2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積 專項訓(xùn)練

7.1-基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積-專項訓(xùn)練

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一、單項選擇題

1.將12根長度相同的小木棍通過黏合端點的方式（不可折斷），不可能拼成（）

A.正三棱柱B.正四棱錐

C.正四棱柱D.正六棱錐

2.已知正三角形邊長為2,用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀

圖的面積為（）

A.返B.匹

44

C.2V2D.2V6

3.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，

通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見

于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可

近似看作一個正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長為3/m,側(cè)棱長為5m,則

其體積為（）

A.24V2m3B.24m3

C.72V2m3D.72m3

4.科技是一個國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重

器，極目一號（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022

年5月，“極目一號”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至

9050m,超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，

彰顯了中國的實力.“極目一號”HI型浮空艇長55m,高19m,若將它近似看作

一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”III

型浮空艇的表面積約為（參考數(shù)據(jù)：當(dāng)史-32.6,71^=3.14）（）

81圖2

A.2480m2B.2498m2

C.2502m2D.2508m2

5.某車間需要對一個圓柱形工件進(jìn)行加工，該工件底面半徑為15cm,高為10cm,

加工方法為在底面中心處打一個半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通

孔.若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應(yīng)設(shè)計為（）

A.V10B.V15

C.4D.5

6.長方體的體對角線長為1,表面積為1,有一面為正方形，則其體積為（）

A.巫B.

10827

C.涯D.也

96

7.在三棱錐尸-48C中，線段尸C上的點M滿足產(chǎn)河=孑。，線段08上的點N

滿足尸N=g0瓦則三棱錐尸和三棱錐尸-48C的體積之比為（）

12

--

99

A.CB.

14

-D..-

39

8.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別

SV

為S甲和S"體積分別為修甲和修乙.若止=2,則1=（）

3乙/乙

A.V5B.2V2

C.V10D.也

4

二、多項選擇題

9.如圖，四邊形48CQ為正方形，平面48CD,FB//ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E-ZCQ,F-ABC,FZCE的體積分別為八，外,匕，則（）

E.

A.匕=2女B.F3=KI

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

10.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺。。2,在軸截

面Z8CD中，AB=AD=BC=2cm,且CQ=2AB,則（）

A.該圓臺的高為1cm

B.該圓臺軸截面面積為3舊cm2

C.該圓臺的體積為蜉cm3

D.一只小蟲從點C沿著該圓臺的側(cè)面爬行到幺。的中點，所經(jīng)過的最短路程為

5cm

三'填空題

11.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40cm,母線長最短為50

cm,最長為80cm,則斜截圓柱的側(cè)面面積5=cm2.

12.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為

2,高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

13.盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長為8cm的正

四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱

長最小時，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（）

-256/&c512V2R

C?------cmJD.-------cmJ

33

14.已知圓錐尸。的底面半徑為於，。為底面圓心，為圓錐的母線，/AOB

=g,若的面積等于竽，則該圓錐的體積為（）

A.nB.V6?r

C.3兀D.3V6?r

15.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也作陀羅，閩南語稱作“干樂”，北

方叫作“冰泰（gA）”或“打老?！?傳統(tǒng)古陀螺大致是木制或鐵制的倒圓錐形.現(xiàn)

有一圓錐形陀螺（如圖所示），其底面半徑為3,將其放倒在一平面上，使圓錐在

此平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當(dāng)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動

了3周，則（）

A.圓錐的母線長為9

B.圓錐的表面積為36兀

C.圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角為60。

D.圓錐的體積為12V271

16.如圖，某款酒杯的容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面是面積為16遮cm2

的正三角形，若在該酒杯內(nèi)放置一個圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過酒杯口高

度，則圓柱形冰塊的側(cè)面積的最大值為cm2.

參考答案

［A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底］

1.D［正三棱柱中9條棱長度可以完全相等，A成立；

正四棱錐中8條棱長度可以完全相等，B成立；

正四棱柱中12條棱長度可以完全相等，C成立；

因為正六邊形的中心到六個頂點的距離都等于邊長，

所以正六棱錐的側(cè)棱長總比底邊長，D不成立.

故選D.］

2.B［由斜二測畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系包理=返，

s原圖4

...該三角形直觀圖的面積為/xfX22=￥,故選B.］

3.B［如圖所示，在正四棱錐尸-Z5CQ中，連接ZC,BD爻于點、0,則點。為

正方形45CD的中心，

連接0P,則底面邊長45=3近(m),對角線BD=42AB=6(m),B0=^BD=3(m).

又AP=5(m),故高0P=、BP2-BO2=4(m).

故該正四棱錐的體積為K=|x(3V2)2X4=24(m3).]

