陜西省咸陽市2024年高考模擬檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)（文科）試題

咸陽市2024年高考模擬檢測(cè)(三)

數(shù)學(xué)(文科)試題

注意事項(xiàng)：

1.本試題共4頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘.

2.答卷前，務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項(xiàng)目填寫清楚.

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將

答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=|l+百i|,貝日=()

A.B.C.1—iD.1+i

1-il+i

2.已知全集為R,集合/={X|，-5XV6},集合”{木<2},則8c(C/)=()

A.(6,+co)B.[6,+oo)C.(-co,-l)D.(-oo,-l]

3.在數(shù)列{a“}中，q=1,=a”+2"—1,則%=()

A.43B.46C.37D.36

4.已知。：ln(a+l)>0,2*+l(a,則〃是「4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.在。8c中，a、b、c分別為的內(nèi)角4B、C的對(duì)邊，M為邊/C上一點(diǎn)，滿足

MC=3AM,^a2+c2-b2+ac=0,c=2,a=4,則眄卜()

V3「3nV39

A.—B.------C.—D.----------

2772

6.隨機(jī)取實(shí)數(shù)則關(guān)于x的方程x?+2px+4p-3=0有兩個(gè)負(fù)根的概率為(

試卷第1頁，共6頁

7.已知各棱長都為1的平行六面體/BCD-中，棱/4、AB、兩兩的夾角均

8.為了進(jìn)一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在市區(qū)多

地規(guī)劃建設(shè)了“口袋公園”.如圖，在扇形“口袋公園”0尸。中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道

7T

OAB,已知扇形的半徑。尸=3,圓心角=A是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，B是半徑。。上

的動(dòng)點(diǎn)，ABHOP,貝UAO/8面積的最大值為（）

Q

9

9.某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為石，從第二題開始，甲同學(xué)回答第

17

〃題時(shí)答錯(cuò)的概率為夕，勺=5勺-+：，當(dāng)”22時(shí)，月》河恒成立，則”的最大值為

（）

15-17〃15-17

A.—B.—C.—D.—

22222121

10.已知一個(gè)圓錐的三視圖如圖，該圓錐的內(nèi)切球也是棱長為。的正四面體的外接球，則此

正四面體的表面積為（）

試卷第2頁，共6頁

9999

11.已知函數(shù)/（x）=VJsincox-coscox（a>>0）,若/（%）在區(qū)間［。㈤內(nèi)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和4

條對(duì)稱軸，則。的取值范圍是（）

22

12.已知雙曲線T：5-5=1（〃〉0,b〉0）的左右焦點(diǎn)分別為片、F2,左右頂點(diǎn)分別為

ab

A、B,M為OA（。為原點(diǎn)）中點(diǎn)，尸為雙曲線T左支上一點(diǎn)，且抽，片工，直線

的斜率為-：，。為△兩用的內(nèi)心，則下列說法正確的是（）

A.T的離心率為病

B.7的漸近線方程為：y=土是x

3

C.PM平分NF'PFz

D-SAQP%=^/^QPFy+§SA眄6

第II卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20

分.

22

13.已知橢圓C:土+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,M為橢圓C上任意一點(diǎn)，尸為曲

54

線氏/+/一6x-4〉+12=0上任意一點(diǎn)，則十|四周的最小值為.

y+l>0

14.%,y滿足約束條件<工->22,貝1=1+2歹的最大值為.

x—3W0

15.已知函數(shù)/（x）為偶函數(shù)，滿足/。+2）=-矗，且一2WxV0時(shí)，=一2,

試卷第3頁，共6頁

若關(guān)于X的方程/(X)-2loga(3x+l)=0有兩解,則a的值為.

16.關(guān)于x的不等式xem+6x-lnx21(a>0)恒成立，則公的最小值為.

a

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題

為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.數(shù)列｛%｝滿足q=1,an+lan+an+l-an=0.

(1)求數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式；

COSZZ7C

⑵設(shè)"=31+2,求數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和S”.

