初中數學中考復習講義練習：裁剪與拼接

裁剪與拼接

【典例分析】

彳列1、將一個四邊形截去一個角后，它不可能是()

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了多邊形，能夠得出一個四邊形截去一個角后得到的圖形有三種情形，是解決本題

的關鍵.根據一個四邊形截去一個角后得到的多邊形的邊數即可得出結果.

【解答】

解：一個四邊形截去一個角后得到的多邊形可能是三角形，可能是四邊形，也可能是五邊形,

但不可能是六邊形.

故選：A.

傷！J2、如圖所示，三種不同類型地被，若現在A類4塊，B類4塊，C類2塊，要拼成一

個正方形，則應多余出1塊________型地磚；這樣地磚拼法表示了兩數和的平方幾何意義,

n

這個兩數和的平方是

【答案】C；(2m+n)2=4m2+4mn+n2

【解析】

【分析】

本題考查了完全平方公式的幾何意義，立意較新穎，注意面積的不同求解是解題的關鍵，對

此類問題的要深入理解.

分別計算出4塊A的面積和4塊B的面積、2塊C的面積，再計算這三種類型的磚的總面積,

用完全平方公式化簡后，即可得出多了哪種類型的地病.

【解答】

解：4塊A的面積為：4xmxm=4m2；

4塊3的面積為：4xmxn=4mn；

2塊C的面積為2xnxn=2n2；

那么這三種類型的磚的總面積應該是：

47n2+4mn+2n2=4m2+477m+n2+n2=(2m+n)2+n2，

因此，多出了一塊C型地磚，拼成的正方形，如圖，

拼成的正方形的面積為(2m+n)2=4m2+4mn+n2.

m11nl

mAB)mA

BCnB

nm

ll

AA

mBm

mm

故答案為C；(2m+n)2=4m2+4mn+n2.

｛列3.如圖，某數學興趣小組用四塊長方形紙板和一塊小正方形紙板恰好拼成一個大正方

形紙板，其中一塊長方形紙板的長為8c如寬為2cm,另一塊長方形紙板的長為10。辦寬

為4cm,求大正方形紙板的面積.

【答案】解：如圖，設小正方紙板的邊長為比加,

所以2+汽+4=10+8-x,

解方程，得尤=6,

所以大正方形紙板邊長=10+8-6=12(cm),

所以大正方形紙板的面積為122=144(cm2).

【解析】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，利用等量關系列出方程是解決問題的關

鍵.設小正方形的邊長為尤,依據小正方形的邊長的表達式，可得方程2+*+4=10+8-x,

進而得出大正方形的邊長及面積.

【好題演練】

一、選擇題

1.如圖，將邊長為?的正方形剪去兩個小長方形得到S圖案，再將這兩個小長方形拼成一

【答案】B

【解析】

【分析】

此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

根據圖形列出算式，計算即可得到結果.

【解答】

解：根據題意得：2[a—b+2x—36)]=4a—86,

故選8.

2.如圖1,分別沿長方形紙片ABC。和正方形紙片EFG”的對角線AC,EG剪開，拼成如

圖2所示的團KLMN,若中間空白部分四邊形OPQR恰好是正方形，且團KLMN的面積

為50,則正方形EFG71的面積為（）

C.26D.27

【答案】B

【解析】解：如圖，設PM=PL=NR=KR=a,正方形ORQP的邊長為江

由題意：a?+匕2+缶+b）（a—6）=50,

a2=25,

正方形EFGH的面積=a2=25,

故選：B.

如圖，設PM=PL=NR=KR=a,正方形ORQP的邊長為b,構建方程即可解決問題；

本題考查圖形的拼剪，正方形的性質，平方差公式等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建

方程解決問題，學會利用數形結合的思想解決問題.

