四邊形綜合-2024年中考數(shù)學(xué)臨考押題（浙江專用）（全解全析）

押浙江卷第22題

（四邊形綜合）

押題方向：四邊形綜合

1命題探究卜

中/考/命/題/預(yù)/測

2023年浙江真題考點命題趨勢

2023年衢州卷、麗水卷第從近幾年浙江中考來看，特殊四邊形的性質(zhì)與四

四邊形綜合題

22題寧波卷第23題邊形的綜合問題在解答題中經(jīng)常出現(xiàn)，考查特殊四邊

形的性質(zhì)的試題難度不大，四邊形綜合問題有一定的

2023年溫州卷第21題矩形的性質(zhì)

難度，考查四邊形的判定與性質(zhì)與其他知識的綜合應(yīng)

2023年紹興卷第22題、杭

用。預(yù)計2024年浙江卷還將繼續(xù)考查特殊四邊形的

正方形的性質(zhì)

州卷第21題

性質(zhì)與四邊形綜合問題。

2023年舟山嘉興卷第19題菱形的性質(zhì)

1真題回顧i

中/考/真/題/在/線

1.（2023?杭州）如圖，平行四邊形A3C。的對角線AC,3。相交于點O,點E,尸在對角線8。上,

且BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.

（1）求證：四邊形AEb是平行四邊形.

（2）若AABE的面積等于2,求△CFO的面積.

【思路點撥】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AO=C。，BO=DO,再證OE=OE即可得出結(jié)論;

（2）由平行四邊形的性質(zhì)可求解.

【解析】（1）證明：???四邊形A2CD是平行四邊形，

：.AO=CO,BO=DO,

,:BE=DF,

：.EO=FO,

第1頁共43頁

四邊形AECF是平行四邊形;

(2)解：:BE=EF,

5AAB￡=5AAEF=2,

?/四邊形AECF是平行四邊形,

?.SAAEF=S&CEF=2,E0=FO,

...△(7/。的面積=1.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

2.(2023?紹興)如圖，在正方形A8CZ)中，G是對角線BZ)上的一點(與點2,。不重合)，GELCD,

GFLBC,E,尸分別為垂足.連接EF,AG,并延長AG交環(huán)于點H.

(1)求證：ZDAG=ZEGH；

(2)判斷AH與EF是否垂直，并說明理由.

【思路點撥】(1)直接由平行公理的推理即可解答.

(2)先連接CG,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)得出△AOG^^CQG,從而得到/D4G=/OCG.再證明/EGH

=N￡)CG=NOEC即可.

【解析】(1)證明：在正方形ABC。中，ADLCD,GELCD,

：.ZADE=ZGEC=90°,

J.AD//GE,

：.ZDAG=ZEGH.

(2)解：AHLEF,理由如下.

連結(jié)GC交EF于點O,如圖：

■:BD為正方形ABC。的對角線,

AZADG=ZCDG=45°,

第2頁共43頁

又；￡>G=Z)G,AD=CD,

.?.△ADGq/XCDG(SAS),

：.ZDAG=ZDCG.

在正方形ABC。中，NECF=90°,

XVGE1CD,GF±BC,

四邊形FCEG為矩形，

：.OE=OC,

：.ZOEC=ZOCE,

:.NDAG=NOEC,

由(1)得NDAG=/EGH,

:./EGH=NOEC,

：.ZEGH+ZGEH=ZOEC+ZGEH=ZGEC=90°,

：.ZGHE^90°,

：.AH±EF.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.(2023?杭州)在邊長為1的正方形ABC。中，點E在邊上(不與點A,。重合)，射線3E與射線

CD交于點F.

(1)若￡?=工，求。E的長.

3

(2)求證：AE'CF^l.

(3)以點8為圓心，BC長為半徑畫弧，交線段BE于點G.若EG=ED,求的長.

尸

【思路點撥】(1)通過證明△。跖由相似三角形的性質(zhì)可求解;

(2)通過證明可得坐望，可得結(jié)論；

CFBC

(3)設(shè)EG=ED=x,則AE=1-尤，BE=l+x,由勾股定理可求解.

