初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：面積法

面積法

【規(guī)律總結(jié)】

所謂面積法，就是利用面積相等或者成比例，來(lái)證明其他的線段相等或?yàn)槌杀壤€段

的方法。

相關(guān)定理

(1)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

(2)等底(或等高)的兩三角形面積之比等于其高(或底)之比；

(3)在兩個(gè)三角形中，若兩邊對(duì)應(yīng)相等，其夾角互補(bǔ)，則這兩個(gè)三角形面積相等；

(4)若在同一線段的同側(cè)有底邊相等面積相等的兩個(gè)三角形，則連結(jié)兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)

的直線與底邊平行。

【典例分析】

D_________

例1、如圖，四邊形ABC。是菱形，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，A

DEI力B于點(diǎn)E,若aC=8cm,BD=6cm,則DE=()\/

A.5V3cm”■一

B.2V5cm

C.—cm

D.ycm

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用.注意菱形的面積等于對(duì)角線積的一半或底乘以

高.首先利用勾股定理求得菱形的邊長(zhǎng)，然后由菱形的兩個(gè)面積計(jì)算渠道求得邊上的高

OE的長(zhǎng)即可.

【解答】

解：「四邊形ABCD是菱形，AC=8cm,BD=6cm,

??.S菱形4BCD=乂。?BD=[x6x8=24,

,?,四邊形ABCD是菱形，

.-.AC1BD,0A^0C^lAC^4cm,OB=OD=3cm,

???在直角三角形AOB中，AB=VOB2+OA2=V32+42=5cm,

_S橙形ABC。_21

-AB"T

故選C.

【解析】

【分析】

本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求線段的長(zhǎng)，屬于中

考?？碱}型.

利用菱形的面積公式：YAC-BD-BC-AE,即可解決問(wèn)題；

【解答】

解：???四邊形ABC。是菱形，

???AC1BD,OA=OC=3,OB=OD=4,

???由勾股定理得：AB=BC=5,

1

V--AC-BD=BC?AE,

2

故答案為：g.

例3、如圖，在AABC中，乙4=90。，。是AB邊上一點(diǎn)，4DCB

為等腰三角形，過(guò)BC上一點(diǎn)P,作PE1AB,垂足為點(diǎn)E,作PF1

CD,垂足為點(diǎn)F,已知4。：DB=1.'3,BC=6爬,求PE+PF的

長(zhǎng).

【答案】解：為等腰三角形，PE14B,PF1CD,ACLBD,

?1?S"CD=IBD-PE+ICD-PF=^BD-AC,

APE+PFAC,

設(shè)2D=x,BD=CD=3x,AB=4%,

222

vAC=CD-AD=(3x)2-*=8x2；

vAC2=BC2-AB2=(6V6)2-(4x)2,

x-3?

AC=2-\/2x=6V2,

???PE+PF6V2.

【解析】本題主要考查了面積法和勾股定理，把求兩條邊的長(zhǎng)的和轉(zhuǎn)變?yōu)榍笾苯侨切蔚倪?/p>

是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的面積判斷出PE+PF的長(zhǎng)等于AC的長(zhǎng)，這樣就變成了求AC的長(zhǎng)；在Rt△ACD

和Rt△力BC中，利用勾股定理表示出AC,解方程就可以得到A。的長(zhǎng)，再利用勾股定理就

可以求出AC的長(zhǎng)，也就是PE+PF的長(zhǎng).

【好題演練】

一、選擇題

4

1.如圖，RtAABC^,^LACB=90°,AC=3,BC=4,將邊AC;'、、

''、E

沿CE翻折，使點(diǎn)A落在A8上的點(diǎn)。處；再將邊8c沿CF翻；

折，使點(diǎn)8落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B'處，兩條折痕與斜邊AB

分別交于點(diǎn)E、F,貝UB'F長(zhǎng)為()°B

A.更B.1C.JD-

255

【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)折疊的性質(zhì)

求得相等的角是本題的關(guān)鍵.