18.閱讀是人類獲取知識(shí)、啟智增慧、培養(yǎng)道德的重要途徑.1995年，聯(lián)合國教科文組織宣

布4月23日為“世界讀書日”，致力于向全世界推廣閱讀、出版和對(duì)知識(shí)產(chǎn)權(quán)的保護(hù).某學(xué)校

為了打造“書香校園”，使學(xué)生養(yǎng)成好的閱讀習(xí)慣，健康成長，從學(xué)校內(nèi)隨機(jī)抽取了200名學(xué)

生一周的課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，了解學(xué)生的課外閱讀情況，收集了他們閱讀時(shí)間(單位:

小時(shí))等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],

(14,16],(16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)求。的值及200名學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù);

(2)為進(jìn)一步了解這200名學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的情況，從課外閱讀時(shí)間在(12,14],(16,18]

兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了6人，選取其中兩人組成小組，現(xiàn)求其中兩名

組員全在(12,14]內(nèi)的概率.

19.已知平行四邊形48CD中，AB=6,AD=272,且4=/.若￡為邊上一點(diǎn)，滿足

試卷第4頁，共6頁

TT

DE=2EC,若將三角形BCE沿著BE折起，使得二面角C-BE-4為1.

⑴求證：DC，平面3CE；

(2)求四棱錐C-ABED的體積.

20.已知函數(shù)/(幻=辿匹+苫一1.

X

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)g(x)=/(x)-x極值；

(2)若對(duì)任意xe[l,+e),”x)2a+l恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.已知直線y=無。-2)過定點(diǎn)“，動(dòng)圓C過點(diǎn)“，且在》軸上截得的弦長為4,設(shè)動(dòng)圓圓

心軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)點(diǎn)4(2,1),P,。為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若尸，Q,8恰好為平行四邊形R4Q8的其中三個(gè)

頂點(diǎn)，且該平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)在P=2x上，記平行四邊形以。8的面積為S,求證:

5<3.

(二)選考題：共10分，考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按

所做的第一題計(jì)分.

【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

|\=1+cosa

22.在平面直角坐標(biāo)系x切中，曲線G的參數(shù)方程為.(a為參數(shù))，以坐標(biāo)原

[y=sina

點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A為曲線G上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8在線段。4

的延長線上且滿足|。4到=10,點(diǎn)8的軌跡為Q.

⑴求曲線￡,G的極坐標(biāo)方程；

⑵設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為,求A/BM面積的最小值.

【選修4-5:不等式選講】

23.已知當(dāng)xe[―2,—1]時(shí)，,一同W|x+3Hx+2卜恒成立.

試卷第5頁，共6頁

⑴求加的取值范圍；

⑵若a,6e(0,+oo),加的最大值為/,證明：(1+a+b2)(l+b+a2)>ab(t+4)2.

試卷第6頁，共6頁

1.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)模及除法運(yùn)算求得z,再求出共軌復(fù)數(shù).

【詳解】由z(l+i)=|l+后|，得Z(l+i)=a+(6)2,則Z=R==l_i,

所以z=1+i.

故選：D

2.C

【分析】求出集合A中元素范圍，然后根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念得答案.

【詳解】^4=x2-5%<6j-1<x<6},則圖/={%|工<—1或工〉6},

所以8C(CR/)=(—oo,—l).

故選：C.

3.C

【分析】由遞推公式%+1=〃〃+2〃-1用累加法公式

〃〃=(?！ㄒ弧āā?)+(%一1一?！ㄒ?)+…+(。2-》2)求出Q”,再求％即可.

【詳解】法一：由題得〃〃二(〃“一。〃_1)+(〃〃_1一〃“_2)+-?+(〃2

=(2〃一3)+(2〃一5*..+3+1+1=("吼(；-3)+1]+1=/一2〃+2叱2)，

所以%=72-2x7+2=37.

aa=

法一■：由題。[=1,n+l~n2H—1,

以%=(%—&)+(&-%)+,,,+(%—0])+4=11+9+7+5+3+1+1=37.

故選：C.

4.D

【分析】分別求得P為真時(shí)，a>0,「4為真時(shí)，。<2,可得結(jié)論.