【解析】(1)解：???四邊形ABCO是正方形，

：.AD//BC,AB=AD=BC=CD=\,

第3頁共43頁

△DEFs^CBF,

?.?-D-E=DF’，

BCCF

工

-7-DF

??--=-----,

1DF+1

2

(2)證明：'：AB//CD,

：.ZABE=ZF,

又?.,NA=/BCD=90°,

AABEs^CFB,

?.?-A-B-二AE一,

CFBC

：.AE-CF^AB-BC^1；

(3)解：設(shè).EG=ED=x,貝l|AE=A￡>-￡>￡=1-尤，BE=BG+GE=BC+GE=1+x,

在Rt/VLBE中，AB2+AE2=BE2,

1+(1-X)2=(1+x)

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，靈活運用這些性質(zhì)解決問題

是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?麗水）某數(shù)學(xué)興趣小組活動，準(zhǔn)備將一張三角形紙片（如圖）進(jìn)行如下操作，并進(jìn)行猜想和證

明.

（1）用三角板分別取AB,AC的中點。，E,連結(jié)。E,畫于點R

（2）用（1）中所畫的三塊圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移拼出一個四邊形（無縫隙無重疊），并用三角板畫出示

意圖;

（3）請判斷（2）中所拼的四邊形的形狀，并說明理由.

【思路點撥】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可;

第4頁共43頁

(2)根據(jù)題意畫出圖形即可;

(3)先證明四邊形AffiCN為平行四邊形，再證明NN=90°,從而得出四邊形AffiCN為矩形.

【解析】解：(1)；(2)如圖,

(3)BJ

矩形，理由如下：

,.,ZA/DB+ZB￡>E=180°,/DEC+/NEC=180°,

...點M、D、E、N在一條直線上，

；點。、點E分別是A3、AC的中點，

；.￡)￡■為△ABC的中位線，

：.DE//BC,DE=^BC,

?：MD+EN=DE,

：.MN=MD+DE+EN^BC,MN//BC,

.,.四邊形AffiCN為平行四邊形，

由題意可得：△MDBgAFAD,△AFEgZXCNE,

ZN=ZAFE,

'：AF.LDE,

：.ZAFE=90°,

ZN=9Q°,

四邊形AffiCN為矩形.

【點睛】本題主要考查了矩形的判定、中位線的知識、平行四邊形的知識，難度不大，認(rèn)真分析即可.

第5頁共43頁

5.(2023?衢州)如圖1,點。為矩形ABC。的對稱中心，AB=4,A￡)=8,點E為邊上一點(0<AE

<3),連結(jié)并延長，交BC于點足四邊形ABFE與A'B'BE關(guān)于EF所在直線成軸對稱，線段)

尸交AD邊于點G.

(1)求證：GE=GF.

(2)當(dāng)AE=2OG時，求AE的長.

(3)令A(yù)E=a,DG=b.

①求證：(4-a)(4-6)=4.

②如圖2,連結(jié)OB',OD,分別交A。，B'F于點、H,K.記四邊形。KG8的面積為Si,△OGK的面

積為S2,當(dāng)。=1時，求且的值.

EF所在直線成軸對稱，有NBFE=NGFE,故NGEF=/GFE,GE=GF；

(2)過G作GH_LBC于"，設(shè)Z)G=x,可知A￡=2x,GE^AD-AE-DG=8-3x^GF,根據(jù)點。為

矩形ABC。的對稱中心，可得CF=AE=2x,故FH=CF-CH=x,在中，/+4?=(8-3x)2,

解得x的值從而可得AE的長為6-2立；

(3)①過。作OQ_LA。于Q,連接。4,OD,OG,由點。為矩形ABCD的對稱中心，EF過點、O,可

i

得。為EF中點，。4=。。，OQ=^AB=2,證明△GOQS2^OE。，得毀=毀，gpGQ-EQ=OQ,故

20QEQ

GQ-EQ=4,即可得(4-a)(4-6)=4；

②連接B3,OG,OB,證明B'F=DE,OD=OB=OB',可得△OOG四/XBOG(SSS),ZODG=ZOB'G,

從而△DGKgZXB'GH(ASA),DK=B'H,GK=GH,即可證AOGK0/XOGaCSSS),得SAOGK=SA

S12SAnrv

OGH，有,=—而NEG/=NOG8,GE=GF,GD=GB;知所〃80,可得△0"S/\DK8,

52

△EGFsADGB',得型=_^_,2il_=^A0GK_=20K=_20F_=_EF_；又^EGFs^DGB',有一!5—

DKB'DS2S2DKB'DB，DB'D

13

=絲，當(dāng)°=1時，匕=旦，即AE=1,DG=&,即可得且=4-=絲=-1-=衛(wèi).

