反比例函數(shù)與幾何綜合（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（全國卷）

專題12反比例函數(shù)與幾何綜合

目錄

熱點(diǎn)題型歸納...................................................................................

題型01K的幾何意義............................................................................

題型02特殊幾何圖形存在性問題.................................................................

題型03反比例與相似三角形綜合.................................................................

中考練場.......................................................................................

熱點(diǎn)題型歸納

題型01K的幾何意義

【解題策略】

反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形相似的判定和性質(zhì),

反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)與菱形的性質(zhì).

【典例分析】

例1.（2023?江蘇宿遷?中考真題）如圖，直線y=x+l、y=x-l與雙曲線y=或（左＞0）分另ij相

交于點(diǎn)4B、C、D.若四邊形ABCD的面積為4,則上的值是（）

二?D.1

第1頁共67頁

【答案】A

【分析】連接四邊形A3CD的對角線AC、BD,過。作DEL*軸，過C作CF，x軸，直線

y=x-l與x軸交于點(diǎn)M,如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖像交點(diǎn)的對稱性判斷四邊形ABCD是平行

四邊形，由平行四邊形性質(zhì)及平面直角坐標(biāo)系中三角形面積求法，確定

S^COD==1=10M.(DE+CF),再求出直線y=x-l與x軸交于點(diǎn)”(1,0)，通過

y=x-l

聯(lián)立k求出c、D縱坐標(biāo)，代入方程求解即可得到答案.

ly=一X

【詳解】解：連接四邊形ABCZ)的對角線AC、BD,過。作DELx軸，過C作軸，

直線＞=x-l與x軸交于點(diǎn)如圖所示：

根據(jù)直線y=x+i、＞=xT與雙曲線y=：（左＞。）交點(diǎn)的對稱性可得四邊形A3CD是平行四

邊形，

S^CC?=1S四邊步ABCD=1=.（■DE+Cr）,

;直線y=x-l與無軸交于點(diǎn)M,???當(dāng)y=。時，x=l,即M（l,o）,

y=x-l與雙曲線了=少＞0）分別相交于點(diǎn)C、D,

y=x-\----

??.聯(lián)立k,即＞='—1,則y2+y_%=0,由左＞0,解得y'T±S+4Z,

y=-y2

IX

1,1-1+Jl+4左（-1-J1+4Z丫|,nn....-,3

-xlx----------------------=1,即J4Z+1=2,解得左=^，故選：A.

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例2.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系無Qy中，點(diǎn)&、8分別在y,x軸

上，軸.點(diǎn)〃、N分別在線段3C、AC上，BM=CM,NC=2AN,反比例函數(shù)

y=；a>0）的圖象經(jīng)過“、N兩點(diǎn)，尸為X正半軸上一點(diǎn)，且。尸:5P=1:4,..APN的面積

為3,則女的值為（）

D45144-72

A.—C.----D.——

482525

【答案】B

【分析】過點(diǎn)N作NQ_Lx軸于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（0,a）（a>0）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為

M（5Z?,C）（ZJ>0,C>0）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（m,〃）（〃?>0,〃>0）,則C（542c）,OA=a,OB=5b,

先求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為N［三,生產(chǎn)］,再根據(jù)S謝=S梯形OAN2-SAO—SN.2=3可得

2ab+bc=9,然后將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可得2a=7c,從而可得6c的

值，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)N作NQLx軸于點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（0,a）（a>0）,點(diǎn)加的坐標(biāo)為M（56,c）（6>0,c>0）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為

則C（5Z?,2c）,OA=a,OB=5b,OP:BP=1:4,:.OP=b,BP=^b,

NC=2AN,AONQ\CB,

5b

5Z?-m=2（m-0）m=一

%一外235b2。+2c）

：.BQ=2OQ,解得

力一汽32a+2c

n=---------

3

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■-OQ=^,NQ==^^,.-.PQ=OQ-OP=y,

APN的面積為3,...S梯形OANQ-SAOP-SNPQ~3,即

157,2〃+2c11712Z?2〃+2cc上6e/口出一

-x-^—-—+a\--ab--^~---------=3,整理得：2ab+bc=9,將點(diǎn)

乙D\DJ乙乙DJ

“彳/c\J5b2。+2。)八、、k,,—5b2a+2c擊后丁0,日入一

M(5/?,c),?/―,---代入)=一得ZP：k=5bc=--------,整理得：2a=7c,

133/x33

945

將2〃=7c代入2"+Z?c=9得：lbc+bc=9,解得力。=—,貝!］左=5bc=——,故選：B.

