結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)概念：超靜定結(jié)構(gòu)：位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)概念：超靜定結(jié)構(gòu)：位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)1緒論1.1超靜定結(jié)構(gòu)的定義超靜定結(jié)構(gòu)，是指在滿足平衡條件的情況下，結(jié)構(gòu)的未知力數(shù)多于獨立的靜力平衡方程數(shù)的結(jié)構(gòu)。換句話說，超靜定結(jié)構(gòu)的約束力或支反力不能僅通過靜力平衡方程直接求解，需要考慮結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件，即位移條件，來補(bǔ)充求解未知力的方程。1.2超靜定結(jié)構(gòu)的類型超靜定結(jié)構(gòu)根據(jù)其超靜定次數(shù)的不同，可以分為一次超靜定、二次超靜定、三次超靜定等。超靜定次數(shù)是指結(jié)構(gòu)的未知力數(shù)與獨立的靜力平衡方程數(shù)之差。例如，一個一次超靜定結(jié)構(gòu)意味著除了平衡方程外，還需要一個額外的位移方程來求解未知力。1.2.1示例考慮一個簡單的二次超靜定梁，兩端固定，中間受集中力作用。此結(jié)構(gòu)的未知力包括兩端的支反力和中間的集中力，但僅通過靜力平衡方程無法直接求解所有未知力，需要考慮梁的變形協(xié)調(diào)條件，即兩端的轉(zhuǎn)角和位移必須為零，來補(bǔ)充求解方程。1.3位移法的基本概念位移法是一種求解超靜定結(jié)構(gòu)的方法，它以結(jié)構(gòu)的位移作為基本未知量，通過建立位移與內(nèi)力之間的關(guān)系，以及位移的協(xié)調(diào)條件，來求解結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移。位移法的核心在于建立結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，通過剛度矩陣來表達(dá)結(jié)構(gòu)的變形特性。1.3.1示例假設(shè)我們有一個一次超靜定梁，一端固定，另一端鉸接，中間受集中力作用。我們可以通過位移法來求解此結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移。確定基本未知量：此結(jié)構(gòu)的基本未知量為鉸接端的轉(zhuǎn)角。建立剛度矩陣：對于梁，剛度矩陣通常包含彎矩和轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系。假設(shè)梁的彈性模量為E，截面慣性矩為I，長度為L，則梁的剛度矩陣為：[k]=[4EI/L^3-2EI/L^3]

[-2EI/L^34EI/L^3]這里，k11和k22分別表示固定端和鉸接端的剛度，k12應(yīng)用位移邊界條件：固定端的轉(zhuǎn)角為零，鉸接端的轉(zhuǎn)角為未知量。求解未知位移：通過平衡方程和位移協(xié)調(diào)條件，可以求解鉸接端的轉(zhuǎn)角。計算內(nèi)力：有了轉(zhuǎn)角，就可以通過剛度矩陣計算出梁的彎矩。1.3.2代碼示例以下是一個使用Python求解上述一次超靜定梁的示例代碼：importnumpyasnp

#定義參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.01**4#截面慣性矩，單位：m^4

L=1#梁的長度，單位：m

P=1000#中間集中力，單位：N

#建立剛度矩陣

k=np.array([[4*E*I/L**3,-2*E*I/L**3],

[-2*E*I/L**3,4*E*I/L**3]])

#定義位移邊界條件

boundary_conditions=np.array([0,1])#固定端轉(zhuǎn)角為0，鉸接端轉(zhuǎn)角為未知量

#建立平衡方程

balance_equations=np.array([0,P])

#求解未知位移

delta=np.linalg.solve(k,balance_equations)

#計算內(nèi)力

M=np.dot(k,delta)

print("鉸接端的轉(zhuǎn)角：",delta[1])

print("梁的彎矩：",M)1.3.3解釋在上述代碼中，我們首先定義了梁的物理參數(shù)，包括彈性模量E、截面慣性矩I、長度L和中間的集中力P。然后，我們建立了梁的剛度矩陣k，并定義了位移的邊界條件和平衡方程。通過使用numpy庫的linalg.solve函數(shù)，我們求解了鉸接端的轉(zhuǎn)角。最后，我們通過剛度矩陣和求得的轉(zhuǎn)角，計算出了梁的彎矩。通過位移法，我們可以有效地求解超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移，這種方法在結(jié)構(gòu)工程中非常實用，尤其是在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)時。2位移法原理2.1位移法的基本方程位移法是結(jié)構(gòu)力學(xué)中求解超靜定結(jié)構(gòu)的一種方法，它以結(jié)構(gòu)的位移作為基本未知量，通過建立位移與內(nèi)力之間的關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移。位移法的基本方程是基于結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件建立的。2.1.1變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件是指結(jié)構(gòu)在變形時，各部分之間的位移必須相互協(xié)調(diào)，不能出現(xiàn)不連續(xù)。例如，在連續(xù)梁中，各跨之間的位移必須連續(xù)，不能出現(xiàn)突變。2.1.2平衡條件平衡條件是指結(jié)構(gòu)在內(nèi)力作用下必須滿足靜力平衡條件，即在任意截面上，內(nèi)力的代數(shù)和為零。2.1.3位移與內(nèi)力關(guān)系位移與內(nèi)力之間的關(guān)系可以通過結(jié)構(gòu)的剛度矩陣來表達(dá)。剛度矩陣反映了結(jié)構(gòu)在單位位移作用下產(chǎn)生的內(nèi)力，是位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵。2.2位移法的求解步驟確定位移未知量：首先，確定結(jié)構(gòu)的獨立位移未知量，這些未知量通常包括節(jié)點的線位移和角位移。建立剛度矩陣：根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何形狀和材料性質(zhì)，建立結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。剛度矩陣的元素表示結(jié)構(gòu)在單位位移作用下產(chǎn)生的內(nèi)力。應(yīng)用邊界條件：將結(jié)構(gòu)的邊界條件（如固定支座、鉸支座等）應(yīng)用到剛度矩陣中，形成修改后的剛度矩陣和位移向量。求解位移：利用修改后的剛度矩陣和位移向量，通過線性方程組求解未知位移。計算內(nèi)力：最后，根據(jù)求得的位移，利用位移與內(nèi)力的關(guān)系，計算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。2.2.1示例：連續(xù)梁的位移法求解假設(shè)我們有一個由三跨組成的連續(xù)梁，每跨長度為L，截面剛度為EI，承受均布荷載q。我們使用位移法求解此連續(xù)梁的內(nèi)力。importnumpyasnp

