安徽省鼎尖教育聯(lián)考2024-2025學年高二上學期開學考試數(shù)學試題（解析版）

高二數(shù)學滿分：150分考試時間：120分鐘注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰.3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由對數(shù)的運算可得，再按交集的定義求解即可.【詳解】由，可得，所以，所以.故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算及復數(shù)相等的充要條件得到方程組，求出、，再計算其模.【詳解】設，因為，即，即，所以，解得，即，所以.

故選：B3.已知平面向量，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標表示公式、平面向量共線的坐標表示公式，結(jié)合輔助角公式、正弦的二倍角公式、充分性、必要性的定義進行判斷即可.詳解】若，則有若，則有，或，解得：或，顯然由可以推出，但由不一定能推出，因此是的充分不必要條件，故選：A4.腰鼓是中國漢族古老的民族打擊樂器，腰鼓為木制鼓身，兩端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中間粗，兩端細．一種腰鼓長為40cm，兩側(cè)鼓面直徑為20cm，中間最粗處直徑為24cm，若將該腰鼓近似看作由兩個相同圓臺拼接，則腰鼓的體積約為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓臺的體積公式計算可得.【詳解】依題意圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，所以腰鼓的體積.故選：D5.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上也是單調(diào)遞增，因為二次函數(shù)的對稱軸為，所以有，即，故選：A6.正六邊形六個頂點中任取四個點，構(gòu)成等腰梯形的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)組合的定義，結(jié)合正六邊形和等腰梯形的性質(zhì)、古典概型運算公式進行求解即可.【詳解】正六邊形六個頂點中任取四個點，不同方法共有種方法，在如圖所示正六邊形中，顯然四邊形、、、、、是等腰梯形，共個，因此正六邊形六個頂點中任取四個點，構(gòu)成等腰梯形的概率是，故選：D7.是定義在R上的函數(shù)，若，且對任意，滿足，，則（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2026【答案】C【解析】【分析】首先推導出，從而得到，再根據(jù)計算可得.【詳解】因為，即，所以，又，所以，所以.故選：C8.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先對式子進行化簡求出，再根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】解：，即，即，即，即，即，即，又，解得：，(舍)，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于隨機事件和事件，，，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則 B.若與互斥，則C.若與相互獨立，則 D.若與相互獨立，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的概率公式計算可得.【詳解】對于A：若與互斥，則，故A錯誤；對于B：若與互斥，則，故B正確；對于C：若與相互獨立，則，故C正確；對于D：若與相互獨立，則，故D錯誤.故選：BC10.已知正數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判斷A、B；依題意可得，再由基本不等式判斷C、D.【詳解】因為正數(shù)，滿足，所以，當且僅當，即，時等號成立，解得，所以，故的最大值為，故A正確；，即，又，所以，所以的最小值為，當且僅當，即，時等號成立，故B正確；由可得，所以，當且僅當時等號成立，此時，，又為正數(shù)，矛盾，故C錯誤；，當且僅當，即，時等號成立，故D正確.故選：ABD11.在菱形中，邊長為，，將沿對角線折起得到四面體，記二面角大小為，則下列結(jié)論正確的是（）A.對任意，都有B.存在，使平面C.當時，直線與平面所成角為D.當時，四面體外接球表面積為【答案】ACD【解析】【分析】取的中點，連接、，則，，所以為二面角的平面角，再證明平面，即可判斷A；推出矛盾，即可判斷B；證明平面平面，則為直線與平面所成角，即可判斷C；求出外接球的半徑，即可判斷D.【詳解】取的中點，連接、，依題意可得，，則為二面角的平面角，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；在菱形中，邊長為，，所以，若平面，平面，則，所以，與矛盾，故B錯誤；因為平面，又平面，所以平面平面，所以為直線與平面所成角，當，則，即當時，直線與平面所成角為，故C正確；在中，時，取、的外心、，則，，過、分別作、的垂線交于點，則為四面體外接球球心，連接，則，設外接球的半徑為，則，所以四面體外接球的表面積，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.天然氣是潔凈燃氣，供應穩(wěn)定，能夠改善空氣質(zhì)量，因而能為地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展提供新的動力，帶動經(jīng)濟繁榮及改善環(huán)境．多年來，我國規(guī)模以上工業(yè)天然氣生產(chǎn)穩(wěn)定增長，2023年5月至2024年4月，天然氣日均產(chǎn)量（單位：億立方米）依次為6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)百分位計算規(guī)則計算可得.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列依次：，，，，，，，，，，，，又，所以上四分位數(shù)是.故答案為：13.將函數(shù)的圖象向右平移后得到的圖象關于原點對稱，則的最小正值為______．【答案】##【解析】【分析】首先求出平移后的函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出的取值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移得到，又的圖象關于原點對稱，所以，解得，所以的最小正值為.故答案為：14.若用表示不大于x的最大整數(shù)，用表示不小于x的最小整數(shù)，那么方程的最大整數(shù)解為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)整數(shù)除以的余數(shù)，結(jié)合題中定義分類討論進行求解即可.