4.A[由題圖2得半球、圓柱底面和圓臺一■個底面的半徑為R=T=9.5(m),

而圓臺另一個底面的半徑為r=l(m),

圓臺的母線長為/=JC+31.52=W^=32.6(m),則§半球=；X4X兀X9.52=

180.5兀(m?),S圓柱側(cè)=2兀X9.5X14=266兀(n?),

2

S周臺?產(chǎn)兀(1+￡)x32.6=342.3兀(m2),SH^A=7i(m),

所以S表=180.5兀+266兀+342.3兀+兀=789.8兀?789.8X3.14亡2480(m2).

故選A.]

5.D［大圓柱表面積為2X152兀+10X2X15兀=750兀,

小圓柱側(cè)面積為10X2兀j上、下底面積之和為2兀/，

所以加工后工件的表面積為750兀+20”一2兀戶，當(dāng)〃=5時表面積最大.故選D.］

6.B［不妨設(shè)長方體底面為正方形，邊長為a,高為b,

則底面的對角線為

???長方體的體對角線長為1,表面積為1,

,_V2

(4ab+2a2=1a=T，

］解得o

((V2a)2+b2=,2V2

3,

長方體體積為a2b=^.

故選B.]

7.B[如圖，因為尸工尸C,PN=-PB,所以毀型=

33S^PBC

[PM?PN?sinMPC=PM?PN=1x2=2所以“MN_0-PMN=

?PB,sinZ.BPCPC?PB339'Vp-ABC^A-PBC

4?d

丁儂.=妥嫗:(其中d為點z到平面PBC的距離，因為平

空APBC,dS^PBC9

面PAW和平面08c重合，所以點Z到平面尸AW的距離也為砂.故選B.］

8.C［設(shè)母線長為/,甲圓錐底面圓半徑為n,乙圓錐底面圓半徑為處

C

則同=翳十=2,所以“29

又干+華=2兀，

則牛=1,

所以n=|/,F2=|/,

所以甲圓錐的高歷=J[2V0=爭,

乙圓錐的高〃2=J120=爭,

所以"=起"=看班?=m.故選C.]

11411

9.CD[設(shè)AB=ED=2FB=2,貝|匕=石x：X2X2X2三，F(xiàn)2=-xjX2X2Xl

=|.連接AD交ZC于連接￡A/、EW(圖略)，則EM=^e>,EF=3,

故舊*代=苧，匕=；SAEMFX/C=2,%=%+%,2匕=3匕，故

選CD.]

10.BCD[如圖1,作BELCD交CD于E,易得?！?上詈=l(cm),則5￡=

V22—I2=V3(cm),則圓臺的高為舊cm,A錯誤；

CB0

EOi

圓臺的軸截面面積為1x(2+4)xg=38(cm2),B正確;

：)=^—(cm3),C正確;

將圓臺的一半側(cè)面展開，如圖2中45CO,設(shè)尸為4D中點，圓臺對應(yīng)的圓錐一

半側(cè)面展開為扇形COD,由CE=EOi可得BC=OB=2cm,則0c=4cm,ZCOD

又。尸=04+磐=3(cm),則CP=74?+32=5(cm),即點C到40的

422

中點所經(jīng)過的最短路程為5cm,D正確.故選BCD.]

11.2600TI[將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖

為矩形.由題意得所求側(cè)面面積5=；*(兀乂40/(50+80)=2600兀((：1112).]

12.28[如圖所示，正四棱錐尸-48CQ的底面邊長為4,用平太

行于底面的平面截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐Jy\c,

P-A9CD后,得到正四棱臺48cD,且N?=2,AB=7?T\\

4.記。'，。分別為正四棱臺4HCZ)'-48C￡)上、下底面的中心，/布仿

AHB

H,H分別為AB,45的中點，連接尸。，PH,OH,OH,則

尸0=3,O'H'=\,0H=2.易知APO'WSAPOH,所以黑=哈，即亮=最解

1

得尸0=6,所以00'=P0—P0'=3,所以該正四棱臺的體積F=jX3X(22+2X4

+42)=28.]

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

13.C[依題意，栗將棱長為8cm的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，且盲

盒棱長最小，則當(dāng)且僅當(dāng)正方體的面對角線長等于正四面體的棱長，即它們有相

同的外接球，如圖，正四面體48CD的棱長為8cm,

所以該正方體棱長為4或cm,盲盒內(nèi)剩余空間的體積為

4xix1x4V2X4V2X4V2=^|^(cm3).故選C.]

14.B[在△N05中，AO=BO=W,ZAOB=^-,由余弦定理得4B=

Js+3-2xV3xV3x(-1)=3,設(shè)等腰三角形248底邊Z8上的高為〃，則

S△陽B=[X3/?=W，解得〃=手，由勾股定理得母線E4=J(|y+律,=3,則

該圓錐的