余角和補(bǔ)角課件

第六章幾何圖形初步6.3角

6.3.3

余角和補(bǔ)角1.了解余角、補(bǔ)角的概念，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，并能利用余角、補(bǔ)角的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題.2.了解方位角的概念，并能用方位角知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

如圖壩底是由石塊堆積而成，要測(cè)出∠1的度數(shù)，你有什么簡(jiǎn)單的方法嗎？

要解決這問(wèn)題，我們先來(lái)學(xué)習(xí)余角和補(bǔ)角.1

如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角(簡(jiǎn)稱為兩個(gè)角互余).2余角和補(bǔ)角的概念學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】

如圖，可以說(shuō)∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.圖中給出的各角，哪些互為余角？15o24o66o75o46.2o43.8o

如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角

(簡(jiǎn)稱為兩個(gè)角互補(bǔ)).

如圖，可以說(shuō)∠3是∠4的補(bǔ)角，或∠4是∠3的補(bǔ)角，或∠3和∠4互補(bǔ).43圖中給出的各角，哪些互為補(bǔ)角？10o30o60o80o100o120o150o170o例1若一個(gè)角的補(bǔ)角等于它的余角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù).素養(yǎng)考點(diǎn)1利用余角、補(bǔ)角的概念求角的度數(shù)解：設(shè)這個(gè)角為x°，則它的補(bǔ)角是(180–x)°，

余角是(90–x

)°.根據(jù)題意，得180–x

=4(90–x

).

解得

x=60.答：這個(gè)角的度數(shù)是60°.已知∠A與∠B互余，且

∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的

3

倍還多30°，求∠B的度數(shù).解：設(shè)∠B的度數(shù)為x°，則∠A

的度數(shù)為(3x+30)°.根據(jù)題意得：x+(3x+30)=90.

解得x=15.故∠B

的度數(shù)為15°.例2如圖，已知O為AD上一點(diǎn)，∠AOC與∠AOB互補(bǔ)，OM，ON分別為∠AOC，∠AOB的平分線，若∠MON=40°，試求∠AOC與∠AOB的度數(shù)．O

DA

B

C

N

M

素養(yǎng)考點(diǎn)2余角、補(bǔ)角、角平分線相結(jié)合的題目所以解得x=50°，則180°–x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.所以∠AOM=

，∠AON=

.解：設(shè)∠AOB=x，因?yàn)椤螦OC與∠AOB互補(bǔ)，則∠AOC=180°–x．因?yàn)镺M，ON分別為∠AOC，∠AOB的平分線，O

DA

B

C

N

M

如圖，AB是一條直線，OC是一條射線，∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE.(1)∠1與∠2互余嗎？

(2)指出圖中所有互余和互補(bǔ)的角．解：互余的角：∠1與∠2；∠1與∠BOE；∠2與∠AOF；∠BOE與∠AOF.互補(bǔ)的角：∠BOE與∠AOE；∠2與∠AOE；∠AOF與∠BOF；∠1與∠BOF；∠AOC與∠BOC.∠α∠α的余角∠α的補(bǔ)角5°32°45°77°62°23′x°(0＜x＜90)27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°(90–x)°(180–x)°觀察可得結(jié)論：銳角的補(bǔ)角比它的余角大_____.90°想一想∠1與∠2，∠1與∠3都互為補(bǔ)角，∠2與∠3的大小有什么關(guān)系？思考：123∠2=180°–∠1∠3=180°–∠1=余角和補(bǔ)角的性質(zhì)學(xué)生活動(dòng)二

【一起探究】同角(等角)的補(bǔ)角相等.結(jié)論：同角(等角)的余角相等.類似地，可以得到：素養(yǎng)考點(diǎn)余角和補(bǔ)角的識(shí)別例

如圖，點(diǎn)A，O，B在同一直線上，射線

OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，圖中哪些角互為余角？O

A

B

C

D

E

解：因?yàn)辄c(diǎn)A，O，B在同一直線上，所以∠AOC和∠BOC互為補(bǔ)角.O

A

B

C

D

E

所以∠COD和∠COE互為余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互為余角.如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是________________;∠COE、∠BOE∠COE、∠BOEO

A

B

C

D

E

如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（2）OE是∠BOC的平分線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．O

A

B

C

D

E

解：OE平分∠BOC，理由如下：因?yàn)椤螪OE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°，所以∠COD+∠COE=90°，所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，因?yàn)镺D平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD，所以∠COE=∠BOE，所以O(shè)E平分∠BOC．1.一個(gè)角的余角是它的2倍，這個(gè)角的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°A2.下列說(shuō)法正確的是（）A．一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于它本身B．一個(gè)角的余角一定小于它本身C．一個(gè)鈍角減去一個(gè)銳角的差一定是一個(gè)銳角D．一個(gè)角的余角一定小于其補(bǔ)角D3.如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列方式中∠α與∠β互余的是

（）A．圖① B．圖② C．圖③ D．圖④4.∠α=35°，則∠α的補(bǔ)角為______度．145A5.如圖，已知∠ACB=∠CDB=90°.(1)圖中有哪幾對(duì)互余的角？(2)圖中哪幾對(duì)角是相等的角(直角除外)？為什么？答案：∠A+∠B=90°，

∠A+∠2=90°，∠1+∠B=90°，

∠1+∠2=90°.答案：∠B=∠2,∠A=∠1.(同角的余角相等)(同角的余角相等)ACD12B

6.一個(gè)角的補(bǔ)角是它的3倍,這個(gè)角是多少度?解:180–x=3x解得:x=45答:

這個(gè)角是45°.