#定義參數(shù)

L=10.0#跨度，單位：m

EI=1000.0#截面剛度，單位：kN*m^2

q=10.0#均布荷載，單位：kN/m

#剛度矩陣

K=np.array([[4*EI/L,-2*EI/L,0,0],

[-2*EI/L,4*EI/L,-2*EI/L,0],

[0,-2*EI/L,4*EI/L,-2*EI/L],

[0,0,-2*EI/L,4*EI/L]])

#荷載向量

F=np.array([0,-q*L*L/8,-q*L*L/4,-q*L*L/8])

#應(yīng)用邊界條件

#假設(shè)兩端固定，中間鉸接

K_mod=np.array([[4*EI/L,-2*EI/L,0],

[-2*EI/L,4*EI/L,-2*EI/L],

[0,-2*EI/L,4*EI/L]])

F_mod=np.array([0,-q*L*L/8,-q*L*L/4])

#求解位移

delta=np.linalg.solve(K_mod,F_mod)

#計算內(nèi)力

#以第一跨為例，計算彎矩

M1=K[0,0]*delta[0]+K[0,1]*delta[1]2.3位移法與力法的比較位移法和力法是求解超靜定結(jié)構(gòu)的兩種主要方法，它們各有優(yōu)缺點。2.3.1位移法優(yōu)點：位移法更直觀，易于理解和編程實現(xiàn)。它直接求解結(jié)構(gòu)的位移，進(jìn)而計算內(nèi)力，適用于計算機(jī)輔助設(shè)計。缺點：對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，位移法可能需要處理大量的未知位移，導(dǎo)致計算量大。2.3.2力法優(yōu)點：力法通過求解多余未知力，可以減少未知量的數(shù)量，適用于某些特定類型的結(jié)構(gòu)。缺點：力法的方程通常是非線性的，求解過程可能更復(fù)雜，且不直觀。在實際應(yīng)用中，選擇哪種方法取決于結(jié)構(gòu)的類型、復(fù)雜程度以及求解者對方法的理解和掌握。3超靜定梁的位移法求解3.1超靜定梁的自由度分析超靜定梁是指其約束條件超過其靜力平衡所需的最小約束數(shù)的梁。對于這類結(jié)構(gòu)，我們首先需要確定其超靜定次數(shù)，即結(jié)構(gòu)的多余約束數(shù)。超靜定梁的自由度分析是位移法求解的基礎(chǔ)，它幫助我們識別哪些位移是基本未知量，哪些是可以通過靜力平衡條件直接計算的。3.1.1原理確定結(jié)構(gòu)的靜定部分：分析結(jié)構(gòu)，找出可以獨立分析的靜定部分。識別多余約束：確定哪些約束是超過靜定部分所需的，這些就是多余約束。計算超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)等于多余約束的數(shù)量。3.1.2內(nèi)容假設(shè)我們有一個兩端固定的超靜定梁，其長度為L，受到均布荷載q的作用。此梁的靜定部分為無，因為兩端固定意味著沒有可以獨立分析的靜定部分。因此，該梁的多余約束為兩端的固定約束，超靜定次數(shù)為4（兩端各兩個約束）。3.2超靜定梁的位移方程建立位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的核心在于建立位移方程，通過這些方程來求解結(jié)構(gòu)的位移，進(jìn)而計算內(nèi)力。3.2.1原理位移函數(shù)選擇：根據(jù)結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)性條件，選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)。能量原理應(yīng)用：利用最小勢能原理或最小余能原理，將位移函數(shù)代入能量表達(dá)式中，得到位移方程。求解位移：通過求解位移方程，得到結(jié)構(gòu)的基本未知位移。3.2.2內(nèi)容對于上述兩端固定的超靜定梁，我們可以選擇位移函數(shù)為：u其中，ux是梁在x位置的撓度，C在x=0處，u0=0在x=L處，uL=0在x=0處，轉(zhuǎn)角為0，得到u′在x=L處，轉(zhuǎn)角為0，得到u′通過求解這個方程組，我們可以得到C23.3超靜定梁的內(nèi)力計算一旦我們得到了超靜定梁的位移，就可以通過微分和積分來計算梁的彎矩和剪力。3.3.1原理彎矩和剪力的微分關(guān)系：利用彎矩和剪力的微分關(guān)系，從位移函數(shù)出發(fā)，通過微分得到彎矩和剪力的表達(dá)式。荷載和內(nèi)力的積分關(guān)系：對于荷載作用下的梁，可以通過積分荷載分布來得到彎矩和剪力的表達(dá)式。3.3.2內(nèi)容假設(shè)我們已經(jīng)得到了位移函數(shù)ux=C彎矩Mx與位移uM剪力Vx與彎矩MV其中，EI3.3.3示例假設(shè)我們已經(jīng)求得位移函數(shù)為：u其中，x的單位為米，ux的單位為米。假設(shè)梁的抗彎剛度E3.3.3.1彎矩計算M3.3.3.2剪力計算V通過這些計算，我們可以得到梁在任意位置的彎矩和剪力，從而完成超靜定梁的內(nèi)力計算。以上內(nèi)容詳細(xì)介紹了超靜定梁的位移法求解過程，包括自由度分析、位移方程建立和內(nèi)力計算。通過選擇合適的位移函數(shù)，應(yīng)用能量原理，我們可以求解出超靜定梁的基本未知位移，進(jìn)而計算出梁的內(nèi)力分布。4超靜定剛架的位移法求解4.1超靜定剛架的自由度分析在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，超靜定結(jié)構(gòu)是指結(jié)構(gòu)的未知力數(shù)目超過獨立平衡方程數(shù)目的結(jié)構(gòu)。對于超靜定剛架，我們首先需要確定其超靜定次數(shù)，即結(jié)構(gòu)的多余約束數(shù)。超靜定剛架的自由度分析是位移法求解的基礎(chǔ)，它幫助我們識別哪些位移是基本未知數(shù)，哪些位移可以通過平衡條件直接計算。4.1.1原理超靜定剛架的自由度分析基于結(jié)構(gòu)的幾何組成和約束條件。結(jié)構(gòu)的自由度是指結(jié)構(gòu)在沒有外力作用下，能夠獨立變化的位移數(shù)目。對于剛架，自由度通常包括節(jié)點的線位移和角位移。超靜定次數(shù)等于結(jié)構(gòu)的總自由度數(shù)減去獨立平衡方程的數(shù)目。4.1.2內(nèi)容確定結(jié)構(gòu)的總自由度數(shù)：考慮所有節(jié)點的位移自由度，包括線位移和角位移。識別獨立平衡方程：根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何形狀和約束條件，確定可以用來求解未知力的獨立平衡方程數(shù)目。計算超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)=總自由度數(shù)-獨立平衡方程數(shù)目。4.2超靜定剛架的位移方程建立位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的核心是建立位移方程，通過這些方程求解結(jié)構(gòu)的基本未知位移，進(jìn)而計算內(nèi)力。4.2.1原理位移方程是基于結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件建立的。在超靜定剛架中，位移方程通常通過以下步驟建立：選擇基本未知位移：在自由度分析后，選擇超靜定次數(shù)個位移作為基本未知數(shù)。建立位移與內(nèi)力的關(guān)系：利用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的彈性方程，建立基本未知位移與結(jié)構(gòu)內(nèi)力之間的關(guān)系。應(yīng)用變形協(xié)調(diào)條件：確保結(jié)構(gòu)在變形時，各部分之間的位移協(xié)調(diào)一致。4.2.2內(nèi)容假設(shè)我們有一個超靜定剛架，其超靜定次數(shù)為2，我們選擇節(jié)點A的水平位移和節(jié)點B的角位移作為基本未知數(shù)。建立位移方程時，我們首先需要確定結(jié)構(gòu)在這些基本未知位移作用下的變形狀態(tài)，然后利用彈性方程建立位移與內(nèi)力的關(guān)系。例如，對于節(jié)點A的水平位移，我們可以通過計算節(jié)點A在水平方向的位移對結(jié)構(gòu)內(nèi)力的影響，建立位移與內(nèi)力的關(guān)系。同樣，對于節(jié)點B的角位移，我們可以通過計算節(jié)點B的角位移對結(jié)構(gòu)內(nèi)力的影響，建立位移與內(nèi)力的關(guān)系。4.3超靜定剛架的內(nèi)力計算一旦我們求解了基本未知位移，就可以利用這些位移來計算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。4.3.1原理內(nèi)力計算基于位移與內(nèi)力之間的關(guān)系，通常通過結(jié)構(gòu)力學(xué)中的彈性方程和平衡方程來實現(xiàn)。4.3.2內(nèi)容在求解了基本未知位移后，我們可以通過以下步驟計算內(nèi)力：代入基本未知位移：將求解得到的基本未知位移代入位移與內(nèi)力的關(guān)系方程中。計算內(nèi)力：利用彈性方程計算各桿件的軸力、剪力和彎矩。檢查平衡條件：確保計算出的內(nèi)力滿足結(jié)構(gòu)的平衡條件。4.3.3示例假設(shè)我們有以下數(shù)據(jù)樣例，用于計算超靜定剛架的內(nèi)力：結(jié)構(gòu)參數(shù)：剛架由三根桿件組成，桿件的彈性模量均為E，截面慣性矩均為I，長度分別為L1、L2和L3。基本未知位移：節(jié)點A的水平位移為δA，節(jié)點B的角位移為θB。外力：作用在節(jié)點A的水平力為P，作用在節(jié)點B的垂直力為Q。我們可以建立以下位移與內(nèi)力的關(guān)系方程：#假設(shè)的計算內(nèi)力的Python代碼示例

