考研數(shù)學(xué)三（中值定理與一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用）模擬試卷1（共101題）

考研數(shù)學(xué)三（中值定理與一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用）模擬試卷1（共4套）（共101題）考研數(shù)學(xué)三（中值定理與一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)，則在x=a處()．A、f(x)在x=a處可導(dǎo)且f’(a)≠0B、f(a)為f(x)的極大值C、f(a)不是f(x)的極值D、f(x)在x=a處不可導(dǎo)標準答案：B知識點解析：由，根據(jù)極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜x-a｜＜δ時，有，從而有f(x)＜f(a)，于是f(a)為f(x)的極大值，選B．2、設(shè)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo)，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△y=f(x+△x)-f(x)，其中△x＜0，則()．A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0標準答案：D知識點解析：根據(jù)微分中值定理，△y=f(x+△x)-f(x)=f’(ξ)△x＜0(x+△x＜ξ＜x)，dy=f’(x)△x＜0，因為f’’(x)＞0，所以f’(x)單調(diào)增加，而ξ＜x，所以f’(ξ)＜f’(x)，于是f’(ξ)△x＞f’(x)△x，即dy＜△y＜0，選D．3、f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，f’’(x)＜0，=1，則f(x)在(-∞，0)內(nèi)()．A、單調(diào)增加且大于零B、單調(diào)增加且小于零C、單調(diào)減少且大于零D、單調(diào)減少且小于零標準答案：B知識點解析：由=1，得f(0)=0，f’(0)=1，因為f’’(x)＜0，所以f’(x)單調(diào)減少，在(-∞，0)內(nèi)f’(x)＞f’(0)=1＞0，故f(x)在(-∞，0)內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，再由f(0)=0，在(-∞，0)內(nèi)f(x)＜f(0)=0，選B．4、設(shè)f(x)在(-∞，+∞)上有定義，x0≠0為函數(shù)f(x)的極大值點，則()．A、x0為f(x)的駐點B、-x0為-f(-x)的極小值點C、-x0為-f(x)的極小值點D、對一切的x有f(x)≤f(x0)標準答案：B知識點解析：因為y=f(-x)的圖像與y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，所以-x0為f(-x)的極大值點，從而-x0為-f(-x)的極小值點，選B．5、設(shè)f(x)，g(x)(a＜x＜b)為大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f’(x)g(x)-f(x)g’(x)＜0，則當a＜x＜b時，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)標準答案：A知識點解析：由f’(x)g(x)-f(x)g’(x)＜0得，從而為單調(diào)減函數(shù)，由a＜x＜b得，故f(x)g(b)＞f(b)g(x)，選A．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、設(shè)f’’(x)＞0，且f(0)=0，則2f(1)與f(2)的大小關(guān)系是______．標準答案：2f(1)＜f(2)知識點解析：由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得f(1)-f(0)-f’(ξ1)(1-0)=f’(ξ1)，f(2)-f(1)-f’(ξ2)(2-1)=f’(ξ2)，因為f’’(x)＞0，所以f’(x)單調(diào)遞增，又因為ξ1＜ξ2，所以f(1)-f(0)＜f(2)-f(1)，再由f(0)=0得2f(1)＜f(2)．7、函數(shù)f(x)=xe-2x的最大值為______．標準答案：知識點解析：令f’(x)=(1-2x)e-2x=0得x=當x＜時，f’(x)＞0；當x＞時，f’(x)＜0，則x=為f(x)的最大值點，最大值為8、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，且，則x=0時函數(shù)f(x)取_________值．標準答案：最小值知識點解析：由得f(0)=2，f’(0)=0，再由得f’’(0)=4＞0，故x=0時函數(shù)f(x)取極小值．9、設(shè)f(x)一階可導(dǎo)，且f(0)=f’(0)=1，則=_______.標準答案：2知識點解析：10、設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且f’(-1)=2，則=______.標準答案：-8知識點解析：因為f(x)為偶函數(shù)，所以f’(x)為奇函數(shù)，于是f’(1)=2，11、設(shè)x＞0，且=_______.標準答案：知識點解析：由則三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)12、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=0，證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0．標準答案：令φ(x)=f(x)sinx，φ(0)=φ(1)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f’(x)sinx+f(x)cosx，故存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0．