【詳解】P為真時(shí)，可得。+1>1,所以。>0,

9為真時(shí)，a2(2,+1焉，又xNO,所以2，+&20+1=2,所以心2,

所以為真時(shí)，a<2,

所以〃是「4的即不充分又不必要條件.

故選：D.

答案第1頁，共15頁

5.A

【分析】由已知條件求出6,由余弦定理求出B,再由正弦定理求出sin/,進(jìn)而求出cos/,

在A/8”中，由余弦定理即可求出|京可

【詳解】

由已知，a2+c2-b2=-ac,則cos5="°"=±=-上

2ac2ac2

2

因?yàn)?e（O,兀），所以8=胃7r，

又c=2,。=4,代入/+C2=-ac,解得6=2>/7,

因?yàn)镸為邊/C上一點(diǎn)，滿足證=3而，所以NM=，NC=a,

42

ba2幣4用0萬

由正弦定理一^=—即一^一而二，解得sin/=?,所以cos/=V生，

sin5sin/sin—77

3

設(shè)|蕭卜x,則在河中，由余弦定理3河2=432+4/—243ZMcos/,

得一=22+[?[-2X2X^X2^Z=Z,解得X=',gp|5A7|=^.

故選：A.

6.C

【分析】考查幾何概率，求出關(guān)于x的方程f+2px+40-3=0有兩個(gè)負(fù)根的p的取值范圍

即可求所求概率.

【詳解】方程/+2px+4P—3=0有兩個(gè)負(fù)根,

A=（2^）2-4xlx（4/?-3）=4/72-16/7+12>0

3

貝！J<西+/—-20<0=^>-<夕<1或P>3,

x{x2=42一3>0

（7-3）+[1-1

17

所以所求概率為-------

26

7——

2

答案第2頁，共15頁

故選：c.

7.C

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何法求出異面直線24與CA

所成角.

【詳解】在平行六面體ABCD-AXBXCXDX中，連接A.D,BD,

A,BXHAB//CD,=4B=CD,

則四邊形44是平行四邊形，BO/AQ,于是ZB/。是異面直線臺(tái)4與eg所成角或其補(bǔ)

角，

JT

由/&=42=ND=1,棱AA,,AB,AD兩兩的夾角均為:，

冗

得AABDQAB&AADAI都是正三角形，即48=2。=4。=1,則NB&D=-,

所以異面直線B4與CB,所成角為|.

【分析】設(shè)/PCM=e,在AO/8中利用正弦定理及三角形面積公式列出函數(shù)關(guān)系，再求出

函數(shù)最大值即得.

TT27t

【詳解】設(shè)/尸。/=仇。€(。,]),由/B//OP,得NOAB=8,NOBA=w，

OBOA_j-

在中，由正弦定理得sin。sin空，即O8=2gsin。，

sinT

則AOAB的面積S^-OBOAsinZAOB=3百sin6sin(/-6?)

=3Gsincos。一;sin8)=3^3(-^-sin2。一；---

答案第3頁，共15頁

=^-[sin（20+-）-l],顯然28+鼻邑當(dāng)，因此當(dāng)26+99即時(shí)，S”也,

262666626max4

所以AOAB面積的最大值為巫.

4

故選：A

9.A

【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列優(yōu)｝的通項(xiàng)，再借助單調(diào)性求出月的最小值即可得解.

921?Q1Q

【詳解】依題意，^=1--=-,當(dāng)"22時(shí)，由￡=不￡-+、，得勺-77=不（匕「77），

11J.J.J.NJ1J.L11

而因此數(shù)列優(yōu)哈是首項(xiàng)為-白，公比為:的等比數(shù)列，

-LA1_LJ.J.XJ.X4

則匕嚴(yán)，即勺$一白吊尸，顯然數(shù)列出,｝是遞增數(shù)列，

J.111L/J.J._L_LL乙

當(dāng)〃22時(shí)，（￡焉=￡=白一票?與，而當(dāng)”22時(shí)，月2M恒成立，于是河卓，

J.J.J.J.J.乙乙乙乙乙

所以”的最大值為II.

