北京市豐臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)試題及其詳細(xì)解析

北京市豐臺(tái)區(qū)2023?2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)(二)

陸二數(shù)學(xué)

2024.04

本試卷共6頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.

考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(選擇題40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

L已知集合0={1，2,3,4,5},/={1,3},8={2,3},貝//)c(*)=()

A.{3}B.{1,2}C.{4,5}D.{1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】由補(bǔ)集和交集的定義求解.

【詳解】集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},8={2,3},

U={2,4,5},^={1,4,5},(/)c(*)={4,5}.

故選：C

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,-1),則亍=()

A.1+zB.-1+zC.1-zD.—1—i

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)題意可得復(fù)數(shù)z,然后根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的概念，可得結(jié)果.

【詳解】由題可知：復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,-1),則z=l-i

所以亍=1+7

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查共物復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的關(guān)系，熟悉概念，屬基礎(chǔ)題.

3.已知數(shù)列{4}對(duì)于任意“qeN*,都有4+[=4%,若q=J5,則%=()

A.2B.2&C.4D.472

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分別取。=4=1,夕=q=2然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝對(duì)于任意O應(yīng)eN*,都有

取P=q=]，則的=/■=V2xy[2=2,

取夕=q=2,則％=。2,。2=2x2=4,則%=4.

故選：C

4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+力)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=-p-yB.f(x)=2r+2~xc./(x)=sinxD.f(x)=tanx

【答案】B

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷奇偶性，再利用相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)判斷ACD選項(xiàng)，利用/'(x)>0判斷

B選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?(一x)=R='=/(x),所以是偶函數(shù)，當(dāng)xe(O,+。)時(shí)，/(x)===一,

一x\x\x\X

是反比例函數(shù)，在(0,+。)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)?(—力=2-'+2，=/(引，所以是偶函數(shù)，

當(dāng)xe(O,+⑹時(shí)，/,(x)=(2v-2-v)ln2,

?.?》〉0,:.2，〉1,0<2-*<1,.?./'(x)>0,.?./(X)在(0,+。)上單調(diào)遞增，故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)?(-x)=sin(—x)=—sinx=-/(x),所以是奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,+。)時(shí)，/(x)=sinx不單

調(diào)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)?(一工)=12!1(一%)=一1211%=一/(》)，所以是奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，/(x)=tanx不是

單調(diào)遞增函數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

5.若a/wR,且a>b,則()

11

22

—1—+1<-〃;——+1B.ab>ab

a+b,

C.a2>ab>b2D.a>---->b

2

【答案】D

【解析】

【分析】舉反例即可求解ABC,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.

1_1,11

【詳解】由于。>6,取=—...7^—7——，a~b=ab~=1無(wú)法得到—；—<-；—

。一+1?+12a2+1Zr+1

a2b>ab21故AB錯(cuò)誤，

取a=O,b=—2,則/=(),仍=O12=4,無(wú)法得到/〉的〉c錯(cuò)誤，

由于a>b,則2a>6+a>26,所以a〉"'1''>b,

2

故選：D

6.已知生尸是兩個(gè)不同的平面，掰，〃是兩條不同的直線，能使加_L"成立的一組條件是()

A.a〃B，mLa,n工0B.a///3,m<^a,nV/3

C.a±p,m±a,n///3D,a1.]3,mcza,n//>0

【答案】B

【解析】

【分析】利用給定條件得到〃〃加，判斷A,利用給定條件得到〃7,〃判斷B,舉反例判斷C,D即可.

【詳解】對(duì)于A,若a〃0,mLa,nL0,則〃〃加，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,若a〃夕,加ua,〃_1_夕，則陰_1_〃，故B正確，

對(duì)于C,若aL/3,mLa,n〃0,則見〃可能相交，平行或異面，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,若aL/3,mua,n〃/3,則叫〃可能相交，平行或異面，故D錯(cuò)誤.

