2024年高考數(shù)專項復習：數(shù)列

3、數(shù)列2024年高考數(shù)專項復習數(shù)列的概念

1.數(shù)列的概念

___________________________叫做數(shù)列.

2.數(shù)列的通項公式

數(shù)列｛an｝的與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，

這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.

3.數(shù)列與函數(shù)

數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,…，4)

的函數(shù)，當自變量____________依次取值時對應的一列函數(shù)值.數(shù)列的

通項公式是相應函數(shù)的解析式，它的圖象是.

4.數(shù)列的分類

(1)根據(jù)數(shù)列的項數(shù)可分為、.

(2)按照數(shù)列的每一項隨序號變化的情況可分為：

①遞增數(shù)列；②遞減數(shù)列；③擺動數(shù)列；④常數(shù)列.

5.遞推公式

如果已知數(shù)列仿口｝的第1項(或前幾項)，任一項初與它的前一項an-1

(或前幾項)間的關(guān)系可以來表示，那么這個公式就

叫做這個數(shù)列的遞推公式.

題型一歸納通項公式

例1根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：

(1)-1,7,一13,19,…

(2)0.8,0.88,0.888,…

(3)1,0,0,0,4，0,???

(碌1'看'招,…

探究1①此類問題常常將數(shù)列的各項結(jié)構(gòu)形式分解成若干個基本數(shù)列

對應項的“和”、“差”、“積”，再進行分析歸納.

②有些數(shù)列的通項公式可以用分段函數(shù)形式表示.

③應熟記一些基本數(shù)列的通項公式.

題型二必與血的關(guān)系

例2已知數(shù)列｛加｝的前Z7項和為必，求｛加｝的通項公式.

①Sn=2n2—3z?

②

探究2%與&的關(guān)系式an=Sn—Sn-i的條件是“22,

求即時切勿漏掉〃=1即的=&的情況.一般地，

=

當〃i=Si適合%=5〃一S〃-1時，anSn—S?-i；

Si(%=1)

=

當?shù)?Si不適合a〃=S〃一&-1時，an*c_c/

Sn—Sn-i(〃力2).

思考題2數(shù)列｛斯｝的前〃項和S”,的=1,即+i=；S"（〃=l,2,3,…），

求S”及an

題型三遞推數(shù)列的通項

例3⑴設數(shù)列｛%｝中，的=2,a?+i=a?+n+l,則通項時=.

⑵為=1,竽="+1,則通項時=.

（3）。1=1,G〃+I=3G〃+2,則通項時=.

（4）??>0,今工=’雙，則通項“=.

小結(jié)：

1.已知數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的通項公式，

主要從以下幾個方面來考慮：

①符號用（-1）〃或（一1）。+1來調(diào)節(jié)，這是因為A和A+1奇偶交錯.

②分式形式的數(shù)列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母

的關(guān)系.

③對于比較復雜的通項公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他

方法來解決.

④此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察規(guī)律、

類比已知數(shù)列、轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差、等比）等方法.

2.曲與an之間兩種轉(zhuǎn)化途徑，注意27=1和〃N2兩種情況.

3.由的求an時，注意。=1和〃>1兩種情況，最后看二者是否統(tǒng)一.

等差數(shù)列

1.數(shù)列的概念

___________________________叫做數(shù)列.

2.數(shù)列的通項公式

數(shù)列｛an\的與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，

這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.

3.數(shù)列與函數(shù)

數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,…，/?｝）

的函數(shù)，當自變量___________依次取值時對應的一列函數(shù)值.數(shù)列的

通項公式是相應函數(shù)的解析式，它的圖象是.

4.數(shù)列的分類

(1)根據(jù)數(shù)列的項數(shù)可分為、.

(2)按照數(shù)列的每一項隨序號變化的情況可分為：

①遞增數(shù)列；②遞減數(shù)列；③擺動數(shù)列；④常數(shù)列.

5.遞推公式

如果已知數(shù)列仿力的第1項(或前幾項)，任一項初與它的前一項an-1

(或前幾項)間的關(guān)系可以來表示，那么這個公式就

叫做這個數(shù)列的遞推公式.

題型一歸納通項公式

例1根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：

(1)-1,7,一13,19,…

(2)0.8,0.88,0.888,…

(3)1,0,T，0,0,0,???

探究1①此類問題常常將數(shù)列的各項結(jié)構(gòu)形式分解成若干個基本數(shù)列

對應項的“和”、“差”、“積”，再進行分析歸納.

②有些數(shù)列的通項公式可以用分段函數(shù)形式表示.

③應熟記一些基本數(shù)列的通項公式.

題型二Sn與an的關(guān)系

例2已知數(shù)列｛an｝的前A項和為切，求｛az?｝的通項公式.

①Sn=2n"2—3/?

②Sn=3~n+b

探究2%與Sn的關(guān)系式a.=S"—S『i的條件是"》2,

求即時切勿漏掉”=1即可=&的情況.一般地，

=

當適合an—Sn—S”-i時，anSn-S”-i；

[Si(〃=1)

當不適合a“=S"—S“-i時，,、八

[Sn—Sn-i(〃力2).

思考題2數(shù)列｛廝｝的前〃項和S.，ai=l,即+i=|S"(〃=l,2,3,…),

求S”及an

題型三遞推數(shù)列的通項

例3⑴設數(shù)列｛時｝中，?1=2,即+1=%+葉1,則通項“=.

⑵的=1,竽="+1,則通項時=________.

%

—，—i_cm心田幣—

小結(jié)：

2.已知數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的通項公式，

主要從以下幾個方面來考慮：

①符號用(一D"或(一1)。+1來調(diào)節(jié)，這是因為Z7和27+1奇偶交錯.

②分式形式的數(shù)列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母

的關(guān)系.