故選：A

10.C

【分析】先由三視圖獲取圓錐的高、底面半徑和母線的長，從而求出圓錐內(nèi)切球，再結(jié)合正

四面體和正方體的關(guān)系即可探究正四面體棱長和該內(nèi)切球半徑的關(guān)系，進(jìn)而即可求出正四面

體的表面積.

【詳解】由圓錐的三視圖如圖可知圓錐的高為26,底面半徑為2,

則母線長/=4,由圓錐結(jié)構(gòu)特征可知：圓錐的軸過其內(nèi)切球（半徑設(shè)為r）球心。,

所以過圓錐的軸截圓錐及其內(nèi)切球得到的截面圖如下:

由上可知NBSa=30。，故有OG=：SO,BPr=1（2V3-r）2百

=>r=--

3

將棱長為。的正四面體補(bǔ)形為正方體，如圖，

答案第4頁，共15頁

DiG

4

A

則正方體的棱長為正Q,且該正四面體的外接球即為正方體的外接球,

2

所以正四面體的表面積為S=4x注/=4x^x士32A/3

4413J9

故選：C.

11.C

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)“X),再結(jié)合正弦函數(shù)的零點(diǎn)及對(duì)稱性列式求解即得.

【詳解】函數(shù)/(x)=2sin(0x-z),當(dāng)xe［O,兀)時(shí)，a)x--e［---,11(0----),

6666

冗1925

由/⑴在區(qū)間［0,無)內(nèi)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，得3兀＜兀0-兀，＜ty＜—,

0OO

由/(X)在區(qū)間［。,兀)內(nèi)有且僅有4條對(duì)稱軸，得7兀解TT得9兀一11＜0414?,

26233

所以。的取值范圍是1:1＜。42丁5.

36

故選：C

12.C

【分析】由題設(shè)及雙曲線性質(zhì)可得|咫|=且且。=2°,即可判斷A、B；根據(jù)角平分線性質(zhì)

a

PEME

只需判斷I扁I、匕I告是I否相等判斷C；設(shè)△A尸片外的內(nèi)切圓的半徑為「，由三角形面積公

IIIMt2I

式計(jì)算即可判斷D.

【詳解】由題設(shè)耳g(c,0)且c＞0,又尸耳，耳E，

所以|P片|=S,tanZPF2F1==-tanZPF2x=1,故匕=3,

1a巧用42ac4

由貝［|(2c+a)(c-2a)=0,故c=2a,所雙曲線7的離心率為2,故A正確;

由上可得尸=3/,故C的漸近線方程為/=±2工=土后，B錯(cuò)誤；

答案第5頁，共15頁

L2IPFI3

由|咫|=幺=3。，則|%|=2〃+|尸乙|=5〃，故治之二￡,

aI4213

而胡為。區(qū)的中點(diǎn)，則|龍陰|=。一臺(tái),，|A^|=C+j=y,

\MFI3

故甘號(hào)=￡，由角平分線性質(zhì)易知：PM平分/F'PF2,C正確；

設(shè)△尸耳片的內(nèi)切圓的半徑為r,tan/Pg耳=*=],

可得|W|=3m,|F{F2\=4m,由勾股定理可得|PF21=5m,

所以與跳；=\\PFi\'r=^-mr,SAQPF+1SAQFF=^-1PF,|?r+1x|\-r=mr,故D不正

22213122326

確.

故選：C.

13.272-1

【分析】求出點(diǎn)入的坐標(biāo)，求出圓E的圓心和半徑，再利用圓的性質(zhì)求出最小值.

22

【詳解】橢圓C：土+匕=1中,右焦點(diǎn)1(1,0),圓E:(x-3y+G-2)2=1的圓心E(3,2),半

54

徑r=1,

顯然橢圓。與圓E相離，由點(diǎn)。在圓￡上，得|兒。1mhi

于是+閆〃石|-1+|〃工因理|-1=二5^?一」？拒-1,

當(dāng)且僅當(dāng)尸分別是線段巡與橢圓C、圓E的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，

所以+\MF2曲最小值為2V2-1.