88

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確求出點(diǎn)

N的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

【變式演練】

k

1.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)如圖，反比例函數(shù)y=-(%>0)圖象經(jīng)過正方形。4BC的頂點(diǎn)

x

A,BC邊與y軸交于點(diǎn)。，若正方形OABC的面積為12,BD=2CD,則上的值為()

10

D.T

【答案】B

［分析］過點(diǎn)A作AE，x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AG，y軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BH_LAG于點(diǎn)G,

過點(diǎn)C作CFLx軸于點(diǎn)足過點(diǎn)3作軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CN_Ly軸于點(diǎn)N,,根

據(jù)已知條件分別證明11AoE-OCF(AAS),54”-AOG(AAS),四邊形ONB,四邊形

8MG"和四邊形AEOG為矩形，即可得出CN=OF=AE=OG=AH,GH=BM,OE=AG,

CNCD1

根據(jù)已知條件可以證明△CDNSABD"，得出==設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為：

BMBD2

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k

fm,-k77>0),即可得出黑=—=得出用=3儲根據(jù)勾股定理，結(jié)合正方形的

I“，BMk2

m

面積，列出加2+(，j=i2,最后將蘇=3人代入求出發(fā)的值即可.

【詳解】解：過點(diǎn)A作AE_L無軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AG，y軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作防'J_AG于

點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CTLx軸于點(diǎn)凡過點(diǎn)8作軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CN^y軸于點(diǎn)N,

如圖所示：

:四邊形。4BC為正方形，

/.AO=AB=BC=OC,ZAOC=NOCB=NOAB=NBC=90°,

軸，CF_Lx軸，

ZAEO=ZCFO=90°,

ZCOF+ZAOE=180°—90°=90°,ZCOF+ZOCF=90°,

ZAOE=ZOCF,

_AOE%OCF(AAS),

AAE^OF,OE=CF,

'：BHAG,AG_Ly軸，

ZBHA=ZAGO=90°,

ZGAO+ZBAH=90°,ZGAO+ZGOA=90°,

ZBAH=ZGOA,

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???BAH^AOG（AAS）,

:.OG=AH,

軸，CN，y軸，

JZCNO=ZCND=ZBMO=90°,

,/ZCDN=ZBDM,

/.ACDNsABDM,

.CNCD_1

,?威一訪―5'

ZCFO=ZFON=ZCNO=90°,

???四邊形ONC尸為矩形，

同理可得：四邊形5MG"和四邊形AEOG為矩形，

:.CN=OF=AE=OG=AH,GH=BM,OE=AG,

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（利,：）（根＞0）,

k

CN=OF=AE=OG=AH=—,OE=AG=m,

m

m

k_

.CN_-_1

.,加—一k-2'即2=佻，

m----

m

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:正方形Q45C的面積為12,

0A2=12,

由勾股定理得OA2=A￡2+O爐，即加2+［幺］=12,

在RtzXOAE中,

把/=3%代入M+[=12得：3k+—=12,

J3k

1Q

解得：k=~.

1Q

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的判定和性質(zhì)，勾

股定理，反比例函數(shù)與幾何綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)（桃5］,

找出機(jī)與人的兩個關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?安徽?二模）如圖，A,8兩點(diǎn)分別為：）0與x軸，y軸的切點(diǎn).AB=2亞,C為

優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)無＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,則上的值為（）

X

A.3+2夜B.8C.16D.32

【答案】A

【分析】連接0A。8，。。，過點(diǎn)C作CD^x軸于點(diǎn)。，延長49交。于點(diǎn)E,根據(jù)切線的

性質(zhì)，等弧所對的圓心角相等，易得AOB.COE為等腰直角三角形，四邊形為正方

形，四邊形應(yīng)＞￡。為矩形，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可.