首先根據(jù)折疊可得CD=AC=3,B'C=BC=4,/.ACE=乙DCE,Z.BCF=AB'CF,CE1AB,

然后求得^ECF是等腰直角三角形，進(jìn)而求得NB'FD=90°,CE=EF=當(dāng)，ED=AE=

從而求得B'D=1,。尸=|，在RtAB'DF中，由勾股定理即可求得B'F的長(zhǎng).

【解答】

解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CD=AC=3,B'C=BC=4,^.ACE=/.DCE,乙BCF=乙B'CF,

CELAB,

B'D=4-3=1,乙DCE+乙B'CF=^ACE+乙BCF,

???^ACB=90°,

???乙ECF=45°,

??.△ECF是等腰直角三角形，

???EF=CE,Z.EFC=45°,

乙BFC=乙B'FC=135°,

???乙B'FD=90°,

■■-S^ABC=\AC-BC=\AB-CE,

：.AC-BC=AB-CE,

???根據(jù)勾股定理求得力B=5,

12

?*,CE~j

-12I---------------------Q

EF=y,ED=AE=<AC2-CE2=

???DF=EF-ED=I，

B'F=y/B'D2-DF2=1.

故選D

2.在AABC中，。是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MBC=mBD,AB=nAC,過(guò)。點(diǎn)作直線A8、

AC的垂線，垂足分別為E、F,貝UDE：。尸的比值為()

A.1：n(l—m)B,1：n(m—1)C.1：m(l—n)D,1：n(m+1)

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了面積法，利用同一個(gè)三角形的面積的兩種表示等到等式是解題的關(guān)鍵.

分別用DE、。歹表示SMBDS^ACD=^-AC-DF,通過(guò)線段比可知兩三角形面

積關(guān)系，進(jìn)而得到?4C-0F=(l—zn)/aB-￡)E,從而得到DE和。尸關(guān)系即可解答.

【解答】

解：連接4C,

???BC=m?BD,

ACD=(l-m)^D,

???S&ACD=(1-'

1i

=

又1S-8O=2,DE9S^ACD2'"C,DF,

YAC-DF=AB-DE,

???AB=n-AC,

???4c?OF=(1—m)n-ACDE

???DF=(1—m)n-DE

DE1(〃、

故選：A.

3.如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。，AC=6,BC=8,A。是NBAC的平分線.若P,

。分別是AO和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是()

c

A.YB.4C.5D.y

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時(shí)點(diǎn)尸和。

的位置.過(guò)點(diǎn)C作CM，48交A3于點(diǎn)交AD于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作PQ14C于點(diǎn)。，由AD

是NB4C的平分線.得出PQ=PM,這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理

求出AB,再運(yùn)用為謝=|48-優(yōu)=158。，得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

【解答】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM14B交AB于點(diǎn)M,交AO于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作PQ，AC于點(diǎn)。,

???4D是NB4C的平分線.

PQ=PM,這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長(zhǎng)度，

AC=6,BC=8,/.ACB=90°,

???AB=V4C2+BC2=V62+82=10.

11

■■-SAABC=-AB-CM^-AC-BC,

即PC+PQ的最小值為

故選A.

4.如圖，在菱形ABCZ）中，AC=2V6,BD

于點(diǎn)X,則。*的長(zhǎng)為（）

A.3

B.2A/3

C.2

D.2V2

【答案】D

【解析】

【分析】

此題主要考查了菱形的面積公式以及菱形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，得出菱形邊長(zhǎng)是解題

關(guān)鍵.利用菱形的對(duì)角線互相平分線且垂直即可得出菱形的邊長(zhǎng)，再利用菱形面積公式求出

即可求出的長(zhǎng).

【解答】

解：,?,在菱形中，AC=2①，BD=2V3，

AO=CO==s[6,BO-DO-：BD-y/3,

???AB=A/3+6=3,

.：DHX3=IACXBD,

故選：D.

5.如圖，口/lBCD的對(duì)角線AC與2。相交于點(diǎn)O,AE1BC垂足為E,AB=遮,AC=2,

D.厚

7

【答案】。

【解析】

【分析】

本題考查了勾股定理的逆定理和平行四邊形的性質(zhì)，由勾股定理的逆定理可判定△84。是直

角三角形，利用三角形ABC面積的不同表示方法，建立方程求出AE的長(zhǎng).

