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文檔簡介
2024~2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺專題之新定義問題
一、選擇題
1.定義一種新運算a*b=-ab,那么(TH-九)*m的運算結(jié)果為()
A.m2—mnB.—m2+mnC.—m2—mnD.m2—n
2.定義新運算:0*6=在單(。06且。+6>0),則6*(6*3)的值為()
a—b、
A.1BC.V7D.1
3.定義一種新運算:0&6=憂:;了;上小則(1&4)&(_1)的值為()
A.3B.-3C.5D.-5
4.定義新運算:zn十n。0),則對于函數(shù)y=x十2,下列說法正確的是()
A.當(dāng)%<0時,y隨力曾大而增大B.該函數(shù)圖象經(jīng)過點(2,1)
C.該函數(shù)圖象位于第一、三象限D(zhuǎn).當(dāng)一2<%<—1時,一2<y<—1
(R(q>0),
5.定義新運算:P十q=4例如3十5=|,3十(-5)=|,則y=2十K。00)
-物<0),55
V4
的圖像可能是()
6.設(shè)a,b是實數(shù),定義一種新運算:a*b=(a-b)2,下面有四個推斷:
①a*b=b*a;
②(a*bp=a2*b2;
③(—a)*b=a*(—b);
@a*(b+c)=a*b+a*c?
其中所有正確推斷的序號是()
A.①②③④B.①③④C.①②D.①③
7.若定義一種新的運算檢九=鬻?例如:計算(―5/2)嗎的結(jié)果為()
A.|B.C.1D.
5577
8.定義一種新運算:當(dāng)a>b時,a*b=ab+b;當(dāng)a<b時,a*b=ab—b.若3*(%+2)>0,則
x的取值范圍是()
A.-1<%<1或%<—2B.x<—2或1<%<2
C.-2<%<1或%>1D.x<—2或久>2
9.對代數(shù)式Z定義新運算:,府=|川.在代數(shù)式a+b+c中任意加新運算,然后按給出的運算順序重
新運算,稱此為“新運算操作”.實數(shù)處b,C在數(shù)軸上的位置如圖所示.例如:Q+,房+c=Q+網(wǎng)+c=
a—b+c,+c)2=\a\+\b+c\=a-b—下列說法正確的個數(shù)是()
+人+>o;
②q+J(b+c)2=a+Vb2+V?;
③至少存在一種“新運算操作”,使運算結(jié)果與原代數(shù)式之和為0;
④至少存在一種“新運算操作”,使運算結(jié)果為-a-b+c.
cba
-3-2-1012
A.4B.3C.2D.1
10.對于任意實數(shù)m,n,若定義新運算m<8)71=[1號1'")’,給出三個說法:
[y[m+^Jn(m<n)
①1802=2V2;@i^2+2^3+3^4+,,,+990100=100③1;③(“兇b)?(b③a)=\a-b\.
以上說法中正確的個數(shù)是()
A.0個B.1個C.2個D.3個
11.定義符號min{a,b}的含義為:當(dāng)aNb時,min{a,b}=b;當(dāng)a〈b時,min{a,b}=a.如:min{l,
-3}=-3,min{-4,-2}=-4.已知一種關(guān)于x的新函數(shù)y=min{x+l,-x+m},且m>-l,則關(guān)于y的函數(shù)下
面說法錯誤的是().