y

GD33S2BDGDA8

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【解析】(1)證明：??,四邊形ABC。是矩形，

：.AD//BCf

：.ZGEF=NBFE,

??,四邊形A出石與A'B1尸E關(guān)于跖所在直線成軸對稱,

:?/BFE=/GFE,

:?NGEF=/GFE,

：.GE=GF；

(2)解：過G作GH_L3c于如圖：

/.GE=AD-AE-0G=8-3x=GF,

VZGHC=ZC=ZD=90°,

J四邊形GHCD是矩形，

:?GH=CD=AB=4,CH=DG=x,

??,點O為矩形A5CO的對稱中心，

/.CF=AE=2x,

：.FH=CF-CH=x,

在Rt/XGFH中，F(xiàn)H2+GH2=GF2,

.,.^+42=(8-3x)2,

解得尤=3+?(此時AE大于AD,舍去)或x=3-?,

.\AE=2x=6-2心

的長為6-2?；

(3)①證明：過。作OQ_LA￡)于。，連接。4,OD,0G,如圖:

:點。為矩形ABCD的對稱中心，EF過點0,

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???。為￡尸中點，OA=OD,OQ=2A5=2,

2

?；GE=GF,

：.OG.LEF,

：.ZGOQ=90°-ZEOQ=/QEO,

9：ZGQO=90°=NOQE,

:?△GOQS^OEQ,

...醫(yī)=至，即G0?EQ=0Q2,

OQEQ

GQ?EQ=4,

'：OA=OD9OQ.LAD.

：.AQ=DQ=^AD=4,

：.EQ=AQ-AE=4-a,GQ=DQ-G￡>=4-b,

(4-a)(4-b)=4；

②解：連接B'D,OG,OB,如圖：

:四邊形ABFE與A'B'FE關(guān)于所所在直線成軸對稱,

:.BF=B'F,

:點0為矩形ABCD的對稱中心，

：.BF=DE,

:.B，F(xiàn)=DE,

同理OD=OB=OB',

由(1)知GF=GE,

C.B'F-GF=DE-GE,即B'G=DG,

,?OG=OG,

:.△DOGqAB'OG(SSS),

：.ZODG=ZOB'G,

,:DG=B'G,ZDGK^ZB'GH,

:ADGK會ARGH(ASA),

；.DK=B'H,GK=GH,

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???OD-DK=OB'-BH即0K=OH,

???OG=OG,

:?△OGKmAOGH(SSS),

SAOGK=SAOGH,

??SI2S/\OGK,

.S1_2SAQGK

F飛廠，

VZEGF=ZDGB',GE=GF,GD=GB',

：.ZGEF=ZGFE=ZGDB'=ZGB'D,

：.EF//B'D,

：.△OK/s△DKB',△EGps/\DGB',

?OK—OF

"DKBZD)

■■SAQGK_OK

'S2DK*

.Si_2sAOGK_20K_20F_EF

-~~DirBZDB，D'

:△EGFS/\DGB',

.EF—GE

"B7D利

當(dāng)〃=1時，由①知(4-1)X(4-Z?)=4,

:.b=&,

3

：.AE=1,DG=里,

3

GE=AD-AE-DG^—,

3

13

.S1_EF_GE__g__13

,?yB'DGDA

3

.?.紅的值為工！.

S28

【點睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及軸對稱變換，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與

性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形解決問題.

6.(2023?紹興)在平行四邊形A8CA中(頂點A,B,C,。按逆時針方向排列)，AB=12,AZ)=10,Z

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8為銳角，且sin8=9.

5

(1)如圖1,求A8邊上的高CH的長;

(2)尸是邊上的一動點，點C,。同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點C,D',

①如圖2,當(dāng)。落在射線CA上時，求BP的長;

②當(dāng)△AC。是直角三角形時，求8尸的長.

圖1圖2備用圖

【思路點撥】(1)由平行四邊形的性質(zhì)對邊相等，和三角函數(shù)可求得結(jié)果;

(2)①由三角形全等和三角形相似可得出結(jié)論；

②三角形的直角頂點不確定，故要分類討論，分三種情況討論，求出結(jié)論.

【解析】解：(1)在團ABCZ)中，BC=AD=10,

在RtZkBCH中，HC=BCsinB=1QX—=8.

