中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必考題型專訓(xùn)：等腰三角形與等邊三角形篇（解析版）

專題20等腰三角形與等邊三角形

考點(diǎn)一：三角形的中位線

知識(shí)回顧

1.中位線的定義:

三角形任意兩邊中點(diǎn)的連線段叫做這個(gè)三角形的中位線.

2.中位線的性質(zhì):

三角形的中位線平行且等于第三邊的一半.

D數(shù)生實(shí)踐活動(dòng)中,為了測量校園內(nèi)被花壇隔開的A,6兩點(diǎn)的距離，同學(xué)們?cè)?6外選擇一點(diǎn)C,

測得AC,以兩邊中點(diǎn)的距離龍為10加如圖），貝ijA,6兩點(diǎn)的距離是m.

【分析】利用三角形中位線定理解決問題即可.

【解密、解：?：CD=AD,CE=EB,

???龍是△/火的中位線,

:?AB=2DE,

???龐=10%,

AB=20m,

故答案為：20.

2.（2022?福建）如圖，在△力加中分別是期熊的中點(diǎn).若a1=12,則龐的長為

【分析】直接利用三角形中位線定理求解.

【解答】解：分別是仍力C的中點(diǎn),

龐為△/席的中位線,

.?.龐=26G=1X12=6.

22

故答案為：6.

3.（2022?西藏）如圖,如果要測量池塘兩端A,B的距離，可以在池塘外取一點(diǎn)C,連接AC,BC,點(diǎn)D,E分別是

AC,a'的中點(diǎn),測得龐的長為25米,則血的長為米.

c

【分析】應(yīng)用三角形的中位線定理,計(jì)算得結(jié)論.

【解答】解：分別是犯歐的中點(diǎn)，

.?.龐是△4?。的中位線.

48=2龐=2X25=50（米）.

故答案為：50.

4.（2022?麗水）如圖，在△/笈中,〃￡戶分別是陽陽48的中點(diǎn).若AB=6,BC=8,則四邊形如跖的周長

是（）

【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【解答】解：：〃區(qū)尸分別是6C/C四的中點(diǎn)，

：.DE=BF=^-AB=3,

2

,:E、6分別為4G中點(diǎn)，

:.EF=BD=LBC=4,

2

.?.四邊形頗F的周長為：2X（3+4）=14,

故選：B.

5.（2022?眉山）在△/阿中，48=4,6c=6,47=8,點(diǎn)〃區(qū)尸分別為邊AB,AC,BC的中點(diǎn)，則△龍尸的周長為

（）

A.9B.12C.14D.16

【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半,可得出△/充的周長=2△板的

周長.

【解答】解：如圖，點(diǎn)〃區(qū)尸分別為各邊的中點(diǎn),

:.DE、EF、";'是△/回的中位線，

：.DE=^BC=i,廝=1/8=2,小=2/C=4,

222

△麻的周長=3+2+4=9.

故選：A.

6.（2022?廣東）如圖,在△/回中,6。=4,點(diǎn)￡分別為AB,然的中點(diǎn),則DE=（）

A.一B.一C.1D.2

42

【分析】由題意可得應(yīng)是△/回的中位線，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求出應(yīng)的長度.

【解答】解：：點(diǎn)D,￡分別為AB,4C的中點(diǎn),8c=4,

龍是△力6。的中位線，

:.DE=LBC="4=2,

22

故選：D.

7.（2022?沈陽）如圖，在Rt△力區(qū)中，N2=30°,點(diǎn)以￡分別是直角邊必8c的中點(diǎn)，連接班;則/儂的

度數(shù)是（）

A.70°B.60°C.30°D.20°

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出N8,根據(jù)三角形中位線定理得到龐〃陽根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即

可.

【解答】解：在Rt△被7中，/力=30°,

則N8=90°-N/=60°,

■:D、￡分別是邊4G呢的中點(diǎn)，

應(yīng)是△/8C的中位線，

：.DE//AB,

:./CED=4B=6Q°,

故選：B.