【詳解】解：連接。4,QB,OC,過點(diǎn)C作CDLx軸于點(diǎn)。，延長4。交。于點(diǎn)E,

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則：OA^OB^OC,

VA,8兩點(diǎn)分別為。。與x軸，y軸的切點(diǎn)，

軸，軸，

Q4〃x軸，

OALOB,

，四邊形AOB尸為正方形；

AB=2。

：.OA=OB^2,

,OC=2,BF=2；

：CD_L無軸，QB_Lx軸，OA±OB,

四邊形BDEO為矩形，

/.ZOEC=90°,DE=OB=2,NBOE=90°,OE=BD,

為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，

/.ZAOC=N8OC=g(360°—90°)=135°,

二Z.COE=ZBOC-NBOE=45°,

/.OE=CE=—OC=s/2,

2

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CD=CE+DE=2+y[2,DF=BF+BD=2+42,

：.C（2+A/2,2+V2）,

2%=（2+可,

■'-k=3+2y/2,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查求反比例函數(shù)的左值，同時考查了切線的性質(zhì)，等弧對等角，矩形的判定

和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，構(gòu)造特殊圖

形.本題的綜合性較強(qiáng)，難度較大.

3.（2023?安徽?模擬預(yù)測）如圖，等腰ABC的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)芳=?化＞。）和

%=+化＞0）的圖象上，AC=BC=^-AB.若AB〃，軸，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為3,貝U

k、+k?~.

【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與幾何綜合，勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，過點(diǎn)

C作CD,四于點(diǎn)。.設(shè)AB=2a,則AC=BC=氐，AD=a,CD=2a.設(shè)點(diǎn)5的縱坐

標(biāo)為"，表示出A,8,C,D的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)關(guān)系式，推出匕，心含。的表達(dá)式，再

求其和，即可解題.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CD，AB于點(diǎn)。.

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設(shè)AB=2a,貝UAC=BC=非a,AD=a,

:.CD=YJAC2-AD2=2a-

設(shè)點(diǎn)5的縱坐標(biāo)為〃，

/.B（3,n）,Z）（3,〃+a）,A（3,〃+2。），C（3-2a,幾+a）.

點(diǎn)B,C都在%=幺的圖象上，

X

:.k2=3〃=（3-2a）（〃+a）,

3

n=—a,

2

9

鼠=3n=—3a.

-2

點(diǎn)A在必=4的圖象上，

X

99

/.kx=3（〃+2〃）=3n+6a=--3a+6a=—+3a,

99

k[+Z=—F3d4-----3a=9.

1222

故答案為：9.

3

4.（2023?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，直線>=-^X+3的圖象與>軸交于點(diǎn)A,直線

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3Q

”出出＞。）與X軸交于點(diǎn)8,與一“+3的圖象交于點(diǎn)〃，與的圖象交

于點(diǎn)C.當(dāng)=5：3時，k=

【分析】如圖所示，過點(diǎn)A作AELBC于點(diǎn)E,可求出器=2,如圖所示，過點(diǎn)"作

軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)C作CGIx軸于點(diǎn)G,根據(jù)兩直線的交點(diǎn)，直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，分

別列方程組，用含％的式子表示出點(diǎn)M，C的坐標(biāo)，可得M￡CG的值，由即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AEL8C于點(diǎn)E,

???S△旗M=1BM.AE,S^CM=^MC，AE,

?^/\ABM?^AAMC=5.3,

A1-BM^AE]:（-MC^AE}=5:3,即典=2,則%=9,

（2八2）MC3BC8

如圖所示，過點(diǎn)M作MFJL九軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)G,

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：.MF//CG,

.MFBM_5

：.ABMF^ABCG,

*CG-^C-8

3

??,直線丁=履+左（左＞0）與％軸交于點(diǎn)3,與y=-z%+3的圖象交于點(diǎn)M，

3—k12-4左

二

y=kx+kx34Z+3

k+-“(12—4%15左

3解得,4M\---------,--------

y=——x+314左+341+3

415左

4Z+3

9

???直線y=kx+k（k＞0）^x軸交于點(diǎn)B，與丁=一（%＞。）的圖象交于點(diǎn)。，且%＞。,

x

y/k2+36k-k

y=kx+kx=------------------

2k

??，解得,

?<92

y=一_18左y/k+36k-k

IX

[k2+36k-)2

.小甘+36k-kJ%2+363+A：l.15ky/k236k+k

I2%2J4%+32

15k

MF_4左+e=5

CG-JF+36)+1一W'

2

,48左=(4左+3)(J/2+36k+k)，45左一41?=(4左+3)+36k，960^2-1152A:+324=0

cQ3Q3

80^2—96k+27=（20%—9）（4"3）=0,：.kx=—,k,=~,故答案為：二或L

'八/1204204

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)，幾何圖形的面積,相似三角形等知識的綜合,

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掌握求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，根據(jù)圖形面積求出線段的比值是解題的關(guān)鍵.