5

(2)①如圖，作CHLBA于點”，

由(1)得，BH=>/BC2-CH2=V102-82=6,

作CQLBA交8A延長線于點。，則NC"P=NPQC=90°,

AZCPQ+ZPCQ^90°,

'：ZCPQ+ZCPH=90°,

：.NPCQ=/CPH,

由旋轉(zhuǎn)知PC=PC,

:APQC%LCHP(A4S).

設(shè)則PQ=CH=8,CQ=PH=6-x,QA=PQ-PA=x-4.

\'CQ±AB,CH±AB,

：.CQ//CH,

：./\AQCs叢AHC,

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.C'QQA

CH=HA

???6~x—x-4

86

??Dr,

7

②由旋轉(zhuǎn)得△PCDg/XPC'D',CD=CD'

CDLCD'

X'."AB//CD,

：.CD'±AB

情況一：當(dāng)以C'為直角頂點時，如圖.

D，

'：CD'±AB,

：.C落在線段朋延長線上.

'JPCLPC,

J.PCLAB,

由（1）知，PC=8,

：.BP=6.

情況二：當(dāng)以4為直角頂點時，如圖,

第11頁共43頁

R'

圖1

設(shè)CD與射線BA的交點為T,

作SLAB于點"

VPC1PC,

：.ZCPH+ZTPC=9Q°,

:點C,D同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點C,D',

：.ZCPD=ZCPD'=90°,PC=PD,PC=PD',

：.ZCPD=ZCPD',

.?.△PCD^APCD'CSAS),

：.ZPCD^ZPCD',

'."AB//CD,

：.ZBPC=ZPCD=ZPCD1,

：/C'PT+/CP8=90°,

:./CPT+NPCT=90°,

；./尸7。=90°=ZCHP,

:.△CPgXPCT(AAS),

：.CT=PH,PT=CH=8.

設(shè)C'T=PH=t,貝ijAP=6-t,

：.AT^PT-B4=2+r.

,：ACAD,=90°,CD'LAB,

：.△ATO,s叢cTA,

.ATCT

"TDy=TA'

：.A7Z=CTTD',

：.(2+r)2=t(12-r),

化簡得尸-4f+2=0,

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解得t=2+&，

/.BP=BH+HP=8±V2-

情況三：當(dāng)以。為直角頂點時，

點尸落在瓦1的延長線上，不符合題意.

綜上所述，BP=6或8±企.

②方法二：

動靜互換：將C、?？闯伸o止的，點A繞尸點順時針旋轉(zhuǎn)90°,

，AAZM1是等腰直角三角形，

點軌跡是在NBAE=45°的射線AE上，

當(dāng)△A1C。為直角三角形時，

(z)當(dāng)乙418=90。時，

ZBPlAi^90°,

.\BP1=^lQ2-82=6；

(H)當(dāng)點A為直角時，

以CD為直徑作圓。交AE于點A2、A3.如圖所示，

則XAOE為等腰直角三角形，

??工。=8,

，4E=8&,OF=4?

：.A2F=A3F=2,A尸=4&,

.".AA2=4y[2+2,

.MP2=4+&

BP2=12-(4+V2)=8-&,

(Hi)443=4a-2,

.'.AA3=4--我，

：.BPi=12-(4-V2)=8+&,

綜上所述：BP=6或8±料.

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【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)等知

識，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵.

7.(2023?寧波)定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等

兩鄰邊的夾角稱為鄰等角.

耳菖二:

圖1圖2

(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,ZA=90°,對角線8。平分/AOC.求證：四邊形A8C。

為鄰等四邊形.

(2)如圖2,在6X5的方格紙中，A,B,C三點均在格點上，若四邊形A2CD是鄰等四邊形，請畫出

所有符合條件的格點D.

(3)如圖3,四邊形A3C。是鄰等四邊形，ZDAB=ZABC^9Q°,為鄰等角，連結(jié)AC,過2

作8￡〃AC交ZM的延長線于點E.若AC=8,DE^IO,求四邊形EBCD的周長.