8.（2022?常州）如圖，在中，仄￡分別是/8、/C的中點(diǎn).若龐=2,則歐的長是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【解答】解：:久￡分別是力民〃7的中點(diǎn)，

龐是△/8C的中位線，

：.BC=2DE,

,:DE=2,

：.BC=\,

故選：B.

考點(diǎn)二：等腰三角形

3.等退魂嚅定義;

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底.兩腰構(gòu)成的夾角

叫做頂角，腰與底構(gòu)成的夾角叫做底角.

4.等腰三角形的性質(zhì)：

①等腰三角形的兩腰相等.

②等腰三角形的兩底角相等.（簡稱”等邊對(duì)等角”）

③等腰三角形底邊的中線、高線以及頂角平分線相互重合.（簡稱底邊上三線合一）

5.等腰三角形的判定：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

②有兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形.（等角對(duì)等邊）

③若一個(gè)三角形某一邊上存在"三線合一”，則三角形是等腰三角形.

微專題

9.（2022?黑龍江）如圖，AA8C中,AB=4C,4。平分N8AC與a'相交于點(diǎn)〃點(diǎn)￡是血的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是比'的

中點(diǎn)，連接反交融于點(diǎn)R若的面積是24,"1.5,則比的長是（）

A.2.5B.2C.3.5D.3

【分析】如圖，過點(diǎn)￡作舐02于G,證明△砌W△的次得PG=PD=\.3,由三角形中位線定理可得AD

的長，由三角形26c的面積是24,得比'的長,最后由勾股定理可得結(jié)論.

【解答】解：如圖,過點(diǎn)與作員人弱于G,

:.AD1BC、BD=CD,

：.ZPDF=ZEGP=90°,EG//BC,

??,點(diǎn)￡是/夕的中點(diǎn)，

???G是/〃的中點(diǎn)，

:.EG=LBD,

2

???分是切的中點(diǎn)，

:.DF=LCD,

2

：.EG=DFy

Y/EPG=/DPF,

:?△EGP^XFDPkAAS、

：.PG=PD=1.5f

：.AD=2DG=&,

???△/少的面積是24,

.??工?叱4?=24,

2

.??8C=48+6=8,

:.DF=LBC=2,

4

:.EG=DF=2,

由勾股定理得：52=25

故選：A.

10.（2022?淄博）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路46〃切道路46與的夾角N為￡=50°.城

市規(guī)劃部門想新修一條道路CE,要求CF=EF,則/￡的度數(shù)為（）

A.23°B.25°C.27°D.30°

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，由筋〃必得到N〃叫=/為￡=50°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NC=

再根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算的度數(shù).

【解答】解：,??相〃以

：.ZDFE=ZBAE=^0°,

*：CF=EF,

???NC=N￡

■:/DFE=/C+NE,

AZC=Az22/^=Ax50°=25°,

22

故選：B.

11.（2022?鞍山）如圖，在△26。中，/8=/CN胡C=24°,延長6c到點(diǎn)〃使3陽連接49,則的度數(shù)

為（）

【分析】利用等邊對(duì)等角求得/6=/力==78°,然后利用三角形外角的性質(zhì)求得答案即可.

【解答】解：?.?以=〃；/掰。=24°,

：.ZB=ZACB=78°.

?：CD=AC,/ACB=78°，/ACB=/*/CAD,

：.ZD=ZCAD=AZ,ACB=39°.

2

故選：A.

12.（2022?荊州）如圖，直線N為C=40°,則N1+N2的度數(shù)是（）

【分析】過點(diǎn)。作。〃/1,利用平行線的性質(zhì)可得N1+N2=N4/再由等腰三角形的性質(zhì)可得乙4。=

/ABC,從而可求解.

【解答】解：過點(diǎn)。作CD//h,如圖，

??.1,//12//CD,

\=/BCD,/2=/ACD,

:S2=/BC>/ACD=/ACB,

?:AB=AC,

：.ZACB=ZABQ

'：ZBAC=40°,

：.ZACB=^（180°-N為。=70°,

2

???N1+N2=7O°.

故選：B.