A.若m=l,則當(dāng)y<-2時,則x<-3或x>3
B.當(dāng)函數(shù)圖象經(jīng)過(0,今時,該函數(shù)圖象的最高點的坐標為(-右I)
C(號,yi)(嚶,y。是函數(shù)圖象上的兩點,則yif
D.當(dāng)l<x<2時,函數(shù)y的最大值為3,則m=3或5
12.在平面直角坐標系中,對于點P(%y),把點Pi(y,自)叫做點P的友好點.已知點久的友好點為點
慶,點兒的友好點為點&…這樣依次得到點兒,22,4344--4,若點&的坐標為弓,2),則根據(jù)友好點
的定義,點42023的坐標為()
11
A.(右2)B.(2,-1)C.(-1,-1)D.(一1;)
13.定義一種對正整數(shù)n的叩”運算:①當(dāng)71為奇數(shù)時,/⑺=5n+3;②當(dāng)n為偶數(shù)時,尸⑺=養(yǎng)
(其中,k是使F(n)為奇數(shù)的正整數(shù)),……,兩種運算交替重復(fù)進行,例如,取"=20,則運算過程
如圖所示:若n=3,則第2023次叩”運算的結(jié)果是()
A.3B.9C.18D.48
14.定義:在平面直角坐標系中,對于點尸(X1,力),當(dāng)點。(X2,為)滿足2(X1+X2)=了1+了2時,稱
點0(X2,y2)是點尸(XI,力)的“倍增點已知點尸1(1,0),有下列結(jié)論:
①點。1(3,8),Q(-2,-2)都是點尸1的“倍增點”;
②若直線y=x+2上的點”是點P的“倍增點”,則點”的坐標為(2,4);
③拋物線y=N-2x-3上存在兩個點是點Pi的“倍增點”;
④若點B是點Pi的“倍增點”,則PiB的最小值是等;
其中,正確結(jié)論的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
15.定義:如果代數(shù)式4=a1/+b]久+。0,a1;b1;q是常數(shù))與B=+與%+C2(02。
0,a2,b2,C2是常數(shù)),滿足的+。2=。,比=①,Q+C2=0,則稱這兩個代數(shù)式4與B互為“同心
式”,下列四個結(jié)論:
(1)代數(shù)式:—3%2+2工的“同心式”為3%2—2%;
(2)若8mx2+nx—5與6nx2—4%+5互為“同心式“,則(m+71)2023的值為1;
(3)當(dāng)加=勿=0時,無論支取何值時,“同心式”/與B的值始終互為相反數(shù);
(4)若4B互為“同心式”,且國—36aiCi=0,則A—2B=0有兩個相等的實數(shù)根.
其中,正確的結(jié)論有個.()
A.1B.2C.3D.4
16.定義:如果代數(shù)式4=+bjX+C1?100,。1,bi,Cl是常數(shù))與B=+力2%+?2(。2片。,
a2,b2,。2是常數(shù)),滿足。1+。2=。,比+歷=0,Cl+c2=0,則稱這兩個代數(shù)式4與B互為"和諧
式”,對于上述“和諧式”4B,下列三個結(jié)論正確的個數(shù)為()
①若4=一/——2,B—x2—2nx+n,貝1+n)2°23的值為/;
②若k為常數(shù),關(guān)于x的方程4=k與B=k的解相同,則k=0;
③若p,q為常數(shù),p4+qB的最小值為p-%則4有最小值,且最小值為1.
A.0個B.1個C.2個D.3個
二、填空題
17.如果一個兩位數(shù)a的個位數(shù)字與十位數(shù)字都不是零,且互不相同,我們稱這個兩位數(shù)為“英華數(shù)”,
定義新運算:將一個“英華數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào),把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的
商記”(a),例如:a=13,對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)31,新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和,
31+13=44,和與11的商44+11=4,所以3(13)=4.根據(jù)以上定義,回答下列問題:
(1)計算:3127).
(2)若m,n都是"英華數(shù)",且m+n=100,貝必(鬼)+co(n)=.
18.對x,y定義一種新運算F,規(guī)定:F(x,y)=(jnx+ny)(3%—y)(其中m,n均為非
零常數(shù)).例如:F(L1)=2m+2n,F(-1,0)=3zn.當(dāng)F(l,-1)=-8,F(L2)=13,
則F(x,y)=;當(dāng)/。V時,尸(%,y)=F(y,久)對任意有理數(shù)x,y都成
立,則m,n滿足的關(guān)系式是.
19.對實數(shù)a、6,定義運算☆如下:a表b=(,
a~b(a<b,a。0),
例如2☆3=2-3=會計算[2阿-4)]x[(—4)☆(—2)]=
20.定義:(t>\a,b,c]是以a、b、c為系數(shù)的二次多項式,即。[a,b,c\=ax2+bx+c,其中a、b、
c均為實數(shù).例如O[1,2,3]=/+2%+3、0[2,0,-2]=lx1-2.
①當(dāng)久=2時,求①[1,1,1]x<Z>[-1,-1,-1]=;
②若中[p,q,—1]x(P\m,n,-2]=2x4+%3—10x2—x+2,求
(4p—2q—l)(2m—n—1)=.
三,解答題
21.對于特殊四邊形,通常從定義、性質(zhì)、判定、應(yīng)用等方面進行研究,我們借助于這種研究的過程
與方法來研究一種新的四邊形—箏形.
定義:在四邊形4BCC中,若=BC=CD,我們把這樣四邊形4BCD稱為箏形.
性質(zhì):按下列分類用文字語言填寫相應(yīng)的性質(zhì):
從對稱性看:箏形是一個軸對稱圖形,它的對稱軸是;
從邊看:箏形有兩組鄰邊分別相等;
從角看:;
從對角線看:.