【思路點撥】(1)根據(jù)鄰等四邊形定義證明即可;

(2)根據(jù)鄰等四邊形定義利用網(wǎng)格即可畫圖;

(3)先證明四邊形AEBC是平行四邊形，得AE=BC=OC,設(shè)AE=BC=Z)C=x,得-AE=10

-x,過點。作。凡LBC于點凡得矩形ABF￡>,WAB=DF,AD=BF=1O-x,CF=BC-BF=x

(10-x)=2x-10,根據(jù)勾股定理得82-/=/-(2x70)2,求出了的值，進(jìn)而可得四邊形

的周長.

【解析】(1)證明：在四邊形4BCD中，AD//BC,ZA=90°,

AZABC=180°-ZA=90°,

:對角線2D平分NA￡)C,

ZADB=ZCDB,

'：AD//BC,

/ADB=NCBD,

：.ZCBD=ZCDB,

：.CD=CB,

四邊形ABCD為鄰等四邊形；

(2)解：如下3個圖，點、D'、D、。〃即為所求;

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圖2T圖21圖2-3

(3)解：如圖3,四邊形ABC。是鄰等四邊形，

:.CD=CB,

'：ZDAB=ZABC=90Q,

J.AD//BC,

,JBE//AC,

四邊形AEBC是平行四邊形，

.,.EB=AC=8,AE=BC,

：.AE=BC=DC,

設(shè)4￡=2。=/^7=彳，

VDE=10,

：.AD=DE-AE=IO-x,

過點。作。F，BC于點R得矩形ABFD,

：.CF=BC-BF=x-(10-尤)=2x-10,

在RtAABE和RtADFC中，根據(jù)勾股定理得：

B呼-AE2=AB2,CD1-CF2=DF1,

ABE2-AE1=CD2-CF2,

；.82-7=_?-(2x70)2,

整理得x2-20x+82=0,

解得尤1=10-3加，X2=10+3加(不符合題意，舍去)，

:.CD=CB=1Q-3如,

，四邊形EBC。的周長=BE+DE+2CO=8+10+2義(10-372)=38-6&.

【點睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了鄰等四邊形定義，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，一元二次

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方程，解決本題的關(guān)鍵是理解鄰等四邊形定義.

---------1解題秘籍I---------

臨/考/搶/分/寶/典

L平行四邊形的性質(zhì)：（1）兩組對邊平行且相等；（2）對角相等、鄰角互補；（3）對角線互相平分；

（4）平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形。

2.矩形的性質(zhì)：（1）矩形兩組對邊平行且相等；（2）矩形的四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相

等；（4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。（5）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半。

3.菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平

分一組對角；4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。

4.正方形的性質(zhì)：（1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)；（2）正方形的四個角都是直角，

四條邊都相等；（3）正方形對邊平行且相等；（4）正方形的對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平

分一組對角；（5）正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。

---------1押題預(yù)測?------------

中/考/預(yù)/測/押/題

1.如圖，已知四邊形A2C。是菱形，延長AD至點E,使AE=2BC.

（1）求證：ZACE=90°；

（2）若AC=16,BC=10,求四邊形48CE的面積.

【思路點撥】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD=DC,進(jìn)而利用直角三角形的判定解答即可;

（2）連接交AC于O,利用菱形的性質(zhì)和直角三角形的面積公式解答即可.

【解析】（1）證明：二?四邊形A8CO是菱形，

：.AD=DC=BC,

'：AE=2BC,

：.AD=DE=DC,

：.ZDAC=ZDCA,ZDCE=ZE,

VZDAC+ZDCA+ZDCE+ZE=180°,

AZDCA+ZDCE^9Q°,

：.ZACE=90°；

（2）解：連接交AC于O,

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???四邊形A3CO是菱形

：.AC.LBDf

VAC=16,BC=10,

???0C=8,BC=10,

???OB=VBC2-0C2=7102-82=6，

：.BD=12,

四邊形4BCE的面積=S菱形g+S.wS菱形皿蔣S菱形畋D4'X/X16X12=144.

【點睛】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的對角線互相垂直和四條邊相等解答.

2.已知：如圖，在團ABCD中，對角線AC,8。相交于點O,ZOAB=ZOBA.

(1)求證：EL4BCD是矩形.

(2)若AO=4,ZAOB=120°,求對角線AC的長.

