8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（1）課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用

第2課一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)（1）新知探究探究1.

如何利用散點(diǎn)圖找出一條直線，使各散點(diǎn)在整體上與此直線盡可能接近。追問：這條直線的函數(shù)關(guān)系式是什么？這條直線的關(guān)系是怎么求？閱讀教材P107提供的三種方法這些方法雖然有一定的道理，但比較難操作，我們需要另辟蹊徑.

理由：模型準(zhǔn)確，便于計(jì)算，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單.問題1：如何利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)方法刻畫“從整體上看，各散點(diǎn)與直線最接近”?注：樣本數(shù)據(jù)得點(diǎn)到回歸直線豎直距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.因此，可以用

來(lái)刻畫各樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的整體接近程度。探究2.推導(dǎo)方程探究2.推導(dǎo)回歸方程探究2.推導(dǎo)回歸方程稱為樣本點(diǎn)的中心.探究2.推導(dǎo)回歸方程探究5：深度學(xué)習(xí)：兩個(gè)公式的轉(zhuǎn)化

我們將

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫最小二乘法．注意：1、經(jīng)驗(yàn)回歸必過.2、

都是估計(jì)值.3、

與r符號(hào)相同.

理解

經(jīng)驗(yàn)回歸方程注意：兩個(gè)公式間的轉(zhuǎn)化推導(dǎo)探究3：模型深化理解——身高案例的經(jīng)驗(yàn)回歸方程

含義2：父親身高為176cm的所有兒子身高的均值的估計(jì)值為177cm.含義1：由方程作出推測(cè)，當(dāng)父親身高為176cm時(shí)，兒子身高一般在177cm左右

斜率可以解釋為父親身高每增加1cm，其兒子身高平均增加0.839cm.思考3：根據(jù)方程，父親身高為多少時(shí)，長(zhǎng)大成人的兒子身高和父親身高一樣？模型深化理解——經(jīng)驗(yàn)回歸方程D練習(xí)：模型深化理解——經(jīng)驗(yàn)回歸方程2、工人工資y(元)依勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)變化的回歸方程^，下列判斷正確的是()A、勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為130元B、勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資約提高80元C、勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資約提高130元D、當(dāng)月工資250時(shí)，勞動(dòng)生產(chǎn)率為2000元B練習(xí)：模型深化理解——經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型深化理解——經(jīng)驗(yàn)回歸方程(2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．（ⅱ）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226．1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理．說明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．注意：語(yǔ)言表達(dá)準(zhǔn)確模型深化理解——經(jīng)驗(yàn)回歸方程例3.在全國(guó)脫貧攻堅(jiān)總結(jié)表彰大會(huì)上，習(xí)近平總書記莊嚴(yán)宣告：我國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得全面勝利.目前，河南省53個(gè)貧困縣已經(jīng)全部脫貧摘帽，退出貧困縣序列.2016年起，我省某貧困地區(qū)創(chuàng)新開展產(chǎn)業(yè)扶貧，響應(yīng)第三產(chǎn)業(yè)的扶貧攻堅(jiān)政策，經(jīng)濟(jì)收入逐年增加.該地的經(jīng)濟(jì)收入變化如圖所示：求經(jīng)驗(yàn)回歸方程及應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)年份2016年2017年2018年2019年2020年年份代號(hào)x12345經(jīng)濟(jì)收入y(單位：百萬(wàn)元)59141720(1)求經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2025年該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)收入.探究4：由表格中的數(shù)據(jù)可知，年份2016年2017年2018年2019年2020年年份代號(hào)x12345經(jīng)濟(jì)收入y(單位：百萬(wàn)元)59141720①經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于我們研究的樣本和總體。②經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)間性。③解釋變量的取值不能離可望而不可及本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)。樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍。④不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值是預(yù)報(bào)變量的精確值。事實(shí)上，它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值注意問題:在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要注意下列問題解題技巧總結(jié)2.注意分步計(jì)算3：靈活選擇與轉(zhuǎn)化兩個(gè)公式把身高和體重的關(guān)系用下面的線性回歸模型表示:

其中a和b為模型的未知參數(shù)，e是一個(gè)隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)誤差

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，這樣y的值就由x和e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。一般，我們把x稱為解釋變量，y稱為預(yù)報(bào)變量。探究5：殘差線性回歸模型的完整表達(dá)式：預(yù)報(bào)值真實(shí)值探究5：殘差（1）根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)粗略判斷它們是否線性相關(guān)。（2）是否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)（3）通過殘差來(lái)判斷模型擬合的效果

這種分析工作稱為殘差分析一般地，在研究?jī)蓚€(gè)變量的關(guān)系時(shí)：我們可以通過殘差發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立的模型的擬合效果

探究6：殘差分析利用殘差圖進(jìn)行殘差分析的具體步驟如下:(1)計(jì)算每組觀測(cè)數(shù)據(jù)的殘差,即殘差等于真實(shí)值減預(yù)測(cè)值.當(dāng)殘差比較小時(shí),說明回歸模型擬合數(shù)據(jù)較好，如:編號(hào)12345678身高/㎝165165157170175165155170體重/㎏4857505464614359殘差-6.3752.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382殘差分析的一般方法：作殘差圖探究6：殘差分析以殘差為縱坐標(biāo)，以樣本編號(hào)(或x)為橫坐標(biāo).（2）畫殘差圖.

殘差圖的縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)通?？梢允怯^測(cè)樣本的編號(hào)、自變量x或因變量的預(yù)測(cè)值等，殘差圖是一種散點(diǎn)圖，如:(4)找異常值.

根據(jù)計(jì)算的殘差值和殘差圖,觀察是否存在殘差特別大的點(diǎn),即遠(yuǎn)離橫坐標(biāo)的點(diǎn).如果存在遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸的點(diǎn),即為異常點(diǎn)，就要研究它出現(xiàn)的原因.(3)分析殘差圖：殘差有正有負(fù)，比較均勻地分布在橫軸的兩邊，說明殘差比較符合一元線性回歸模型中對(duì)于隨機(jī)誤差的假定若殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說明模型擬合精度越高,回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.判斷回歸模型刻畫數(shù)據(jù)的效果；發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測(cè)與決策.殘差的作用：

思考：觀察以下四幅殘差圖，你認(rèn)為哪一個(gè)殘差滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定？(1)(2)(3)(4)

圖（1）顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，應(yīng)將時(shí)間變量納入模型；圖（2）顯示殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，應(yīng)在模型中加入時(shí)間的非線性函數(shù)部分；圖（3）說明殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨觀測(cè)時(shí)間變大而變大；圖（4）的殘差比較均勻地集中在以橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi).所以，只有圖(4）滿足一元線性回歸模型對(duì)隨機(jī)誤差的假設(shè)。方法總結(jié)：回歸分析的流程

經(jīng)驗(yàn)回歸方程的理解①只有在散點(diǎn)圖大致呈線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程才有實(shí)際意義，否則求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程毫無(wú)意義.②經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)效性.③解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn).一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)效果會(huì)比較好④不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值.它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值.課堂小結(jié)

素養(yǎng)升華1