2023-2024學(xué)年山東省濰坊市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年山東省濰坊市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量a=(1,2,3)，b=(?4,5,x)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)A.2 B.?2 C.3 D.?32.已知等差數(shù)列{an}中，a2=4，a5A.2 B.4 C.6 D.83.已知數(shù)列{an}滿足an+2=?1an，且A.1 B.2 C.?1 D.?4.一圓錐的軸截面SAB為等邊三角形，S為圓錐頂點(diǎn)，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，則直線SA與BC所成角的余弦值為(

)A.14 B.24 C.5.已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，Sn為其前n項(xiàng)和，若S7=0A.45 B.46 C.47 D.486.已知兩圓臺體積之比為1：12，第一個(gè)圓臺上、下底面半徑分別為r1，r2，第二個(gè)圓臺上、下底面半徑分別為r2，r3，若r1，r2，rA.19 B.14 C.137.如圖，已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外任意一點(diǎn)，且平面ABC中的小方格均為邊長為1的正方形，<OA，AB>=<OA，AC>=60°，|OA|=2，若A.15 B.15 C.238.已知數(shù)列{an}滿足a1=2024，an+1=anA.1012 B.1013 C.2024 D.2026二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則(

)A.若m?β，α⊥β，則m⊥α

B.若m⊥α，m⊥β，n?α，則n//β

C.若m//α，m//β，α∩β=n，則m//n

D.若m⊥n，m⊥α，n//β，則α⊥β10.將一些數(shù)排成如圖所示的倒三角形，其中第一行各數(shù)依次為1，3，5，…，2025.從第二行起，每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，最后一行只有一個(gè)數(shù)M，從上往下每一行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列記為{an}，則(

)A.a4=32

B.an+1=an+2n11.在一個(gè)棱長為2的正方體內(nèi)做兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分就是“牟合方蓋”，如圖1所示，圖2是牟合方蓋的八分之一，其中OABC為正方形，截面PSRQ與平面OABC平行，設(shè)二面角A?DO?B大小為α，二面角A?CO?Q大小為β，∠BOR=γ，∠QOR=δ，則(

)A.該牟合方蓋的內(nèi)切球體積為4π3 B.α<δ

C.sinδ=sinαcosγ D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1=1，13.一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐恰好可以拼接成一個(gè)正三棱臺，這個(gè)三棱錐的底面為邊長是1的等邊三角形，這個(gè)四棱錐的底面為等腰梯形，該等腰梯形的上、下底面邊長分別為1，3，腰長為2，則正三棱臺的高為______．14.已知函數(shù)f(x)=(x?1)3+2，數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列f(四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且數(shù)列{Sn}是公差為2的等差數(shù)列，a1=2．

(1)證明：{an16.(本小題15分)

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱CC1上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，平面D1AE∩平面BCC1B1=l，l∩BC=F．

(1)求CFFB的值；

(2)已知ABCD為邊長為17.(本小題15分)

已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn=2an?1．

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)18.(本小題17分)

如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形，下底面圓O的一條弦EF交CD于點(diǎn)G，DG=1，DE=DF，P是上底面圓周上的動點(diǎn)．

(1)證明：平面AEF⊥平面ABCD；

(2)求點(diǎn)D到平面AEF的距離；

(3)若二面角P?EF?A的正切值為67，且P，F(xiàn)在軸截面ABCD同側(cè)，求圓柱側(cè)面上點(diǎn)P到點(diǎn)F的最短距離．19.(本小題17分)

已知集合M={a1,a2,…,an}(n≥3且n∈N?)的元素均為正整數(shù)，對于M的任意兩個(gè)非空子集A，B，如果A中所有元素之和與B中所有元素之和不相等，就稱M具有性質(zhì)R．