【思路點撥】(1)由等邊三角形的性質(zhì)得。4=。3,再由平行四邊形的性質(zhì)得0B=0D=」2D,OA=

2

OC=2AC,則2￡>=AC,即可得出結(jié)論；

2

(2)由矩形的性質(zhì)得/54。=90°,則/4。8=30°,再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【解析】(1)證明：?.?/。42=/0氏4,

：.OA=OB,

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OB=OD=^-BD,OA=OC=-AC,

22

：.BD=AC,

團ABC。是矩形；

(2)解：?.困4BCD是矩形，

AZBA￡)=90°,

V120°,

第17頁共43頁

AZABD=ZOAB=30°,

：.BD^2AD^S,

：.AC^BD=S.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握矩

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?蕭山區(qū)一模)如圖，菱形A8CD中，尸是上一動點，過尸作PGLAC交BC于點G,垂足為

E,連結(jié)AF,AG.

(1)求證：AF—AG.

(2)當(dāng)/D4B=100°,時，試求/AFG的度數(shù).

【思路點撥】(1)證明(SAS),可得結(jié)論;

(2)證明△ABG是等邊三角形，可得結(jié)論.

【解析】(1)證明：???四邊形A2C。是菱形，

ZACD=ZACB,

'JFGLAC,

:.NCEF=NCEG=90°,

：.ZCFE+ZACD=90°,ZCGE+ZACB=90°,

：.ZCFE=ZCGE,

:.CF=CG,

在△ACF和△ACG中，

'CF=CG

<ZACF=ZACG-

AC=AC

/.AACF^AACG(SAS),

：.AF^AG；

(2)解：:四邊形ABC。是菱形，

J.AB//CD,ZDAC=ZBAC=^ZDAB=^X10Q°=50°,

22

/.ZA￡)F=180°-ZDAB=80°,

'：AD^AF,

第18頁共43頁

：.ZD=ZAFD=80°,

AAFAC=ADAC-ZDAF=50°-20°=30°,

,/AACF^AACG,

：.ZCAF=ZGAC^30°,

ZMG=60°,

'：AF=AG,

/XAFG是等邊三角形，

/.ZAFG=60°.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

4.【背景】如圖（1）,HE,尸分別是正方形ABC。的邊AD,A3的中點，CE與。月相交于點P,連接

BP.同學(xué)們在研究圖形時，作。8〃2尸交CE于點X,發(fā)現(xiàn)：DH=/BP.他們通過作三角形的中位線，

構(gòu)造全等三角形，找到與線段。//相等的線段，得到了多種方法證明DH=^BP成立.

【猜想】若把正方形ABC。改成平行四邊形ABC。，其余條件不變，如圖（2）,結(jié)論DH=^BP是否還

成立？請說明理由.

【延伸】在圖（2）的條件下連接88,那么四邊形尸的面積和43尸尸的面積有什么關(guān)系？請說明理

由.

【思路點撥】【猜想】延長CE交BA的延長線于點N,取NP的中點連接AM,證明AAEN四△OCE

（AAS）,得出AN=DC,證出AM//PB,AM=^PB,證明△OEHg/XAEM（AAS）,得出DH=AM,

2

則可得出結(jié)論；

【延伸】連接BO,AP,BH,證明△PCDS^PNF,得出里旦1=2,由三角形面積可得出結(jié)論.

NFPF3

【解析】解：【猜想】8P結(jié)論在平行四邊形的情況下也成立；

2

理由：延長CE交BA的延長線于點N,取NP的中點M,連接AM,

第19頁共43頁

DC

J.AB//CD,AB=CD,

:?/N=/ECD,/EDC=/NAE,

又??,石為AO的中點，

：.AE=DE,

工AAEN學(xué)ADCE(A4S),

：.AN=DC,

：.AN=AB,

*：MN=MP,

：.AM為△P3N的中位線，

J.AM//PB,AM=^PB,

2

,:DH〃PB,

：.AM//DHf

：.ZDHE=ZAME,/EDH=NEAM,

'：AE=EDf

：./\DEH^/\AEM(A4S),

：.DH=AM,

：.DH=^BP；

2

【延伸】四邊形BHDP的面積=z\8尸尸面積.

理由：連接5。，AP,BH,

??,尸為AB的中點,

?*-^F：=yAB=yAN?

?,.AN=^■麗，

VAB/7CD,AN=CD,

:?△PCDs^PNF,

???—CD—_PD—2j

NFPF3

第20頁共43頁

S^PBD：SNFB=2：3,

'：DH//PB,DH=~PB,

2

:.S&DHB:SAPDB=1:2,

設(shè)SADHB=X,貝。SADPB=2X,

??S^PFB~~3%,

'?"S四邊形BHPD=SADHB+SADPB=3X,

S酮i形BHPD=S&BPF.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定

理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

5.已知，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點。旋轉(zhuǎn)(DE<AB),ZEDF=90°,DE=DF,連接AE、

(2)直線AE與C尸相交于點G.

