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結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)概念:結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析:結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)在機(jī)械工程中的應(yīng)用1結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)1.1動(dòng)力學(xué)基本原理動(dòng)力學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)與作用力之間關(guān)系的學(xué)科。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中,我們關(guān)注的是結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷作用下的響應(yīng)。動(dòng)態(tài)載荷可以是周期性的(如機(jī)器的振動(dòng))、瞬時(shí)的(如爆炸或撞擊)或隨機(jī)的(如風(fēng)或地震)。動(dòng)力學(xué)基本原理包括牛頓第二定律,即力等于質(zhì)量乘以加速度(F=ma),以及能量守恒定律,即系統(tǒng)中的總能量在沒有外部做功的情況下保持不變。1.1.1振動(dòng)的基本概念振動(dòng)是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的核心概念,指的是物體圍繞平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。振動(dòng)可以分為自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)。自由振動(dòng)發(fā)生在沒有外部激勵(lì),僅由初始條件(如初始位移或速度)引起的振動(dòng)。受迫振動(dòng)則是由外部激勵(lì)(如周期性力)引起的振動(dòng)。振動(dòng)的特性包括頻率、振幅、相位和阻尼。1.2單自由度系統(tǒng)的動(dòng)力分析單自由度系統(tǒng)是指系統(tǒng)中只有一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方向。這類系統(tǒng)的動(dòng)力分析通常較為簡單,可以通過解析方法求解。考慮一個(gè)質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng),其動(dòng)力學(xué)方程可以表示為:m其中,m是質(zhì)量,c是阻尼系數(shù),k是彈簧剛度,x是位移,x是速度,x是加速度,F(xiàn)t1.2.1示例:單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)假設(shè)一個(gè)單自由度系統(tǒng),質(zhì)量m=1kg,彈簧剛度k=10Nmx這是一個(gè)二階線性微分方程,其解可以通過特征方程求得。特征方程為:λ解得:λ因此,系統(tǒng)的自由振動(dòng)解為:x利用初始條件x0=0.1和v0=importnumpyasnp
importmatplotlib.pyplotasplt
#參數(shù)
m=1.0#質(zhì)量
k=10.0#彈簧剛度
x0=0.1#初始位移
v0=0.0#初始速度
#特征方程的解
omega=np.sqrt(k/m)
#利用初始條件求解A和B
A=x0
B=v0/omega
#時(shí)間向量
t=np.linspace(0,10,1000)
#振動(dòng)解
x=A*np.cos(omega*t)+B*np.sin(omega*t)
#繪圖
plt.figure()
plt.plot(t,x)
plt.title('單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)')
plt.xlabel('時(shí)間(s)')
plt.ylabel('位移(m)')
plt.grid(True)
plt.show()1.3多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力分析多自由度系統(tǒng)是指系統(tǒng)中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)方向。這類系統(tǒng)的動(dòng)力分析較為復(fù)雜,通常需要使用矩陣方法和數(shù)值方法求解。多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為:M其中,M是質(zhì)量矩陣,C是阻尼矩陣,K是剛度矩陣,X是位移向量,X是速度向量,X是加速度向量,F(xiàn)t1.3.1示例:二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)考慮一個(gè)二自由度系統(tǒng),質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K分別為:M假設(shè)系統(tǒng)受到周期性外力Ftimportnumpyasnp
fromegrateimportsolve_ivp
importmatplotlib.pyplotasplt
#定義動(dòng)力學(xué)方程
defdynamics(t,y,M,C,K,F):
x1,x2,v1,v2=y
dydt=np.zeros(4)
dydt[0]=v1
dydt[1]=v2
dydt[2]=(F[0]-C[0,0]*v1-K[0,0]*x1-K[0,1]*x2)/M[0,0]
dydt[3]=(F[1]-C[1,1]*v2-K[1,0]*x1-K[1,1]*x2)/M[1,1]
returndydt
#參數(shù)
M=np.array([[1,0],[0,2]])
C=np.array([[0,0],[0,0.5]])
K=np.array([[10,-5],[-5,20]])