知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=ξf’(ξ)ln標準答案：令g(x)=lnx，g’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得，整理得f(b)-f(a)=ξf’(ξ)ln知識點解析：暫無解析14、設(shè)y=，求y(5)(0)．標準答案：sinx=x-+o(x5)=x-+o(x5)，=1-x2+x4+o(x5)，y=x5+o(x5)=x-x5+o(x5)，由，得y(5)(0)=141．知識點解析：暫無解析15、證明：曲線上任一點處切線的橫截距與縱截距之和為2．標準答案：對兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得切線方程為令Y=0得X=x+；令X=0得Y=y+則X+Y=x+=2．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標準答案：令φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna，φ(a)=φ(b)=f(b)lna．由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=f(x)-f’(x)lnx+f’(z)lna，所以[f(b)-f(ξ)]-f’(ξ)(lnξ-lna)=0，即=ξf’(ξ)．知識點解析：由f(x)-f’(x)lnx+f’(x)lna=0，或[f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna]’=0，得輔助函數(shù)為φ(x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna．17、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)，證明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．標準答案：存在ξ∈，使得因為f(0)=f(1)，所以f’(ξ)=f’(η)，即f’(ξ)+f’(η)=0．知識點解析：暫無解析18、(1)設(shè)f(x)在[0，2]上可導(dǎo)，且｜f’(x)｜≤M，又f(x)在(0，2)內(nèi)至少有一個零點，證明：｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M．(2)設(shè)f(x)在[s，b]上二階可導(dǎo)，｜f’’(x)｜≤M，又f(x)在(a，b)內(nèi)能取到最小值，證明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤M(b-a)．標準答案：(1)由題意，存在c∈(0，2)，使得f(c)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，2)，使得f(c)-f(0)=f’(ξ1)c，f(2)-f(c)=f’(ξ2)(2-c)，于是｜f(0)｜=｜f’(ξ1)｜c≤Mc，｜f(2)｜=｜f’(ξ2)｜(2-c)≤M(2-c)，故｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M．(2)由題意，存在c∈(a，b)，使得f(c)為最小值，從而f’(c)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得f’(c)-f’(a)-f’’(ξ1)(c-a)，f’(b)-f’(c)=f’’(ξ2)(b-c)，于是｜f’(a)｜=｜f’’(ξ1)｜(c-a)≤M(c-a)，｜f’(b)｜=｜f’’(ξ2)｜(b-c)≤M(b-c)，故｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤M(b-a)．知識點解析：暫無解析19、證明不等式：xarctanx≥ln(1+x2)．標準答案：令f(x)=xarctanx-ln(1+x2)，f(0)=0．由f’(x)==arctanx=0，得x=0，因為f’’(x)=＞0，所以x=0為f(x)的極小值點，也為最小值點，而f(0)=0，故對一切的x，有f(x)≥0，即xarctanx≥ln(1+x2)．知識點解析：暫無解析20、證明：標準答案：令f(x)=1+xln，f(0)=0．f’(x)=，f’(0)=0．f’’(x)=＞0．由則x=0為f(x)的最小值點，而最小值為f(0)=0，故f(x)≥0，即知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)=，討論f(x)的單調(diào)性、凹凸性、拐點、水平漸近線．標準答案：因為f’(x)=＞0，所以f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)增加．因為f’’(x)=，當x＜0時，f’’(x)＞0；當x＞0時，f’’(x)＜0，則y=f(x)在(-∞，0)的圖形是凹的，在(0，+∞)內(nèi)是凸的，(0，0)為y=f(x)的拐點．因為f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．由為曲線y=f(x)的兩條水平漸近線．知識點解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)≠0，證明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得標準答案：令F(x)=lnx，F(xiàn)’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得由拉格朗日中值定理得ln2-1nl=.(2-1)=，其中η∈(1，2)，f(2)-f(1)=f’(ζ)(2-1)=f’(ζ)，其中ζ∈(1，2)，故知識點解析：暫無解析23、當0＜x＜時，證明：＜sinx＜x．標準答案：令f(x)=x-sinx，f(0)=0，f’(x)=1-cosx＞0(0＜x＜)，由即當0＜x＜時，sinx＜x令g(x)=sinx-，g(0)==0．由g’’(x)=-sinx＜0(0＜x＜)得g(x)在內(nèi)為凸函數(shù)，由得g(x)＞0(0＜x＜)，即當0＜x＜＜sinx，故當0＜x＜＜sinx＜x．