defcalculate_internal_forces(E,I,L1,L2,L3,delta_A,theta_B,P,Q):

#計算各桿件的內(nèi)力

#桿件1的內(nèi)力計算

M1=E*I*(delta_A/L1)#彎矩

V1=P#剪力

N1=0#軸力

#桿件2的內(nèi)力計算

M2=E*I*(theta_B*L2)#彎矩

V2=Q#剪力

N2=0#軸力

#桿件3的內(nèi)力計算

M3=-M1-M2#彎矩

V3=-V1-V2#剪力

N3=0#軸力

#返回內(nèi)力結(jié)果

returnM1,V1,N1,M2,V2,N2,M3,V3,N3

#示例數(shù)據(jù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.1#截面慣性矩，單位：m^4

L1=3#桿件1長度，單位：m

L2=4#桿件2長度，單位：m

L3=5#桿件3長度，單位：m

delta_A=0.001#節(jié)點A的水平位移，單位：m

theta_B=0.002#節(jié)點B的角位移，單位：rad

P=1000#作用在節(jié)點A的水平力，單位：N

Q=2000#作用在節(jié)點B的垂直力，單位：N

#計算內(nèi)力

M1,V1,N1,M2,V2,N2,M3,V3,N3=calculate_internal_forces(E,I,L1,L2,L3,delta_A,theta_B,P,Q)

#輸出結(jié)果

print(f"桿件1的彎矩：{M1}Nm,剪力：{V1}N,軸力：{N1}N")

print(f"桿件2的彎矩：{M2}Nm,剪力：{V2}N,軸力：{N2}N")

print(f"桿件3的彎矩：{M3}Nm,剪力：{V3}N,軸力：{N3}N")這段代碼示例展示了如何根據(jù)給定的結(jié)構(gòu)參數(shù)、基本未知位移和外力，計算超靜定剛架中各桿件的內(nèi)力。請注意，實際計算中，位移與內(nèi)力的關(guān)系方程會更加復(fù)雜，需要考慮桿件的彈性性質(zhì)、結(jié)構(gòu)的幾何形狀以及外力的作用方式。通過以上步驟，我們可以系統(tǒng)地分析和求解超靜定剛架的位移和內(nèi)力，為結(jié)構(gòu)設(shè)計和評估提供必要的力學(xué)信息。5超靜定結(jié)構(gòu)的位移法實例分析5.1超靜定梁實例分析5.1.1概念回顧超靜定梁，即梁的約束超過其靜力平衡所需的最小約束數(shù)，導(dǎo)致無法僅通過靜力平衡條件確定全部反力和內(nèi)力。位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)，首先設(shè)定結(jié)構(gòu)的位移，然后通過變形協(xié)調(diào)條件和物理方程，結(jié)合靜力平衡條件，求解未知的反力和內(nèi)力。5.1.2實例分析考慮一個兩端固定的超靜定梁，長度為L，在中點受到集中力P的作用。梁的彈性模量為E，截面慣性矩為I。5.1.2.1步驟1：確定位移設(shè)梁中點的撓度為δ。5.1.2.2步驟2：建立變形協(xié)調(diào)方程由于梁兩端固定，梁的端部轉(zhuǎn)角為零，中點撓度δ可以通過撓度方程求解。5.1.2.3步驟3：應(yīng)用物理方程利用梁的撓度方程，將位移與內(nèi)力（彎矩）聯(lián)系起來。5.1.2.4步驟4：求解未知數(shù)通過靜力平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，求解未知的反力和內(nèi)力。5.1.3數(shù)據(jù)樣例假設(shè)梁的長度L=4m，集中力P=105.1.4代碼示例#Python示例代碼，使用SymPy求解超靜定梁的反力和內(nèi)力

importsympyassp

#定義變量

L,P,E,I=sp.symbols('LPEI')

x=sp.symbols('x')

delta=sp.symbols('delta')

#撓度方程

y=(P*x**2)/(24*E*I)*(L**2-x**2)+delta*(1-x**2/L**2)

#邊界條件

y_L_2=y.subs(x,L/2)

y_L=y.subs(x,L)

#變形協(xié)調(diào)條件

delta_eq=sp.Eq(y_L_2,delta)

#靜力平衡條件

M=P*x*(L-x)/2

M_L_2=M.subs(x,L/2)

#求解

delta_solution=sp.solve(delta_eq,delta)[0]

M_solution=M_L_2.subs(delta,delta_solution)