F=np.array([10*np.sin,0])
#初始條件
y0=[0,0,0,0]
#時(shí)間向量
t_span=(0,10)
#求解動(dòng)力學(xué)方程
sol=solve_ivp(dynamics,t_span,y0,args=(M,C,K,F),t_eval=np.linspace(0,10,1000))
#繪圖
plt.figure()
plt.plot(sol.t,sol.y[0],label='x1(t)')
plt.plot(sol.t,sol.y[1],label='x2(t)')
plt.title('二自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)')
plt.xlabel('時(shí)間(s)')
plt.ylabel('位移(m)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()1.4連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析連續(xù)系統(tǒng)是指系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)可以連續(xù)變化的系統(tǒng),如梁、板和殼體。這類系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析通常需要使用偏微分方程和變分原理。連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為:ρ其中,ρ是密度,E是彈性模量,u是位移,fx1.4.1示例:一維梁的自由振動(dòng)考慮一個(gè)一維梁,長度L=1m,密度ρρ?假設(shè)位移ux,t1其中,λ是波數(shù)。通過求解這兩個(gè)方程,我們可以得到梁的自由振動(dòng)解。1.5結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的數(shù)值方法結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的數(shù)值方法包括有限元法、邊界元法和離散元法等。這些方法可以將連續(xù)系統(tǒng)離散化,從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組,便于數(shù)值求解。1.5.1示例:使用有限元法求解一維梁的受迫振動(dòng)考慮一個(gè)一維梁,長度L=1m,密度ρ=1importnumpyasnp
fromscipy.sparseimportdiags
fromscipy.sparse.linalgimportspsolve
importmatplotlib.pyplotasplt
#參數(shù)
L=1.0#長度
rho=1.0#密度
E=10**7#彈性模量
f=lambdax,t:10*np.sin(t)*(x==0.5)#外力
#離散化參數(shù)
n=100#節(jié)點(diǎn)數(shù)
h=L/(n-1)#節(jié)點(diǎn)間距
t=np.linspace(0,10,1000)#時(shí)間向量
#構(gòu)建剛度矩陣和質(zhì)量矩陣
K=diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(n,n))/h**2
M=diags([1],[0],shape=(n,n))*rho*h
#應(yīng)用邊界條件
K[0,:]=0
K[-1,:]=0
K[0,0]=1
K[-1,-1]=1
M[0,:]=0
M[-1,:]=0
M[0,0]=1
M[-1,-1]=1
#求解動(dòng)力學(xué)方程
u=np.zeros((n,len(t)))
foriinrange(len(t)):
F=f(np.linspace(0,L,n),t[i])
u[:,i]=spsolve(M+10**7*t[i]**2*K,F)
#繪圖
plt.figure()
plt.plot(np.linspace(0,L,n),u[:,0],label='t=0')
plt.plot(np.linspace(0,L,n),u[:,500],label='t=5')
plt.title('一維梁的受迫振動(dòng)')
plt.xlabel('位置(m)')
plt.ylabel('位移(m)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()以上示例展示了如何使用Python中的NumPy和SciPy庫求解單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。這些方法在機(jī)械工程中有著廣泛的應(yīng)用,如預(yù)測機(jī)器的振動(dòng)特性、設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和評估結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性等。2機(jī)械工程中的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)應(yīng)用2.1dir2.1機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)分析在機(jī)械工程中,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)用于分析機(jī)械系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)載荷下的行為。這包括了振動(dòng)分析,其中關(guān)鍵的參數(shù)如頻率、阻尼和振幅被計(jì)算以確保機(jī)械系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全性。2.1.1旋轉(zhuǎn)機(jī)械的動(dòng)力學(xué)問題旋轉(zhuǎn)機(jī)械,如渦輪機(jī)、發(fā)動(dòng)機(jī)和壓縮機(jī),其動(dòng)力學(xué)問題主要涉及旋轉(zhuǎn)部件的不平衡、共振和摩擦振動(dòng)。不平衡會(huì)導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)部件產(chǎn)生額外的振動(dòng),這可以通過調(diào)整質(zhì)量分布來解決。共振發(fā)生在結(jié)構(gòu)的自然頻率與激勵(lì)頻率相匹配時(shí),可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的破壞。摩擦振動(dòng)則是在部件接觸面由于摩擦力引起的振動(dòng)。示例:使用Python進(jìn)行不平衡振動(dòng)分析importnumpyasnp