3.現有如圖①的小長方形紙片若干塊，已知小長方形的長為a,寬為b.用3個如圖②的圖

形和8個如圖①的小長方形，拼成如圖③的大長方形，若大長方形的寬為30cm,則圖

③中陰影部分面積與整個圖形的面積之比為（）.

ba

aa

b

圖①圖②圖③

4.:C.7

【答案】B

【解析】

【分析】

此題考查了圖形的拼接、二元一次方程組的應用、長方形形和正方形的性質等知識，解題的

關鍵是：結合圖形列出二元一次方程組.

由圖③大長方形的寬為30%可得一個a,6的關系式；再由圖③可知小長方形的4個長

等于小長方形的3個長和3個寬，列出算式得出a,6的另一個關系式；聯立兩個關系式可

求出a,b的值，進而可求出圖③中陰影部分面積與整個圖形的面積之比.

【解答】

解：由圖③大長方形的寬為30cMI,可得a+3b=30----①，

由圖③可知小長方形的4個長等于小長方形的3個長和3個寬，可得4a=3a+3b——②,

聯上①②可得=3a+3—工

解得憶7

圖③中陰影部分的面積為：3(a-6)2=3X(15-5)2=300(cm2),

圖③整個圖形的面積為：30x4a=30x4x15=1800(cm2),

.??圖③中陰影部分面積與整個圖形的面積之比就=也

故選B.

C.5種

D.6種

【答案】D

【解析】解：共有6種拼接法，如圖所示.

故選：D.

根據菱形的性質，找出各種拼接法，此題得解.

本題考查了圖形的剪拼以及菱形的判定，依照題意，畫出圖形是解題的關鍵.

5.七巧板是我們祖先的一項創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”.在一次數學活

動課上，小明用邊長為4cm的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板,

并設計了下列四幅作品-“奔跑者”，其中陰影部分的面積為5cM2

【答案】。

【解析】解：最小的等腰直角三角形的面積="卜42=1（皿2）,平行四邊形面積為2c―,

oZ

中等的等腰直角三角形的面積為2CM2,最大的等腰直角三角形的面積為4cm2,則

A、陰影部分的面積為2+2=4（＜:巾2）,不符合題意;

B、陰影部分的面積為1+2=3（。小2）,不符合題意;

C、陰影部分的面積為4+2=6（c?n2）,不符合題意;

D、陰影部分的面積為4+l=5（cm2）,符合題意.

故選：D.

先求出最小的等腰直角三角形的面積=；*；義42=1cm2,可得平行四邊形面積為2cm2,

o2.

中等的等腰直角三角形的面積為2cm2,最大的等腰直角三角形的面積為4cM2,再根據陰影

部分的組成求出相應的面積即可求解.

本題考查圖形的剪拼、七巧板，解題的關鍵是求出最小的等腰直角三角形的面積，學會利用

分割法求陰影部分的面積.

6.如圖，從邊長為（a+3）的正方形紙片中剪去一個邊長為3的正方形，剩余部分沿虛線

又剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的另一邊長是（）

a

X

B.a+6C.2a+3D.2a+6

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了平方差公式的幾何背景，表示出剩余部分的面積是解題的關鍵.

根據拼成的長方形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積列式整理即可得解.

【解答】

解：拼成的長方形的面積=9+3)2—32,

=(ci+3+3)(a+3—3),

=a(a+6),

???拼成的長方形一邊長為a,

另一邊長是a+6.

故選艮

二、填空題

7.在某張三角形紙片上，取其一邊的中點，沿著過這點的

兩條中位線分別剪去兩個三角形，剩下的部分就是如圖

所示的四邊形；經測量這個四邊形的相鄰兩邊長為

10c〃z、6cm,一條對角線的長為8c?i；則原三角形紙片的周長是.

【答案】48或(32+8V13)cm

【解析】解：如圖1：

如圖2：

圖2

A

???BD=6,BC=8,CD=10,

???BD2+BC2=CD2,

??.ABCD是直角三角形，

???AC=12,

AB=yjAC2+BC2=4V13)

周長為2x(10+4V13+6)=(324-8V13)(cm);

綜上所述：原三角形紙片的周長是48或(32+8g)cni.

故答案為：48或(32+8Vn)cm.

首先補全三角形進而利用平行四邊形的性質得出各邊長進而得出答案.