故答案為：2拒-1

14.5

【分析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求出最大值.

y+l>0

【詳解】約束條件<x->22表示的平面區(qū)域，如圖中陰影“8C,其中/(3,1),5(3,-l),C(l,-l),

x-3<0

答案第6頁，共15頁

]71Z

目標(biāo)函數(shù)z=x+2y,即＞=一5工+5表示斜率為-5,縱截距為:的平行直線系,

畫直線4：y=-;x,平移直線4到直線小當(dāng)直線4經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，4的縱截距最大，z最大,

Zmax=3+2xl=5,

所以z=x+2y的最大值為5.

故答案為：5

—1

15.49或一

169

【分析】由己知可得/(X)是以為4周期的周期函數(shù)，結(jié)合已知可作出函數(shù)“X)的圖象，關(guān)于

x的方程/(x)-2log0(3x+1)=。有兩解，可得”/(x)與＞=2log.(3x+1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

數(shù)形結(jié)合可求。的值.

【詳解】由/0+2)=-7^,可得〃x+4)=-乙1r、=/(x),

f(x)/(x+2)

所以/(x)是以為4周期的周期函數(shù)，又/(x)為偶函數(shù)，且/(x)=(4)=2(-2VxV0),故可

作出函數(shù)“X)的圖象如圖所示：

若關(guān)于x的方程〃x)-2log.(3x+1)=0有兩解,

則V=/(x)與了=2log.(3x+1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)。>1,則y=21og“(3x+l)過點(diǎn)4(2,1),所以l=21og“(3x2+l),解得。=49,

當(dāng)0<a<1,則y=21og“(3x+l)過點(diǎn)3(4,-1),所以-l=21og“(3x4+l),解得。=工，

169

綜上所述：。的值為49或上.

答案第7頁，共15頁

故答案為：49或工.

169

16.-1

【分析】由—lnxNl(a>0),得產(chǎn)1nx2—及+Inx+l(a〉0),利用導(dǎo)數(shù)證明爐之x+1,

貝U問題轉(zhuǎn)化為"+Inx+12-bx+Inx+1(。〉0)恒成立，即可得解.

【詳解】令〃x)=e-x-l,則〃x)=e，-l,

當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)>0,

所以函數(shù)〃無)在(-雙0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以以無)2〃0)=0,所以e，2x+l,

由xe"+6x-lnxWl(a>0),得e'-lnx+l(a>0),

而QX+Inx￡R,

令辦+Inx+12-bx+Inx+1(。>0),

貝Ua+bZO,所以92一1,

a

若a+b<0,

如圖作出函數(shù)〉=-辦(°>0),夕=111工的圖象，

由函數(shù)圖象可知，方程"+Inx=0有唯一實(shí)數(shù)根X。€(0,1),

即ax0+Inx0=0,

由雙火+樂一山工21(。>0),得e3in、2—bx+lnx+1,

即6G+山工-(辦+lnx)2l-(a+b)x,

當(dāng)％=%時(shí)，e。一021—(a+b)%,gp(a+b)x0>0,

又。+6<0,x0e(O,l),所以(。+6)/<0,

答案第8頁，共15頁

所以(0+6區(qū)20不成立,

即當(dāng)〃+6<0時(shí)，xe^+bx-\nx>l(a>0)不恒成立,

綜上所述，2的最小值為T.

a

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略:

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范

圍；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到

分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題,

就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

1

17.(1)??=";

n

9n

丁“=2k

⑵工=丘N*.

7n-l

-,n=2k-l

4

【分析】(1)變形給定等式，利用等差數(shù)列求出通項(xiàng)即得.

(2)利用(1)的結(jié)論，求出“，按〃為奇數(shù)和偶數(shù)并結(jié)合并項(xiàng)求和法分別求和.

【詳解】(1)數(shù)列｛%｝中，"1=1,=。，顯然生尸。，貝！I=1,

an+\an

數(shù)列｛1｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，—=l+(n-l)-l=n,

ana?