【詳解】當時，由，此時方程有正整數(shù)解，因此不用討論是負整數(shù)的情況，當時，由；當時，由；當時，由；當時，由；當時，由，由上可知當時，方程的最大整數(shù)解為，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)的形式分類討論.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為推動安徽省鄉(xiāng)村旅游發(fā)展提質(zhì)增效，更好滿足人民群眾旅游消費升級需求，助力鄉(xiāng)村全面振興，安徽省實施精品示范工程打造“皖美休閑旅游鄉(xiāng)村”行動方案，實施“微創(chuàng)意、微改造”，促進“精提升”，建設“皖美”鄉(xiāng)村新風景，打造全國知名的鄉(xiāng)村旅游目的地．某學校興趣小組同學利用暑假時間，在全省范圍內(nèi)調(diào)查了100個休閑旅游鄉(xiāng)村，并從環(huán)境風貌、資源價值、基礎設施等方面進行綜合評分，將評分按照50,60，60,70，，80,90，90,100分組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）求的值，并求這100個休閑旅游鄉(xiāng)村評分的平均分；（2）若評分在80分及以上的鄉(xiāng)村稱為“值得推薦的旅游鄉(xiāng)村”，其中評分在80,90為“推薦指數(shù)四顆星”，評分在90,100為“推薦指數(shù)五顆星”．興趣小組同學用分層抽樣的方法在“值得推薦的旅游鄉(xiāng)村”中抽取7個鄉(xiāng)村進行第一批次的校內(nèi)宣傳，并從這7個鄉(xiāng)村中隨機抽取2個鄉(xiāng)村在校園內(nèi)做展板宣傳，求這2個鄉(xiāng)村正好是“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個的概率．【答案】（1），分（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為得到方程求出，再根據(jù)平均數(shù)計算公式求出平均數(shù)；（2）首先求出“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”各抽取的個數(shù)，再由古典概型的概率公式計算可得.【小問1詳解】由頻率分布直方可知，解得；則這100個休閑旅游鄉(xiāng)村評分的平均分為：；【小問2詳解】“推薦指數(shù)四顆星”鄉(xiāng)村數(shù)為（個）；“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村數(shù)為（個）；按照分層抽樣，可知“推薦指數(shù)四顆星”鄉(xiāng)村抽取個，可知“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村抽取個，從個鄉(xiāng)村中隨機抽取個鄉(xiāng)村共有種情形，其中“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個有種情形，所以“推薦指數(shù)四顆星”和“推薦指數(shù)五顆星”鄉(xiāng)村各一個的概率.16.如圖，在直三棱柱中，所有棱長均為4，D是AB的中點．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的正弦值．【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，利用三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合異面直線所成角定理、直棱柱的性質(zhì)、余弦定理、同角的三角函數(shù)關系式進行求解即可.【小問1詳解】連接交于，在直三棱柱中，所有棱長均為4，因此四邊形是正方形，所以是的中點，而D是AB的中點，因此有，而平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由（1）可知：，因此異面直線與所成角為（或其補角），因為是正方形，所以，在直三棱柱中，所有棱長均為4，因此四邊形是正方形，因此有，在直三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直線，因此有，由余弦定理可知：，因此.17.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足．（1）求角；（2）若，．平分交于點，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）首先利用余弦定理求出，再由等面積法計算可得.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，即，由余弦定理，又，所以；【小問2詳解】在中，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），又，，所以，解得.18.如圖，在四棱錐中，，，底面是直角梯形，，，．（1）求證：平面平面；（2）求證：；（3）求平面與平面所成銳二面角正切值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）取的中點，連接、，即可得到，再說明，即可得到平面，從而得證；（2）由（1）可知，再說明，得到平面，即可得證；（3）延長與延長線相交于點，連接，過作于點，連接，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，則，即可得到平面，則是二面角的平面角，求出的長度，再由銳角三角函數(shù)計算可得.【小問1詳解】取的中點，連接、，因為，所以，又，所以，因為底面是直角梯形，，，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】由（1）可知平面，平面，所以，在梯形中，，，，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；【小問3詳解】延長與延長線相交于點，連接，過作于點，連接，因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以是二面角的平面角，因為且，所以為的中點，又為邊長為的等邊三角形，所以在中，，，所以，所以，又平面，平面，所以，在中，，所以平面與平面所成銳二面角的正切值為.19.已知定義在R上的函數(shù)，．（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）若對，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若函數(shù)，實數(shù)a、b、c滿足，，求c的最小值．（參考公式：如果a、b、c是正實數(shù)，那么，當且僅當時，等號成立．）【答案】（1）奇函數(shù)，證明詳見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證得是奇函數(shù).（2）由分離常數(shù)，利用換元法法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及函