故選：B

7.已知函數(shù)/(x)=sin?x+e)[o〉0,—T<9<T)的導(dǎo)函數(shù)是/'(X),如果函數(shù)y=/(x)—/'(x)的

圖像如圖所示，那么。，。的值分別為()

,兀,兀c兀

A.1,0B.1,——C.1,—D.2,——

444

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得/'(x)=ocos(ox+e),從而可得y=/(x)-/'(x)的解析式，再結(jié)合函數(shù)

圖像代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

I兀7T

【詳解】因?yàn)?(x)=sin(Gx+0)刃>0,-5<0<,

則/'(X)=GCOS(S：+e),

則y=/(x)-/z(x)=sin(s+0)-Gcos(G￥+cp)

=Jl+蘇sin[(Gx+°)-8],其中tan8=/=o,

由圖像可知，函數(shù)的最大值為0，即J1+療=同，且口〉0,

所以G=I,e=w，即y=x+。―L

又函數(shù)過(guò)點(diǎn)(0,—1),將點(diǎn)(0,—1)代入可得—1=拒sin：

3

即0=5兀+2左兀，左￡Z，或。=2兀+2左兀，左wZ，

TT7T3

又—5＜夕＜5，則當(dāng)0=5兀+2左兀,左￡Z時(shí)，無(wú)解，

當(dāng)9=2兀+2E,左￡Z時(shí)，k=-\,則0=0,

所以刃=1,0=0.

故選：A

8.已知曲線。：聞=/+1與直線/:天二旅+方，那么下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)左=1時(shí)，對(duì)于任意的6eR,曲線。與直線/恰有兩個(gè)公共點(diǎn)

B.當(dāng)后=1時(shí)，存在6eR,曲線。與直線/恰有三個(gè)公共點(diǎn)

C.當(dāng)左=2時(shí)，對(duì)于任意的6eR,曲線。與直線/恰有兩個(gè)公共點(diǎn)

D.當(dāng)左=2時(shí)，存在6eR,曲線。與直線/恰有三個(gè)公共點(diǎn)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)曲線。的對(duì)稱性，分別討論當(dāng)直線/與曲線C的上、下半部分相切時(shí)3的取值即可求解.

【詳解】曲線的圖象如圖所示，

V=X+1

若左=1,當(dāng)直線/與曲線上半部分相切時(shí)，由,整理得X+1—3=0，

y=x+b

,3

由AMl—iy—qxixO—b)：。得6=a，

y=-x2-1

當(dāng)直線/與曲線下半部分相切時(shí)，由,,整理得/+》+1+力=0，

y=x+b

由△=12—4x0+6)=0得6=—^，

33

結(jié)合曲線C圖象的對(duì)稱性可得，當(dāng)6=—或6=—一時(shí)，曲線。與直線/有一個(gè)交點(diǎn)，

44

3333

當(dāng)--<6〈一時(shí)，曲線C與直線/沒有交點(diǎn)，當(dāng)6〉一或6<——時(shí)，，曲線。與直線/有兩個(gè)交點(diǎn)，AB說(shuō)

4444

法錯(cuò)誤；

y=x2+1

若左=2,當(dāng)直線/與曲線上半部分相切時(shí)，由《整理得/一2》+1-6=0，

y=2x+b

由△=(—2『—4xlx(l_6)=0得6=0,

y=-x2-1

當(dāng)直線/與曲線下半部分相切時(shí)，由《整理得%2+2%+1+6=0，

y=2x+b

結(jié)合曲線C圖象的對(duì)稱性可得，對(duì)于任意的bwR,曲線C與直線/恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，C說(shuō)法正確，D說(shuō)法

錯(cuò)誤，

故選：C

9.已知等差數(shù)列｛%｝的公差為d,首項(xiàng)%e/gj,那么"]=?！笔恰凹蟂=｛xk=sina",〃eN*｝

恰有兩個(gè)元素”的（）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)題意證明充分性成立，舉反例否定必要性即可.

【詳解】對(duì)于充分性，已知等差數(shù)列｛1“｝的公差為"，首項(xiàng)見

當(dāng)“1=?！睍r(shí)，集合6=,卜=5吊％,〃?]\[恰有兩個(gè)元素5=｛5吊a1，一5M,｝,

故充分性成立，對(duì)于必要性，當(dāng)1=3兀時(shí)，

“集合5=卜卜=5①&“,〃€]\*｝也恰有兩個(gè)元素”，故必要性不成立，

故“d=兀”是“集合S=,卜=sma?,neN）恰有兩個(gè)元素”的充分而不必要條件.