知識點解析：暫無解析24、求y=f(x)=的漸近線．標準答案：因為f(x)=∞，所以y=f(x)沒有水平漸近線，由f(x)=-∞得x=0為鉛直漸近線，由=f(x)=∞得x=2為鉛直漸近線，由=1．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，f(1)=1，且，證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)-2f(ξ)+2=0．標準答案：由=1得f(0)=0，f’(0)=1，由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)==1．令φ(x)=e-2x[f’(x)-1]，由f’(0)=f’(c)-1得φ(0)=φ(c)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=-2e-2x[f’(x)-1]+e-2xf’’(x)=e-2x[f’’(x)-2f’(x)+2]，因為e-2x≠0，所以f’’(ξ)-2f’(ξ)+2=0．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（中值定理與一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，f(0)=1，且，則f(x)在x=0處()．A、可導(dǎo)，且f’(0)=0B、可導(dǎo)，且f’(0)=-1C、可導(dǎo)，且f’(0)=2D、不可導(dǎo)標準答案：B知識點解析：而所以，選B．2、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，f’(0)=0，且，則()．A、x=0為f(x)的極大值點B、x=0為f(x)的極小值點C、(0，f(0))為y=f(x)的拐點D、x=0不是f(x)的極值點，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐點．標準答案：A知識點解析：因為=-1＜0，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，＜0．注意到x3=o(x)，所以當0＜｜x｜＜δ時f’’(x)＜0，從而f’(x)在(-δ，δ)內(nèi)單調(diào)遞減，再由f’(0)=0，得故x=0為f(x)的極大值點，選A．3、設(shè)f(x)可導(dǎo)，則當△x→0時，△y-dy是△x的()．A、高階無窮小B、等價無窮小C、同階無窮小D、低階無窮小標準答案：A知識點解析：因為f(x)可導(dǎo)，所以f(x)可微分，即△y=dy+o(△x)，所以△y-dy是△x的高階無窮小，選A．4、設(shè)曲線y=x2+ax+b與曲線2y=xy3-1在點(1，-1)處切線相同，則()．A、a=1，b=1B、a=-1，b=-1C、a=2，b=1D、a=-2，b=-1標準答案：B知識點解析：由y=x2+ax+b得y’=2x+a，2y=xy3-1兩邊對x求導(dǎo)得2y’=y3+3xy2y’，解得因為兩曲線在點(1，-1)處切線相同，所以選B．5、當x∈[0，1]時，f’’(x)＞0，則f’(0)，f’(1)，f(1)-f(0)的大小次序為()．A、f’(0)＞f(1)-f(0)＞f’(1)B、f’(0)＜f’(1)＜f(1)-f(0)C、f’(0)＞f’(1)＞f(1)-f(0)D、f’(0)＜f(1)-f(0)＜f’(1)標準答案：D知識點解析：由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f’(c)(0＜c＜1)，因為f’’(x)＞0，所以f’(x)單調(diào)增加，故f’(0)＜f’(c)＜f’(1)，即f’(0)＜f(1)-f(0)＜f’(1)，選D.二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)6、=________.標準答案：1知識點解析：令f(x)=sinx，f’(x)=cosx，則其中則7、的最大項為_______．標準答案：知識點解析：令f(x)=由f’(x)==0得x=e，當0＜x＜e時，f’(x)＞0；當x＞e時，f’(x)＜0，x=e時函數(shù)f(x)取最大值，從而的最大項為由8、設(shè)周期為4的函數(shù)f(x)處處可導(dǎo)，且，則曲線y=f(x)在(-3，f(-3))處的切線為______．標準答案：y=-2x-4知識點解析：由得f(1)=2，再由得f’(1)=-2，又f(-3)=f(-4+1)=f(1)=2，f’(-3)=f’(-4+1)=f’(1)=-2，故曲線y=f(x)在點(-3，f(-3))處的切線為y-2=2(x+3)，即y=-2x-4．9、曲線的斜漸近線為______．標準答案：y=x+3知識點解析：則斜漸近線為y=x+3．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)10、設(shè)f(x)三階可導(dǎo)，，證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’’(ξ)=0．標準答案：由得f(0)=1，f’(0)=0；由得f(1)=1，f’(1)=0．因為f(0)=f(1)=1，所以由羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0．由f’(0)=f’(c)=f’(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得f’’(ξ1)=f’’(ξ2)=0，再根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，1)，使得f’’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析11、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，=1，f(1)=1，證明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)-f’(ξ)+1=0．