題型02特殊幾何圖形存在性問題

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊幾何性質(zhì)，勾股定理，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

【典例分析】

3k

例.(2023?山東?中考真題)如圖，直線y=]X與雙曲線>左聲0)交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A

的坐標(biāo)為(皿-3),點(diǎn)C是雙曲線第一象限分支上的一點(diǎn)，連接8c并延長交無軸于點(diǎn)D,且

BC=2CD.

(1)求上的值并亶毯與地點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)G是丁軸上的動點(diǎn)，連接GB,GC,求GB+GC的最小值；

(3)尸是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，。是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸，Q,使得四邊形42尸。是矩形？

若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

1Q13

【答案】(1)k=6,8(2,3)；(2)2M；(3)P,0)或(0,y).

【分析】(1)根據(jù)直線y=|x經(jīng)過點(diǎn)4(私-3),可求出點(diǎn)A(-2,-3),因為點(diǎn)A在y=：(4/0)

圖象上，可求出鼠根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，即可求出點(diǎn)8；

(2)先根據(jù)5c=2CD利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C,再根據(jù)對稱性求出點(diǎn)8關(guān)于y軸的

對稱點(diǎn)8',連接9C,即8'C的長度是GB+GC的最小值；

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（3）先作出圖形，分情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

3

【詳解】（1）解：因為直線y=經(jīng)過點(diǎn)A（加，一3）,

3

所以-3=—x〃z,

2

所以m=-2,

所以點(diǎn)A(-2,-3),

因為點(diǎn)4在丫=乙％#0）圖象上,

X

所以左=—2x(—3)=6,

3k

因為y=]X與雙曲線、=嚏（左二0）交于A,8兩點(diǎn),

所以點(diǎn)A和點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對稱,

所以點(diǎn)8（2,3）；

（2）過點(diǎn)B,C分別作BELx軸，CfUx軸，作B關(guān)于y軸對稱點(diǎn)夕,連接夕C,

因為BEJ-x軸，CP_L無軸,

所以8E//CF,

所以BEDCFD,

BD

所5F;I以'I彳K

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因為BC=2CD,

因為3(2,3)，所以BE=3,所以CF=1,

所以C點(diǎn)縱坐標(biāo)是1,

將Vc=1代入y=9可得：x=6,所以點(diǎn)C(6,1),

又因為點(diǎn)二是點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，所以點(diǎn)/(-2,3),

所以2'C=J(-2-6『+(3-=J64+4=倔=2而,即GB+GC的最小值是2折；

(3)解:①當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上時，

當(dāng)NABP=90。，四邊形ABP。是矩形時，過點(diǎn)B作軸，

OHBH

因為NOBP=90。，BH_LOP,所以O(shè)HBBHP,所以一=——,

BHHP

91313

所以BH2=OHXHP,所以32=2XHP,所以坂=萬，所以。尸=萬，所以點(diǎn)「(彳，0)；

②當(dāng)點(diǎn)尸在y軸上時，當(dāng)/ABP=90。，四邊形ABP。是矩形時，過點(diǎn)3作①軸，

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匚匕2OHBHm2

因為NO3P=90。，5H_L0P,所以O(shè)HB一BHP,所以"=—,所以BH9'=OHxHP,

BHHP

41313

所以22=3X〃P,所以女尸=彳，所以。尸=工，所以點(diǎn)尸(0,—)

333

1313

綜合可得：P(y,0)或(0,y).

【點(diǎn)睛】本題主要考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解決本題的

關(guān)鍵是要熟練掌握正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì).

【變式演練】

1.(2023?湖南邵陽?一模)如圖，直線與無軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)從OB是一元二

3

次方程V-x-30=0的一個根，且tanNO48==，點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)，E為x軸正半軸上一點(diǎn)，

4

BE=2回,直線。0與3E相交于點(diǎn)尸.

⑴求點(diǎn)A及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)反比例函數(shù)y=幺經(jīng)過點(diǎn)r關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)/，求上的值；

X

(3)在直線A3上是否存在點(diǎn)尸，使為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若

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不存在，請說明理由.

【答案】(1)48,0),。(4,3)

⑵噌

(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或詈■)或+-或

|^40-|710,-24+1710^.

3

【分析】(1)先解VT-30=0得到兩個根，取其正值，可得03=6,再由tan/OAB=二可

4

得。4=8,于是可知48,0),3(0,6),進(jìn)而可求得的中點(diǎn)0(4,3).