故選：A

10.“用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲

線”.利用這個(gè)原理，小明在家里用兩個(gè)射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出兩個(gè)相同的橢圓（圖1）,

光錐的一條母線恰好與墻面垂直.圖2是一個(gè)射燈投影的直觀圖，圓錐PO的軸截面ZP8是等邊三角形，

橢圓。?所在平面為見必La,則橢圓。的離心率為（）

V6rV2

------------V/.

3-----------------------------23

【答案】D

【解析】

\POS3

【分析】根據(jù)題意，由勾股定理結(jié)合余弦定理代入計(jì)算可得桂了二:，再由相似三角形的相似比結(jié)合勾股

\PQ\4

定理可分別計(jì)算出橢圓的。，“C,結(jié)合橢圓的離心率即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)48=2r，由于尸所以尸BLZM,在等邊三角形尸48中，

點(diǎn)”為尸3的中點(diǎn)，于是AM=也「，在平面。中，由橢圓的對(duì)稱性可知，

AO［=MO［=與,連接。。］,尸。1，延長(zhǎng)PQ與4B交于點(diǎn)。，

由于為中點(diǎn)，所以在/中，PM=r,MC）二—r，

12

由勾股定理可得pg=｛典"+同。］『=:二:

一r二---r，

2J2

萬(wàn)1

在A。。。中，P0=?，P0,=—r-OOX=-r,由余弦定理可得

122

712_

八一歸?！?歸。『一1。?！阂?2+"-7_3而

is5一?-I

2\P0\-\P0\9V7614

2x——rx73r

2

\P0Ml.因.五.匝

在RtZ\P0O中，由于cos/。。。］=師，所以1.cosNOPOl3亞3

14

V7

干曰有巾一丁_3

于癡因一述「"

3

設(shè)橢圓。?短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)為G,女，連接PG,PH分別交圓錐于E,尸，

PG\Kl：：3

由于APGHSAPEF,所以―二

PE\\PQ\~4，

由于尸￡為圓錐母線，所以尸￡=24=2r,

333

從而有|?G=^|尸￡=—x2r=—r

|2V2

在Rt△尸GO1中,---r

2

7

C/?

所以在橢圓。1中，a=\MO1\=^-r，b=\GO.\=^-r

后Y1

貝（1c=yja2—b2二---r—r

V222

V\7\7

1

—r1

c71

則離心率為。=%==耳T,

——r

2

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓定義的理解以及橢圓離心率的求解,難度較大，解答本題的關(guān)鍵

在于結(jié)合橢圓的定義以及余弦定理代入計(jì)算，分別求得凡人，從而得到結(jié)果.

第二部分（非選擇題110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.己知函數(shù)/（x）=2\g（x）=log2（x+l）,那么/（g（0））=.

【答案】1

【解析】

【分析】先求出g（0），再求/（g（0））即可.

【詳解】易知g⑼=log2（0+l）=0,故/（g（O））=/（0）=2°=1,

故答案為：1

12.若（亞+1『=17+a忘，則.=.

【答案】12

【解析】

【分析】根據(jù)題意，將（、匯+1『展開計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】（應(yīng)+1『=（3+2后j=17+12后=17+aS，

所以a=12.

故答案為：12

13.如圖，在正方形45CD中，48=2，點(diǎn)瓦尸分別為3C,C。的中點(diǎn)，點(diǎn)G在RF上，則

AEAG=

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得運(yùn)前=。-九，益+2而，即可利用數(shù)量積的運(yùn)算

律求解.

【詳解】設(shè)B=X而，則

而就="+；/”（萬(wàn)+2珂="+；4。｝"+/1赤_；/1回="+；回［（1_［"+；1同

/1上后+?+2］超礪+。礪2/二露4+〃4=4.

（2）U4J2L2J2

故答案為：4

14.如圖，正方體43CD—44GA的棱長(zhǎng)為2,M,N分別為8月,"＞］的中點(diǎn)，0為過(guò)直線的平

面.從下列結(jié)論①，②中選擇一個(gè)，并判斷該結(jié)論的真假.你選的結(jié)論是（填“①”或"②”）,該

結(jié)論是命題（填“真”或"假”）.

①平面a截該正方體所得截面面積的最大值為3g；

②若正方體的12條棱所在直線與平面a所成的角都等于6,則sin，=—.