①如圖2,BM_LAG于點M,BNLCF于點、N,求證：四邊形BA/GN是正方形；

②如圖3,連接3G,若A2=6,DE=3,在ADEF旋轉(zhuǎn)的過程中,請直接寫出線段8G長度的最小值為

【思路點撥】(1)根據(jù)SAS證明三角形全等即可；

(2)①根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；

②作O//LAG交AG于點“，作于點證明△BMG是等腰直角三角形，求出的最小值,

可得結(jié)論.

【解析】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，

：.AD=DC,ZAZ)C=90°,

,:DE=DF,ZEDF=90°,

：.ZADC=ZEDF,

：.NADE=NCDF,

.'.△ADE烏MDF(SAS)；

第21頁共43頁

(2)①證明：如圖2,設(shè)AG與相交于點尸.

ZADP=90°,

ND4尸+N0B4=9O°,

*.，△A。3△CD尸，

：.ZDAE=ZDCF.

9：ZDPA=ZGPC,

：.ADAE+^DPA=ZGPC+ZGCP=90°.

ZPGN=90°,

VBM±AG,BALLGN,

J四邊形3MGN是矩形，

???ZMBN=90°

???四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC,NABC=NMBN=90°.

ZABM=ZCBN.

又丁ZAMB=ZBNC=90°

:.AAMB咨ACNB(ASA).

：.MB=NB.

???矩形3MGN是正方形；

②解：作DH_LAG交AG于點〃，作5MLAG于點M,

第22頁共43頁

G

DC

此時△AMBgZXAHO.

：.BM=AH,

AH2=AD2-DH2,AD=AB=6,

.,.DH最大時，AH最小，DH=DE=3,

BM—AH—,g2_§2—3^/3,

：.BM=AH=4,

由(2)①可知，△BGM是等腰直角三角形，

:.BG最,\、=MBM=3娓,

故答案為：3^/6.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的

判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題

6.在一堂“折紙與數(shù)學(xué)”的實踐探究課上，每個小組分到若干張A4紙進(jìn)行折紙.

下面給出了“遙遙領(lǐng)先”小組利用半張A4紙(矩形ABC。的長：寬=2\歷：1)折特殊三角形的方法,

我們一起來探究其中的數(shù)學(xué)原理.

(1)折法一：如圖1,將矩形ABC。的頂點。與8C邊上的任意一點G重合對折，折痕為求證:

△EFG是等腰三角形.

(2)在折法一的條件下，若￡是的中點，求sin/EGP的值.

(3)折法二：如圖2,先折出一個正方形CDHF,折痕為CH,再將點D折到B尸上并讓折痕過點F,

折痕為EF,點。的對應(yīng)點為點G.求證：EH=BG.

第23頁共43頁

【思路點撥】(1)由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可以得出NGEF=NEEB,即可得出結(jié)論;

(2)設(shè)4O=BC=2MX,AB=CD=X,求出EG=ED=1AO=我X,過E作EH_LBC于〃，貝!JE”

2

AB=x,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解；

(3)分別求出即、BG的長，即可得出結(jié)論.

【解析】(1)證明：由折疊的性質(zhì)得/OEb=NGEF.

.四邊形ABC。是矩形，

：.AD//BC,

：.ZDEF=ZEFB,

：.ZGEF=ZEFB,

：.GE=GF,

.?.△EFG是等腰三角形；

(2)解：如圖，過點E作于點"

：.AD//BC,AB^CD,ABVCD,

：.EH=AB,

設(shè)4O=BC=2&x,AB=CD=x,

是A。的中點，

：.EG=ED=—AD=y[2x,

2

.?.sinNEGF的值為亞；

2

(3)證明：設(shè)AD=BC=2&x,AB=Cr)=尤,

,/四邊形CDHF是正方形，

DH=HF=CF=CD=x,

第24頁共43頁

：.FG=42x,

:.BG=BC-FG-CF=2迎x-?x-x=?x-x,

由(1)知GE=GB=&x,

由折疊的性質(zhì)得DE=GE=?x,

：.EH=DE-DH=yf2x-x,

：.EH=BG.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的

定義等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

7.綜合與實踐

【問題情境】

如圖1,小華將矩形紙片ABCD先沿對角線BD折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線BD上，點B

的對應(yīng)點記為夕，折痕與邊AZ),BC分別交于點E,F.