(2)求出直線防，直線0。的解析式，構(gòu)建方程組確定交點(diǎn)廠的坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性求出

點(diǎn)F的坐標(biāo)即可.

(3)先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線的解析式為y=-；x+6,設(shè)點(diǎn)尸，，-土,+6),分

PE=AP,PE=AE和AP=Af三種情況列式求出t的值即可.

【詳解】(1)'：X2-X-30=0,

——5,不？=6,

05=6,

3

tanZ.OAB二—,

4

?_3

??=—，

OA4

，04=8,

???A(8,0),5(0,6),

;點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為(等，等1即0(4,3).

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(2)在Rt_OBE中，由勾股定理得：

OENBEZ-OB?=140-36=2'

E(2,0),

設(shè)直線BE的函數(shù)解析式為丫=丘+。(％二0),

把3(0,6),E(2,0)代入得：

j2k+b=0

[b=6

伏=一3

解得：八＜

\b=6

?,?直線班的函數(shù)解析式為y=-3x+6,

V￡)(4,3),

設(shè)直線OD的函數(shù)解析式為y=mx,

4m=3,解得，根=[，

3

?,?直線OD的函數(shù)解析式為y,

4

32

當(dāng)一3X+6=—x時，x=—,

45

此時y=g,

,?喉外

工點(diǎn)/關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F為，

k

???反比例函數(shù)y=—經(jīng)過點(diǎn)F,

第18頁共67頁

5525

(3)設(shè)直線45的解析式為y=ax+b,

將點(diǎn)A(8,0),B(0,6)的坐標(biāo)代入得,

3

8“+。=0a=—

解得:4

b=6

n=6

,3

?,?直線AB的解析式為y=-力+6

4

???點(diǎn)尸在直線A3上，

***設(shè)點(diǎn)尸[%—$+6],

二PE?=。-2）2+t+6—0）=H產(chǎn)-13/+40,AE2=（8-2）2=36,

AP2=（8-Z）2+^-|f+6^|=||產(chǎn)一25「+96

下面分三種情況討論：

2525

①當(dāng)PE=AP時，一產(chǎn)一13f+40=—產(chǎn)-251+96

1616

14

解得：I1,

,3/314右5

..—t+6=—x----F6=—

4432

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為件11

25

②當(dāng)PE=AE時，―?2-13/+40=36

16

Q

解得：％=8,t2=—~

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33

?**—t+6=—x8+6=0,此時點(diǎn)P不存在,

44

3「38/148

——t+6=——x---=-----

442525

?,?點(diǎn)尸的坐標(biāo)為125'25)

③當(dāng)AP=AE時，下/一25r+96=36

16

解得：=40+|>/10,t2=40-1A/10

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(40+1何,一24一4網(wǎng)或140—|加,一24+|呵；

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或(40+'|716-24-1'"^)或

U0-|A/10,-24+|^J.

一次函數(shù)y=x+8的圖象與反比例函數(shù)y=K(x<0)的圖

2.(2023?山東濟(jì)南?二模)如圖,

X

象交于4(。,6),8兩點(diǎn).

(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo);

⑵在y軸上存在點(diǎn)尸，使得AP+3尸的值最小，求AP+3尸的最小值.

(3)加為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，N為x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)V、N,使AMBN是以MN

為底的等腰直角三角形？若存在，請求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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【答案】⑴"上,3（-6,2）

（2）44

⑶存在，M（T,3）或加18,|]

【分析】（1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的表達(dá)式，最后聯(lián)立一

次函數(shù)和反比例函數(shù)表達(dá)式，即可求出點(diǎn)2的坐標(biāo)；

（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)4（2,6）,連接A3交y軸于點(diǎn)尸，此時AP+3P的值最小，

用勾股定理即可求解；

（3）設(shè)N（〃,0）,根據(jù)題意，構(gòu)造全等三角形，進(jìn)行分類討論，利用勾股定理

列出方程求解即可.