【解答】

解：???ac=2,BD=4,四邊形ABCD是平行四邊形，

?--4。=-AC=1,BO=-BD=2,

22

AB=V3,

???AB2+A02=BO2,

???4BAC=90°,

?.?在Rt△B4C中，BC=yjAB2+AC2=J(V3)2+22=77,

11

S^BAC=-xABxAC=-xBCxZE,

V3X2=y/7AE,

Ab2y[2i

???AE=-----,

7

故選D

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中RtAABC的斜邊BC在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,0),AC=2,

乙48c=30。，把母△ABC先繞2點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。，然后再向下平移2個(gè)單位，則A

點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為()

A.(—4,—2—V3)B.(―4,—2+V3)

C.(-2,-2+V3)D.(一2,一2一V3)

【答案】D

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，作出圖形利用旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平移的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.作201BC，并作出把ABC先繞8點(diǎn)順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)180。后所得△&BG，然后依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可.

【解答】

解：如圖所示，作4CBC,并作出把RtAABC先繞8點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。后所得AABC1，

?,■AC=2,乙ABC=30°,

???BC=4,

:.AB=2V3,

“「2A/3X2/TT

???AD=AB-A-C=-----=V3，

BC4

BD=yjAB2-AD2=3.

,:點(diǎn)B坐標(biāo)為（1,0）,

???4點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,百）.

vBD=3,

???BD】=3,

A坐標(biāo)為（-2,0）,

???4坐標(biāo)為（—2,一遮）.

???再向下平移2個(gè)單位，

A的坐標(biāo)為（一2,—代-2）.

故選D

二、填空題

7.如圖，Rt/kABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,

。是AB上一點(diǎn)，DE1AC于點(diǎn)E,DF1BC于點(diǎn)凡連接EF,

則EF的最小值為cm.

【答案】2.4

【解析】

【分析】

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CD14B時(shí)，線段

E尸的值最小是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于利用等面積法列出方程.

【解答】

解：如圖，連接CO.

vZ.ACB—90°,AC=3cm,BC=4cm,

???AB=V324-42=5(cm),

vDELAC,DF上BC,^ACB=90°,

???四邊形CFDE是矩形，

???EF=CD.

由垂線段最短可得，當(dāng)CD148時(shí)，線段CO的值最小，即線段E尸的值最小,

此時(shí)，SaABC^^BC-AC=-AB-CD,

即(x4x3=之x5?CD,解得CD=2.4cm,

EF最小=2.4cm.

故答案為2.4.

8.若A4BC三邊的長(zhǎng)a,b,c均為整數(shù)，且工+<+3=工，a+b-c=8,設(shè)△ABC的面

abab4

積為s,則s的最大值是,最小值是.

【答案】4V231；4V105

【解析】

【分析】

此題考查了三角形的面積，根據(jù)所給算式求出服6、c的值再用海倫公式解答是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)5+￡+烹=3得到(a—4)(/?-4)=28,然后將28分解為1x28,2x14…等，據(jù)此得

到服。的所有可能值及c的值，利用海倫公式計(jì)算出面積，找出最小者與最大者即可.

【解答】

解：,?二+；+5=；,

4b+4a+12=ab,

即ab—4a-46=12,

???(a-4)(6-4)=28,

???a>4,b>4,

a-4=1,2,4,7,14,28,

b—4=28,14,7,4,2,1,

???a=5,6,8,11,18,32,

b=32,18,11,8,6,5,

va+h—c=8,

??.c=29,16,11,11,16,29,

(1)當(dāng)a=5,h=32,c=29時(shí)，p=*：+29=33,s=(p(p—a)(p—b)(p-c)=

733(33-5)(33-32)(33-29)=4V231;

(2)當(dāng)a=6,b=18,c=16時(shí)，p=6+1^+16=20,S=720(20-6)(20-18)(20-16)=

8V35;

(3)當(dāng)a=8,b=11,c=11時(shí)，p==I}"=15,S=715(15-8)(15-11)(15-11)=

4V105;

(4)當(dāng)a=11,b=8,c=11時(shí)，p=---=15,S=715(15-11)(15-8)(15-11)=

4V105;

(5)當(dāng)a=18,b=6,c=16時(shí)，p=⑶茨=20,s=720(20-18)(20-6)(20-16)=

8V35;

(6)當(dāng)a=32,b=5,c=29時(shí)，p=—^―=33,S=733(33-32)(33-5)(33-29)=

4V231.