標準答案：由得f(0)=0，f’(0)=1，由拉格朗日中值定理，存在c∈(0，1)，使得令φ(x)=e-x[f’(x)-1]，φ(0)=φ(c)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f’’(x)-f’(x)+1]且e-x≠0，故f’’(ξ)-f’(ξ)+1=0．知識點解析：暫無解析12、設(shè)ex-是關(guān)于x的3階無窮小，求a，b．標準答案：ex=1+x++o(x3)，=1-bx+b2x2-b3x3+o(x3)，=(1+ax)[1-bx+b2x2-b3x3+o(x3)]=1+(a-b)x+b(-ba)x2-b2(b-a)x3+o(x3)，e-=(1-a+b)x+(+ab-b2)x2+(+b2-ab2)x2+o(x3)，由題意得1-a+b=0，+ab-b2=0且+b2-ab2≠0，解得a=知識點解析：暫無解析13、證明：當x＞0時，ex-1＞(1+x)ln(1+x)．標準答案：令f(x)=ex-1-(1+x)ln(1+x)，f(0)=0，f’(x)=ex-ln(1+x)-1，f’(0)=0；f’’(x)=ex-＞0(x＞0)，由f’’(x)＞0(x＞0)得f’(x)＞f’(0)=0(x＞0)，再由f’(x)＞0(x＞0)得f(x)＞f(0)=0(x＞0)，即ex-1＞(1+x)ln(1+x)．知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+2f(ξ)=0．標準答案：令φ(x)=e2xf(x)，由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e2x[f’(x)+2f(x)]且e2x≠0，故f’(ξ)+2f(ξ)=0．知識點解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標準答案：令φ(x)=f(x)∫xbg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，φ(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且φ’(x)=[f’(x)∫xbg(f)dt-df(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt]=f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt，因為φ(a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以區(qū)間(a，b)內(nèi)必有g(shù)(x)＞0，從而就有∫xbg(t)dt＞0，于是有知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)f(b)＞0，證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)．標準答案：不妨設(shè)f(a)＞0，f(b)＞0，＜0，令φ(x)=e-xf(x)，則φ’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]．因為φ(a)＞0，＜0，φ(b)＞0，所以存在ξ1∈使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，即e-ξ[f’(ξ)-f(ξ)]=0，因為e-ξ≠0，所以f’(ξ)=f(ξ)．知識點解析：暫無解析17、設(shè)b＞a＞0，證明：標準答案：等價于b(lnb-lna)>b-a，令φ1(x)=x(lnx-lna)-(x-a)，φ1(a)=0，φ’1(x)=lnx-lna＞0(x＞a)．由得φ1(x)＞0(x＞a)，而b＞a，所以φ2(b)＞0，從而，同理可證知識點解析：暫無解析18、證明：當x＞0時，x2＞(1+x)ln2(1+x)．標準答案：令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f’(0)=0；f’’(x)=(x＞0)，由得f’(x)＞0(x＞0)；由得f(x)＞0(x＞0)，即x2＞(1+x)ln2(1+x)(x＞0)．知識點解析：暫無解析19、證明：當0＜x＜1時，e-2x＞標準答案：e-2x＞等價于-2x＞ln(1-x)-ln(1+x)，令f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-2x，則f(0)=0，f’(x)=(0＜x＜1)，由得f(x)＞0(0＜x＜1)，故當0＜x＜1時，e-2x＞知識點解析：暫無解析20、設(shè)k＞0，討論常數(shù)k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定義域內(nèi)沒有零點、有一個零點及兩個零點．標準答案：f(x)的定義域為(0，+∞)，f(x)=k，f(x)=+∞．由f’(x)=lnx+1=0，得駐點為x=，由f’’(x)=＞0，得x=為f(x)的極小值點，也為最小值點，最小值為(1)當k＞時，函數(shù)f(x)在(0，+oo)內(nèi)沒有零點；(2)當k=時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)有唯一零點x=(3)當0＜k＜時，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)有兩個零點，分別位于與內(nèi)．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf’(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1)．標準答案：令則φ(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(1)=φ(2)=f(2)-f(1)，由羅爾定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ’(ξ)=0，而故ξf’(ξ)-f(ξ)=f(2)-2f(1)．知識點解析：暫無解析22、證明：當0＜x＜1，標準答案：等價于(1+x)ln(1+x)＞令f(x)=(1+x)ln(1+x)-arcsinx，f(0)=0，f’(x)=ln(1+x)+arcsinx＞0(0＜x＜1)，由得當0＜x＜1時，f(x)＞0，故知識點解析：暫無解析23、求曲線的斜漸近線．