所以數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式是

n

w

(2)由(1)知，bn=(-l),—+2,

-1

當(dāng)〃=2冗左eN-時(shí)，bn_t+bn=(-1)"-+2+(-1)"-y+2=-|,=

乙乙乙乙乙I,

91

當(dāng),二2左一1,左eN*時(shí)，S“=Sn+l-bn+l==(?+),ZL±l_2=Z^-l,

答案第9頁，共15頁

9n

不〃=2k

所以S〃=，斤eN*.

7n—l

■,n=2k-I

4

18.(l)a=0.10,9.16小時(shí);

【分析】(1)利用給定的頻率分布直方圖，結(jié)合各小矩形面積和為1求出。，再估計(jì)一周課

外閱讀時(shí)間的平均數(shù).

(2)求出指定的兩組內(nèi)各抽取的人數(shù)，利用列舉法、結(jié)合古典概率求解即得.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖得：2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+0+0.05+0.04+0.01)=1,解

得a=0.10,

平均數(shù)元=2x(1x0.02+3x0.03+5x0.05+7x0.05+9x0.15+11x0.10

+13x0.05+15x0.04+17x0.01)=9.16(小時(shí))，

所以4=0.10,200名學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)為9.16小時(shí).

(2)在(12,14］,(16,18］這兩組采用分層抽樣的方法抽取6人，

則從課外閱讀時(shí)間在(12,14］內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，記為1,2,3,4,5,

課外閱讀時(shí)間在(16,18］內(nèi)的學(xué)生中抽取1人，記為加，

于是有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,⑼,(2,3),(2,4),(2,5),(2,⑼,(3,4),(3,5),(3,⑼,(4,5),(4,⑼,(5,m),

共15種，且每種結(jié)果的發(fā)生是等可能的，

而滿足兩名組員都在(12,14］內(nèi)的情況有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種，

1Q7

所以兩名組員全在(12,14］內(nèi)的概率為三=*

19.(1)證明見解析；

0、10百

【分析】(1)在平行四邊形中結(jié)合余弦定理證明在幾何體中，由二面

角結(jié)合余弦定理證明。C±CE,再利用線面垂直的判定推理即得.

(2)在線段OE上取一點(diǎn)O,使得。O=3OE,證明OC1平面4BED,再利用錐體體積公

式計(jì)算即得.

答案第10頁，共15頁

【詳解】（1）在〃/BCD中，連接AB=6,AD=2y/2,且

在ABCE中，NC=q,8C=2后，又DE=2EC,貝!|￡C=2,

4

由余弦定理得：BE2^BC2+CE2-2BCxCExcosC=4,解得8E=2,

TT

因?yàn)锽E2+CE?=BC?,貝|N2EC=5，即BE工CE,BE工DE,

在折疊后的幾何體中，由BELCE,BELDE,且?！觊T?！?￡,€'瓦?！?lt;=平面0/)￡,

則8E_L平面CDE,又。Cu平面。)￡,則8E_LZ)C,

JT

由BELCE,BELDE,及二面角C-3E-/為可，得/DEC為二面角C-8E-/的平面角,

7T

即ZDEC=—,

3

在△”?￡'中，DE=4,CE=2,由余弦定理得〃C=小4?+22-2x4x2x；=2班,

IT

于是。（32+以2=。片2,則/。即DC^CE,

2

因?yàn)锽E，DC,BECCE=E,BE,CEu平面BCE,

所以DC_L平面8c￡;

（2）如圖，在線段OE上取一點(diǎn)。，使得。。=3?！?連接C。,

在ACOE中，OE=1,CE=2,NOEC」,由余弦定理得0C=+2?-2xlx2x」=若,

3V2

TT

于是Ob+OE?=C爐，貝!|/COE=—,即。C_LOE,

2

由(1)知8E_L平面CD￡,OCu平面DCE,則OC_L8E,

又OERBE=E,且OE,8Eu平面48即，

則。C_L平面/BED即四棱錐C-48E。的高為OC,

又$，皿=；(NB+OE)?BE=10,則VC_ABED=\SABED?OC=竺"，

答案第11頁，共15頁

106

所以四棱錐C-ABED的體積為

3

20.⑴極大值g(e)=L,無極小值;

e

⑵(-8,-1].