可見(jiàn)最大值為4V^r，最小值為

故答案為4夜五，4V105.

9.如圖，矩形ABC。中，E為邊AB上一點(diǎn),將△ADE沿。E折

疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)廠恰好落在邊BC上，連接AF交DE于

點(diǎn)N,連接BN.若DE=3后tan乙BNF=—,貝!=

2

【答案】3V5

【解析】

【分析】

本題考查了折疊的性質(zhì)，圓周角定理，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理以及三角形的

面積等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.由折疊的性質(zhì)得出NBNF=NBEF,由條

件得出tan/BEF=漁，設(shè)=隗乂，BE=2x,由勾股定理得出EF=3%,得出力B=5x,

2

再由勾股定理得出AF的長(zhǎng)，于是得到AN的長(zhǎng)，在RtALME中根據(jù)面積法列式求解可得出

答案.

【解答】

解：?.?將AADE沿DE折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)廠恰好落在邊上，

???AFIDE,AE=EF,AN=FN,

?.?矩形ABCD中，^ABF=90°,

■■B,E,N,尸四點(diǎn)共圓，

???乙BNF=Z.BEF,

：.tan乙BNF=tanz.B￡F=里=恒,

BE2

設(shè)=V5x，BE=2%,

??.EF=7BF2+BE2=3%，

AE=3x,

AB—5XJ

AF=7AB2+BF2=V30%?

..V30

???ANT=——x，

2

在RtA/ME中，根據(jù)面積法可得：\AE-AD=^AN-DE,

AN-DE苧?3遍

AD—=3V5-

AE3x

故答案為3遍.

10.如下圖，口ABCD的對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)O,AE1BC,垂足為E,AB=V3,AC=2,

BD=4,則AE的長(zhǎng)為.

【答案】紀(jì)紅

7

【解析】解：,??4C=2,BD=4,四邊形是平行四邊形,

11

??.AO=-AC=1,BO=-BD=2,

22

vAB=V3,

???AB2+4。2=BO2,

???乙BAC=90°,

???在中，BC=ylAB2^AC2=J(V3)2+22=V7

S"AC=IxZBxAC=|xBCxZE,

.??2V3=V7XE,

?/?i?IZTE=2^2--1,

7

故答案為：浮

7

由勾股定理的逆定理可判定小呂力。是直角三角形，所以根據(jù)△ABC的面積列等式即可求出

AE的長(zhǎng).

本題考查了勾股定理的逆定理和平行四邊形的性質(zhì)，能得出△B4C是直角三角形是解此題的

關(guān)鍵.

11.如圖，用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方圖

案，己知大正方形面積為10,小正方形面積為2,若用x,y表示

直角三角形的兩直角邊(x>y),下列四個(gè)說(shuō)法：@x2+y2=10；

@xy=2；③x-y=F；④x+2y=4&.其中說(shuō)法正確的有

.(只填序號(hào))

【答案】①③④

【解析】

【分析】

本題主要考查了勾股定理、面積分割法等知識(shí).

根據(jù)勾股定理、面積分割法對(duì)選項(xiàng)一一分析即可.

【解答】

解：①大正方形的面積是10,則其邊長(zhǎng)是同，顯然，利用勾股定理可得/+y2=10,故

選項(xiàng)①正確；

③小正方形的面積是2,則其邊長(zhǎng)是應(yīng)，根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y+/=x,即③x-y=&,故選

項(xiàng)③正確；

②根據(jù)圖形可得四個(gè)三角形的面積+小正方形的面積=大正方形的面積，即4X^孫+2=

10,化簡(jiǎn)得xy=4,故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；

④因?yàn)閥4-V2=x，所以把它代入%y=4中，得到y(tǒng)(y+V2)=4,解得y=V2,或y=—2^2(

舍去)，

則％=2或，則％+2y=4或,故選項(xiàng)④正確.