標準答案：由得曲線的斜漸近線為y=2x-11．知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少存在一點ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=-f(ξ)cotξ．標準答案：令φ(x)=f(x)sinx，則φ(0)=φ(π)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，π)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f’(x)sinx+f(x)cosx，于是f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0，故f’(ξ)=-f’(ξ)cotξ．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f’’(x)＞0，證明：f(x)在(a，b)內(nèi)為凹函數(shù)．標準答案：對任意的x1，x2∈(a，b)且x1≠x2，取x0=，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+(x-x0)2，其中ξ介于x0與x之間．因為f’’(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)，“=”成立當且僅當x=x0，從而兩式相加得由凹函數(shù)的定義，f(x)在(a，b)內(nèi)為凹函數(shù)．知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且∫01f(t)dt=0證明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=∫0ξf(t)dt．標準答案：令φ(x)=e-x∫0xf(t)dt，因為φ(0)=φ(1)=0，所以存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f(x)-∫0xf(t)dt]且e-x≠0，故f(ξ)=∫0ξf(t)dt．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（中值定理與一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、函數(shù)f(x)=x2-3x+k只有一個零點，則k的范圍為()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＜1C、｜k｜＞2D、k＜2標準答案：C知識點解析：令f’(x)=3x2-3x=0，得x=±1，f’’(x)=6x，由f’’(-1)=-6＜0，得x=-1為函數(shù)的極大值點，極大值為f(-1)=2+k，由f’’(1)=6＞0，得x=1為函數(shù)的極小值點，極小值為f(1)=-2+k，因為f(x)=x3-3x+k只有一個零點，所以2+k＜0或-2+k＞0，故｜k｜＞2，選C．2、設(shè)f(x)具有二階連續(xù)可導(dǎo)，且，則()．A、x=1為f(x)的極大值點B、x=1為f(x)的極小值點C、(1，f(1))是曲線y=f(x)的拐點D、x=1不是f(x)的極值點，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：由=2及f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)得f’’(1)=0，因為=2＞0，所以由極限保號性，存在δ＞0，當0＜｜x-1｜＜δ時，＞0，從而故(1，f(1))是曲線y=f(x)的拐點，選C．3、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，a]上連續(xù)，在(0，a)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(0)=0，f’’(x)＜0，則在(0，a]上()．A、單調(diào)增加B、單調(diào)減少C、恒等于零D、非單調(diào)函數(shù)標準答案：B知識點解析：令h(x)=xf’(x)-f(x)，h(0)=0，h’(x)=xf’’(x)＜0(0＜x≤a)，由得h(x)＜0(0＜x≤a)，于是＜0(0＜x≤a)，故在(0，a]上為單調(diào)減函數(shù)，選B．4、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，且f(0)=0，則f(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：設(shè)，而f(x)在x=0處不可導(dǎo)，A不對；即存在只能保證f(x)在x=0處右可導(dǎo)，故B不對；因為，所以h-tanh～h3，于是存在不能保證f(x)在x=0處可導(dǎo)，故D不對；所以選C．5、設(shè)f(x)=x3+ax2+bx在x=1處有極小值-2，則()．A、a=1，b=2B、a=-1，b=-2C、a=0，b=-3D、a=0，b=3標準答案：C知識點解析：f’(x)=3x2+2ax+b，因為f(x)在x=1處有極小值-2，所以解得a=0，b=-3，選C．6、設(shè)f(x)連續(xù)，且f’(0)＞0，則存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)內(nèi)單調(diào)增加B、f(x)在(-δ，0)內(nèi)單調(diào)減少C、對任意的x∈(-δ，0)，有f(x)＞f(0)D、對任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(x)標準答案：D知識點解析：因為f’(0)=＞0，所以由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，＞0，當x∈(-δ，0)時，f(x)＜f(0)；當x∈(0，δ)時，f(x)＞f(0)，選D．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)7、設(shè)f(x)=ln(1+x)，當x＞0時，由拉格朗日中值定理，f(x)=f’(θx)x(0＜θ＜1)，則=______.