(1)判斷以下兩個(gè)集合是否具有性質(zhì)R，并說明理由；

M1={1,2,4,6,9}，M2={1,3,5}．

(2)已知M具有性質(zhì)R．答案解析1.B

【解析】解：因?yàn)橄蛄縜=(1,2,3)，b=(?4,5,x)，

又a⊥b，

則1×(?4)+2×5+3x=0，

則x=?2．

故選：B．2.C

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

a2=4，a5=?2，

故3d=a5?a2=(?2)?4=?6，解得d=?2，

所以a1=a2?d=6，

故這個(gè)數(shù)列的前6項(xiàng)和為：63.D

【解析】解：an+2=?1an，且a1=1，a2=2，

可得a3=?1a1=?1，a4=?1a2=?12，

a5=?1a4.B

【解析】解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OS分別為y，z軸，垂直于平面SAB的軸為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=6，則A(0,?3,0)，B(0,3,0)，S(0,0,33)，C(?3,0,0)，

所以SA=(0,?3,?33)，BC=(?3,?3,0)，

所以cos<SA，BC>=SA?BC|SA||BC|=96×32=5.C

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

S7=0，

則7a4=0，解得a4=0，即a1+3d=0，即a1=?3d，

Sn=na1+n(n?1)2d=12dn2?726.C

【解析】解：設(shè)兩圓臺體積分別為V1，V2，高分別為?1，?2，

∵r1，r2，r3是公比為2的等比數(shù)列，

∴r2=2r1，r3=27.A

【解析】解：由題意知，<OA，AB>=<OA，AC>=60°，|OA|=2，且AP=2AB+AC，

所以O(shè)P=OA+2AB+AC，

所以8.A

【解析】解：由an+1=an2+an?2，可得an+1?an=an2?2，

可得a19.BC

【解析】解：若m?β，α⊥β，則m與α可以成任意角，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若m⊥α，m⊥β，則α//β，又n?α，則n//β，∴B選項(xiàng)正確；

若m//α，m//β，α∩β=n，則m//n，∴C選項(xiàng)正確；

若m⊥n，m⊥α，n//β，則α與β可以成任意角，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：BC．

根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系逐一判斷即可．

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．10.ACD

【解析】解：由a1=1，a2=4=2a1+2，a3=12=2a2+22，a4=32=2a3+23，..可得an+1=2an+2n，故A正確，B錯(cuò)誤；

由an+12n+1=an2n+12，a12=12，可得an2n=111.ACD

【解析】解：對于A，內(nèi)切球半徑為原正方體半棱長，

即R=1，所以V=43πr2=43π，故A正確；

對于B，顯然AO⊥DO、BO⊥DO，

易得∠AOB=α=45°=∠QPR，

而∠QPR=二面角Q?DO?R>∠QOR，

所以α>δ，故B錯(cuò)誤；

對于C，顯然RQ⊥平面AOD，

所以O(shè)R?sinδ=RQ，

由題意及牟合方蓋性質(zhì)，

可得四邊形SPQR為正方形，

所以O(shè)R?sinα?cosγ=sin(90°?γ)?sinα=sin∠ROP?sinα=PR?sinα=RQ，

所以sinδ=sinα?cosγ，故C正確；

對于D，由于α=45°，所以sinα=cosα，

結(jié)合C項(xiàng)，OR?cosα?cosγ=RQ，

由于AO、QO⊥CO，

易得∠AOQ=β，

所以O(shè)R?cosβ?cosδ=OQ?cosδ=OQ?sin∠QOP=PQ=RQ，

所以cosα?cosγ=cosβ?cosδ，故D正確．

故選：ACD．12.?1【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

若a1=1，S3=34，則S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=13.2【解析】解：如圖：

正三棱臺A1B1C1?ABC由三棱錐A?A1B1C1和四棱錐A?BCC1B1組成，

則由題可知：A1B1=B1C1=1，BB1=CC1=2，BC=AB=3．

設(shè)上底面A1B1C1在下底面的投影為A′B′C′，

則C1C′即為該正三棱臺的高，

因?yàn)椤鰽′B′C′是邊長為1的正三角形，

△ABC是邊長為3的正三角形．

則如圖①，過C′作C′M⊥BC14.9

【解析】解：根據(jù)題意，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(x?1)3+2，

即f(x)?2=(x?1)3，即f(x)?2關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，

因?yàn)閒(a1)+f(a2)+…+f(a9)=18，

f(a15.解：(1)證明：由數(shù)列{Sn}是公差為2的等差數(shù)列，a1=2，

可得Sn=2+2(n?1)=2n，

即有Sn=2n2，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=2n2?2(n?1)2【解析】(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得Sn=2n，再由an與16.解：(1)如圖，取BC靠近C的三等分點(diǎn)F，連接EF，