3

【答案】①.①（答案不唯一）②.假（答案不唯一）

【解析】

【分析】選①，根據(jù)四邊形片的面積即可判斷，選②，根據(jù)三棱錐4-4口片為正三棱錐，利用等體

積法求解AAX與平面A/Bi所成角的正弦值即可求解②.

【詳解】若選①，平面8。2瓦是過(guò)直線的平面.此時(shí)四邊形8￡）A片即為該平面截正方體所得截面,

由于四邊形BDDXBX的面積為3。?8瓦=4后＞3也，故①為假命題,

若選②，由于三棱錐4-4口片為正三棱錐，所以444民4,與平面NA片所成角均相等，故平面a//

平面40圈,

設(shè)4到平面AD.B,的距離為h,則

—x2x2x2。

S.n4~A,B,二2____________=2_

/A「ADIB1一七-皿&nS“D]BIh-S△皿444n〃一q-

、“DR-X2V2X2V2X—百

22

所以441與平面與所成角的正弦值為上一=",故sin，=）h

―,②為真命題

ZZ]33

故答案為：①（答案不唯一），假（答案不唯一）

%a

0

AB

|x+m|,x＜0,

15.設(shè)函數(shù)/（x）=V2mr給出下列四個(gè)結(jié)論：

-----Vx,x＞0.

12

①當(dāng)加=0時(shí)，函數(shù)/（X）在（-叫+8）上單調(diào)遞減；

②若函數(shù)/（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則加＞0；

③當(dāng)加＜0時(shí)，若存在實(shí)數(shù)。力,使得/（°）=/伍），則目的J取值范圍為（2,+8）；

④已知點(diǎn)尸（一加,0）,函數(shù)/（x）的圖象上存在兩點(diǎn)。]&,%）,Q（%2，%）（玉＜》2＜°），。1，。2關(guān)于坐標(biāo)

原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)/（X）的圖象上.若|p0J+1="

-,則掰=1.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】根據(jù)x20時(shí)，/（x）=0即可判斷①，求解方程的根，即可求解②，結(jié)合函數(shù)圖象，求解臨界狀

態(tài)時(shí),一目一＞2,即可求解③，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可先判斷加＞0,繼而根據(jù)對(duì)稱性聯(lián)立方程得

F干+"療+4",9根據(jù)山+U羋可得

代入即可求解④.

【詳解】當(dāng)m=0時(shí)，x?0時(shí)，/（x）=0,故在（—S,+。）上不是單調(diào)遞減，①錯(cuò)誤;

對(duì)于②，當(dāng)加=0顯然不成立，故加。0,

當(dāng)x20時(shí)，令/（x）=0,即—當(dāng)"q=o，得x=0,x＜0,|x+同=0nx=—加，要使/⑴有且僅

有兩個(gè)零點(diǎn)，則一切＜0,故加＞0,②正確，

-x-m,x＜0,

對(duì)于③，當(dāng)加＜0時(shí)，/（'）=42m廠，此時(shí)/（%）在（-8,。）單調(diào)遞減，在［0,+8）單調(diào)遞增，

-----\x,x＞0.

若/（。）=/伍），由—m=---五nx=2,故4＞2,所以k—目的取值范圍為（2,+“）；③正

確

對(duì)于④，由①③可知：加＜0時(shí)，顯然不成立，故加＞0,

要使。（西，%）Q（馬，力）（再＜馬＜0）,0,0關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)0的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)/⑺的圖象上，

|的圖象與x20,/（x）=-字五有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖:

則只需要x＞O,y=—,一加

|PQ1|+|P2|=0卜/一旬+0|x2+加=-V2（加+西）+V2（x2+冽）==nI2—%=5，

由對(duì)稱可得/(—*)=一字尸

；i=―卜/一加=再+加，

化簡(jiǎn)可得X]+加+，冽[-X]=0‘故（8-粵卮-"=?？?2±『

X-m\=-x-m化簡(jiǎn)得（J-%）+J—/"?冽=0

/(%)=22"2,加

所以"土、"+4,m

所以2、2

9+J」療+4加4+、口

由于一花,一、2均大于0,所以/—_272_______，/-_272_______,

一「X]—2\x2-2

?2+'2，"”[[2+2痔+[

因此/_玉=(5^")-(J、2)

42m11后廠

=---J—m2+4Am=+4m3

由于加〉0,/(加)=5加，+4加3為（0,+8）單調(diào)遞增函數(shù)，且=

止匕時(shí)X-X=冽4+4加3=—,因此加=1,④正確，

212

故答案為：②③④

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問題常用的方法和思路

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步聚或證明過(guò)程.