判定:按要求用文字語言填寫相應(yīng)的判定方法,補全圖形,并完成方法2的證明.
方法1:從邊看:運用箏形的定義;
方法2:從對角線看:;
如圖,四邊形4BCD中,.求證:四邊形4BCD是箏形.
應(yīng)用:如圖,探索箏形ZBCD的面積公式(直接寫出結(jié)論).
22.已如有理數(shù)a(aHl),定義占為。的差倒數(shù),如—1的差倒數(shù)為[二1)=年
(1)-3的差倒數(shù)為;
(2)如果由=-1,是由的差倒數(shù).&3是&2的差倒數(shù)...,依此類推.求方+a2+a3+…+02024
的值.
23.對于整數(shù)〃,定義[訴]為不大于小的最大整數(shù),例如:[遮]=1,[迎]=2,[遮]=2.
(1)直接寫出[6。的值;
(2)顯然,當(dāng)[赤]=1時,〃=1,2或3.
①當(dāng)[訴]=2時,直接寫出滿足條件的n的值;
②當(dāng)[F]=10時,求滿足條件的n的個數(shù);
(3)對72進行如下操作:72+次[療刃=8%次[用=2第字<②=1,即對72進行3次操作后變
為1,類似地:①對25進行▲次操作后變?yōu)?;
②對整數(shù)加進行3次操作后變?yōu)?,直接寫出加的最大值.
24.在數(shù)軸上,點O表示的數(shù)為0,點M表示的數(shù)為m(m#0).給出如下定義:對于該數(shù)軸上的一
點P與線段OM上一點Q,如果線段PQ的長度有最大值,那么稱這個最大值為點P與線段OM的“閉
距離”.如圖1,若m=—1,點P表示的數(shù)為3,當(dāng)點Q與點M重合時,線段PQ的長最大,值是4,
則點P與線段OM的“閉距離”為4.
oli
A
-2-10I23-2-1012345
圖l圖2
(1)如圖2,在該數(shù)軸上,點A表示的數(shù)為一1,點B表示的數(shù)為2.
①當(dāng)m=1時,點A與線段OM的“閉距離”為;
②若點B與線段OM的“閉距離”為3,求m的值;
(2)在該數(shù)軸上,點C表示的數(shù)為一m,點D表示的數(shù)為一m+3,若線段CD上存在點G,使得
點G與線段OM的“閉距離”為5,直接寫出m的最大值與最小值.
25.新定義:若無理數(shù)VT的被開方數(shù)T(T為正整數(shù))滿足/<7<(九+1)2(其中n為正整數(shù)),則稱
無理數(shù)VT的“青一區(qū)間”為(n,n+1);同理規(guī)定無理數(shù)一VT的“青一區(qū)間”為(一幾―1,一n).例如:
因為"<2<22,所以1<魚<2,所以魚的“青一區(qū)間”為(1,2),-金的“青一區(qū)間”
為(—2,-1).請解答下列問題:
(1)后的“青一區(qū)間”是;-V23的“青一區(qū)間”是;
(2)若無理數(shù)-返(a為正整數(shù))的“青一區(qū)間”為(-3,-2),后月的“青一區(qū)間”為(3,4),
求對TT的值;
(3)實數(shù)x,y,m滿足關(guān)系式:y/2x+3y—m+J3久+4y—27n=Jx+y—2023+^/2023—x—y,
求m的算術(shù)平方根的“青一區(qū)間”.
26.對于正數(shù)久,用符號因表示%的整數(shù)部分,例如[0.1]=0,[2.5]=2,[3]=3.點4(a,b)在第一象
限內(nèi),以A為對角線的交點畫一個矩形,使它的邊分別與兩坐標軸垂直.其中垂直于y軸的邊長為a,垂
直于無軸的邊長為固+1,那么,把這個矩形覆蓋的區(qū)域叫做點4的矩形域.例如:點(3,楙)的矩形域
是一個以(3,當(dāng)為對角線交點,長為3,寬為2的矩形所覆蓋的區(qū)域,如圖1所示,它的面積是6.
7-
6
5
4
3-3
22
11
-1O12345%-\o12345%
-1-1
圖1圖2
根據(jù)上面的定義,回答下列問題:
(1)在圖2所示的坐標系中畫出點(2,〈)的矩形域,該矩形域的面積是;
(2)點P(2,1),Q(a,?|)(a>0)的矩形域重疊部分面積為1,貝南的值
為.