又E是棱CC1上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，

∴EF//C1B，又易知D1A//C1B，

∴D1A//EF，

∴平面D1AE即為平面D1AFE

∴平面D1AE∩平面BCC1B1=l=EF，

∴CFFB=12；

(2)①證明：∵E是棱CC1上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，

∴EC=13CC1=1，C1E=2，又DC=D1C1=2，

∴tan∠EDC=ECDC=12=22，tan∠【解析】(1)取BC靠近C的三等分點(diǎn)F，則易證D1A//EF，從而可求解；

(2)①只需證明D1E⊥DE，AD⊥D1E即可；

②由(1)知D1A//EF，且D17.解：(1)由Sn=2an?1，可得a1=S1=2a1?1，解得a1=1；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=2an?1?2an?1+1，化為an=2an?1，

可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，即有an=2n?1；

(2)S【解析】(1)由an與Sn的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，可得所求；

(2)由等比數(shù)列的求和公式和數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和、數(shù)列的單調(diào)性，可得最值，再由不等式恒成立思想，可得所求取值范圍．

本題考查數(shù)列的項(xiàng)與和的關(guān)系，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和、不等式恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．18.解：(1)證明：因?yàn)閳A柱的底面為圓，DE=DF，

所以由圓的對稱性可得DC⊥EF，

又圓柱的側(cè)棱BC⊥底面圓O，EF?底面圓O，

所以BC⊥EF，

又DC∩BC=C，DC?面ABCD，BC?面ABCD，

所以EF⊥面ABCD，

又EF?面AEF，

所以面AEF⊥面ABCD．

(2)因?yàn)閳A柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形，DG=1．

所以O(shè)D=OC=OE=OF=2，OG=1，

又DO⊥EF，

所以FG=FO2?GO2=3，則EG=3，

在Rt△ADG中，AG=AD2+DG2=42+12=17，

因?yàn)锳D⊥底面圓O，EF?底面圓O，

所以AD⊥EF，

又AD∩DG=D，AD?面ADG，AG?面ADG，

所以EF⊥面ADG，

又AG?面ADG，

所以EF⊥AG，

因?yàn)閂D?AEF=VA?DEF，

所以13S△AEF??=13S△DEF?AD，

所以13?12?23?17??=13?12?23?1?4，

所以?=41717．

(3)設(shè)平面PEF交圓柱上底面與PQ，

因?yàn)閳A柱上、下底面平行，

所以EF//PQ，

設(shè)PQ∩AB=H，

所以二面角P?EF?A的大小就是二面角H?EF?A的大小，

分別以DC，DA為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系：

因?yàn)镈G=1，底面圓半徑為4，則EG=FG=3，

則A(0,0,4)，E(3,1,0)，F(xiàn)(?3,1,0)，

設(shè)H(0,m,4)(0<m≤4)，

所以AE=(3,1,?4)，AF=(?3,1,?4)，EH=(?3,m?1,4)，EF=(?23,0,0)，F(xiàn)H=(3,m?1,4)，

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,【解析】(1)由面面垂直的判定定理，即可得出答案．

(2)設(shè)點(diǎn)D到平面AEF的距離為?，由等體積法可得VD?AEF=VA?DEF，即可得出答案．

(3)分別以DC，DA為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AEF的法向量n1=(x1,y1,z1)19.解：(1)對于集合M1={1,2,4,6,9}，因?yàn)?=2+4，

故集合{6}，{2,4}的元素和相等，故M1不具有性質(zhì)R；

對于M2={1,3,5}，其共有7個(gè)非空子集：{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，

各集合的和分別為：1，3，5，4，6，8，9，它們彼此相異，