#輸出結(jié)果

print(f"中點撓度:{delta_solution}")

print(f"中點彎矩:{M_solution}")5.1.5解釋此代碼首先定義了梁的幾何和材料參數(shù)，然后建立了撓度方程。通過邊界條件和變形協(xié)調(diào)條件，求解了中點撓度δ，并進(jìn)一步求解了中點的彎矩M。5.2超靜定剛架實例分析5.2.1概念回顧超靜定剛架的位移法求解，同樣基于變形協(xié)調(diào)和物理方程，但剛架的復(fù)雜性要求更細(xì)致的分析，包括考慮多個方向的位移和轉(zhuǎn)角。5.2.2實例分析考慮一個由兩根梁組成的超靜定剛架，其中一根梁水平，另一根梁垂直，兩梁在交點處剛性連接，且交點受到水平和垂直的集中力作用。5.2.2.1步驟1：確定位移設(shè)交點的水平位移為Δx，垂直位移為Δy，轉(zhuǎn)角為5.2.2.2步驟2：建立變形協(xié)調(diào)方程根據(jù)剛架的幾何形狀，建立各梁的變形協(xié)調(diào)方程。5.2.2.3步驟3：應(yīng)用物理方程利用梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，將位移與內(nèi)力（彎矩和剪力）聯(lián)系起來。5.2.2.4步驟4：求解未知數(shù)通過靜力平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，求解未知的反力和內(nèi)力。5.2.3數(shù)據(jù)樣例假設(shè)剛架的水平梁長度為Lx=3m，垂直梁長度為Ly=4m，集中力5.2.4代碼示例#Python示例代碼，使用SymPy求解超靜定剛架的反力和內(nèi)力

importsympyassp

#定義變量

L_x,L_y,P_x,P_y,E,I_x,I_y=sp.symbols('L_xL_yP_xP_yEI_xI_y')

x,y=sp.symbols('xy')

Delta_x,Delta_y,theta=sp.symbols('Delta_xDelta_ytheta')

#撓度和轉(zhuǎn)角方程

y_x=(P_x*x**2)/(6*E*I_x)*(3*L_x-x)+Delta_x*(1-x/L_x)+Delta_y*(1-y/L_y)+theta*y

y_y=(P_y*y**2)/(6*E*I_y)*(3*L_y-y)+Delta_x*(1-x/L_x)+Delta_y*(1-y/L_y)+theta*y

#邊界條件

y_x_0=y_x.subs(x,0)

y_x_L_x=y_x.subs(x,L_x)

y_y_0=y_y.subs(y,0)

y_y_L_y=y_y.subs(y,L_y)

#變形協(xié)調(diào)條件

Delta_x_eq=sp.Eq(y_x_0,Delta_x)

Delta_y_eq=sp.Eq(y_y_0,Delta_y)

theta_eq=sp.Eq(y_x_L_x,y_y_L_y)

#靜力平衡條件

M_x=P_x*x*(L_x-x)/2

M_y=P_y*y*(L_y-y)/2

M_x_L_x=M_x.subs(x,L_x)

M_y_L_y=M_y.subs(y,L_y)

#求解

Delta_x_solution=sp.solve(Delta_x_eq,Delta_x)[0]

Delta_y_solution=sp.solve(Delta_y_eq,Delta_y)[0]

theta_solution=sp.solve(theta_eq,theta)[0]

M_x_solution=M_x_L_x.subs(Delta_x,Delta_x_solution)

M_y_solution=M_y_L_y.subs(Delta_y,Delta_y_solution)

#輸出結(jié)果

print(f"水平位移:{Delta_x_solution}")

print(f"垂直位移:{Delta_y_solution}")

print(f"轉(zhuǎn)角:{theta_solution}")

print(f"水平梁端彎矩:{M_x_solution}")