【活動猜想】

(1)如圖2,當(dāng)點)與點。重合時，四邊形2即月是哪種特殊的四邊形？并給予證明.

【問題解決】

(2)如圖1,當(dāng)AB=4,AO=8,BF=3時，連結(jié)8'C,則3'C的長為4.

【深入探究】

(3)如圖3,請直接寫出AB與BC滿足什么關(guān)系時，始終有A'B'與對角線AC平行？

A'

AD

AVE/XDA上E/^\

BFCBF(7BFC

圖1圖2圖3

【思路點撥】(1)由折疊可得：EFLBD,OB=OD,再證得△BFO2ADEO(ASA),可得OE=OF,

利用菱形的判定定理即可得出答案；

(2)設(shè)與30交于點過點8'作8K_LBC于K,利用勾股定理可得8。=4粕，再證明△BFM

第25頁共43頁

S￡\BDC,可求得宜，進(jìn)而可得2次=坦叵，再由△28'KsABDC,可求得2'K=12,

555

BK=22,CK=BC-BK=8-甦=兇，運用勾股定理可得9C=4；

555

(3)設(shè)/O4B=NOA4=a,則NOBC=90°-a,利用折疊的性質(zhì)和平行線性質(zhì)可得：ZAB'B=NAOB

=a,再運用三角形內(nèi)角和定理即可求得a=60°,利用解直角三角形即可求得答案.

【解析】解：(1)當(dāng)點B'與點。重合時，四邊形BMP是菱形.理由如下：

設(shè)E尸與8。交于點0,如圖2,

：.ZB0F=ZD0E=9Q°,

???四邊形4BCD是矩形，

J.AD//BC,

：.ZOBF^ZODE,

：.ABFO^^DEO(ASA),

：.0E=0F,

???四邊形BED尸是菱形；

(2):四邊形ABC。是矩形，A8=4,AD=8,BF=3,

：.BC=AD=8,CD=AB=4,ZBCD=90°,

:.CF=BC-BF=8-3=5,

?*-BD=7BC2CD2=VS2+42=4心

如圖1,設(shè)EP與交于點M,過點2,作/KL2C于K,

由折疊得：ZA'B'F=ZABF=ZBMF=ZB'MF=90°,B'F=BF=3,BB'=2BM,

'：ZFBM=ZDBC,

第26頁共43頁

叢BFMs叢BDC,

即

ABM=BFJ3

'BCBD'84A/5'

色叵，

5

：.BB'=,

5

?:NBKB'=ZBCD,ZB'BK=ZDBC,

:ABB'Ks^BDC,

12>/5

.B?K_BK_BBy即B'K_BK_5

CDBCBD4T4V5

:.B'K=4BK=%

55

故答案為：4；

(3)當(dāng)時，始終有A'B'與對角線AC平行.理由如下:

???四邊形ABC。是矩形,

：.OA=OB,ZABC=90°,

BC=MAB,

.,.tan/2AC=^=?,

AB

ZBAC=60°,

AAOAB是等邊三角形，

AZABO=ZAOB=60°,

由折疊得：/A'B'B=ZABO=60°,

：.ZA'B'B=ZAOB,

：.A'B'//AC,

故當(dāng)8C=?AB時，始終有A'B'與對角線AC平行.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性質(zhì),

等腰三角形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等,

涉及知識點多，綜合性強，難度較大.

8.綜合與實踐

問題情境：

第27頁共43頁

如圖1,在正方形ABC。中，2。是對角線，過點A作E為垂足，過點。作AE的平行線，過

點A作2。的平行線，兩線相交于點?

問題解決：

(1)判斷四邊形AEOF的形狀，并說明理由；

深入探究：

(2)如圖2,將四邊形AEZJF繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)，得到四邊形AE'D'F',

且C,，F(xiàn)'三點在同一條直線上，過點B作BGLCE',G為垂足，連接8E'并延長交。尸'于點

H,

①求證：G是CE，的中點；

②若正方形ABCD的邊長為2,請直接寫出BH的長.

【思路點撥】(1)證明四邊形中是平行四邊形.由正方