8.4 機械能守恒定律（解析版）-高一物理同步講義（人教版）

8.4機械能守恒定律【學習目標】1．正確理解機械能及機械能守恒定律的內容。2．能判斷物體的機械能是否守恒。3．掌握利用機械能守恒定律解題的基本方法?！緦W習重點】1．掌握機械能守恒定律的推導、建立過程、理解什么是機械能守恒定律。2．在具體的問題中判定機械能是否守恒，學會用數學表達式表示機械能守恒?！緦W習難點】1．從能量轉化和功能關系出發(fā)理解機械能守恒具體需要什么條件。2．正確判斷研究對象在物理過程中的機械能是否守恒，正確分析整個系統所具有的機械能知識點一、動能與勢能的相互轉化1．重力勢能與動能只有重力做功時，若重力對物體做正功，則物體的重力勢能減少，動能增加，重力勢能轉化成了動能能；若重力做負功，則動能轉化為重力勢能。2．彈性勢能與動能只有彈簧彈力做功時，若彈力做正功，則彈簧彈性勢能減少，物體的動能增加，彈性勢能能轉化為動能。3．機械能(1)定義：重力勢能、彈性勢能和動能的總稱，表達式為E＝Ek＋Ep。(2)動能與勢能的相互轉化：通過重力或彈力做功，機械能可以從一種形式轉化為另一種形式。知識點二、機械能守恒定律1.內容：在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能與勢能可以互相轉化，而總的機械能保持不變。2.守恒定律表達式(1)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。(2)E2＝E1。3.機械能守恒的條件只有重力或彈力做功，可以從以下四個方面進行理解：(1)物體只受重力或彈力作用。(2)存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或彈力做功。(3)其他力做功，但做功的代數和為零。(相互作用的物體組成的系統只有動能和勢能的相互轉化，無其他形式能量的轉化)1．判斷下列說法的正誤．(1)通過重力做功，動能和重力勢能可以相互轉化．(√)(2)機械能守恒時，物體一定只受重力和彈力作用．(×)(3)合力做功為零，物體的機械能一定保持不變．(×)(4)只有重力做功時，物體的機械能一定守恒．(√)2.如圖所示，桌面高為h，質量為m的小球從離桌面高為H處自由落下，不計空氣阻力，重力加速度為g，以桌面所在水平面為參考平面，則小球落到地面前瞬間的機械能為________．答案mgH知識點一、對機械能守恒定律的理解1．對機械能守恒條件的理解(1)只有重力做功，只發(fā)生動能和重力勢能的相互轉化．(2)只有彈力做功，只發(fā)生動能和彈性勢能的相互轉化．(3)只有重力和彈力做功，發(fā)生動能、彈性勢能、重力勢能的相互轉化．(4)除受重力或彈力外，其他力也做功，但其他力做功的代數和始終為零．2．判斷機械能是否守恒的方法(1)做功條件分析：只有重力和系統內彈力做功，其他力不做功或做功的代數和始終為零．(2)能量轉化分析：系統內只有動能、重力勢能及彈性勢能的相互轉化，即系統內只有物體間的機械能相互轉移，則機械能守恒．(3)定義判斷法：如物體沿豎直方向或沿斜面勻速運動時，動能不變，勢能變化，機械能不守恒．【經典例題1】如圖所示，下列關于機械能是否守恒的判斷正確的是()A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，A機械能守恒B．乙圖中，A置于光滑水平面，物體B沿光滑斜面下滑，物體B機械能守恒C．丙圖中，不計任何阻力時A加速下落、B加速上升過程中，A、B系統機械能守恒D．丁圖中，系在橡皮條一端的小球向下擺動時，小球的機械能守恒答案C解析若不計空氣阻力，題圖甲中重力和彈力做功，物體A和彈簧組成的系統機械能守恒，但物體A機械能不守恒，選項A錯誤；題圖乙中物體B除受重力外，還受彈力，彈力對B做負功，機械能不守恒，但A、B組成的系統機械能守恒，選項B錯誤；題圖丙中繩子張力對A做負功，對B做正功，代數和為零，A、B系統機械能守恒，選項C正確；題圖丁中小球的重力勢能轉化為小球的動能和橡皮條的彈性勢能，小球的機械能不守恒，選項D錯誤．