print(f"垂直梁端彎矩:{M_y_solution}")5.2.5解釋此代碼首先定義了剛架的幾何和材料參數(shù)，然后建立了撓度和轉(zhuǎn)角方程。通過邊界條件和變形協(xié)調(diào)條件，求解了交點的水平位移Δx，垂直位移Δy，和轉(zhuǎn)角θ，并進(jìn)一步求解了梁端的彎矩Mx5.3復(fù)雜超靜定結(jié)構(gòu)實例分析5.3.1概念回顧復(fù)雜超靜定結(jié)構(gòu)可能包含多個超靜定單元，如梁、剛架、桁架等，位移法求解時需要綜合考慮各單元的變形協(xié)調(diào)和靜力平衡。5.3.2實例分析考慮一個由多個梁和剛架組成的復(fù)雜超靜定結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)受到多個集中力和分布力的作用。5.3.2.1步驟1：確定位移設(shè)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵節(jié)點位移為Δ15.3.2.2步驟2：建立變形協(xié)調(diào)方程根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何形狀，建立各單元的變形協(xié)調(diào)方程。5.3.2.3步驟3：應(yīng)用物理方程利用各單元的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，將位移與內(nèi)力聯(lián)系起來。5.3.2.4步驟4：求解未知數(shù)通過靜力平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，求解未知的反力和內(nèi)力。5.3.3數(shù)據(jù)樣例假設(shè)結(jié)構(gòu)由三根梁和兩個剛架組成，各單元的長度、彈性模量和截面慣性矩不同，結(jié)構(gòu)受到的集中力和分布力的具體數(shù)值也需給出。5.3.4代碼示例由于復(fù)雜超靜定結(jié)構(gòu)的求解通常涉及多個未知數(shù)和方程，直接給出代碼示例可能過于復(fù)雜。在實際工程中，此類問題的求解通常使用專門的結(jié)構(gòu)力學(xué)軟件或編寫更復(fù)雜的數(shù)值求解程序，如有限元分析。5.3.5解釋復(fù)雜超靜定結(jié)構(gòu)的位移法求解，需要綜合考慮結(jié)構(gòu)的幾何、材料特性以及受力情況，通過建立和求解一系列的變形協(xié)調(diào)方程和靜力平衡方程，來確定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力。在實際操作中，這通常需要借助于計算機(jī)軟件或高級編程技術(shù)來實現(xiàn)。6位移法的高級應(yīng)用6.1位移法在連續(xù)梁中的應(yīng)用6.1.1原理位移法求解連續(xù)梁的關(guān)鍵在于將結(jié)構(gòu)的超靜定問題轉(zhuǎn)化為位移問題。連續(xù)梁通常由多個梁段組成，各梁段之間通過鉸接或剛接相連。在位移法中，我們首先確定結(jié)構(gòu)的位移未知數(shù)，通常是支座的轉(zhuǎn)角和梁段的端部轉(zhuǎn)角。然后，利用結(jié)構(gòu)的平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，建立關(guān)于這些位移未知數(shù)的方程組。最后，通過求解方程組，得到位移未知數(shù)，進(jìn)而計算出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。6.1.2內(nèi)容確定位移未知數(shù)：對于連續(xù)梁，位移未知數(shù)通常包括支座的豎向位移和梁段的端部轉(zhuǎn)角。如果梁段之間為剛接，則還需考慮梁段之間的相對轉(zhuǎn)角。建立方程組：平衡方程：對于每個支座，根據(jù)靜力平衡條件建立方程。變形協(xié)調(diào)方程：確保梁段之間的變形協(xié)調(diào)，即在剛接點處，左右梁段的轉(zhuǎn)角相等。求解方程組：使用線性代數(shù)方法求解方程組，得到位移未知數(shù)。計算內(nèi)力和變形：利用得到的位移未知數(shù)，通過梁的彎矩方程和剪力方程計算出各梁段的內(nèi)力分布，進(jìn)而得到梁的變形。6.1.3示例假設(shè)有一個三跨連續(xù)梁，各跨長度分別為L1,L2,L3確定位移未知數(shù)：設(shè)支座B和C的豎向位移分別為δB和δC，梁段AB、BC、CD的端部轉(zhuǎn)角分別為θA,θB,θ建立方程組：平衡方程：對于支座B和C，根據(jù)豎向平衡條件建立方程。變形協(xié)調(diào)方程：在剛接點B和C，確保左右梁段的轉(zhuǎn)角相等。求解方程組：假設(shè)我們得到的方程組為：4其中，EI計算內(nèi)力和變形：求解上述方程組后，得到各轉(zhuǎn)角值，然后利用彎矩方程：M和剪力方程：V計算出各梁段的內(nèi)力分布。6.2位移法在多跨剛架中的應(yīng)用6.2.1原理在多跨剛架中，位移法的應(yīng)用更為復(fù)雜，因為除了梁段的端部轉(zhuǎn)角和支座的豎向位移外，還需考慮柱的軸向變形和梁柱之間的相對轉(zhuǎn)角。通過建立關(guān)于這些位移未知數(shù)的方程組，利用結(jié)構(gòu)的平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，求解出位移未知數(shù)，進(jìn)而計算出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。6.2.2內(nèi)容確定位移未知數(shù)：包括梁段的端部轉(zhuǎn)角、支座的豎向位移、柱的軸向位移和梁柱之間的相對轉(zhuǎn)角。建立方程組：平衡方程：對于每個節(jié)點，根據(jù)靜力平衡條件建立方程。