2024年中考數(shù)學暑假復習講義：斜化直

斜化直

【原題呈現(xiàn)】

如圖1所示，已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=m,動點P從點D出發(fā)，在邊DA上以每秒1個單位長度的速度向點

A運動，連接CP,作點D關于直線PC的對稱點E,設點P的運動時間為t（s）.

（1）若m=6,求當P,E,B三點在同一直線上時對應的t的值.

（2）已知m滿足在動點P從點D到點A的整個運動過程中，有且只有一個時刻t,使點E到直線BC的距離等

于3,求m的取值范圍.

【研題策略】

來路

圖1

1.因為點E是點D關于直線PC的對稱點，故點P不管在線段AD上怎么運動，都不會改變APEC的形狀（直

角三角形），由/PEC=90。（斜直角），運用“改斜歸正，化斜為直”策略，以/PEC為基礎進行完形構造，補全“一線

三直角（K型圖廣，如圖2所示，則有△AECs/XCFB,所以次=因=.兩問都貫穿此模型.特別地，若兩個三角

CFBFBC

形中有一邊對應相等，則兩個三角形全等.

圖3

2.由對稱性,PC平分NEPD和NECD,,當P,E,B三點共線時，出現(xiàn)“平分+平行=等腰”，如圖3所示的等腰三

角形PBC,PB=BC.

思路

1.如圖4所示，在RtACEB中，由ACEMOACBE,,根據(jù)射影定理：（CE?=CM?CB可求CM.再由一線三直角

模型APNEAEMeK型圖）表示出PN,利用（CM=PN+PD,列方程求t的值.

圖4圖5

2.如圖5所示，在R3CEB中，利用勾股定理求出BE,由等腰三角形BPC,可得BC=BP,即BC=BE+EP,列

方程求t的值.

3.如圖6所示，在RtACEB中，利用勾股定理求BE,在RtAABP中，由AB?+=Bp2,列方程求出t的值.

圖6

4.如圖7所示，換個角度，另辟蹊徑，不妨建立平面直角坐標系x

Cy,設點E的坐標為(x,y).在R3CEB中，用等積法求出點E的縱坐

標，然后在平面直角坐標系中由兩直線垂直，可得兩直線表達式斜率的

乘積為-1,列出等式求解.(注：本解法不要求掌握)

5.第(2)問探究m的取值范圍，到直線BC的距離等于3的點的軌

跡是平行于BC且到BC的距離為3的兩條直線，點E的軌跡是以CD

為半徑的半圓C,兩平行線與圓弧應有唯一交點，如圖8所示，因此

點E的終點位置在Ei之后，E2之前.

解

(1)解法一如圖9所示，過點E作CD的平行線,分別交AD,BC于點N,M.

由題可知,CD=EC=4.

易證△CEM^ACBE,

=里即CM=空=絲=當

CMCECB63

EM2=?MC=(6-2)X旦,EM=延.

13，33

ENPOCME,；U=%

CEEM圖9

PN=在七

3

???CM=ND=PN+PD,2=V5f+t,解得t=6-2^5.

33

解法二如圖10所示.

ZBPC=ZDPC,PD//BC,/.ZBPC=ZBCP./.BP=BC=6.

在RtABEC中,BE={BC2-EC2=V62-42=2次.

又BE+EP=BP,即2?+t=6,解得t=6-2g

圖10

解法三如圖11所示.

Z.BPC=ADPC,PD\\BC,.-.乙BPC=乙BCP.

.\BP=BC=6.

2222

在Rt△BAP^,AB+AP=BP?,即4+(6-t)=6?,解得［=6-2方或t2=6+2,弓(舍去).

解法四如圖12所示，以點C為坐標原點建立平面直角坐標系xCy.

50,4)

設各點坐標分別為C(0,0),D(0,4),P(-t,4),E(x,y),

,.,PE_LCE,；.kPE?kCE=-l,即^■△=一1.整理，得t=4、工.

—t—xX4+y

在RtABEC中BE=^UC-I-EC2=吊62—42=2,耳

..1一,BC-y=L-BE-CE,：.y=竺,

223

*當直線斜率存在時，兩直線垂直，斜率乘積為-1.

...t=4,4-限=6-2代.

4+4+V5

3

(2)解法一如圖13所示，當點P與點A重合時，點E在BC的上方，點E到BC的距離為3.作EQXBC于點Q,延

長QE交AD于點M,則EQ=3,CE=DC=4,ME=1.在RtAECQ中,(QC=V42-32=V7.

vAMEoEQCf.^=^^=^.

ECQC4-7

AD=AE=①

7

MAiP]D

D

QBCN..............

圖13圖14

如圖14所示，當點P與點A重合時，點E在BC的下方，點E到BC的距離為3.過點E作AD的平行線分別

交AB,CD所在直線于點N,M.

在RtAECM中，EM=Vht2-CM2=?2-32=V7.

???ANEOEMC,延=嗎即￡=紇五

ECCM43

AD=477.

綜上所述，動點P從點D到點A的整個運動過程中，有且只有一個時刻t,使點E到直線BC的距離等于3,

m的取值范圍是逋<小<4V7.

7

解法二如圖15建立平面直角坐標系xCy,點C為坐標原點，設各點坐標分別為C(0,0),D(0,4),P(-t,4),E(x,y).

?;PE±CE,/.kPE-kcE=-l.

上匕-x=-1,即t=4Vg.

-t—xx4y

—3<y<3,.?.應<t<4V7,即±^<m<4〃所以m的取值范圍是

77

^Z<m<4近

【舉一反三】

1.如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點A的坐標為((一1，1),點B在x軸正半軸上，點

D在第三象限的雙曲線y=2上，過點C作CE〃x軸交雙曲線于點E,連接BE網(wǎng)JABCE的面積為.

3.如圖所示,在矩形ABCD中，ZB=3,BC=4,,點E是邊AB上一點，且AE=2EB點P是邊BC上一點，連接E

P,過點P作.PQ1PE交射線CD于點Q,若點C關于直線PQ的對稱點（C，正好落在邊AD上，求BP的值.

3.如圖所示，已知拋物線（C:y=x2一2x+l的頂點為P,與y