【變式訓練1-1】在下列情況中，機械能守恒的是()A．飄落的樹葉B．沿著斜面勻速下滑的物體C．被起重機勻加速吊起的物體D．不計空氣阻力，推出的鉛球在空中運動的過程答案D解析樹葉在飄落過程中，空氣阻力做負功，機械能減少，故A錯誤；沿著斜面勻速下滑的物體，摩擦力做功，故機械能不守恒，故B錯誤；物體被起重機勻加速吊起時拉力對物體做功，故物體的機械能不守恒，故C錯誤；推出的鉛球在空中運動且不計空氣阻力，只有重力做功，機械能守恒，故D正確．【變式訓練1-2】(多選)如圖5，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上．其上方A位置有一小球，小球從靜止開始下落到B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D位置小球速度減小到零．不計空氣阻力，則小球()圖5A．下落至C處速度最大B．由A至D的過程中機械能守恒C．由B至D的過程中，動能先增大后減小D．由A運動到D時，重力勢能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量答案ACD解析小球從B至C過程，重力大于彈力，合力向下，小球做加速運動，小球從C至D過程，重力小于彈力，合力向上，小球做減速運動，所以動能先增大后減小，在C點動能最大，速度最大，故A、C正確；由A至B下落過程中小球只受重力，其機械能守恒，從B→D過程，小球和彈簧組成的系統機械能守恒，但小球的機械能不守恒，故B錯誤；在D位置小球速度減小到零，小球的動能為零，則從A運動到D時，小球重力勢能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量，故D正確．知識點二、機械能守恒定律的應用1．機械能守恒定律常用的三種表達式(1)從不同狀態(tài)看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2)此式表示系統兩個狀態(tài)的機械能總量相等．(2)從能的轉化角度看：ΔEk＝－ΔEp此式表示系統動能的增加(減少)量等于勢能的減少(增加)量．(3)從能的轉移角度看：ΔEA增＝ΔEB減此式表示系統A部分機械能的增加量等于系統剩余部分，即B部分機械能的減少量．2．應用機械能守恒定律解題的一般步驟(1)根據題意選取研究對象；(2)明確研究對象的運動過程，分析研究對象在此過程中的受力情況，弄清各力做功的情況，判斷機械能是否守恒．(3)恰當地選取參考平面，確定研究對象在此過程中的初態(tài)和末態(tài)的機械能．(4)根據機械能守恒定律的不同表達式列方程并求解．【經典例題1】一條長為0.80m的輕繩一端固定在O點，另一端連接一質量m＝0.10kg的小球，懸點O距離水平地面的高度H＝1.00m，開始時小球處于A點，此時輕繩拉直處于水平方向上，如圖6所示，讓小球從靜止釋放，當小球運動到B點時，輕繩碰到懸點O正下方一個固定的光滑小釘子P時立刻斷裂，不計輕繩斷裂的能量損失，取重力加速度g＝10m/s2，不計空氣阻力，求：(1)當小球運動到B點時的速度大?。?2)繩斷裂后球從B點拋出并落在水平地面的C點，求小球落到C點時的瞬時速度的大?。鸢?1)4.0m/s(2)2eq\r(5)m/s解析(1)設小球運動到B點時的速度大小為vB，由機械能守恒定律得：eq\f(1,2)mvB2＝mgl，解得小球運動到B點時的速度大小為：vB＝eq\r(2gl)＝4.0m/s.(2)小球從B點做平拋運動，小球只受重力，全過程機械能守恒，由機械能守恒定律得mgH＝eq\f(1,2)mv2，v＝eq\r(2gH)＝2eq\r(5)m/s.【變式訓練1】如圖所示，質量m＝50kg的跳水運動員從距水面高h＝10m的跳臺上以v0＝5m/s的速度斜向上起跳，最終落入水中，若忽略運動員的身高，取g＝10m/s2，不計空氣阻力．