【詳解】（1）解：將4（。,6）帶入y=x+8得：6=a+8,

解得：a--2

：.A（-2,6）,

將A（-2,6）代入＞得：k=xy=-n,

X

12

反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=-上，

y=%+8

聯(lián)立q-12,

y=—

IX

.?.3（-6,2）,

10

綜上：反比例函數(shù)的表達(dá)式為：＞=-7，*-6,2）；

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（2）解：作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A（2,6）,連接AB交y軸于點(diǎn)P,此時AP+3P的值最

小，

A'B=J[2一（一6）1+（6-2「=4^/5，

；?AP+BP=A'P+BP=A'B=4A/5;

（3）解：設(shè)J],N（n,O）,

①M(fèi)在8點(diǎn)右側(cè)時，過點(diǎn)8作B尸，x軸于點(diǎn)R過點(diǎn)M作交FB的延長線于點(diǎn)

H,

,/△MBN是以MN為底的等腰直角三角形,

BM=NB,ZMBN=90°,

ZHBM+ZNBF=9Q°,

Z.HBM+ZHMB=90°,

ZNBF=ZHMB,

在,和一期N中，

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NNBF=ZHMB

<ZH=ZBFN,

BM=NB

：.Z^MHB0△①W(AAS),

；?HM=BF,HB=FN,

-Q-(-6)=2-0

“T一2=〃-(-6)'

[a——4

解得：,

\n=-5c

②M在8點(diǎn)左側(cè)時，

同理可得AMHBZ△班N（AAS）,

BH=BF,-6）-a=2-0,

解得：。=-8,

綜上：M（T,3）或

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將軍飲馬，全等三角形的判

定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比了函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，會用待定系數(shù)

法求解函數(shù)表達(dá)式，具有分類討論的思想.

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3.(2023?四川成都?三模)如圖，直線y=；x-3與x軸交于點(diǎn)A,與>軸交于點(diǎn)8,與反比

k

例函數(shù)>=勺在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C(九1).

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

k

(2)點(diǎn)。在點(diǎn)。上方的反比例函數(shù)y=—的圖象上，△ABD的面積為9,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

x

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)M在x軸上>=幺的圖象上，若以點(diǎn)M,N,2為頂點(diǎn)的四邊形是平

X

行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

Q

【答案】⑴y=°

X

⑵。（4,2）

（3）（-1y9,。）或（12,0）或（17，0）

【分析】

1

-3得到C(8,l),由于點(diǎn)C在雙曲線>=幺上，求得左=1x8=8,于

（1）把CO,1）代入y2-

X

Q

是得到反比例函數(shù)的解析式為y=2；

X

(2)由y=可知B的坐標(biāo)為(0,-3),得到A的坐標(biāo)為(6,0),求得。4=6,03=3,過

QQ

。作。尸_Ly軸于f，OEJ_x軸于E,設(shè)￡>(切,一)，則尸(0,—),E(m,0),根據(jù)三角形的面

mm

積公式列方程即可得到結(jié)論；

(3)分當(dāng)BN,DM為平行四邊形的對角線時，當(dāng)BD,是對角線時，當(dāng),DN是

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o

對角線時，三種情況討論，設(shè)M(a,0),N(〃,2),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得方程:即可得到結(jié)論.

n

【詳解】(1)

解：把代入y=；x-3,得1=：相一3,

解得：m=8,

,點(diǎn)C在雙曲線>=8上，

X

「"=1x8=8,

Q

???反比例函數(shù)的解析式為y=2；

X

(2)

解：由，=?-3可知B的坐標(biāo)為(0,-3),

當(dāng)y=0時，0=匕-3,

2

:.x=6,

「.A的坐標(biāo)為(6,0),

.〔04=6,03=3,

過。作軸于尸，￡>EJ_x軸于￡,

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???△ABD的面積為9,

—(m+6)F—x6x3—(3d——)-m=9,

2m22m

解得m=4(負(fù)值舍去)，

一?0(4,2)；

k

(3)解：■點(diǎn)M在1軸上，點(diǎn)N在反比例函數(shù)y=—的圖象上,

x

Q

.?.設(shè)MQO),N(n,—),

n

以點(diǎn)N,B,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

」?當(dāng)以BN,DM為平行四邊形的對角線時，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

n=4+。

解得：a=.

12

即點(diǎn)"(—不，。)；

當(dāng)BD,MN是對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:

4=a+n

<c。8，解得：a=12,

—3+2=一

、n

即點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(12,0),

當(dāng)ON是對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:

a=4+〃

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解得〃=?12，

.?.M(y,0),

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(音I?，。)或(12,0)或(1莖2，0).

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法、三角形的面積、平行四邊

形的性質(zhì)等知識，分類求解是本題解題的關(guān)鍵.