此題主要考查了圖形的剪拼，利用勾股定理求出AB的長是解題關鍵.

【答案】(20-。產

【解析】

【分析】

解決本題的關鍵是把所求部分的面積整理為一個規(guī)則圖形的面積.把陰影部分分別向下，向

右平移，可得空白部分的面積等于邊長為(20-a)的正方形的面積.

【解答】

解：把陰影部分進行平移后，空白部分是邊長為(20-a)的正方形，面積為：(20-a)2.

故答案為(20-a)2

9.如圖所示，將一個長方形A3C。分割成4個小長方形，其中②與③的大小形狀都相同,

已知大長方形ABC。的邊BC=5cm,則①與④兩個小長方形的周長之和為

________cm.

【答案】20

【解析】

【分析】

本題主要考查計算圖形周長的知識，關鍵是知道正方形、長方形周長的計算方法.

【解答】

解：把④的其中兩條邊往外移動，①與④兩個小長方形的周長之和剛好是邊長為5cm的正

方形的周長.

5x4=20(cm)

故答案為20.

10.如圖是“俄羅斯方塊”游戲中的一個圖案，由四個完全相同的小正方形拼成，則NABC的

度數為.

【答案】45°

【解析】

【分析】

此題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質，求出AC、BC、48的長,

判斷出△ABC是等腰直角三角形是解答本題的關鍵，難度一般.設小正方形的邊長為1,連

接AC,利用勾股定理求出AC、BC、A3的長，由勾股定理的逆定理判斷出△ABC是等腰直

角三角形，繼而得出NABC的度數.

【解答】

解：如圖，設小正方形的邊長為1,連接AC.

則AB=5/32+1.2=AC=Vl2+22-V5>BC=Vl2+22=V5>

???AC=BC,5.AC2+BC2=AB2,

.?.△ABC是等腰直角三角形，

???ZABC=45°.

故答案為45。.

11.在關于“折紙問題”的數學活動課中，小剛沿菱形紙片438各邊中點的連線裁剪得

到四邊形紙片EFG”，再將紙片EFGH按如圖所示分別沿MN、PQ折疊，使點E,G

落在線段PN上點E',G'處，當PN〃EF時，若陰影部分的周長之和為16,AEH,△CFG

的面積之和為12,則菱形紙片ABCD的一條對角線BD的長為

【答案】12

【解析】解：連接2。，如圖所示:

.?四邊形ABCO是菱形，

C

AB=AD,AC與垂直平分，

???E是AB的中點，H是A。的中點，

：.AE=AH,EH是△ABD的中位線,

???EN=HN,BD=2EH=4HN,

由題意可以設AN=PC=x,EN=HN=PF=PG=y.

則有I2x9x2yxx=12,

14y+4(2%—y)=16

解得,C,

AN=2,HN=3,

???BD=4HN=12；

故答案為：12.

證出EH是AaB。的中位線，得出80=2EH=4HN,由題意可以設AN=PC=x,EN=

HN=PF=PG=y,構建方程組求出無，y即可解決問題.

本題考查了菱形的性質，矩形的判定和性質、三角形中位線定理、方程組的解法等知識，解

題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

12.如圖，將一段標有0?60均勻刻度的繩子鋪平后折疊(繩子無彈性)，使繩子自身的一部

分重疊，然后在重疊部分沿繩子垂直方向剪斷，將繩子分為A、8、C三段，若這三段

的長度由短到長的比為1：2：3,則折痕對應的刻度可能是.

【答案】20或25或35或40

【解析】解：設折痕對應的刻度為尤c巾，依題意有

繩子被剪為10。"，20cm,30aw的三段，

①％=g+10=20,

②%=弓+10=25

@x=y+20=35,

@x=/+20=25

⑤x=/+30=35

@x=g+30=40

綜上所述，折痕對應的刻度可能為20、25、35,40.

故答案為20或25或35或40.

可設折痕對應的刻度為尤52,根據折疊的性質和三段長度由短到長的比為1：2：3,長為6052

的卷尺，列出方程求解即可.