16.已知“8C滿足百sirk4+cosZ=2.

(1)求A；

(2)若滿足條件①、條件②、條件③中的兩個(gè)，請(qǐng)選擇一組這樣的兩個(gè)條件，并求的面積.

s

條件①：a—b=2；條件②：cosB=—；條件③：c=8.

14

TT

【答案】(1)-

3

(2)選①③，面積為ioG，

【解析】

【分析】(1)根據(jù)輔助角公式可得sin(Z+巴］=1,即可求解/=g,

3

(2)選擇①②，根據(jù)正弦定理可得6=下。〉。與a-6=2矛盾，即可求解，選擇②③，根據(jù)

cos8=Y7<L,故5〉四，a<b,這與a—6=2矛盾，即可求解，選擇①③，根據(jù)余弦定理可得6=5,

1423

a=7,即可由面積公式求解.

【小問1詳解】

由V3sirL4+cosN=2得2sin^+—=2,所以A+—=—+2kji=>A=—+2kji,kGZ,

由于Ze（O,兀），所以"

【小問2詳解】

若選①Q(mào)—6=2,②cosB=---

則cosB=:.B0,—,sin5=Vl-cos25=3y

1412J14

由正弦定理可得，一=—立nb=]=a〉a,這與a—6=2矛盾，故不可以選擇①②,

sin/sin5142V7

若選①Q(mào)-6=2,③。=8,

由余弦定理可得cosN=Q=c2+62q2=82+b2-(b+2),解得b=5,a=7,

22bc166

S^ABC=-besinA=-58—106,

選②③，

由于cosB=^~,5ef0,—\

14I2j

又cos5=—,故8>=,

1423

TT

而/=§,故a<6,這與a—b=2矛盾，因此不能選擇②③

17.在正四棱柱48co—44GA中，48=1,￡為8耳中點(diǎn)，直線用G與平面2。也交于點(diǎn)

(1)證明：尸為耳G的中點(diǎn)；

7T

(2)若直線/C與平面2。也所成的角為點(diǎn)，求二面角4-NA-尸的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵如

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求線面角確定E點(diǎn)位置，再由空間向量法求二面角.

【小問1詳解】

如圖，連接2C，F(xiàn)E,FDX,在正四棱柱43CD—44GA中，

由幺3與GA平行且相等得ABCXDX是平行四邊形，所以BQ//ZD],

又5G<Z平面ZQE，4D]U平面所以BQ〃平面40田,

BCAu平面BCCB,平面ADXEn平面BCCXBX=EF，

所以BCJ/EF,E是8片中點(diǎn)，

所以廠是瓦G的中點(diǎn);

【小問2詳解】

以。為MN/軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)44]=加Cm>0),

m

則N(l,0,0),C(0,l,0),2(0,0,加)，E(l,l,y),

--*---?--*YH,

4C=(-1,1,0)，9=(-1,0,加),ZE=(0』,萬(wàn))，

設(shè)平面2。區(qū)的一個(gè)法向量是7=(X,y,Z),則

t-AD=-x+mz=0

}1一加

——?m，取z—\f得t—（加,1）,

t?AE-y-\—z=02

2

71

因?yàn)橹本€AC與平面ADXE所成的角為1,

m

-m—

_______2__?兀,

所以COSt,AC\—|------>1=—r

11=sin],解得m=2(負(fù)值舍去),

HMJ-"+lx后

4

所以7=(2,—1,1),平面44a的一個(gè)法向量是n=(0,1,0),

平面AD#即為平面AD4,

--t-n-1V6

則c°s,，〃=麗=布=一萬(wàn)

二面角4-力2-尸為銳角，因此其余弦值為逅.