13.（2022?臺(tái)灣）如圖，△46C中,。點(diǎn)在48上,￡點(diǎn)在比'上，龐為46的中垂線.若N8=/C且N&O

90°,則根據(jù)圖中標(biāo)示的角，判斷下列敘述何者正確？（）

A

A.N1=N2,N1VN3B.Z1=Z2,Z1>Z3

C.N1WN2,N1VN3D.N1WN2,N1>N3

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：???龍為朋的中垂線，

???ZBDE=/ADE,BE=AE,

：./B=/BAE,

???N1=N2,

VZ^O90°,

/.Z3+ZC<90°,

VZ^Z1=9O°,/B=/C,

.*.Z1>Z3,

???N1=N2,Z1>Z3,

故選：B.

14.（2022?宜賓）如圖,在歐中,AB=AC=5,。是6。上的點(diǎn),龐〃四交4。于點(diǎn)E,DF"AC交46于點(diǎn)F,那

么四邊形/&加的周長是（）

【分析】由于龐〃Z8,如〃則可以推出四邊形加快是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可以

證明口4W的周長等于AB+AC.

（解答1解「：DE〃AB、DF〃AC、

???四邊形4W是平行四邊形，/B=/EDC,ZFDB=ZC

'：AB=AQ

:,/B=/C,

/B=/FDB,/C=/EDC,

:.BF=FD,DE=EC,

的周長="班力0=5+5=10.

故選：B.

15.(2022?宿遷)若等腰三角形的兩邊長分別是3c0和5頌,則這個(gè)等腰三角形的周長是()

A.8cmB.13c/nC.8an或13c/nD.11CR或13cm

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3面和5M，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論,

還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【解答】解：當(dāng)3c勿是腰長時(shí),3,3,5能組成三角形，

當(dāng)5須是腰長時(shí),5,5,3能夠組成三角形.

則三角形的周長為11c0或13c燈.故選：D.

16.(2022?天津)如圖，△》8的頂點(diǎn)。(0,0),頂點(diǎn)48分別在第一、四象限，且軸，若加=6,勿=如

=5,則點(diǎn)/的坐標(biāo)是()

A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AC,根據(jù)勾股定理求出名根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)寫出點(diǎn)A的坐標(biāo).

【解答】解：設(shè)"與x軸交于點(diǎn)C

\'OA=OB,OC±AB,AB=6,

：.AC^—AB^3,

2

由勾股定理得：OC—J0A2-AC2=452-32=4，

點(diǎn)4的坐標(biāo)為(4,3),故選：D.

17.(2022?泰安)如圖，a〃/2,點(diǎn)/在直線心上，點(diǎn)8在直線為上,/6=a；/，=25°,/1=60°.則/2的

度數(shù)是()

A.70°B.65°C.60°D.55°

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到NC=NHIC=25°,利用平行線的性質(zhì)得到/應(yīng)＞1=95°,再根據(jù)三

角形外角的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：如圖，

：.ZC=ZBAC=25°,

V7I/772,Zl=60°,

：.ZBEA=180°-60°-25°=95°,

■:/BEA=/C+/2,

???N2=95°-25°=70°.

故選：A.

18.（2022?自貢）等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°,則這個(gè)底角的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】設(shè)底角的度數(shù)是X。，則頂角的度數(shù)為（2戶20）。，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列出方程,解方程

即可得出答案.

【解答】解：設(shè)底角的度數(shù)是,則頂角的度數(shù)為（2e20）。，

根據(jù)題意得：x+x+2x+20=180,

解得：x=40,

故選：B.

19.（2022?廣安）若（a-3尸+/==0,則以a、6為邊長的等腰三角形的周長為.

【分析】先求a,6.再求第三邊c即可.

【解答】解：V（3-3）2+7^5=0,（a-3）2^0,Vb^^O,

:.a-3=0,b-5=0,

??3.^3,Z?-5,

設(shè)三角形的第三邊為Q

當(dāng)a=c=3時(shí)，三角形的周長=a+ZrHc=3+5+3=n,

當(dāng)b=c=5時(shí),三角形的周長=3+5+5=13,

故答案為：11或13.