標準答案：知識點解析：f’(x)=，由f(x)=f’(θx)x得ln(1+x)=解得故8、=_____.標準答案：知識點解析：由cosx=+o(x2)，xcosx=x-+o(x3)，sinx=x-+o(x3)=x-+o(x3)得xcosx-sinx=+o(x3)～故9、∫0xsin2xtdt=______．標準答案：知識點解析：由∫01sin2xtdt=∫01sin2xtd(xt)=得10、設(shè)可導(dǎo)，則a=______，b=_______．標準答案：3；-2知識點解析：f(1-0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因為f(x)在x=1處連續(xù)，所以a+b=1．又因為f’-(1)==a，f’+(1)==3，且f(x)在x=1處可導(dǎo)，所以a=3．故a=3，b=-2．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，且3f(0)=f(1)+2f(2)，證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)=0．標準答案：因為f(x)在[1，2]上連續(xù)，所以f(x)在[1，2]上取到最小值m和最大值M，又因為m≤≤M，所以由介值定理，存在c∈[1，2]，使得f(c)=，即f(1)+2f(2)=3f(c)，因為f(0)=f(c)，所以由羅爾定理，存在ξ∈(0，c)(0，2)，使得f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析12、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，且，f(1)=1，證明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0．標準答案：由得f(0)=1，f’(0)=0，f(0)=f(1)=1，由羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0．令φ(x)=x2f’(x)φ(0)=φ(c)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2xf’(x)+x2f’’(x)，于是2ξf’(ξ)+ξ2f’’(ξ)-0，再由ξ≠0得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析13、求極限標準答案：由得sinx-sin(sinx)～x3，于是知識點解析：暫無解析14、求曲線y=f(x)=的漸近線．標準答案：由f(x)=∞得曲線無水平漸近線；由f(x)=∞得x=-1為鉛直漸近線；由得x=1不是鉛直漸近線；由得斜漸近線為y=x+1．知識點解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3]上連續(xù)，在(0，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．證明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．標準答案：因為f(x)在[0，3]上連續(xù)，所以f(x)在[0，2]上連續(xù)，故f(x)在[0，2]取到最大值M和最小值m，顯然3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得f(c)=1．因為f(x)在[c，3]上連續(xù)，在(c，3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(c)=f(3)=1，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(c，3)c(0，3)，使得f’(ξ)=0．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0．標準答案：令φ(x)=x∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt．因為φ(0)=φ(1)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)∫0xf(t)dt+(x-1)f(x)，故∫0ξf(t)dt+(ξ-1)f(ξ)=0.知識點解析：由∫0xf(t)dt+(x-1)f(x)=0，得∫0xf(t)dt+xf(x)-f(x)=0，從而(x-∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt)’=0，輔助函數(shù)為φ(x)=x∫0xf(t)dt-∫0xf(t)dt．17、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)，且d(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)．證明：存在ξ，η∈(a，6)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．標準答案：因為f(x)在[a，b]上不恒為常數(shù)且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨設(shè)f(c)＞f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得知識點解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，且滿足條件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f’’(x)＞g’’(x)(x＞a)．證明：當x＞a時，f(x)＞g(x)．標準答案：令φ(x)=f(x)-g(x)，顯然φ(a)=φ’(a)=0，φ’’(x)＞0(x＞a)．由得φ’(x)＞0(x＞a)；再由得φ(x)＞0(x＞a)，即f(x)＞g(x)．知識點解析：暫無解析19、設(shè)PQ為拋物線y=的弦，它在此拋物線過P點的法線上，求PQ長度的最小值．標準答案：令，因為y=關(guān)于y軸對稱，不妨設(shè)a＞0．