【分析】(1)把。=1代入，并求出函數(shù)g(x),再利用導(dǎo)數(shù)探討極值即可得解.

(2)變形給定不等式，證明lnx<x并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)°(x)=1凸，利用導(dǎo)數(shù)求出最

x-\nx

小值即得.

【詳解】⑴函數(shù)/0)=亞+》-1的定義域?yàn)?0,+8),當(dāng)0=1時(shí)，

X

g(x)=/(x)-x=--1,

求導(dǎo)得g'(x)=E學(xué)，由g'(x)=0,得『,由g'(x)>0,得0<x<e,由g'(x)<0,得

x>e,

因此g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,

所以g(x)在x=e處取得極大值g(e)=--l,無極小值.

e

(2)函數(shù)/(x)=?10％+x—1,f(x)>a+1a(lnx-x)>2x-x2,XG[1,+OO),

x

1—V

設(shè)加(x)=lnx-x,XG[1,+OO),求導(dǎo)得環(huán)(工)=---<0,函數(shù)加⑴在1+⑹上單調(diào)遞減,

X

r2_Or

則〃?(x)〈加⑴=-1<0,即lnx<x,因此。41~,

x-lnx

令夕(x)=±名，xe[1,+?),求導(dǎo)得0'(x)=(x-1)(%+2-2Inx)

2

x-lnx(x-Inx)

2

令/z(x)=x+2—21nx,XG[1,+OO),求導(dǎo)得/(1)=1一一,當(dāng)1<％<2時(shí)，h\x)<0,

x

當(dāng)x〉2時(shí)，〃'(x)>0,即〃(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增,

則〃(x)血n=〃⑵=4-21n2>0,gp(p\x)>0,因此函數(shù)=x)在[1,+8)上是增函數(shù),

O(X)min=旗1)=-1,

所以即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,-1].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)

數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.

21.(1)/=4x；

答案第12頁，共15頁

（2）證明見解析.

【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用圓的弦長公式列式化簡即得.

（2）設(shè)出點(diǎn)尸，。的坐標(biāo)，結(jié)合給定條件，探討直線尸。的斜率，表示出該直線方程，再與

拋物線方程聯(lián)立，建立四邊形尸的面積S的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.

【詳解】（1）設(shè)圓心C坐標(biāo)為（x/）/=Mx-2）過定點(diǎn)”（2,0）,依題意，

7（x-2）2+y2=y/x2+22,

化簡得/=4x,

所以曲線C的方程為/=4x.

（2）顯然點(diǎn)A不在曲線C上，設(shè)尸（西,必）,。（尤2，%）,直線尸Q的斜率為左（左產(chǎn)0）,線段

PQ的中點(diǎn)為T,

由平行四邊形P/Q2對(duì)角線的交點(diǎn)在＞=2x上，得線段P0的中點(diǎn)T在直線y=2x上,

療=4占

設(shè)7（刃,2"）（機(jī)70）,顯然兩式相減得（%-％）（弘+力）=4（再一%）,

=4工2

又必+%=4%，”92=勺，即左=工，

x1—x2m

設(shè)直線PQ的方程為歹一2加=’(x—m),x-my+lm1-m=0,

m

,x-my+2m2-m=0,,、

由《2消去x并整理得，y-4my+8m2-4m=0,

=4x,

則A=16加一16加2＞0,解得0＜加＜1,必+%=4加，%％=8加2—4加,

貝！J\PQ\=,1+加2必一%|=J1+12.J(11+y2)2—4%>2=471+加2.yjm-m2,

\2—m+2m2一機(jī)

又點(diǎn)A到直線PQ的距離為d=J——~,

y11+m2

____________2—+ZT/Z2_^2_______

2222

所以,S=2sAAPQ—|P0|d—4\1+my/m—m?------1------=4Jm—m-|2-2m+2m1,

?J1+機(jī)2

記udm-rn2，由0<加<1,得，《(。，或，貝lJS=8《l")"￡(o,5],

令/⑺=8/(1")"￡(O],求導(dǎo)得/⑺=8-24",令/⑺=0,得”組，

2