4.(2022?山東濟(jì)南.一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+方與反比例函數(shù)

y=1(.x>0)的圖象交于點(diǎn)A(3,，與y軸交于點(diǎn)3(0,-2)，點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y=f(尤>0)

的圖象上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線尸?！?gt;軸交直線y=x+6于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為r,且

0<Z<3,連接AP,BP.

⑴求左，6的值.

⑵當(dāng)修尸的面積為3時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(3)設(shè)尸。的中點(diǎn)為C,點(diǎn)。為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以3,C,D,E為頂

點(diǎn)的四邊形為正方形時，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴左=3;b=-2

⑵尸(6甸

⑶尸目或(1,3),(273-3,273+3)

【分析】(1)將點(diǎn)8代入y=尤+久求得匕,進(jìn)而求得，=》-2,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入求得比

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(2)表示出PQ的長，根據(jù);尸。?(%-4)=3求得力進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)分為BC是邊，點(diǎn)。在x軸正半軸上和在負(fù)半軸上，以及BC為對角線.當(dāng)8C為邊時,

點(diǎn)。在x軸正半軸上時，過點(diǎn)軸，^DGVCF,證明一BCF三CGD,進(jìn)而得

出B=N,從而求得r的值，另外兩種情況類似方法求得.

【詳解】(1).??直線》=尤+6過點(diǎn)2(。,一2),

：.0+b=-2,

b=—2,

?.?直線y=x—2過點(diǎn)A(3,〃),

n=3—2=1,

???A(3,l),

k

=￡過點(diǎn)A(3,D,

X

k=xy=3x1=3；

(2)??,點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為3

Q(r，/—2)

3

尸0=：-(，-2),

A(3,l),B(0,-2),

=X1

又SAPB§APQ+SBpQ=-PQ'(%A~B)

13

2[-(?2)乂3=3,

t=yfi9

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???尸（G,⑹;

（3）如圖1,

當(dāng)3C是邊，點(diǎn)。在x軸正半軸上，

作于/，作DG_LC/于G,

???/BFC=NG=90。，

：./FBC+NFCB=9U0,

*：ZBCD=90°,

???ZDCG+/FCB=90。,

：./FBC=NDCG,

BC=CD,

：.^BFC=^CGD（AAS）f

：.CF=DG,

OF=DG,

：.OF=CF,

第29頁共67頁

2

=1，弓=-3（舍去），

P（l,3）

如圖2,

當(dāng)點(diǎn)D在無軸的負(fù)半軸上時,

由上知：BG=DF=2,

.,?/=2,

當(dāng)3c是對角線時,

圖3

當(dāng)8C是對角線時，點(diǎn)。在x軸負(fù)半軸上時,

可得：CF=OD,DF=OB=2,

第30頁共67頁

.-+Z-2

?T--------=27'

2

?t=1f

：.P(l,3),

如圖4,

.-+t-2

。+2=^---------

2

=2A/3—3,t2=—2\fi—3(舍去)，

當(dāng)/=2舁3時，y=2，_3=2』+3,

/.P(2A/3-3,2A/3+3),

綜上所述：

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)系式，等腰三角形的性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形，找出列方程的等量關(guān)

系.

3k

5.（2。23?山東濟(jì)南?二模）如圖'在直角坐標(biāo)系中，直線尸一片與反比例函數(shù)y二的圖

像交于A（〃?,3）、B兩點(diǎn).

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⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

3

(2)將直線＞=-^彳向上平移后與＞軸交于點(diǎn)c,與雙曲線在第二象限內(nèi)的部分交于點(diǎn)。，如

果△鈿￡)的面積為16,求直線向上平移的距離；

(3)E是y軸正半軸上的一點(diǎn)，尸是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，使以點(diǎn)A,B,E,P為頂點(diǎn)的四邊形是

矩形，請求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】(l)y=-上12

X

(2)4

⑶耳(0,1；E2(O,5)

【分析】(1)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；

(2)連接AC、BC,設(shè)平移后直線8的解析式為y=-：x+b,得出點(diǎn)C(0,6),

根據(jù)直線8平行直線A3,得出%ABD=S-BC，根據(jù)點(diǎn)4、點(diǎn)2關(guān)于原點(diǎn)對稱，得出點(diǎn)

3(4,-3),根據(jù)S△板=%。。(乙一乙)=16,列出關(guān)于6的方程，解方程即可；

(3)設(shè)E(O,〃z),A(-4,3),3(4,-3),得出AB?=(4+4『+(3+3丫=100,