20.（2022?岳陽）如圖，在△/歐中，AB=AC,1戊7于點(diǎn)D,若8c=6,則CD=

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知。是6c的中點(diǎn)，即可求出力的長.

【解答】解：：AB=AC,ADVBC,

：.CD^BD,

■：BC=6,

：.CD=3,

故答案為：3.

21.（2022?蘇州）定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做"倍長三角形”.若等

腰是"倍長三角形”，底邊區(qū)的長為3,則腰的長為.

【分析】由等腰△力回是“倍長三角形”，可知AB=2BC或BC=2AB,若AB=2BC=6,可得AB的長為6;若

B-2AB,因1.5+1.5=3,故此時(shí)不能構(gòu)成三角形,這種情況不存在；即可得答案.

【解答】解：???等腰△/8C是“倍長三角形”，

:.AB=2BC或BC=2AB,

若AB=2BC=&,則△/a'三邊分別是6,6,3,符合題意，

.?.腰4?的長為6;

若BC=3=2AB,則AB=1.5,三邊分別是1.5,1.5,3,

VI.5+1.5=3,

此時(shí)不能構(gòu)成三角形,這種情況不存在；

綜上所述，腰的長是6,

故答案為：6.

22.（2022?云南）已知△2%是等腰三角形.若N/=40°,則△加C的頂角度數(shù)是.

【分析】分//是頂角和底角兩種情況討論,即可解答.

【解答】解：當(dāng)//是頂角時(shí),△/回的頂角度數(shù)是40°;

當(dāng)//是底角時(shí)，則的頂角度數(shù)為180°-2X40°=100°;

綜上,△48。的頂角度數(shù)是40°或100°.

故答案為：40°或100。.

23.（2022?濱州）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中48=/?立柱且頂角/曲。=120°,則/C

的大小為.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到N8=/C=30°.

【解答】解：且/胡。=120°,

/6=/（7=」（180°-ABAC）=AX60°=30°.

22

故答案為：30。.

考點(diǎn)三：等邊三角形

知識(shí)回顧

1.等邊三角形的概念?

三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

2.等邊三角形的性質(zhì)：

①等邊三角形的三條邊都相等,三個(gè)角也相等,且三個(gè)角都等于60°.

②等邊三角形三條邊都存在〃三線合一”

③等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形,有三條對(duì)稱軸.

④等腰三角形的面積等于立7（q為等腰三角形的邊長）.

4

3.等腰三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

②三個(gè)角都相等（兩個(gè)角是60°）的三角形是等腰三角形.

③底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形.

④有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

24.（20徽^^）如圖，直線a〃次等邊三角形Z6C的頂點(diǎn)。在直線6上,N2=40°,則/I的度數(shù)為（）

A

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N/=60°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出/3=80°,然后根

據(jù)平行線的性質(zhì)得到/I的度數(shù).

【解答】解：???△力以為等邊三角形，

.,.4=60°,

VZJ+Z3+Z2=180°,

.,./3=180°-40°-60°=80°,

a//b,

.\Zl=Z3=80o.

故選：A.

25.（2022?綿陽）下列關(guān)于等邊三角形的描述不正確的是（）

A.是軸對(duì)稱圖形

B.對(duì)稱軸的交點(diǎn)是其重心

C.是中心對(duì)稱圖形

D.繞重心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。能與自身重合

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),軸對(duì)稱圖形的定義，中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，每條邊的高線所在的直線是其對(duì)稱軸，

故/選項(xiàng)不符合題意；

三條高線的交點(diǎn)為等邊三角形的重心，

對(duì)稱軸的交點(diǎn)是其重心，

故夕選項(xiàng)不符合題意；

等邊三角形不是中心對(duì)稱圖形，

故C選項(xiàng)符合題意；

等邊三角形繞重心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。能與自身重合，

故。選項(xiàng)不符合題意，

故選：C.

26.（2022?海南）如圖，直線m//n,是等邊三角形,頂點(diǎn)6在直線n上,直線m交A8于點(diǎn)、E,交/C于點(diǎn)

月若Nl=140°,則/2的度數(shù)是（）

A.80°B.100°