6

18.激光的單光子通訊過(guò)程可用如下模型表述：發(fā)送方將信息加密后選擇某種特定偏振狀態(tài)的單光子進(jìn)行發(fā)

送，在信息傳輸過(guò)程中，若存在竊聽者，由于密碼本的缺失，竊聽者不一定能正確解密并獲取準(zhǔn)確信息.

某次實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)原始信息的單光子的偏振狀態(tài)0,1,2,3等可能地出現(xiàn)，原始信息息的單光子的偏振狀

態(tài)與竊聽者的解密信息的單光子的偏振狀態(tài)有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系.

原始信息的單光子的偏振

0123

狀態(tài)

解密信息的單光子的偏振

0,1,20,1,31,2,30,2,3

狀態(tài)

已知原始信息的任意一種單光子的偏振狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)等可能地出現(xiàn).

(1)若發(fā)送者發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)為1,求竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)與原始信

息的單光子的偏振狀態(tài)相同的概率；

(2)若發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1,設(shè)竊聽者解密信息的單光子的偏振狀

態(tài)為1的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望￡(x)；

(3)已知發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送信息，竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1.設(shè)原始信息的單光子只

有一種偏振狀態(tài)的可能性為。，有兩種偏振狀態(tài)的可能性為6,有三種偏振狀態(tài)的可能性為c,試比較c

的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

【答案】(1)-

3

(2)分布列見解析，E(X)=1

(3)a<c<b

【解析】

【分析】(1)列出基本事件，再求解概率即可.

(2)利用分布列的定義求解分布列，再求解數(shù)學(xué)期望即可.

（3）依據(jù)題意猜測(cè)結(jié)論即可.

【小問1詳解】

設(shè)“解密信息的單光子的偏振狀態(tài)與原始信息的單光子的偏振相同”獨(dú)立作為事件A,易知共有3個(gè)基本

事件，則P（Z）=j

【小問2詳解】

X的可能取值為0』,2,3.

尸(X=0)=(§3$,尸(X=1)=C；|守=〉

尸(X=2)=C；(1)2|=尸(X=3)=C；x(；)3=-

所以，X的分布列如下:

X0123

8421

P

279927

842]

￡(X)=0x--Fix—+2x—+3x——=1.

279927

【小問3詳解】

結(jié)論：a<c<b

1119

3

證明：易矢口Q=3x(§)3=§,c=6x(-)=-,6=3x6x

故a<c<6得證.

19.已知函數(shù)/(x)=a?X+24人"一21nx(aw0).

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,/。））處的切線方程;

（2）若函數(shù)/（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】（1）y=3

⑵0<a<eZ或一2<“<°

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)，代值可得/'。）=0,/。）=3,即可求解切線,

(2)求導(dǎo)得,對(duì)。分類討論，求解函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)最小值為負(fù)求解.

【小問1詳解】

12

當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=x+2y［x-21nx,則/'(x)=l+^=,

所以/'⑴=0J⑴=3,

故>=/(x)在點(diǎn)(1,/0))處的切線方程為>=3

【小問2詳解】

\2a2a2x+a4x-2-1j

f\x)=a'+-j=——=-----------=---------------L(a.w0)(r>0)，

11

當(dāng)a>0時(shí)，則a6+2>0，令/'(x)>0,則x〉/,令/'(x)<0,則0<x</,

故/(“)在［十］②］單調(diào)遞增，在(0，'］單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=1，/(x)取極小值也是最小值，

a

則/1!l="3+2ag—21n!=3+41na,

又當(dāng)Xf+00,/(x)T+8,且XT。,/(1)T+00,

故要使函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要/(x)min=3+41na<0,解得0<。</；

當(dāng)〃<0時(shí)，則—1<0，令/'(X)〉。,則%>/,令/'(X)<0,則0<x</,

故/(X)在［A,+s］單調(diào)遞增，在［o，A］單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=：,/(x)取極小值也是最小值，貝U

a

f|—5］=a2——+2aJ——21n—r-二-2In—r-——4In2+2In(22,

{a2Ja2\a2a2a2

又當(dāng)x—>+oo,/(x)—>+oo,且x―>0,/(x)—>+8,

故要使函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要/(x)mm=-41n2+21na2<0,解得_2<a<0；

綜上可得U「<NCZ<C或一2<a<0.