故答案為①③④.

12.如圖，在矩形A8CD中，AB=3,AD=4,點(diǎn)尸在A8上，PE1AC于點(diǎn)E,PF1BD于

點(diǎn)、F,則PE+PF=

【答案】Y

【解析】

【分析】

本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用面積法解決問(wèn)

題;

連接。尸，首先求得二.V〃/的面積，根據(jù)的面積=A04P的面積,二()。。的面積即

可求解.

【解答】

解：連接。P,

在直角AABD中，AD-I-4840=90。

BD—\.卜+M,

AOsOB=25，

SAMW=."帚wrkTX3X4

AOPE+^OBI?1；,

「，x.jPE+PFi=：S,

解得：PE+PF-y.

故答案為蔡.

三、解答題

13.如圖，小明的房間由小臥室和陽(yáng)臺(tái)組成，小明爸媽的房間由大臥室和露臺(tái)組成.大小臥

室都是正方形，大臥室的邊長(zhǎng)和小明房間的長(zhǎng)都是露臺(tái)的寬度為6,陽(yáng)臺(tái)的寬度是

露臺(tái)寬度特

臺(tái)

陽(yáng)

-

一

大

臥室

陞a

(1)①用含。、b的代數(shù)式表示小臥室和大臥室的面積；②當(dāng)a=4米，6=2米時(shí)，求

大小臥室的面積差；

(2)若5a=3(3a-b),-，"r,求小的值.

(3)已知房屋的高度為八根，現(xiàn)需要在小臥室和大臥室的墻壁上貼壁紙，那么至少需要

多少平方米的壁紙？

【答案】解：(1)①S大=/，s〃、=(a-；b)2.

答：小臥室的面積為(a-：b)2,大臥室的面積為a?.

-L-_S./a?_(a_工b)2=a?_(j21ab-------/?2=-ab------.

7y大小v47216216

a=4m,b=2m,

???S.—S//、=-x4mx2m——x4m2=—m2.

大小2164

答：大小臥室的面積差為?Hl?.

4

(2)若5a=3(3a—b),則3b=4a,

S陽(yáng)臺(tái)=a(a—(b)=|b(|b-]b)=：匕2

vS露臺(tái)=m,S陽(yáng)臺(tái)，

22

-4b=m--8b,

m=2.

答：加的值為2.

(3)S=Ui/i---b)h=4/t(2?—'fc)?rr

答：至少需要4h(2a-於)平方米的壁紙.

【解析】本題考查了列代數(shù)式，代數(shù)式求值，矩形和正方形的面積，讀懂圖意，列出代數(shù)式

是解題關(guān)鍵.

(1)①利用正方形面積公式表示即可；②利用①中的面積相減，并將完全平方式展開(kāi)化簡(jiǎn)合

并即可；

(2)由5a=3(3a-6)解出。和b的關(guān)系式，并分別表示出露臺(tái)和陽(yáng)臺(tái)的面積，然后利用

S露今=爪,5韻臺(tái)列式，化簡(jiǎn)即可解出機(jī)的

值；

(3)根據(jù)矩形和正方形的面積來(lái)進(jìn)行計(jì)算求解.

14.如圖，等腰直角三角板如圖放置.直角頂點(diǎn)C在直線機(jī)上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作4E1直

線加于點(diǎn)E,8。，直線機(jī)于點(diǎn)。.

①求證：EC=BD；

②若設(shè)△NEC三邊分別為a、b、c,利用此圖證明勾股定理.

【答案】⑴證明：；乙ACB=90°,

???/,ACE+Z.BCD=90°.

???Z.ACE+/.CAE=90°,

???Z-CAE=乙BCD.

\LCEA=乙BDC

在^CAE^^BCD中，bcAE=乙BCD,

AC=CB

：.LCAE=LBCD{AAS}.