求：(1)運動員在跳臺上時具有的重力勢能(以水面為參考平面)；(2)運動員起跳時的動能；(3)運動員入水時的速度大??；入水時的速度大小與起跳時的方向有關嗎？答案(1)5000J(2)625J(3)15m/s無關解析(1)以水面為參考平面，則運動員在跳臺上時具有的重力勢能為Ep＝mgh＝5000J.(2)運動員起跳時的速度為v0＝5m/s，則運動員起跳時的動能為Ek＝eq\f(1,2)mv02＝625J.(3)運動員從起跳到入水過程中，只有重力做功，運動員的機械能守恒，則mgh＋eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝15m/s.此速度大小與起跳時的方向無關．一、單項選擇題1.下列實例中，不計空氣阻力，機械能守恒的有()A.行駛中汽車制動后滑行一段距離，最后停下B.流星在夜空中墜落并發(fā)出明亮的光焰C.降落傘在空中勻速下降D.物體從高處沿光滑固定的曲面下滑【答案】D【解析】【詳解】A．行駛中汽車制動后滑行一段距離，最后停下，則機械能減小，選項A不符合題意；B．流星在夜空中墜落并發(fā)出明亮的光焰，受阻力作用，且機械能轉化為內能，則機械能減小，選項B不符合題意；C．降落傘在空中勻速下降，則動能不變，勢能減小，機械能減小，選項C不符合題意；D．物體從高處沿光滑固定的曲面下滑，只有重力做功，則機械能守恒，選項D正確.2.如圖，一很長的、不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑定滑輪，繩兩端各系一小球a和b．a球質量為m，靜置于地面；b球質量為3m，用手托往，高度為h，此時輕繩剛好拉緊．從靜止開始釋放b后，a可能達到的最大高度為（）A.h B.2h C.1.5h D.2.5h【答案】C【解析】【詳解】設a球上升高度h時，兩球的速度大小為v，根據ab系統的機械能守恒得：3mgh=mgh+?（3m+m）v2，解得：，此后繩子恰好松弛，a球開始做初速為的豎直上拋運動，再對a球，根據機械能守恒：mgh+=mgH，解得a球能達到的最大高度：H=1.5h，故C正確，ABD錯誤。3.下列所述的情景中，機械能守恒的是（）A.汽車在平直路面上加速行駛 B.木塊沿斜面勻速下滑C.降落傘在空中勻速下落 D.小球在空中做自由落體運動【答案】D【解析】【詳解】A．汽車在平直路面上加速行駛，動能增加，重力勢能不變，所以汽車的機械能不守恒，故A錯誤。B．木塊沿斜面勻速下滑，說明此時的木塊要受到沿斜面的摩擦力的作用，且對木塊做了負功，所以其機械能不守恒。故B錯誤。C．降落傘在空中勻速下落，說明重力和空氣的阻力大小相等，阻力做了負功，所以機械能不守恒，故C錯誤。D．做自由落體運動的物體只受重力的作用，所以小球的機械能守恒，故D正確。故選D。4.質量為m的物體，在距地面h高處以的加速度由靜止豎直下落到地面。下列說法中正確的是（）A.物體的重力勢能減少mgh B.物體的動能增加mghC.物體的機械能減少mgh D.重力做功mgh【答案】B【解析】【詳解】AD．物體在下落過程中，重力做正功為mgh，則重力勢能減小也為mgh。故AD錯誤；B．物體的合力為則合力做功為，所以物體的動能增加為mgh，故B正確；C．物體除重力做功，阻力做負功，導致機械能減少。根據牛頓第二定律得：得所以阻力做功為所以機械能減少為，故C錯誤；故選B。5.如圖所示為某探究活動小組設計的節(jié)能運輸系統。斜面軌道傾角為30°，質量為M的木箱與軌道間的動摩擦因數為。木箱在軌道頂端時，自動裝貨裝置將質量為m的貨物裝入木箱，然后木箱載著貨物沿軌道無初速度滑下（貨物與木箱之間無相對滑動），當輕彈簧被壓縮至最短時，自動卸貨裝置立刻將貨物卸下，然后木箱恰好被彈回到軌道頂端，再重復上述過程。下列說法正確的是（）A.木箱與貨物的質量之比為1∶3B.木箱與彈簧沒有接觸時，下滑的加速度與上滑的加速度之比為3∶1C.