本題考查了一元一次方程的應用和圖形的剪拼，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給

出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解.注意分類思想的運用.

三、解答題

13.我們經常利用圖形描述問題和分析問題.借助直觀的幾何圖形，把問題變得簡明、形象,

有助于探索解決問題的思路.

(1)小明為了解釋某一公式，構造了幾何圖形，如圖1所示，將邊長為。的大正方形剪

去一個邊長為6的小正方形，并沿圖中的虛線剪開，拼接后得到圖2,顯然圖1中的圖

形與圖2中的圖形面積相等，從而驗證了公式.則小明驗證的公式是.

(2)計算：(x+a)(x+b)=；請畫圖說明這個等式.

圖1圖2

Xa

【答案】(l)(a+b)(a-b)=a2-b2(2)x2+ax+bx+ab

【解析】

解：(1)由圖1可得，圖形面積=十一爐，

由圖2可得，圖形面積=(Q+b)(a-b),

(a+h)(a—b)=a2—b2

故答案為：(a+b)(a-6)=a2-h2；

(2)(%+a)(x+&)=x2+ax+fox+ab,

證明：如圖所示，圖形面積=(%+a)(%+b),

圖形面積=x2+ax+bx+ab,

???(x+a)(%+b)=/+0%++。力，

故答案為：x2+ax+bx+ab.

【分析】

(1)依據圖形面積=a2-b2,圖形面積=(a+6)(a-b),即可得到(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)依據圖形面積=(x+a)(x+b),圖形面積=x2+ax+bx+ab,即可得出(％+a)(%+

b)="+。％+b%+ab.

本題考查了平方差公式的幾何背景,把陰影部分的面積用不同的方法表示是解答此類題目的

關鍵.

14.問題提出：某段樓梯共有10個臺階，如果某同學在上臺階時，可以一步1個臺階，也

可以一步2個臺階.那么該同學從該段樓梯底部上到頂部共有多少種不同的走法？

問題探究：

為解決上述實際問題，我們先建立如下數學模型：

如圖①，用若干個邊長都為1的正方形（記為1x1矩形）和若干個邊長分別為1和2的

矩形（記為1X2矩形），要拼成一個如圖②中邊長分別為1和n的矩形（記為1Xn矩形），

有多少種不同的拼法？（設&Xn表示不同拼法的個數）

為解決上述數學模型問題，我們采取的策略和方法是：一般問題特殊化.

探究一：先從最特殊的情形入手，即要拼成一個1x1矩形，有多少種不同拼法？

顯然，只有1種拼法，如圖③，即4乂1=1種?

探究二：要拼成一個lx2矩形，有多少種不同拼法？

可以看出，有2種拼法，如圖④，即力m2=2種.

探究三：要拼成一個lx3矩形，有多少種不同拼法？

拼圖方法可分為兩類：一類是在圖④這2種lx2矩形上方，各拼上一個1x1矩形，即

這類拼法共有&X2=2種；另一類是在圖③這1種1x1矩形上方拼上一個1x2矩形，

即這類拼法有4X1=1種.如圖⑤,即441x3=4x2+4x1=2+1=3（種）.

探究四：仿照上述探究過程，要拼成一個lx4矩形，有多少種不同拼法？請畫示意圖

說明并求出結果.

探究五：要拼成一個1x5矩形，仿照上述探究過程，得出&xs=種不同拼法.（

直接寫出結果，不需畫圖）.

問題解決：請你根據上述中的數學模型，解答“問題提出”中的實際問題.（寫出解答

過程，不需畫圖）.

【答案】8

一A11

【解析】解：探究四：拼圖方法可分為兩1

二2

1

1

類：一類是在圖④這2種lx2矩形上方，

二1

1

各拼上一個lx2矩形，即這類拼法共有1

A11

4x2=2種；另一類是在圖⑤這3種1x3

圖

矩形上方，各拼上一個1x1矩形，即這類

拼法共有4x3=3種.如圖6,即4X4=&x3+&X2=3+2=5（種）.

