2024成都中考數(shù)學(xué)二輪專項訓(xùn)練：利用垂線段最短解決最值問題 (含答案)

2024成都中考數(shù)學(xué)二輪微專題專項訓(xùn)練

微專題利用垂線段最短解決最值問題

模型一點到直線的所有線段中，垂線段最短

模型分析

如圖，已知直線/外一定點/和直線/上一動點3,求/、2之間距離的最小值.通常過點/

作直線/的垂線/瓦利用垂線段最短解決問題，即連接直線外一點和直線上各點的所有線

段中，垂線段最短.

R'R/r

模型應(yīng)用

1.如圖，在菱形4BCD中，對角線/C與2。相交于點。，N4DC=60。，4B=6,若點P

為AD上的動點，連接OP,則OP的最小值為.

第1題圖

2.如圖，在矩形N5CD中，AC=8,/8/C=30。，點P是對角線NC上一動點，連接。尸,

以。尸、CP為鄰邊作。。尸C0,連接P。，則線段尸。的最小值為.

第2題圖

模型二“胡不歸”問題(2014.28)

模型分析

問題：點/為直線/上一定點，點2為直線/外一定點，點尸為直線/上一動點，要使必尸

+AP(O＜左＜1)的值最小.

方法：

1.找：找?guī)в邢禂?shù)左的線段/P;

2.構(gòu)：在點2異側(cè)，構(gòu)造以線段/P為斜邊的直角三角形；

①以定點/為頂點作尸，使sin/N4P=&②過動點P作垂線，構(gòu)造Rt^/PE；

3.轉(zhuǎn)化：化折為直，將必尸轉(zhuǎn)化為尸E；

4.求解：使得fc4P+3P=PE+3P,利用“垂線段最短”轉(zhuǎn)化為求2尸的長.

模型應(yīng)用

3.如圖，在△/8C中，//=90。，N2=60。，AB=2,若。是2C邊上的動點，則2/。+

DC的最小值為.

/\\

H〃C

第3題圖

4.如圖，在菱形/BCD中，AB=AC=\Q,對角線/C、8。相交于點。，點M在線段/C上,

且/〃=3,點尸為線段AD上的一個動點，則的最小值是

2------------

模型遷移

5.如圖，拋物線y=ax2+ax+c經(jīng)過點/(I,0),8(0,一3)，C,其對稱軸與x軸交于點D.

若尸為y軸上一點，連接尸￡>,求生P8+也PD的最小值.

第5題圖

微專題利用三角形三邊關(guān)系解決最值問題

模型分析

背景展示如圖，已知點/、點3是平面內(nèi)固定的兩點，A8=%，點C是同一平面內(nèi)一動

點且BC=n.

4H

1.連接/C、8c在△/3C中，根據(jù)三邊關(guān)系，<AB-BC<AC<AB+BC,即加一

+〃；

2.當/,B,C三點共線時，

(1)點C在線段48上，NC有最小值為48—BC,即僅一〃；

(2)點C在線段的延長線上，/C有最大值為/8+8C,即%+〃；

(3)點C在線段A4的延長線上，/C有最小值2C—AB,即〃一九

模型應(yīng)用

1.如圖，在△43C中，NC=90。，/C=10,BC=8,點D,E分別在邊NC,3c上運動，

已知?！?6,若點N分別是N8的中點，則兒W的最小值為()

A.10-\41B."1—3C.2^41-6D.3

第1題圖

2.如圖，在△48C中，48=5,NC=4,以3c為對角線作正方形ADCE,連接40,則40

的最大值為()

A.5B.9

口3

第2題圖

3.如圖，矩形48C3,48=1,8C=2,點N在x軸正半軸上，點。在y軸正半軸上.當點

/在X軸上運動時，點。也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點。的最大

距離為

4.如圖，在矩形/BCD中，48=4,BC=6,￡是邊/。上的一個動點，將△/BE沿3E折

疊得到△F2E,連接。R則線段。下的最小值為

第4題圖

模型遷移

5.如圖，拋物線>=辦2—5ax+4經(jīng)過的三個頂點，已知8C〃x軸，點4在x軸上,

點C在y軸上，且/C=2C

(1)求力,B,C三點的坐標及拋物線的解析式;

(2)在拋物線對稱軸上是否存在點使點M到點/和點8的距離之差最大？若存在，求所

有符合條件的點”的坐標；若不存在，請說明理由.

