺，那么繩索長(zhǎng)尺，竿長(zhǎng)尺．（注：“托”和“尺”為古代的長(zhǎng)度單位，1托=5尺）【答案】2015【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，由題意：繩索長(zhǎng)=竿長(zhǎng)+5尺，竿長(zhǎng)=繩索長(zhǎng)的一半+5尺，列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，由題意得：，解得：，即繩索長(zhǎng)20尺，竿長(zhǎng)15尺，故答案為：20，15．三、解答題38．（2024七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知用2輛型車和1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨；用1輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨．某物流公司現(xiàn)有貨物，計(jì)劃同時(shí)租用型車輛，型車輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛型車和1輛車型車都載滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？(2)請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案；(3)若型車每輛需租金100元/次，型車每輛需租金120元/次．請(qǐng)選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．【答案】(1)1輛A型車載滿貨物一次可運(yùn)輛B型車載滿貨物一次可運(yùn)(2)見解析(3)租A型車1輛，B型車7輛，最少租車費(fèi)為940元【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)每輛A型車、B型車都載滿貨物一次可以分別運(yùn)貨噸、噸，根據(jù)用2輛型車和1輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨；用1輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運(yùn)貨列出方程求解即可；（2）根據(jù)（1）所求可得，求出次方程的整數(shù)解即可得到答案；（3）根據(jù)（2）所求，分別計(jì)算出三種方案的運(yùn)費(fèi)即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)每輛A型車、B型車都載滿貨物一次可以分別運(yùn)貨噸、噸，依題意，得解得答：1輛A型車載滿貨物一次可運(yùn)