在木箱與貨物從頂端滑到最低點的過程中，減少的重力勢能大于彈簧增加的彈性勢能D.在木箱與貨物從頂端滑到最低點的過程中，木箱、貨物和彈簧組成的系統機械能守恒【答案】C【解析】【詳解】A．設下滑距離為l，根據功能關系有得m=2M故A錯誤；B．對木箱受力分析，根據牛頓第二定律得：下滑時加速度為上滑時加速度為則下滑的加速度與上滑的加速度之比為1∶3，故B錯誤；C．根據能量守恒得：在木箱與貨物從頂端滑到最低點的過程中，減少的重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能和內能，可知減少的重力勢能大于彈簧的彈性勢能，故C正確；D．在木箱與貨物從頂端滑到最低點的過程中，由于有摩擦力做功，則木箱、貨物和彈簧組成的系統機械能不守恒，選項D錯誤。故選C。6.下列說法正確的是（）A.力對物體做功越多，力的功率一定越大B.物體速度發(fā)生變化，合外力做功一定不為零C.物體所受合外力為零，物體的機械能不一定守恒D.做勻速圓周運動的物體，動量不變【答案】C【解析】【詳解】A．根據知，力做功越多，功率不一定大，故A錯誤；B．物體的速度發(fā)生變化，合外力對物體做功可以為零，如勻速圓周運動，故B錯誤；C．物體所受合外力零，其機械能不一定守恒，如物體勻速上升時，機械能不守恒，故C正確；D．做勻速圓周運動的物體，速度方向時刻改變，故動量時刻改變，故D錯誤。故選C。7.如圖所示，桌面高度為h，質量為m的小球，從離桌面高H處自由下落，設地面處的重力勢能為零，則小球落到地面前瞬間的機械能為A.mgH B.mghC.mg（H＋h） D.mg（H－h(huán)）【答案】C【解析】【詳解】以地面為參考平面，小球在最高點時機械能E=mg（H＋h）；小球下落過程中機械能守恒，則小球落到地面前瞬間的機械能為mg（H＋h）．A.mgH，與結論不相符，選項A錯誤；B.mgh，與結論不相符，選項B錯誤；C.mg（H＋h），與結論相符，選項C正確；D.mg（H－h(huán)），與結論不相符，選項D錯誤．8.豎直平面內有兩個半徑不同的半圓形光滑軌道，如圖所示，A、M、B三點位于同一水平面上，C、D分別為兩軌道的最低點，將兩個相同的小球分別從A、B處靜止釋放，當它們各自通過C、D時，則A.兩球的線速度大小相等B.兩球的角速度大小相等C.兩球對軌道的壓力相等D.兩球的重力勢能相等【答案】C【解析】【詳解】A．小球在光滑軌道上運動只有重力做功，故機械能守恒，即有mgR＝mv2，所以，線速度v＝；兩軌道半徑不同，故兩球的線速度大小不等，故A錯誤；B．角速度兩軌道半徑不同，故兩球的角速度大小不等，故B錯誤；C．由牛頓第二定律可得：小球對軌道壓力FN＝mg+＝3mg故兩球對軌道的壓力相等，故C正確；D．兩球開始的高度相同，機械能相同，因機械能守恒，則在最低點時的機械能相同，但動能不同，則重力勢能不同，故D錯誤；故選C．二、多項選擇題9.如圖所示為某探究活動小組設計的節(jié)能運動系統。斜面軌道傾角為，木箱質量為M，貨物質量m=2M，木箱與軌道的動摩擦因數為。木箱在軌道頂端時，自動裝貨裝置將貨物裝入木箱，然后木箱載著貨物沿軌道無初速滑下，當輕彈簧被壓縮至最短時，自動卸貨裝置立刻將貨物卸下后返回。下列選項正確的是（）A.卸下貨物后木箱恰好被彈回到軌道頂端B.木箱不與彈簧接觸時，上滑的加速度大于下滑的加速度C.在木箱與貨物從頂端滑到最低點的過程中，木箱和貨物的減少的重力勢能全部轉化為彈簧的彈性勢能D.木箱上升的過程中，彈簧減少的彈性勢能全部轉化為木箱的機械能和系統的內能【答案】ABD【解析】【詳解】A．設彈簧壓縮最大時的彈性勢能為，由能量守恒得，下滑過程上滑過程，到達最高點速度為v，上滑過程由能量守恒得解得即木箱恰好被彈回到軌道頂端，故A正確；B．對木箱受力分析，根據牛頓第二定律得，下滑時加速度為上滑時加速度為故B正確；CD．由能量守恒有，在木箱與貨物從頂端滑到最低點的過程中，木箱和貨物的減少的重力勢能全部轉化為彈簧的彈性勢能和系統的內能，上滑過程，彈簧減少的彈性勢能全部轉化為木箱機械能和系統的內能，故C錯誤，D正確。