微專題利用兩點之間線段最短解決最值問題

模型一“一線兩點”型（一個動點+兩個定點）

類型一線段和最小值問題

模型分析

問題：兩定點42位于直線/異側(cè)，在直線/上找一點尸，使我+尸2的值最小.

解題思路：根據(jù)兩點之間線段最短，出+所的最小值即為線段N5的長.連接交直線/

于點P,點P即為所求.

模型演變

問題：兩定點42位于直線/同側(cè)，在直線/上找一點尸，使以+P2的值最小.

解題思路：將兩定點同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題，同“模型分析”即可解決.作點3關(guān)于/的對稱點

B',連接/夕，與直線/交于點尸.

注：也可以作點/關(guān)于直線/的對稱點，，連接?8,與直線/交于點P.

模型應(yīng)用

1.如圖，四邊形ABCO是菱形，對角線/C、3。相交于點。，AC=60BD=6,點P是

/C上一動點，點E是48的中點，則尸D+PE的最小值為.

2.如圖，在矩形4BCD中，AB=5,AD=3,點尸是矩形內(nèi)一動點，滿足品&B=；S矩形力BCQ,

則PA+PB的最小值為.

第2題圖

模型遷移

3.如圖，一次函數(shù)夕=依+6的圖象與反比例函數(shù)y=%的圖象相交于4(3,5)、B(a,—3)

x

兩點，與x軸交于點C

第3題圖

⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

⑵若點尸為y軸上的動點，當尸8+尸。取最小值時，求△APC的面積.

4.如圖，已知拋物線y=-N—2x+3與x軸交于4,8兩點(點N在點8的左側(cè))，與y軸交

于點C點尸是該拋物線對稱軸/上的一個動點，求△出€?周長的最小值.

第4題圖

類型二線段差最大值問題

模型分析

問題：兩定點/、8位于直線/同側(cè)，在直線/上找一點尸，使得我一尸目的值最大.

解題思路：根據(jù)兩邊之差小于第三邊，|⑥一P兇最大值即的長，連接并延長，與直

線/交于點尸，點P即為所求.

uH

模型演變

問題：兩定點42位于直線/異側(cè)，在直線/上找一點尸，使得以一依|的值最大.

解題思路：將兩定點異側(cè)轉(zhuǎn)化為同側(cè)問題，同“模型分析”即可解決.作點8關(guān)于/的對稱點

B',連接/Q并延長與直線/交于點尸.

,44

------_、

1

---H~---6ft1r/

模型應(yīng)用

5.如圖，在△N8C中，AB=3,/C=4,BC=5,E尸是3c的垂直平分線，點P是E尸上的

動點，則|以一尸的最大值為.

----------d：

第5題圖

6.如圖，在等邊△ZBC中，45=4,4。是中線，點￡是40的中點，點尸是4C上一動點，

則BP-EP的最大值為.

/1\

Zl\

//r匚\

nnc

第6題圖

7.如圖，在正方形/BCD中，48=8,4c與BD交于點O,N是/。的中點，點m在3C

邊上，且3=6,P為對角線5。上一動點，則尸初一PN的最大值為.

第7題圖

模型遷移

8.已知拋物線夕=x2-2x—8與x軸交于點/、8（點/在點5的左側(cè)），與y軸交于點C,P

是拋物線對稱軸上的一個動點，當/8—pq有最大值時，求點尸的坐標.

模型二“一點兩線”型（兩個動點+一個定點）

類型一兩條線段的和最小值問題

模型分析

問題：點P是N/O3的邊。2上一定點，在04上找一點在。2上找一點N,使得

+MN的值最小.