importmatplotlib.pyplotasplt
#定義參數(shù)
mass=1.0#質(zhì)量,單位:kg
radius=0.1#半徑,單位:m
imbalance=0.01#不平衡質(zhì)量,單位:kg
omega=2*np.pi*60#角速度,單位:rad/s
#計(jì)算不平衡力
unbalance_force=imbalance*radius*omega**2
#時(shí)間序列
t=np.linspace(0,1,1000)
#振動(dòng)位移
displacement=np.sin(omega*t)*unbalance_force/(mass*omega**2)
#繪制振動(dòng)位移圖
plt.figure()
plt.plot(t,displacement)
plt.title('不平衡振動(dòng)位移')
plt.xlabel('時(shí)間(s)')
plt.ylabel('位移(m)')
plt.show()此代碼示例展示了如何計(jì)算一個(gè)旋轉(zhuǎn)機(jī)械由于不平衡質(zhì)量產(chǎn)生的振動(dòng)位移。通過調(diào)整不平衡質(zhì)量、旋轉(zhuǎn)速度和結(jié)構(gòu)的自然頻率,可以優(yōu)化機(jī)械設(shè)計(jì)以減少振動(dòng)。2.2dir2.2沖擊與碰撞的結(jié)構(gòu)響應(yīng)沖擊和碰撞是機(jī)械工程中常見的動(dòng)態(tài)載荷,它們可以瞬間產(chǎn)生巨大的力,對結(jié)構(gòu)造成損害。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析幫助工程師預(yù)測和評估這些載荷對結(jié)構(gòu)的影響。2.2.1疲勞與振動(dòng)的關(guān)系疲勞是材料在重復(fù)應(yīng)力作用下逐漸損傷的過程。在機(jī)械工程中,振動(dòng)是導(dǎo)致疲勞的主要原因之一。通過結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析,可以評估振動(dòng)對材料疲勞壽命的影響,從而優(yōu)化設(shè)計(jì)以延長機(jī)械系統(tǒng)的使用壽命。示例:使用MATLAB進(jìn)行疲勞壽命預(yù)測%定義參數(shù)
stress_amplitude=100;%應(yīng)力幅值,單位:MPa
mean_stress=50;%平均應(yīng)力,單位:MPa
cycles=1e6;%循環(huán)次數(shù)
%疲勞壽命預(yù)測
S_N_curve=[1001e6;2001e5;3001e4];%S-N曲線數(shù)據(jù)
S_N=interp1(S_N_curve(:,1),S_N_curve(:,2),stress_amplitude,'linear');
%計(jì)算疲勞壽命
fatigue_life=S_N/cycles;
%顯示結(jié)果
disp(['預(yù)測疲勞壽命:',num2str(fatigue_life),'循環(huán)'])此MATLAB代碼示例展示了如何使用S-N曲線數(shù)據(jù)預(yù)測機(jī)械部件在特定應(yīng)力幅值和循環(huán)次數(shù)下的疲勞壽命。通過調(diào)整這些參數(shù),可以優(yōu)化設(shè)計(jì)以提高部件的疲勞壽命。2.3dir2.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)在設(shè)計(jì)中的應(yīng)用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)在機(jī)械設(shè)計(jì)中扮演著關(guān)鍵角色,它幫助工程師在設(shè)計(jì)階段就考慮到結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性,從而避免在實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的問題。2.3.1動(dòng)力學(xué)優(yōu)化與控制動(dòng)力學(xué)優(yōu)化涉及調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)以最小化振動(dòng)、噪聲或能量消耗。動(dòng)力學(xué)控制則是在結(jié)構(gòu)中引入主動(dòng)或被動(dòng)控制機(jī)制,以在運(yùn)行過程中調(diào)整結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。示例:使用ANSYS進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化在ANSYS中進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化通常涉及定義目標(biāo)函數(shù)(如最小化振動(dòng))和設(shè)計(jì)變量(如結(jié)構(gòu)的幾何尺寸或材料屬性)。通過迭代計(jì)算,ANSYS可以找到滿足設(shè)計(jì)約束的最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。*Heading
*Title,"動(dòng)力學(xué)優(yōu)化示例"
*Preprint,"yes"
*Part,name="Part1"
*EndPart
*Material,name="Material1"
*Density