???EC=BD；

（2）解：由①知：BD=CE=a

CD=AE=b

???S一的=久。+匕）（。+力）

=-Q2+ab-|—b2.

22

又丁S梯形AEDB=SuEC+S^BCD+^LABC

111o

=-ab-\--ab+-c

222

=ab+-c2.

2

1"?1919

???-a+ab-\--b=ab+-c.

222

整理，得q2+b2=c2.

【解析】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的證明，解本題

的關(guān)鍵是判斷兩三角形全等.

(1)通過(guò)A4S證得△CAE=LBCD,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；

(2)利用等面積法證得勾股定理.

15.如圖1,直線=—x—b分別與尤，y軸交于4(6,0)、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8的直線交x軸

負(fù)半軸于C,且。B:0C=3:l.

(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2,尸為x軸上A點(diǎn)右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，以尸為直角頂點(diǎn)，8尸為一腰在第一象限內(nèi)

作等腰直角三角形/BPQ,連接Q4并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)K.當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，K點(diǎn)的位置是

否發(fā)生變化？如果不變請(qǐng)求出它的坐標(biāo)；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

-1____

(3)直線EF:y二萬(wàn)無(wú)一似上力0)交A2于E,交BC于點(diǎn)E交x軸于。，是否存在這樣

的直線EF,使得S/EBO=S"BD?若存在，求出K的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】解：(1)直線AB：y=-久一b分別與尤，y軸交于4(6,0)、2兩點(diǎn),

,?0=-6—b,

.*?b=—6,

???直線A3的解析式為：y=—%+6.

???8(0,6),

???OB=6,

??,OB：OC=3：1,

OC=\OB=2,.?.C(-2,0),

設(shè)BC的解析式是y=ax+c,

.f6=0-a+c

to=-2a+c

U=6

???直線BC的解析式是：y=3%+6；

(2)K點(diǎn)的位置不發(fā)生變化，K(0,—6).

如圖1,過(guò)。作軸于H,

???△5PQ是等腰直角三角形，

???乙BPQ=90°,PB=PQ,

???/,BOA=(QHA=90°,

Z.BPO=乙PQH,

在ABOP與中，

(2LA0B=(QHA

乙BPO=乙PQH,

BP=PQ

??.△B0PwZk"PQ0L4S),

??.PH=BO,OP=QH,

??.PH+PO=BO+QH,

即0/+4H=80+Q”，

又???OA=OB,

??.AH=QH,

.??△Z”Q是等腰直角三角形，

???“AH=45°,

???Z.OAK=45°,

???△40K為等腰直角三角形，

OK=OA=6,

???K(0,-6)；

(3)如圖2,過(guò)瓜尸分別作EMI%軸，F(xiàn)N1

貝(J4EMD=乙FND=90°.

,*,S^EBD=SFBD，

??.DE=DF.

又???乙NDF=4EDM,

在△NFO與中，

2FND=乙DEM

(NDF=乙EDM,

DE=DF

??.△NFD/EDM(44S),

??.FN=ME.

解方程組［y=/i得E點(diǎn)的縱坐標(biāo)=字,

vy=—x+6§

解方程組卜=一上得尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)=年

ly=3久+65

???FN=—力，ME=yE,

??-fc=I;

當(dāng)k=襯，存在直線EF：y=|%-|,使得〃EBD=^FBD.

【解析】此題綜合考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定和全等三角

形的性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確求解析式以及借助于函數(shù)

圖象全面的分析問(wèn)題.

(1)設(shè)BC的解析式是y=ax+c,由直線AB：y=-%—6過(guò)4(6,0),可以求出6,因此可以

求出2點(diǎn)的坐標(biāo)，再由已知條件可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，把8,C點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入求出。和c

的值即可；

(2)不變化，過(guò)。作QH_Lx軸于"，首先證明ABOPmAHPQ,再分別證明△4HQ和△40K為

等腰直角三角形，問(wèn)題得解；

(3)過(guò)￡、/分別作EMJ.X軸，F(xiàn)Nlx軸，貝UNEMD=NFND=90。，由題目的條件證明△

NFD三4EDM,進(jìn)而得到FN=ME,聯(lián)立直線AB：y=-久一b和y=2x-k求出交點(diǎn)E和

產(chǎn)的縱坐標(biāo)，再利用等底等高的三角形面積相等即可求出人的值.