探究五：4x5=5+3=8種不同拼法.

故答案為：8.

問題解決：???樓梯共有10個臺階，如果某同學在上臺階時，可以一步1個臺階，也可以一步

2個臺階二Aixl=1種,即&X3=41X2+4x1=2+1=3（種），41X4=41X3+41X2=3+

2=5（種），4*5=8（種），

'1"41X6=41X4+&X5=5+8=13,41X7=&X6+4x5=13+8=21,

"4x8=4x6+41x7=13+21=34,

41x9=&x7+&X8=21+34=55,

4ixio="1x8+41x9=34+55=89.

答：該同學從該段樓梯底部上到頂部共有89種不同的走法.

根據圖形中矩形組合規(guī)律得出力1X5=4*3+&X4，^ixn=^lx（n-l）+^lx（n-2）.進而求出

即可，再利用這一規(guī)律分別求出4x6,4x7得出答案即可.

本題主要考查了計數方法，培養(yǎng)學生根據已知的兩組數據間的關系，進行分析推斷，得出一

般化關系式的能力.

15.閱讀下列材料，并解決問題:

【實驗操作】如圖1,若干塊如圖所示的長方形和正方形硬紙片，拼成如圖所示的大長

方形，并用不同的方法計算它的面積，回答下列問題：

圖1

①這個拼成的大長方形的面積可表示為多項式為,也可以表示成因式積

的形式為___________;

②試借助拼圖的方法，把二次三項式+3b2+4ab因式分解為

【研究發(fā)現】如圖2,兩個邊長分別為a,b,c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c

的等腰直角三角形拼成如圖。試用不同的方法計算這個圖形的面積解決下列問題：

①若a=3,b=4,則這個兩條直角邊都是c的等腰直角三角形的面積為;

②你能發(fā)現相關a,b,c的等式嗎，試說明道理；

【問題解決】

有一紙板如圖3,AABC中，乙4c8=90。，量得BC=9cm,AB=15cm,如圖中寬為

2.5an的尺子一頂點與三角形在C處重合，尺子在移動過程中，一邊B與斜邊A8的

交點記作點尸，通過度量比較，你會發(fā)現CP的長度不斷變化，過尸截得長方形。QH

分別截取出面積最大的長方形與面積最小的長方形，試直接寫出它們的面積和為

cm2.

liE

圖3

【答案】解：【實驗操作】

@a2+2b2+3ab；(a+26)(a+b)；

②(a+b)(a+3b)；

【研究發(fā)現】

①今

2

②。2+b=c2，理由如下，

如圖2,這個兩條直角邊都是C的等腰直角三角形的面積為直角梯形的面積，減去兩個邊長

分別為a,6,c的直角三角形的面積，

111r

--(a+/?)?(a+ft)—--ab-2=--c2,

化簡得：a2+b2=c2,

故相關a,b,c的等式為a?+爐=?2；

【問題解決】

48.

【解析】

【分析】

本題考查了因式分解的應用，利用因式分解來解決求值問題;利用因式分解來解決證明問題;

利用因式分解來簡化計算問題.

【實驗操作】

①這個拼成的大長方形的面積為：一個邊長為。的正方形的面積，2個邊長為6的正方形面

積和3個長為6,寬為a的長方形面積的三者之和，可列出多項式；根據長方形的面積計算

公式，可化為積的形式；

②二次三項式a2+3F+4ab：可以看成是一個邊長為〃的正方形的面積，3個邊長為b的

正方形面積和4個長為b,寬為a的長方形面積的三者之和，可以拼成寬為(a+b),長為(a+

3b)的長方形，即a?+3b2+4ab=(a+b)(a+3b)；

【研究發(fā)現】

①這個兩條直角邊都是c的等腰直角三角形的面積為直角梯形的面積，減去兩個邊長分別

為a,b,c的直角三角形的面積，進而算出所求面積；

②根據這3個直角三角形和拼成的直角梯形的面積關系列出等式，進行化簡可得到結論；

【問題解決】

根據勾股定理可得AC的長，和進行比較，得到截取的面積最大的長方形C。。尸的尸

的位置，進而算出長方形CDQP面積最大時的面積，當CP14B時，可得截取出面積最小的

長方形，用等面積法可得此時CP的長，進而算出長方形CDQP面積最小時的面積，兩者作

和即可得出答案.