解題思路：要使PM+MN的值最小，設(shè)法將尸河、龍W轉(zhuǎn)化到同一條直線上，利用垂線段最

短即可解決.作點尸關(guān)于。/的對稱點P,過點P作的垂線，分別與。408交于點

M、N.

模型應(yīng)用

9.如圖，在Rt/UBC中，ZACB^90°,NC=6,BC=8,4D是/A4c的平分線.若P,。

分別是4D,/C上的動點，則PC+尸。的最小值為.

第9題圖

10.如圖，在菱形/BCD中，AB=6,//=120。，點M,N分別為BD,CD上的動點，則

CM+MN的最小值為.

H

第10題圖

類型二周長最小值問題

模型分析

問題：點尸是的內(nèi)部一定點，在CM上找一點在03上找一點N,使得

的周長最小.

解題思路：要使△尸兒W的周長最小，即尸M+MN+PN的值最小，根據(jù)兩點之間線段最短,

將三條線段轉(zhuǎn)化到同一直線上即可解決.分別作點尸關(guān)于04、的對稱點P、P",連接

P'P"交OA、于點M、N.

《4

>好

oHO產(chǎn)H

模型應(yīng)用

11.如圖，在△/BC中，AB^AC,/A4C=90。，點。為AS上一定點，點E,尸分別為邊

AC,8C上的動點，當△￡）￡咒的周長最小時，則/ED￡=.

i/Y~、c

第11題圖

12.如圖，在RtA/lBC中，ZC=90°,48=60。，點。在8C上，且/。=4,點￡,尸分別

為邊4C,48上的動點，則△。即周長的最小值為.

模型三“一定長+兩定點”型

類型一異側(cè)線段和最小值問題（“造橋”問題）

模型分析

問題：已知lu/2之間距離為d,在/1，/2上分別找M，N兩點，使得ACVL/1,且/“

+MN+NB的值最小.

解題思路：要求/"+MN+NB的最小值，血W為定值，即要求/M+2VB的最小值，通過平

移構(gòu)造平行四邊形，將NM、轉(zhuǎn)化到同一條直線上.將點/向下平移d個單位到點?,

連接A'B交直線h于點N,過點N作MNLh于點M.

d；1?r/l

----3、——L

■1N、a

HH

模型應(yīng)用

13.如圖，已知直線q〃b,a,6之間的距離為4,點尸到直線〃的距離為4,點。到直線b

的距離為2,尸。=2也1.在直線a上有一動點4直線b上有一動點2,滿足且以

+A8+2。最小，則功+20=.

yP

--------7^------*,

/.

h

第13題圖

類型二同側(cè)線段和最小值問題（平移型問題）

模型應(yīng)用

14.如圖，菱形48。的邊長為3,NB4D=60。，點、E,尸在對角線/C上（點E在點歹的左

側(cè)），且￡尸=1,則。￡+89的最小值為.

第14題圖

15.如圖，四邊形N5CD是平行四邊形，AB=4,BC=12,/ABC=60°,點、E、尸是4D邊

上的動點，且斯=2,則四邊形2￡尸。周長的最小值為.

u

第15題圖

模型遷移

16.如圖，已知點/（3,1）,5（1,0）,尸。是直線y=x上的一條動線段，且尸。=/（點0在

點P的下方），當/尸+PQ+Q2取得最小值時，求點。的坐標.

參考答案

微專題利用垂線段最短解決最值問題

1.學(xué)【解析】根據(jù)垂線段最短可知，當“與"垂直時，。尸取得最小值.???四邊形

ABC。是菱形，AB=6,；.4D=4B=6,ACLOD.VZADC^60°,/.ZADO=30°,：.AO=

3,DO=30當OPLAD時，'：S^ADO^-AODO^-ADOP,;,OP=AODO：.OP

22AD2

的最小值為史&.