y’(a)=，過P點的法線方程為設(shè)，因為點Q在法線上，所以(b-a)，解得b=-a-PQ的長度的平方為L(a)=(b-a)2+由L’(a)=為唯一駐點，從而為最小值點，故PQ長度的最小值為知識點解析：暫無解析20、證明：方程在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個根．標準答案：∫0π，令f(x)=lnx-，令f’(x)==0，得x=e，因為f’’(e)=，所以f(e)=＞0為f(x)的最大值，又因為f(x)=-∞，f(x)=∞，所以f(x)0在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個實根．知識點解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)；(2)存在η∈(a，b)，使得nf’(η)+f(η)=0．標準答案：(1)令φ(x)=e-x2f(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x2[f’(x)-2xf(x)]且e-x2≠0，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)令φ(x)=xf(x)，因為f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故ηf’(η)+f(η)=0．知識點解析：暫無解析22、證明：當x＞0時，arctanx+標準答案：令f(x)=arctanx+因為f’(x)=＜0(x＞0)，所以f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，又因為，所以f(x)＞，即arctanx+知識點解析：暫無解析23、求曲線的上凸區(qū)間．標準答案：由y’’＜0得(x-3)2-1＜0，解得2＜x＜4，故曲線y=的上凸區(qū)間為(2，4)．知識點解析：暫無解析24、設(shè)0＜a＜1，證明：方程arctanx=ax在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個實根．標準答案：令f(x)=arctanx-ax，由f’(x)=-a=0得x=由f’’(x)=為f(x)的最大值點，由f(x)=-∞，f(0)=0得方程arctanx=ax在(0，+∞)內(nèi)有且僅有唯一實根，位于內(nèi)．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，證明：(1)存在ξ∈(1，2)，使得(2)存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt=ξ(ξ-1)f’(η)ln2.標準答案：(1)令h(x)=lnx，F(xiàn)(x)=∫1xf(t)dt，且F’(x)=f(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得(2)由得f(1)=0，由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)-f(1)=f’(η)(ξ-1)，其中1＜η＜ξ，故∫12f(t)dt=e(ξ-1)f’(η)ln2知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（中值定理與一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、曲線的漸近線有()．A、1條B、2條C、3條D、4條標準答案：B知識點解析：由f(x)=-∞得x=0為鉛直漸近線；由為水平漸近線，顯然該曲線沒有斜漸近線，又因為x→1及x→-2時，函數(shù)值不趨于無窮大，故共有兩條漸近線，應(yīng)選B．2、設(shè)f(x)連續(xù)，且，則()．A、f(x)在x=0處不可導(dǎo)B、f(x)在x=0處可導(dǎo)且f’(0)≠0C、f(x)在x=0處取極小值D、f(x)在x=0處取極大值標準答案：D知識點解析：由得f(0)=1，由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜z｜＜δ時，＜0，即f(x)＜1=f(0)，故x=0為f(x)的極大值點，選D．3、設(shè)f’’(x)連續(xù)，f’(0)=0，，則()．A、f(0)是f(x)的極大值B、f(0)是f(x)的極小值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐點D、f(0)非極值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐點標準答案：B知識點解析：由=1及f’’(x)的連續(xù)性，得f’’(0)=0，由極限的保號性，存在δ＞0，當0＜｜x｜＜δ時，＞0，從而f’’(x)＞0，于是f’(x)在(-δ，δ)內(nèi)單調(diào)增加，再由f’(0)=0，得：當x∈(-δ，0)時，f’(x)＜0，當x∈(0，δ)時，f’(x)＞0，所以x=0為f(x)的極小值點，選B．4、若f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且，則下列正確的是()．A、x=0是f(x)的零點B、(0，f(0))是y=f(x)的拐點C、x=0是f(x)的極大值點D、x=0是f(x)的極小值點標準答案：D知識點解析：由=1得f’(0)=0，由=f’’(0)得x=0為極小值點，選D．5、設(shè)f’(x0)=f’’(x0)=0，f’’’(x0)＞0，則下列正確的是()．A、f’(x0)是f’(x)的極大值B、f(x0)是f(x)的極大值C、f(x0)是f(x)的極小值D、(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點標準答案：C知識點解析：因為f’’(x0)＞0，所以存在δ＞0，當0＜｜x-x0｜＜δ時，從而當x∈(x0-δ，x0)時，f’’(x)＜0；當x∈(x0，x0+δ)時，f’’(x)＞0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點，選D．6、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，若，則f(x)在x=0處()．