變形協(xié)調(diào)方程：確保梁柱之間的變形協(xié)調(diào)，即在剛接點處，梁柱的轉(zhuǎn)角相等。求解方程組：使用線性代數(shù)方法求解方程組，得到位移未知數(shù)。計算內(nèi)力和變形：利用得到的位移未知數(shù)，通過梁的彎矩方程、剪力方程和柱的軸力方程計算出各構(gòu)件的內(nèi)力分布，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)的變形。6.2.3示例考慮一個兩跨兩層的剛架，各跨長度為L，各層高度為H，柱的抗壓剛度為EA，梁的抗彎剛度為EI。假設(shè)剛架上作用有水平荷載P和豎向荷載確定位移未知數(shù)：設(shè)各層柱的軸向位移分別為u1,u2，各跨梁的端部轉(zhuǎn)角分別為θ11,θ12,θ建立方程組：根據(jù)平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，建立關(guān)于這些位移未知數(shù)的方程組。求解方程組：假設(shè)我們得到的方程組為：E計算內(nèi)力和變形：求解上述方程組后，得到各位移未知數(shù)，然后利用梁的彎矩方程、剪力方程和柱的軸力方程計算出各構(gòu)件的內(nèi)力分布。6.3位移法在高層建筑結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用6.3.1原理高層建筑結(jié)構(gòu)通常由多個樓層組成，每個樓層包含梁、柱和剪力墻等構(gòu)件。位移法在高層建筑結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，需要考慮結(jié)構(gòu)的整體位移和各構(gòu)件的局部位移。通過建立關(guān)于這些位移未知數(shù)的方程組，利用結(jié)構(gòu)的平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，求解出位移未知數(shù)，進(jìn)而計算出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。6.3.2內(nèi)容確定位移未知數(shù)：包括樓層的水平位移、豎向位移、梁柱的端部轉(zhuǎn)角和剪力墻的位移。建立方程組：平衡方程：對于每個樓層，根據(jù)靜力平衡條件建立方程。變形協(xié)調(diào)方程：確保各構(gòu)件之間的變形協(xié)調(diào)，即在剛接點處，各構(gòu)件的位移相等。求解方程組：使用線性代數(shù)方法求解方程組，得到位移未知數(shù)。計算內(nèi)力和變形：利用得到的位移未知數(shù)，通過梁的彎矩方程、剪力方程、柱的軸力方程和剪力墻的剪力方程計算出各構(gòu)件的內(nèi)力分布，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)的變形。6.3.3示例假設(shè)一個10層的高層建筑，每層高度為H，每層樓板的長度為L，柱的抗壓剛度為EA，梁的抗彎剛度為EI，剪力墻的抗剪剛度為GJ。假設(shè)建筑上作用有風(fēng)荷載W確定位移未知數(shù)：設(shè)各層樓板的水平位移分別為δ1,δ2,…,δ10，豎向位移為u1,u建立方程組：根據(jù)平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，建立關(guān)于這些位移未知數(shù)的方程組。求解方程組：假設(shè)我們得到的方程組為：E計算內(nèi)力和變形：求解上述方程組后，得到各位移未知數(shù)，然后利用梁的彎矩方程、剪力方程、柱的軸力方程和剪力墻的剪力方程計算出各構(gòu)件的內(nèi)力分布，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)的變形。7位移法的計算機(jī)輔助求解7.1有限元法簡介有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值求解偏微分方程的強(qiáng)有力工具，廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)分析中。它將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分解成許多小的、簡單的部分，即“有限元”，然后在每個單元上應(yīng)用力學(xué)原理，通過求解單元的位移，進(jìn)而得到整個結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。這種方法特別適用于超靜定結(jié)構(gòu)的分析，因為它能夠處理結(jié)構(gòu)的復(fù)雜幾何和材料特性。7.1.1原理結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)劃分為有限數(shù)量的單元，每個單元用節(jié)點表示。單元分析：在每個單元上建立力學(xué)方程，通?；趶椥粤W(xué)的基本原理。整體分析：將所有單元的方程組合成一個整體的方程組，通過邊界條件和連續(xù)條件連接各個單元。求解方程組：使用數(shù)值方法（如直接求解或迭代求解）求解整體方程組，得到節(jié)點位移。后處理：根據(jù)節(jié)點位移計算應(yīng)力、應(yīng)變等其他物理量。7.1.2示例假設(shè)我們有一個簡單的超靜定梁，由兩個單元組成，每個單元長度為L，截面慣性矩為I，彈性模量為E。我們使用Python的SciPy庫來求解這個結(jié)構(gòu)的位移。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportcsc_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義結(jié)構(gòu)參數(shù)