2

2.2由【解析】?.?四邊形。尸C。為平行四邊形，二。。〃/。，...當P。，。。時，線段尸。

的值最小，最小值即為。。與NC之間的距離，即點。到NC的距離，如解圖，過點。作

O￡_L/C于點￡,"：AC=8,ZBAC=30°,：.ZACD=30°,/.C￡>=^C-cos30°=4^,：.DE

=CD-sin30°=2^/3,即點。到/C的距離為2小，；?線段尸。的最小值為Ri

3.6【解析】如解圖，作點/關(guān)于的對稱點H,連接44—A'D,過點。作。EL/C

于點E,在△NBC中，VZBAC=90°,ZB=60°,AB=2,：.BH=1,AH=^3,AA=20

NC=30。，...在RtZ\CDE中，。E=4CD,即2DE=CD,；點/與點H關(guān)于對稱，

2

=A'D,：.AD+DE=A'D+DE,.?.當4,D,￡三點共線時，NO+0E有最小值，最小值為

4E的長，此時，在Rt444￡中，A'E=AA'-sin60°=2而也=3,二/D+DE的最小值為3,

2

即2/。+。。=2（/。+?！辏┑淖钚≈禐?.

4.?【解析】如解圖，過點P作尸。,3c于點。，過點河作"V，3c于點四邊形

/BCD是菱形，.../8=3C：/8=NC=10,.?.△NBC是等邊三角形，.../48C=/NC3=60。,

,菱形對角線互相垂直，/.ZB0C=9Q°,：.ZOBC^30°,:.PQ=%B,：.MP+~PB^MP

22

+尸。.由兩點之間線段最短可知，當M、P、0三點共線，即點。與點N重合時，MP+PQ

取得最小值，最小值為的長."：AM=3,：.CM=AC~AM=1.VZACB=60°,：.MN=

也CM=必,：,MP+-PB的最小值為厚.

第4題解圖

5.解：如解圖，連接48,過點。作4s于點〃交y軸于點P.

PB+也PD=\H(^PB+PD),

：.當^PB+PD取得最小值時，必(92+尸0有最小值.

：/(1,0),5(0)一回

；.0/=1,。2=3，

：.AB=2,/48。=30°,

AZBAO=60°,P'H=-P'B,

2

-P'B+P'D=P'H+P'D,

2

...當點尸運動到點P時，即〃、尸、。三點共線，且。時，1%+尸口有最小值，最

2

小值為?！ǖ拈L.

.??拋物線的對稱軸為直線x=一

：.OD=~.

2

4

:在RtZU。8中，ZADH^90°-Z<9^5=30°,AD^OA+OD=~,

2

：.DH=AD-cos3Q°^—,

4

：.-PB+PD的最小值為“后，

24

：.^PB+^2PD的最小值為也x^=笠而

244

\;1/7

呼二

；%

Ip

II

第5題解圖

微專題利用三角形三邊關(guān)系解決最值問題

I.B【解析】如解圖，連接CW,CN,在中，ZC=90°,AC=10,8c=8,：.AB

=\lAC2+BC2=2\l41,：?！?6,點四、N分別是的中點，:辦=加=屈,CM

=-DE=3,當C、M、N三點在同一直線上時，MV取得最小值，.??■V的最小值為、卬一

2

3.

第1題解圖

2.D【解析】如解圖，將繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△CDM,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知

AB=CM=5,DA=DM,乙4。河=90。，...△/?！笔堑妊苯侨切?，...當

2

的值最大時，的值最大，'：AM<AC+CM,：.AM<9,的最大值為9,的

最大值為丁

第2題解圖

3.也+1【解析】如解圖，取4D的中點P,連接。P,CP,VZAOD=9Q°,P是4D的

中點，/D=BC=2,二。「=。尸='。=1,：0)=/2=1,CP=\ICD2+Dp2=a；OCSCP

+OP=^2+1,.?.點C到原點O的最大距離為亞+I.

第3題解圖

4.2413—4【解析】如解圖，連接AD,\-BF+DF>BD,：.DF>BD-BF,.?.當3、F、D

三點共線時，。員取得最小值，且最小值為8。一2尸的長，：四邊形/BCD是矩形，

=AB=4,：.BD=AIBC^+CB2=^62+42=2'h3,由折疊的性質(zhì)知2尸=/B=4,...線段。下

長度的最小值為BD—BF=2吊一4.