20.已知兩點(diǎn)公(-1,0),月(1,0),曲線Q上的動(dòng)點(diǎn)刊滿足|〃制+|〃周=2閨閭，直線九里與曲線。交

于另一點(diǎn)N.

(1)求曲線。的方程;

（2）設(shè)曲線。與x軸的交點(diǎn)分別為48（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且M不與48重合），直線與直線BN

交于點(diǎn)尸.當(dāng)點(diǎn)3為線段NP的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo).

22

【答案】（1）土+土=1

43

（2）0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求解，

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理乂+%=f三，為為即可根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系以及向量共線得

乃=二皿，代入韋達(dá)定理中即可求解『=」，進(jìn)而可求解.

153

【小問1詳解】

由于|5|+|5|=2舊周=4>怩閭=2,

所以M是以片（—1,0）,月（1,0）為焦點(diǎn)，以4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，

故a=2,c=l=>Z?=G,

22

故橢圓方程為±+2=1.

43

【小問2詳解】

由于上W斜率不為0,故設(shè)直線跖V方程為：x=ty+\,

x=ty+\

聯(lián)立/=（3/+4）/+6吐9=0,

[43

_8-9

設(shè)M（M，%）,N（9,%），則%+%=蓊富，%%=手薯,

/（-2,0）,5（2,0）,

由于點(diǎn)B為線段NP的中點(diǎn)，則P（4—%,—/），

又尸是直線與直線BN的交點(diǎn)，所以TPH'AM,

AP=（6-x2,-y2）,AM=（2+芭,必）,故（6一%）%=—%（2+xJ,

-3y

（5-優(yōu)）％=—%（3+彷）=5%=—3%=%

3%小、—6t—9可得4者=~6t—32—9

將為1代入凹+歹2=門，"2=可

3產(chǎn)+4

22

故a=3^}T二3,由三+九=1可得X0,

43

故點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為0.

21.將數(shù)列N。：1,2,3,4,…中項(xiàng)數(shù)為平方數(shù)的項(xiàng)依次選出構(gòu)成數(shù)列4:1,4,9,16,…，此時(shí)數(shù)列N。中剩下的

項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列N1：2,3,5,6,…；再將數(shù)列N］中項(xiàng)數(shù)為平方數(shù)的項(xiàng)依次選出構(gòu)成數(shù)列4:2,6,12,20,…，剩下

的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列N2；….如此操作下去，將數(shù)列Nk_x(keN*)中項(xiàng)數(shù)為平方數(shù)的項(xiàng)依次選出構(gòu)成數(shù)列4，

剩下的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列乂.

(1)分別寫出數(shù)列的前2項(xiàng)；

(2)記數(shù)列4的第〃項(xiàng)為/(加,，)?求證：當(dāng)〃N2時(shí)，f(m,n)-f(m,n-l)=2n+m-2；

(3)若/(%〃)=108,求見〃的值.

【答案】(1)4的前2項(xiàng)為3,8；4的前2項(xiàng)為5,11；

(2)證明見解析；(3)m=6,?=8.

【解析】

【分析】(1)直接利用數(shù)列定義求解；

(2)證明｛/(加,")—/(加,"―1)｝為等差數(shù)列即可求解；

(3)先利用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n-2i,i+l)=n2+z+l,f(2n+1-2/,z+l)=w2+?+/+!.進(jìn)而求得的表

達(dá)式，利用累加法再解方程求解

【小問1詳解】

數(shù)列4的前2項(xiàng)為3,8；數(shù)列4的前2項(xiàng)為5,11；

【小問2詳解】

首先/(1,〃)=后,當(dāng)2時(shí)，/(1,附)-/(1,〃-1)=2〃-1結(jié)論成立;

當(dāng)加之2時(shí)，對(duì)于相鄰的兩個(gè)數(shù)列：

4“T：/(m-1,1),/(w-1,2),…，f(m-\,n-1),/(w--?

4”：…，f(m,n-1),…

1491625364964

26122030425672

38152435486380

511192941557189

714233447627998

10182840547088108

13223346617897118

172739536987107129

因?yàn)?(如力-n)都在數(shù)列Nm_2中，且f(m,…在n)之前,

所以/(加,加一1,")在數(shù)列4-14中，必有,

所以f(m,n-V)<