7850.0,
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*Element,type=S4R,elset=Elements
1,1,2,3,4
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*Element,type=MASS21,elset=Mass
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*Element,type=MASS21,elset=Mass
9,5,10.0
*Element,type=MASS21,elset=Mass
10,6,10.0
*Element,type=MASS21,elset=Mass
11,7,10.0
*Element,type=MASS21,elset=Mass
12,8,10.0
*Section,type=SOLID,elset=Elements,material="Material1"
1.0,1.0,1.0
*Boundary
1,1,1,0.0
1,2,2,0.0
1,3,3,0.0
*Load,name="Load1"
2,2,0.0,0.0,-100.0
*Output,field,variable=PRESELECT
*EndStep此ANSYS示例代碼展示了如何定義一個(gè)簡單的結(jié)構(gòu)模型,并施加載荷進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。通過調(diào)整設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù),可以進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化。通過以上示例,我們可以看到結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)在機(jī)械工程中的應(yīng)用是多方面的,從振動(dòng)分析到疲勞壽命預(yù)測,再到動(dòng)力學(xué)優(yōu)化與控制,都是確保機(jī)械系統(tǒng)性能和安全性的關(guān)鍵步驟。3結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的高級主題3.1dir3.1非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與隨機(jī)振動(dòng)理論3.1.1非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)非線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究的是結(jié)構(gòu)在非線性力作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。與線性動(dòng)力學(xué)不同,非線性動(dòng)力學(xué)中的結(jié)構(gòu)剛度、阻尼或外力可能隨位移、速度或時(shí)間變化。這種非線性特性在大變形、材料非線性、接觸問題和幾何非線性中尤為顯著。原理與內(nèi)容非線性動(dòng)力學(xué)方程通常形式為:M其中,M是質(zhì)量矩陣,C是阻尼矩陣,fu是非線性恢復(fù)力,F(xiàn)t是外力,而示例:材料非線性假設(shè)一個(gè)彈簧-質(zhì)量系統(tǒng),其中彈簧遵循非線性彈性模型,力與位移的關(guān)系為:f其中,k1和k使用Python和SciPy庫求解該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng):importnumpyasnp
fromegrateimportsolve_ivp
#定義系統(tǒng)參數(shù)
m=1.0#質(zhì)量
k1=10.0#線性剛度
k2=1.0#非線性剛度
F0=1.0#外力幅值
omega=2.0#外力頻率
#定義非線性動(dòng)力學(xué)方程
defnonlinear_dynamics(t,y):
u,v=y#位移和速度
du_dt=v
dv_dt=(-k1*u-k2*u**3+F0*np.sin(omega*t))/m
return[du_dt,dv_dt]
#初始條件
y0=[0,0]
#求解時(shí)間范圍
t_span=(0,10)
#求解
sol=solve_ivp(nonlinear_dynamics,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))
#繪制位移響應(yīng)
importmatplotlib.pyplotasplt
plt.plot(sol.t,sol.y[0])
plt.xlabel('時(shí)間(s)')
plt.ylabel('位移(m)')
plt.title('非線性彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的位移響應(yīng)')
plt.show()3.1.2隨機(jī)振動(dòng)理論隨機(jī)振動(dòng)理論處理的是結(jié)構(gòu)在隨機(jī)外力作用下的響應(yīng)。這種外力可能來自風(fēng)、地震、機(jī)械噪聲等,其特性不能用確定的函數(shù)描述,而是通過概率統(tǒng)計(jì)方法來表征。原理與內(nèi)容隨機(jī)振動(dòng)分析通常涉及功率譜密度(PSD)和自相關(guān)函數(shù)。PSD描述了外力在頻域中的能量分布,而自相關(guān)函數(shù)則提供了外力在時(shí)域中的統(tǒng)計(jì)信息。示例:使用PSD分析隨機(jī)振動(dòng)假設(shè)一個(gè)結(jié)構(gòu)受到隨機(jī)振動(dòng),其外力的PSD為:S其中,F(xiàn)0是外力的均方根值,Δ使用Python和matplotlib庫繪制PSD:importnumpyasnp
importmatplotlib.pyplotasplt
#定義系統(tǒng)參數(shù)
F0=1.0#外力均方根值
Delta_omega=1.0#帶寬
#頻率范圍
omega=np.linspace(0,10,1000)