27.定義:如果一個數(shù)的平方等于-1,記為理=-1,這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位,那么和我們所學(xué)的實數(shù)
對應(yīng)起來就叫做復(fù)數(shù),表示為a+bi(a,6為實數(shù)),。叫做這個復(fù)數(shù)的實部,6叫做這個復(fù)數(shù)的虛部,
它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似.例如計算:(2+0+(3-4i)=(2+3)+。—
4i)=5-3i.
(1)填空:產(chǎn)=;產(chǎn)=.
(2)填空:①(3+i)(3-i)=;②(5+i)2=.
(3)若兩個復(fù)數(shù)相等,則它們的實部和虛部必須分別相等,完成下題:已知%+4i=(2-乃-團
(x,了為實數(shù)),求x、y的值.
28.我們知道,任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解:n=pxq(p,q是正整數(shù),且pWq),在n的
所有這種分解中,如果p,q兩因數(shù)之差的絕對值最小,我們就稱pxq是n的最佳分解.并規(guī)定:F
(n)=1-
例如12可以分解成1x12,2x6或3x4,因為12-1>6-2>4-3,所以3x4是12的最佳分解,所
以F(12)=1.
(I)如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方,我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù).
求證:對任意一個完全平方數(shù)m,總有F(m)=1;
(II)如果一個兩位正整數(shù)3t=10x+y(l<x<y<9,x,y為自然數(shù)),交換其個位上的數(shù)與十位上
的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”,求所有“吉
祥數(shù)”;
(III)在(2)所得“吉祥數(shù)”中,求F(t)的最大值.
答案解析部分
L【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
U.【答案】D
12.【答案】A
13.【答案】C
14.【答案】C
15.【答案】B
16.【答案】C
17.【答案】(1)9
(2)19
18.【答案】9/+12xy-5y2;n=-3m
19.【答案】1
20.【答案】-59;-6
21.【答案】其中一條對角線所在直線;箏形只有一組對角相等;有且只有一條對角線被另一條對角線
垂直平分;有且只有一條對角線被另一條對角線垂直平分;4c垂直平分于。點,且4。AC。;箏形
面積為對角線乘積的一半.
22.【答案】(1)1
(2)解:=-1,
111Q4
由題思,得:"2=]_(_])=于的一_2,“4=]—2=-1
?,?每3個數(shù)一循環(huán),+02+。3=*+2-1="l,
?「2024+3=674...2,
:?+。2+。3-----H。2024
31
=674X—+(-1)+2-
1
=1011-1+2
1
=1010^.
23.【答案】(1)[V10]=3;
(2)解:①n=4,5,6,7,8;
②當(dāng)[四]=10時,可得“00W布<7121,
.\n=100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,
117,118,119,120;.?.滿足條件的n的個數(shù)為21
(3)解:①2;②設(shè)第三次操作為:[口]=2,則,4Wa<9,
設(shè)第二次操作為:[迎]=8,則;.64Wb<81,
二設(shè)第一次操作為:[而]=80,則而〈而〈很西,,6400Wzn<6561,
...只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中,最大的是6560,.?.m的最大值為6560.
24.【答案】(1)解:①2;
②:B點到OM的“閉距離”為3,
/.當(dāng)m<0時,m=2-3=-l,
當(dāng)m>0時,m-2=3,m=5,
??.m的值為-1或5.
(2)解:???點C表示的數(shù)為-m,點D表示的數(shù)為?m+3,在線段CD上存在點G,使得點G與線段
OM的“閉距離”為5,
???當(dāng)mVO時,可得不等式組
(—m—m<5
t—m+3—771>
解得:—^工根工―1,
當(dāng)m>0時,可得不等式組
(m—(―m)>5
1m-(+3—m)<5>
解得:|-<m<4,
綜上所述,—搟〈mW—1或搟WmW4;
最大值4,最小值是-2.5.
25.【答案】(1)(4,5);(—5,-4)
(2)解:???無理數(shù)一再的“青一區(qū)間”為(—3,-2),
2<<3,
■-22<a<32,即4<a<9,
???V^+3的“青一區(qū)間”為(3,4),
???3<A/Q+3<4,
?e-32<a+3<42,即9<a+3<16,
/.6<a<13,
/.6<a<9,
???a為正整數(shù),
???a=7或a=8
當(dāng)a=7時,yja+1=\ll+1=V8=2,
當(dāng)a=8時,\la+1=V8+1=狗,
???正不T的值為2或也;
(3)解:???yj2x+3y—m+J3%+
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