L=1.0#單元長度

E=200e9#彈性模量

I=0.001#截面慣性矩

A=0.01#截面面積

rho=7800#材料密度

#定義單元剛度矩陣

defstiffness_matrix(E,I,L):

k=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定義整體剛度矩陣

defassemble_global_stiffness_matrix(num_elements):

global_stiffness=np.zeros((4*num_elements,4*num_elements))

foriinrange(num_elements):

k=stiffness_matrix(E,I,L)

global_stiffness[4*i:4*i+4,4*i:4*i+4]+=k

ifi>0:

global_stiffness[4*i-4:4*i,4*i:4*i+4]-=k[:4,:4]

global_stiffness[4*i:4*i+4,4*i-4:4*i]-=k[:4,:4]

returncsc_matrix(global_stiffness)

#定義載荷向量

defload_vector(num_elements):

f=np.zeros(4*num_elements)

f[2]=-1000#在第二個節(jié)點施加向下載荷

returnf

#求解位移

num_elements=2

K=assemble_global_stiffness_matrix(num_elements)

F=load_vector(num_elements)

#應(yīng)用邊界條件

K[0,:]=0#固定第一個節(jié)點

K[0,0]=1

F[0]=0

K[-1,:]=0#固定最后一個節(jié)點

K[-1,-1]=1

F[-1]=0

#求解

U=spsolve(K,F)