第4題解圖

5.解：(1)令x=0,則》=4,

.,.點C的坐標為(0,4),

:拋物線y=ax1—5ax-\-4,

對稱軸為直線x=

2a2

又???8C〃）軸,點、B,。關(guān)于對稱軸對稱,

?,?點5的坐標為（5,4）,

又?：AC=BC,

：.AC=BC=5f

???CM=3,

??,點4在％軸上，

???點4的坐標為4（一3,0）,

?拋物線V=QN—5QX+4經(jīng)過點4,

.??9q+15Q+4=0,解得Q=—L

6

???拋物線的解析式是y=—1/+4+4；

66

（2）存在.如解圖，設(shè)直線NC交拋物線對稱軸于點連接"8.

?；對稱軸x=，是線段BC的垂直平分線，

2

：.MB=MC,

：.MA~MB=MA-MC=AC,

在拋物線對稱軸上任取另外一點M,則MN—MCC4C（三角形兩邊之差小于第

三邊），

???線段4。為差值最大值，

根據(jù)4。兩點坐標得出，直線NC的解析式為y=$+4.

當好時，尸手

則點M的坐標為g，y).

第5題解圖

微專題利用兩點之間線段最短解決最值問題

1.3^3【解析】如解圖，連接DE,則尸設(shè)￡>￡交/C于點當點P與點M

重合時尸D+PE取得最小值，且最小值為在菱形/BCD中，AC=60BD=6,：.AO

=33，OD=3,ACLBD,：.AD=\joA2+OD2=6,：,AD=BD=AB,：.ZBAD=60°,"：

點E為AB的中點，C.DELAB,；.DE=AD-sin60。=3a

2.W1【解析】如解圖，設(shè)△為8底邊N8上的高為心：品身矩形/BCD,

:.h=2,即為為定值，在4D上截取/￡=2,作EF〃4B,交C8于點尸，故點P在直線所

上運動，作點/關(guān)于直線斯的對稱點連接/夕，交直線即于點尸，此時融+尸3最

小，即為43的長.由對稱得44』2AE=4,Z.A'B^\]AA'2+AB2=AJ42+52^^41,即R1+

PB的最小值為而.

H

第2題解圖

3.解：(1)把點4(3,5)代入y=%可得加=3x5=15,

X

反比例函數(shù)的表達式為

X

把點5(q,—3)代入歹="，可得Q=-5,

；?B(一5,-3).

,一八、/[3k+b=5,[k=1

把點4(3,5),8(—5,—3)代入歹=履+6,可得，，解得“，

1—5左+6=—3\b=2

???一次函數(shù)的表達式為》=x+2；

(2)，?,一次函數(shù)的表達式為>=x+2,令y=0,則x=-2,

AC(-2,0),

如解圖，作點C關(guān)于〉軸的對稱點C,則C(2,0),即CC=4,

連接5c交》軸于點尸，止匕時尸。+尸8有最小值，最小值為5C,

設(shè)直線5c的表達式為>=『%+加，

.]-5左'+'=_3

**12^+6-0

則2c的表達式為尸為一手

，P(0,即OP=§,

77

此時S^BPC—SABCC—SAFCO=1X4X3—1X4X§=30.

2277

第3題解圖

4.解：當y=0時，一N—2x+3=0,

解得Xl=-3,X2=l,

二點/坐標為(-3,0),點3坐標為(1,0).

當x=0時，y=3,.,.點C坐標為(0,3).

?.?△P3C的周長為尸8+PC+8C,8c為定值，

...當PB+PC最小時，△P8C的周長最小.

???點/，點8關(guān)于拋物線的對稱軸I對稱，

連接/C,交/于點尸，點尸即為所求的點.

,:AP=BP,

：.PB+PC+BC^AC+BC.

：/(一3,0),3(1,0),C(0,3),

:.AC=3\f2,5C=A/10,

...△P3C周長的最小值為3也十才0.