【解答】

【實驗操作】

①解：這個拼成的大長方形的面積為：一個邊長為。的正方形的面積，2個邊長為b的正方

形面積和3個長為6,寬為。的長方形面積的三者之和，所以這個拼成的大長方形的面積可

表示為多項式為a2+262+3ab；拼成后的根據長方形的面積公式可得：(a+b)(a+36)；

故答案為a?+2。2+3ab；(a+2b)(a+b)；

②a?+3b2+4ab=(a+ft)(a+3b),

故答案為(a+b)(a+3b)；

【研究發(fā)現】

①解：???如圖2的圖形是由兩個邊長分別為a,b,c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c

的等腰直角三角形拼成的直角梯形，

這個兩條直角邊都是c的等腰直角三角形的面積為：直角梯形的面積，減去兩個邊長分別為

a,b,c的直角三角形的面積，且a=3,b=4,

故這個兩條直角邊都是c的等腰直角三角形的面積為：9(a+6)?(a+b)-[?ab?2=g,

故答案為

②見答案；

【問題解決】

解：由題意可得，在Rt△力BC中，BC=9cm,AB=15cm,

故AC=7AB2-BC?=12cm）

因為BC<4C,

過P截得長方形CDQP,

①當尸與點A重合時，可得截取出面積最大的長方形，

此時截取的長方形面積為：4Cx0C=12x2.5=30cm2；

②當CP148時，可得截取出面積最小的長方形，

-S^ABC=1-BC-AC=^-AB-CP,

|x9xl2=|xl5xCP,解得CP=7.2cm,

此時截取的長方形面積為：CPXDC=7.2X2.5=18cm.

故分別截取出面積最大的長方形與面積最小的長方形的面積之和為18+30=48cm2,

故答案為48.

16.如圖，把邊長為2的正方形剪成四個完全一樣的直角三角形，在下面對應的正方形網格

（每個小正方形的邊長均為1）中畫出用這四個直角三角形按要求分別拼成的新的多邊

形.（要求全部用上，互不重疊，互不留隙）.

（1）長方形（非正方形）；

（2）平行四邊形；

（3）四邊形（非平行四邊形）.

⑵(3)

【答案】解：（1）如圖（1）所示;

(2)如圖(2)所示:

(3)如圖(3)所示.

【解析】此題主要考查了圖形的剪拼，正確利用基本圖形進行拼湊是解題關鍵.

(1)利用長方形的性質結合基本圖形進而拼湊即可；

(2)利用平行四邊形的性質結合基本圖形進而拼湊即可；

(3)結合基本圖形進而拼湊出符合題意的四邊形即可.

17.閱讀下列文字：利用圖①中的三種材料各若干可以拼成一些圖形來解釋某些等式，比

如圖②可以解釋為(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.

(1)圖③可以解釋為等式：;

(2)在虛線框中用圖①中的基本圖形若干塊(每種至少用一次)拼成一個長方形，使拼出

的長方形面積為2a2+7ab+3b2,并標出此長方形的長和寬；

(3)用四個圖①中長、寬分別為b、。的長方形拼成如圖④所示的圖形，圖④中大正

方形的邊長為加，小正方形的邊長為W,觀察圖形，指出以下關系中正確的有.(將

正確答案的序號填在橫線上)

①b+a=m;@b—a=n;@ba——--;@b2—a2—mn.

【答案】解：(l)(a+2b)(2a+b)=2a2+Sab+2b2

(2)此長方形的長和寬分別為a+3b和2a+b.如圖：

abbb

⑶①②③④

【解析】

【分析】

本題主要考查多項式乘以多項式的法則，用到的知識點是多項式的乘法法則、長方形正方形

的面積公式，注意不要漏項，漏