故選ABD。10.如圖，傾角為θ，高為h的斜面體，底面光滑、斜面粗糙。把它置于光滑的水平面上，再將一質量為m的物體（可視為質點）放在斜面體上，讓它自頂端沿由靜止開始下滑到底端，則重物m（）A.下滑時，只有重力和摩擦力做功B.到達底端時，動能Ek＜mghC.下滑時，重力對物體做功，物體克服斜面的摩擦力和彈力做功D.到達底端時，機械能的減少等于克服摩擦力所做的功【答案】BC【解析】【詳解】AC．由于斜面體與地面接觸光滑，可知當物體下滑時，斜面體向右運動，則對物體除有重力和摩擦力做功之外，斜面的支持力也對物體做功，選項A錯誤，C正確；B．由能量關系可知，物體到達底端時，物體的重力勢能轉化為物體和斜面體的動能以及摩擦生熱，則物體滑到底端時的動能Ek＜mgh，選項B正確；D．到達底端時，物體機械能的減少等于克服摩擦力和彈力做的功的和，選項D錯誤。故選BC。11.如圖所示，質量m=2kg的物體（可看質點）靜置在傾角為37°粗糙斜面上的A點，現利用固定在B點的電動機通過跨過斜面頂端光滑小定滑輪的輕繩將該物體從A點拉升到斜面頂端O點，輕繩均與所在的斜面和平面平行。物體與斜面間的動摩擦因數μ=0.25，輕繩可承受最大的力F=20N，電動機的額定功率P=320W，AO的距離s=175m。若要用最短的時間將物體拉到斜面頂端O點，且物體到達O點前已經達到最大速度。則（已知sin37°=0.6，重力加速度取g=10m/s2）（）A.物體運動過程中的最大速度v=16m/sB.物體上升過程中最大的加速度am=2m/s2C.在將物體從A拉到O點的過程中，電動機共做功3200JD.物體從A運動到O共用時14s【答案】BCD【解析】【詳解】A．對物體受力分析，當拉力最小，速度最大，根據代入數據解得，故A錯誤；B．根據物體向上加速，拉力F越來越小，故當F=20N時，加速度最大，根據牛頓第二定律有代入數據解得，故B正確；D．若要用最短的時間將物體拉到斜面頂端O點，則物體必須先以最大加速度做勻加速運動，再做變加速運動，最后做勻速運動；設經過s，物體做勻加速運動的速度達到最大，此時功率也剛好達到額定功率，根據解得勻加速的最大速度為則勻加速運動的時間為則勻加速運動的位移為設再經過s達到O點，此過程功率保持不變，為額定功率，根據動能定理有解得故物體從A運動到O的總時間為故D正確；C．根據功能關系，可知在將物體從A拉到O點的過程中，電動機共做功為故C正確。故選BCD。12.如圖所示，一端固定在地面上的豎直輕彈簧，在彈簧的正上方高為H處有一個小球自由落下，將彈簧壓縮至最短。設小球落到彈簧上將彈簧壓縮的過程中獲得最大動能是EK，在具有最大動能時刻的重力勢能是EP，彈簧最大的彈性勢能為Ep彈。忽略空氣阻力，小球從下落到彈簧壓縮至最短的過程中有（）A.小球從下落到彈簧壓縮至最短的過程中，小球機械能守恒B.彈簧壓縮至最短時，彈簧的彈性勢能最大C.若增大H，Ep彈不變D.若增大H，EP不變【答案】BD【解析】【詳解】AB．小球壓縮彈簧的過程中，小球和彈簧組成的系統機械能守恒，彈簧壓縮至最短時，彈簧形變量最大，所以彈簧的彈性勢能最大，故A錯誤，B正確；C．在最低點，動能為零，重力勢能全部轉化為彈性勢能，從越高的地方釋放，減小的重力勢能越大，而增加的彈性勢能越大，增大，則C錯誤。D．彈簧壓縮至最短時，速度為0，但有豎直向上的加速度。在平衡位置，加速度為0，速度最大，動能最大，根據平衡條件，有解得即壓縮量恒定，即動能最大時是固定的位置，則不變，故D正確；故選BD。三、計算題13.如圖所示，固定的光滑豎直桿上套著一個質量為m1=2m的滑塊（可看成質點），輕繩的一端系著滑塊繞過光滑的輕小定滑輪，另一端吊一個質量為m2=3m的物塊，小滑輪到豎直桿的距離為3d，d=0.2m。開始時用T形卡使滑塊停在與定滑輪等高的位置上，現去掉T形卡，求：當滑塊m1下落到繩子與豎直方向的夾角為時，物塊m2的速度大小。（g=10m/s2）。【答案】1.14m