16.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O。，AB=AC,AC1BD,垂足

為E,點(diǎn)尸在8。的延長(zhǎng)線上，且DF=DC,連接AP、CF.

⑴求證：/.BAC=2^CAD；

(2)若4F=10,BC=4V5.求tan/BAD的值.

【答案】解：(1)"AB=AC,

：.AB=AC>/.ABC-Z.ACB,

???Z.ABC=Z-ACB=Z-ADB,

Z4BC=|(180°-zF4C)=90°-|zBXC,

■:BD1AC,

???^LADB=90°-^CAD,

1

ACAD,

.-.2-ABAC=

???Z-BAC=2/.CAD；

(2)解：?；DF=DC,

Z.DFC=乙DCF,

???Z-BDC=2乙DFC,

ii

???乙BFC=-A.BDC=-Z.BAC=/.CAD=乙FBC,

22

???CB=CF,

又BDLAC,

??.AC是線段B尸的中垂線，

???AB=AF=10,AC=AB=10.

又BC=4V5,

設(shè)力E=x,CE=10-x,

由一心=BC2_CE2t

得100—/=80-(10-x)2,

解得x=6,

???AE—6,BE=8,CE=4,

乙ABD=Z.ACD,Z-AEB=Z.CED,

ABE~bDCE,

clAECE6X4仁

???8O=BE+OE=3+8=11,

作。HL力B,垂足為人

BH=y/BD2-DH2=y,

??.AH=AB-BH=10-4-4=-6

55f

「“cDH3311

tanZ.^i4D=—=—=—.

AH62

【解析】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，圓心角、弧、

弦的關(guān)系，相似，等腰三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?jí)狠S題.

(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出乙4BC=N4CB,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到念=求，

即可得到N4BC=^ADB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得至(UABC=|(180°-NBAC)=90°-

|zFXC,^ADB=90°-/.CAD,從而得至igzBaC="AD,即可證得結(jié)論；

(2)易證得BC=CF=4岔，即可證得AC垂直平分8尸，證得4B=4尸=10,根據(jù)勾股定理

求得AE、CE、BE,根據(jù)相似求得DE,即可求得8,然后根據(jù)三角形面積公式求得。

進(jìn)而求得4”,解直角三角函數(shù)求得tan/B力。的值.

17.在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,若點(diǎn)尸是C。上任意一點(diǎn)，如圖①，PE1BD于點(diǎn)

E,PF12C于點(diǎn)孔那么PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫(xiě)出理由.變式一：當(dāng)點(diǎn)尸

是AD上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖②，猜想PE和尸尸之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)果.

變式二：當(dāng)點(diǎn)尸是。。延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，如圖③，猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)

量關(guān)系，寫(xiě)出推理過(guò)程.

【答案】連接OP,如圖1,設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h.

在Rt△BCD中，BD=VBC2+CD2=V32+42=5.

工c

由=-1BcnD-h,=-1BCxCD,Z得R力j=-B-C-xC-D-=—3x4=—12.

^bLU22BD55

???四邊形ABC。是矩形，.?.OC=OD.

由SACOD=SADOP+SACOP，得5ODxh=-ODxPE+-OCXPF,

化簡(jiǎn)得PE+PF=h=￡.

變式一：猜想：PE+PFy.

變式二：猜想：PF—PE=￡.

連接。P、BP,如圖2.

四邊^(qū)

由S"PQ=S^COD+S80cp~S^COD+S&COP+S^BOP，得

-BDxPF=-0D-h+-OCxPE-{--OBxPF

2222f

17

化簡(jiǎn)得2PF=l+PE+PF,即PF-PE=h=?

【解析】略

18.如圖1,直線=—x—b分別與無(wú)，y軸交于4(6,0)、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線交x軸

(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式;