#輸出位移

print("節(jié)點位移:",U)7.2使用軟件求解超靜定結(jié)構(gòu)在實際工程中，使用專業(yè)的結(jié)構(gòu)分析軟件（如ANSYS、ABAQUS、SAP2000等）來求解超靜定結(jié)構(gòu)更為常見。這些軟件提供了圖形用戶界面，可以方便地輸入結(jié)構(gòu)幾何、材料屬性、載荷和邊界條件，然后自動進(jìn)行有限元分析，輸出結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變等結(jié)果。7.2.1步驟模型建立：在軟件中創(chuàng)建結(jié)構(gòu)模型，包括幾何形狀、材料屬性和單元類型。載荷和邊界條件：定義作用在結(jié)構(gòu)上的載荷和邊界條件。網(wǎng)格劃分：軟件自動或手動劃分網(wǎng)格，將結(jié)構(gòu)離散化。求解：運行分析，軟件內(nèi)部使用有限元法求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)。結(jié)果查看：查看和分析軟件輸出的位移、應(yīng)力、應(yīng)變等結(jié)果。7.3位移法的數(shù)值模擬位移法的數(shù)值模擬通常涉及使用有限元軟件或自編程序來求解結(jié)構(gòu)的位移。這種方法能夠提供結(jié)構(gòu)在各種載荷和邊界條件下的響應(yīng)，對于設(shè)計和優(yōu)化結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。7.3.1關(guān)鍵點網(wǎng)格質(zhì)量：網(wǎng)格的精細(xì)程度直接影響分析的準(zhǔn)確性。載荷和邊界條件：正確設(shè)置載荷和邊界條件是獲得合理結(jié)果的關(guān)鍵。材料模型：選擇合適的材料模型（如線性彈性、塑性、復(fù)合材料模型等）。求解器選擇：根據(jù)問題的性質(zhì)選擇直接求解器或迭代求解器。結(jié)果驗證：通過理論解或?qū)嶒灁?shù)據(jù)驗證數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。7.3.2示例使用ABAQUS軟件對一個超靜定框架進(jìn)行位移法的數(shù)值模擬。首先，建立框架模型，定義材料屬性和單元類型。然后，設(shè)置載荷和邊界條件，進(jìn)行網(wǎng)格劃分。最后，運行分析并查看位移結(jié)果。模型建立：在ABAQUS中創(chuàng)建一個由多個梁單元組成的框架模型。載荷和邊界條件：在框架的頂部節(jié)點施加垂直向下的載荷，在底部節(jié)點施加固定約束。網(wǎng)格劃分：使用軟件的自動網(wǎng)格劃分功能，確保網(wǎng)格質(zhì)量滿足分析要求。求解：選擇合適的求解器（如直接求解器），運行分析。結(jié)果查看：在ABAQUS的后處理器中查看框架的位移云圖，分析結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。以上步驟在ABAQUS中通過圖形界面操作完成，無需編寫代碼。然而，對于更復(fù)雜的分析，可以使用ABAQUS的Python腳本來自動化部分或全部的分析過程。8位移法的關(guān)鍵概念回顧位移法是結(jié)構(gòu)力學(xué)中求解超靜定結(jié)構(gòu)的一種重要方法，它以結(jié)構(gòu)的位移作為基本未知量，通過建立位移與內(nèi)力之間的關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移。位移法的核心在于利用結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件，建立關(guān)于位移的方程組，從而求解結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。8.1基本未知量在位移法中，我們選擇結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵位移作為基本未知量，這些位移通常包括節(jié)點的線位移和角位移。例如，在連續(xù)梁中，我們可能選擇梁端的轉(zhuǎn)角和梁中點的垂直位移作為基本未知量。8.2剛度矩陣剛度矩陣是位移法中的核心概念，它描述了結(jié)構(gòu)的位移與內(nèi)力之間的關(guān)系。對于一個結(jié)構(gòu)，其剛度矩陣K可以通過單元剛度矩陣k的組合來形成，單元剛度矩陣反映了單個結(jié)構(gòu)單元在位移作用下的內(nèi)力響應(yīng)。8.2.1示例：2D梁單元的剛度矩陣假設(shè)我們有一個2D梁單元，其長度為L，截面慣性矩為I，彈性模量為E，則該單元的剛度矩陣可以表示為：importnumpyasnp

#定義單元參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.001#截面慣性矩，單位：m^4

L=1.0#單元長度，單位：m

#計算剛度矩陣

k=(E*I/L**3)*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])8.3平衡條件平衡條件是指在結(jié)構(gòu)上作用的所有外力和內(nèi)力必須達(dá)到平衡。在位移法中，我們通過建立平衡方程來確保這一點。平衡方程通常表示為F，其中F是外力向量，K是剛度矩陣，U是位移向量。8.3.1示例：建立平衡方程假設(shè)我們有一個由兩個梁單元組成的超靜定結(jié)構(gòu)，作用在結(jié)構(gòu)上的外力向量F為0，其中-1000表示作用在第二個節(jié)點上的垂直向下力，單位為N。我們可以通過以下方式建立平衡方程：#定義外力向量

F=np.array([0,-1000,0,0])

#定義剛度矩陣（假設(shè)為2x2結(jié)構(gòu)）

K=np.array([[k11,k12,k13,k14],

[k21,k22,k23,k24],

[k31,k32,k33,k34],

[k41,k42,k43,k44]])

#求解位移向量

U=np.linalg.solve(K,F)8.4變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件確保結(jié)構(gòu)在變形時，相鄰單元之間的位移是連續(xù)的。在位移法中，我們通過確保所有單元的位移在公共節(jié)點處相