A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)但f’(0)≠0C、取極大值D、取極小值標準答案：D知識點解析：由=2得f(0)=0，由極限保號性，存在δ＞0，當0＜｜x＜δ時，＞0，從而f(x)＞0=f(0)，由極值的定義得f(0)為極小值，選D．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)7、函數(shù)f(x)=x2-3x+4在[1，2]上滿足羅爾定理條件的ξ=_________．標準答案：知識點解析：f(x)∈C[-1，2]，f(x)在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=f(2)=2，顯然f(x)在[1，2]上滿足羅爾定理的條件，則存在ξ∈(1，2)，使得f’(ξ)=0，而f’(x)=2x-3，由f’(ξ)=0得ξ=8、函數(shù)y=e-x2的拐點為_________，凸區(qū)間為_______．標準答案：知識點解析：y’=-2xe-x2，y’’=(4x2-2)e-x2，令y’’=(4x2-2)e-x2=0得x=當x＜時，y’’＞0；當時，y’’＜0；當x＞時，y’’＞0，故點皆為曲線y=e-x2的拐點，曲線y=e-x2的凸區(qū)間為9、曲線的斜漸近線為______．標準答案：y=2x-6知識點解析：所求曲線的斜漸近線為y=2x-6．10、設(shè)函數(shù)y-y(x)由e2x+y-cos(xy)=e-1確定，則曲線y=y(x)在x=0處的法線方程為_______．標準答案：y=x+1知識點解析：當x=0時，y=1．對e2x+y-cos(xy)=e-1兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得將x=0，y=1代入上式得=-2．故所求法線方程為y-1=(x-0)，即y=x+1．11、設(shè)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則=_______.標準答案：10f(a)f’(a)知識點解析：因為f(x)在x=a處可導(dǎo)，所以f(x)在x=a處連續(xù)，于是=2f(a)×5f’(a)=10f(a)f’(a)．三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)12、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(1)=0，令φ(x)=x2f(x)，證明：存在ξ∈(0，1)，使得φ’’(ξ)=0．標準答案：φ(0)=φ(1)=0，由羅爾定理，存在ξ1∈(0，1)，使得φ’(ξ1)=0，而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，φ’(0)=φ’(ξ1)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(0，ξ1)(0，1)，使得φ’’(ξ)=0知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(x)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在ξ，η∈，使得標準答案：令g(x)=cosx，g’(x)=-sinx≠0(0＜x＜)，由柯西中值定理，存在η∈，使得由拉格朗日中值定理，存在故知識點解析：暫無解析14、設(shè)當x＞0時，方程kx+=1有且僅有一個根，求k的取值范圍．標準答案：令f(x)=kx+-1，f’(x)=k-(1)當k≤0時，由f’(x)＜0得f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)減少，再由f(0+0)=+∞，f(x)＜0得k≤0時，f(x)在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個零點，即方程kx+=1在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個根；(2)當k＞0時，令f’(x)=0，解得x=因為f’’(x)=＞0，所以x=為f(x)的最小值點，令最小值m==0，解得k=或k≤0時，方程kx+=1在(0，+∞)內(nèi)有且僅有一個根．知識點解析：暫無解析15、設(shè)驗證f(x)在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，并求(0，2)內(nèi)使f(2)-f(0)=2f’(ξ)成立的ξ．標準答案：由f(1-0)=f(1)=f(1+0)=1得f(x)在x=1處連續(xù)，從而f(x)在[0，2]上連續(xù)．由f’-(1)==-1．f’+(1)==-1得f(x)在x=1處可導(dǎo)且f’(1)=-1，從而f(x)在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，故f(x)在[0，2]上滿足拉格朗日中值定理的條件．f(2)-f(0)==-1．當x∈(0，1)時，f’(x)=-x；當x＞1時，f’(x)=即當0＜ξ≤1時，由f(2)-f(0)=2f’(ξ)得-1=-2ξ，解得ξ=當1＜ξ＜2時，由f(2)-f(0)=2f’(ξ)得-1=，解得ξ=知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且g’(x)≠0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得標準答案：令F(x)=f(3c)g(6)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，而F’(x)=f’(x)g(b)+f(a)g’(x)-f’(x)g(x)-f(x)g’(x)，所以知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得標準答案：令F(x)=x2，F(xiàn)’(x)=2x≠0(a＜x＜b)，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得再由微分中值定理，存在ξ∈(a，