5.3【解析】如解圖，延長BA交EF于P,當點尸位于P處時如一P8|的值最大，我

一尸。的最大值為48=3.

第5題解圖

6.S【解析】如解圖，連接并延長交NC于點P,此時8P—￡尸取得最大值為8E,

在等邊△/3C中，是中線，：.BD=DC=2,：.AD=BD-tan60°=2XA/3=2^3,；E為AD

的中點，.?.?！?，。=3".在口1/\8?！曛校珺E=\jBD2+DE2=^22+(^)2=V7,：.BP

~EP的最大值為由.

第6題解圖

7.2【解析】如解圖，以AD為對稱軸作點N的對稱點M,連接并延長交AD于點尸,

連接NP，根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知PN=PM,:.PM—PN=PM—PN'SMN',當P,M,N三點、

共線時，尸M—PN取得最大值，最大值為的長，：正方形的邊長為8,...NC=/，3=

8啦，?.?。為NC中點，；.NO=OC=4/，為CU中點，；.0N=2/，.?.OM=CM=2/,

:.AN=6也,：BM=6,：,CM=AB~BM=S~6=2,VZMCN'=ZBCA,

BMAN'3

:.ACMNsACBA,：.ZCMN'=ZCBA=90°,,:/NCM=45。,△MCA/為等腰直角三

角形，...W=CM=2,即尸PN的最大值為2.

第7題解圖

8.解：如解圖，連接則融=網(wǎng)，

當％=0時，y=x2—2x—8=—8,則。(0,—8),

當>=0時，%2—2%—8=0,解得xi=-2,%2=4,

則4(—2,0),5(4,0),

...拋物線的對稱軸為直線x=l,

...『3—pg=l以-pq幺c(當點/、c、P共線時取等號)，延長/c交直線x=i于點P,

設(shè)直線/C的解析式為y=%x+〃(加力0),把/(—2,0),C(0,一8)代入得

—2加+"=0\m=-4

,解得?

?=—8h=-8

，直線/C的解析式為>=一以一8,

當x=l時，>=—4—8=—12,

即P(l,-12),

...當|尸2—PC|有最大值時，點尸的坐標為(1,-12).

第8題解圖

74

9.y【解析】如解圖，過點C作CA/U5交于點跖交4D于點P,過點尸作PQUC

于點。，是NR4c的平分線.；.PQ=W，，尸C+P0=PC+W=CN,根據(jù)垂線段

最短可知，此時PC+尸。有最小值，即為CM,；/C=6,BC=8,ZACB=9Q°,；.4B=

山。+叱=、62+82=10,,；S“Bc=k4BCM=』ACBC,，肆.

22AB105

第9題解圖

10.3^3【解析】如解圖，過點N作CD的垂線，垂足為N,與的交點記為：四邊

形ABCD為菱形，，點A與點C關(guān)于對角線BD對稱，CA/+〃N=4W+〃N

=AN,根據(jù)垂線段最短可知，此時OW+MM有最小值，最小值為ZA=U0°,

：.ZADC=60°,AD=6,：.AN=AD-sm60o=3>\l3,CA/+ACV的最小值為33.

第10題解圖

11.90°【解析】如解圖，作。關(guān)于ZC的對稱點。，關(guān)于5c的對稱點。"，連接。?！ń?/p>

4c于點E,交2C于點尸，此時，△。斯的周長最小，最小為DZ>",'JAB^AC,ZBAC

=90°,；./3=45°,DD'IAC,DD"LBC,：.ZBDD'=45°,:./D'DD"=135。,：.ZD'

+/。"=45°,:ED'=ED,DF=D"F,：./D'=/DDE,ZD"=ZD"DF,：.ZD"DF+

ZD'DE=45°,：.ZFDE=90°.

第11題解圖

12.4【解析】如解圖，作點。關(guān)于直線NC的對稱點。，，點。關(guān)于直線的對稱點?！?

連接￡>Z>"交/C于點￡,交4