#計(jì)算PSD
SF=(F0**2)/(2*np.pi*Delta_omega)
#繪制PSD
plt.semilogy(omega,SF)
plt.xlabel('頻率(Hz)')
plt.ylabel('功率譜密度(m^2/Hz)')
plt.title('隨機(jī)外力的功率譜密度')
plt.grid(True)
plt.show()3.2dir3.2結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的實(shí)驗(yàn)方法與模態(tài)分析3.2.1結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的實(shí)驗(yàn)方法實(shí)驗(yàn)方法在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中用于驗(yàn)證理論模型和數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性。常見的實(shí)驗(yàn)技術(shù)包括錘擊試驗(yàn)、模態(tài)測試和振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)。示例:錘擊試驗(yàn)錘擊試驗(yàn)是一種常用的模態(tài)分析方法,通過在結(jié)構(gòu)上施加沖擊力,測量結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)響應(yīng),從而識別其模態(tài)參數(shù)。使用Python和numpy庫處理錘擊試驗(yàn)數(shù)據(jù):importnumpyasnp
importmatplotlib.pyplotasplt
#假設(shè)錘擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)
time=np.linspace(0,10,1000)
response=np.sin(2*np.pi*5*time)*np.exp(-time/2)
#繪制響應(yīng)
plt.plot(time,response)
plt.xlabel('時(shí)間(s)')
plt.ylabel('響應(yīng)(m)')
plt.title('錘擊試驗(yàn)的自由振動(dòng)響應(yīng)')
plt.show()3.2.2模態(tài)分析與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測試模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的關(guān)鍵工具,用于識別結(jié)構(gòu)的固有頻率、阻尼比和模態(tài)形狀。實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測試通過在結(jié)構(gòu)上施加已知的激勵(lì)并測量響應(yīng),來確定這些模態(tài)參數(shù)。示例:實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測試數(shù)據(jù)處理假設(shè)從實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測試中獲得的頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF)數(shù)據(jù),使用Python和scipy庫進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別:importnumpyasnp
fromscipy.signalimportfind_peaks
#假設(shè)FRF數(shù)據(jù)
frequency=np.linspace(0,100,1000)
FRF=np.abs(1/(1-(frequency/50)**2-0.1j*(frequency/50)))
#尋找峰值以識別固有頻率
peaks,_=find_peaks(FRF,height=10)
#打印固有頻率
print("固有頻率:",frequency[peaks])3.3dir3.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的現(xiàn)代數(shù)值技術(shù)與多物理場耦合的動(dòng)力學(xué)分析3.3.1結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的現(xiàn)代數(shù)值技術(shù)現(xiàn)代數(shù)值技術(shù),如有限元法(FEM)、邊界元法(BEM)和離散元法(DEM),在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中扮演著重要角色。這些方法能夠處理復(fù)雜幾何和材料特性,提供高精度的動(dòng)態(tài)響應(yīng)預(yù)測。示例:使用FEM進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析使用Python和FEniCS庫進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的有限元分析:fromdolfinimport*
#創(chuàng)建網(wǎng)格和函數(shù)空間
mesh=UnitSquareMesh(8,8)
V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',2)
#定義邊界條件
defboundary(x,on_boundary):
returnon_boundary
bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)
#定義動(dòng)力學(xué)方程
u=TrialFunction(V)
v=TestFunction(V)
f=Constant((0,-10))
m=u[0]*v[0]*dx+u[1]*v[1]*dx
a=
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