③對于比較復雜的通項公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他

方法來解決.

④此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察規(guī)律、

類比已知數(shù)列、轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列(等差、等比)等方法.

2.2?與初之間兩種轉(zhuǎn)化途徑，注意27=1和兩種情況.

3.由的求即時，注意。=1和〃>1兩種情況，最后看二者是否統(tǒng)一.

等比數(shù)列

知識要點：

一、等比數(shù)列的判定及證明

證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的方法主要有兩種：一是利用等比數(shù)列的定義，

即證明a"an=q(qWO,nGN+)；二是利用等比中項法，即證明6m)“2=

anan+2W0(〃GN+).在解題中，要注意根據(jù)欲證明的問題，對給出的條件

式進行合理地變形整理，構(gòu)造出符合等比數(shù)列定義式的形式，從而證明結(jié)

論.判斷一個數(shù)列不是等比數(shù)列只需舉出一個反例即可.

例1、設數(shù)列改數(shù)的前n項和為Sn,已知ai=l,S?+i=4a?+2.

⑴設b“=an+i—2a",證明：數(shù)列｛bj是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項公式.

二、等比數(shù)列中基本量的計算

等比數(shù)列基本量的計算是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決此類問題的關(guān)

鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運用，在運算過程中，還應善

于運用整體代換思想簡化運算的過程.尤其要注意的是，在使用等比數(shù)列

的前〃項和公式時，應根據(jù)公比g的情況進行分類討論.

例2、(1等比數(shù)列｛an｝中，|al|=1,a5=-8a2,a5>a2,則an=()

A.(-2)"-1B.—(—2)“T

C.(-2)°D.-(-2)n

(2)設S?為等比數(shù)列｛的｝的前〃項和，已知3&=a—2,3￡=a—2,則

公比Q=()

A.3B.4

C.5D.6

(3)(2010年高考遼寧卷)設｛斯｝是由正數(shù)組成的等

比數(shù)列9Sn為其前〃項和?已知°2。4=1，53=7>

則s5=()

變式訓練1數(shù)列｛an｝中，ai=l,a2=2,數(shù)列｛為?劣+J是公比為q

(q>0)的等比數(shù)列.

(1)求使anan+i+an+ian+2>an+2an+3(nGN+)成立的q的取值范圍；

⑵若b?=a2n-i+a2n(nGN+),求｛bn｝的通項公式.

三、等比數(shù)列的前〃項和及其性質(zhì)

等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變

形，三是前〃項和公式的變形，根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變

化特征即可找出解決問題的突破口.

例3、在等比數(shù)列｛aj中，ai最小，且ai+a?=66,a2?a?-i=128,

前n項和Sn=126,

⑴求公比q；

⑵求n.

2.等比數(shù)列其他性質(zhì).

(1)若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列,則｛叫｝(存0),｛m｝,｛片｝,

｛5｝也是等比數(shù)列，若也｝是等比數(shù)列，則｛6也｝也

是&比數(shù)列.

⑵數(shù)列"機，〃機+4，+249°帆+34，…仍成等比數(shù)列.

(3)若等比數(shù)列｛冊｝的項數(shù)為2〃,則||=q,其中S偶，

S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和.

(4)皆=廣(機，〃￡N+).

a帆

四、等比數(shù)列的綜合問題

在解決等差、等比數(shù)列的綜合題時，重點在于讀懂題意，而正確利用等差、

等比數(shù)列的定義、通項公式及前〃項和公式是解決問題的關(guān)鍵.

例題4

變式訓練2(2009年高考山東卷)等比數(shù)列｛%｝的

前〃項和為S”，已知對任意的〃￡N+,點(〃，Sn)

均在函數(shù)尸"+『3>0且厚1,仇r均為常數(shù))的

圖像上.

⑴求r的值；

1

⑵當。=2時，記瓦,="(〃WN+),求數(shù)列｛兒｝的

前n項和Tn.

方法感悟

1.等比數(shù)列的判定方法有以下幾種：

(1)定義：乎1=以4是不為零的常數(shù)，〃WN+)今｛明｝

是等比數(shù)列：

(2)通項公式:G.=C/(C、Q均是不為零的常數(shù),〃￡N

+)臺｛%｝是等比數(shù)列.

(3)等比中項公式：G”+la/jan+2(G，JGn+l/Gn+2/°，

〃￡N+)臺｛“”｝是等比數(shù)列.(如例1)

2.方程觀點以及基本量(首項和公比al,q)思想仍然是求解等比數(shù)列問題

的基本方法：在al,q,n,an,Sn五個量中，知三求二.

3.等比數(shù)列的性質(zhì)是等比數(shù)列的定義、通項公式以及前n項和公式等基

礎(chǔ)知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質(zhì)可以有效、方便、快

捷地解決許多等比數(shù)列問題.

4.解決等比數(shù)列的綜合問題時，首先要深刻理解等比數(shù)列的定義，能夠

用定義法或等比中項法判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列；其次要熟練掌握

等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，能夠用基本量方法和等比數(shù)列的性

質(zhì)解決有關(guān)問題.

數(shù)列的求和問題

知識要點：

(1)等差、等比數(shù)列求和

(2)裂項相消法

(3)倒序相加法

(4)錯位相減法

(5)常用的求和公式

典型例題

例1.已知列｛x“｝的首巧=3,Xn=2"?p+n.q

(nGN*,p,q是常)，且,巧事成等差列。

(1)求p,q的值；

(2)求列｛xj的前n和S.

例2.已知數(shù)列｛4｝的前幾項和為S"，S=n2.

⑴求證：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

(2)求和:——++」—(九22).

%Cl?。2"31"八

例3.求S=1+2%+3x2+4%3++(3+1)?

的值.

例4.已知數(shù)列｛4