高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：全稱量詞與存在量詞 講義（必修第一冊(cè)）

1.5全稱量詞與存在量詞(精講)

思維導(dǎo)圖

全稱量詞…短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫作全稱量詞

全稱量全稱命題°含有全稱量詞的命題

詞與全

形如“對(duì)M中的任意一個(gè)X,有p(x)成立”的命題，

稱命題

符號(hào)表示入用符號(hào)簡(jiǎn)記為Vx￡M,p(x)

------------------------------------:--------------------------

存在量詞°短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫作存在量詞

特稱命題八含有存在量詞的命題.

存在量-------------<9"

詞與特形如“存在M中的元素xo,使p(x0)成立”的命題，

稱命題

符號(hào)表示入用符號(hào)簡(jiǎn)記為mxoGM,p(xo).

-------------

全

全

稱

稱

命

量全稱命題PVxGMp(x)

t題

詞

的

否

與

全稱量詞變對(duì)結(jié)論進(jìn)定

是

存為存在量詞行否定

特

在

稱

G命

量它的否定r3?oMrp(4o)

題

詞

特

稱

命

特稱命題P

3x0^Mtp(x0)題

的

>否

對(duì)結(jié)論進(jìn)

存在量詞變定

為全稱量詞行否定是

全

稱

命

全稱它的否定"V4￡Mt->p(x)

題

與特

稱命

題的

2不等式

否定ax+bx+c

a=0=>代入計(jì)算

[V(恒成立)：開口、A

|3(存在)：分離參數(shù)與無(wú)參函數(shù)的最值

/參數(shù)與無(wú)參函數(shù)的最值問題

xgR:分離參數(shù)法V;大于最大，小于最小

3：大于最小，小于最大

常見考法

全

稱考點(diǎn)一判斷全稱、特稱量詞命題的真假

量

詞

與

存

在

量

詞

考點(diǎn)一判斷全稱、特稱量詞命題的真假

【例1-1](2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))判斷下列全稱量詞命題的真假：

(1)每一個(gè)末位是0的整數(shù)都是5的倍數(shù)；

(2)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

(3)對(duì)任意負(fù)數(shù)x,X2的平方是正數(shù)；

⑷梯形的對(duì)角線相等

【例1-2](2021?江蘇無(wú)錫市?)有下列四個(gè)命題：

①PXGR,1+1〉0；

②V九wN,/〉o；

③*eN,x2<x；

@BxeQ,x2=2.其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【一隅三反】

1.（2021?山東濰坊市）（多選）下列命題中是假命題的是（）.

33

A.Vxe,x>0B.Hx0eR,x0=3

33

C.VxeQ,X>1D.Bx0&N,x0=3

2.（2021?淮安市）（多選）下列命題是真命題的有（）

A.3%G7?,x2>xB.R,x2>x

C.3%<0,x2-3x+2<0D.Vxe7?,x2+x+2>0

3.（2021?云南省云天化中學(xué)高一開學(xué)考試）（多選）下列命題正確的有（）

A.玉<0,X2-2X-1=0

B.m=0是函數(shù)=+〃歡+1為偶函數(shù)的充要條件

c.VxeH,E=X

D.x>l是（x—l）（x+2）>0的必要條件

4.（2021?浙江高一期末）（多選）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.BxeZ,l<4x<3B.3xeZ,2x2-3x+l=O

C.VxeR,x2-1=0D.VxeR,x2+2x+2>0

考點(diǎn)二命題的否定

【例2-1]（2021?云南麗江市?高一期末）命題116尺/+1<0的否定是（）

A.\/XER,x2+1>0B.Bx&R,x2+l>0

C.VXG/?,X2+1>0D.3X&R,X2+1>0

【例2-2]（2021?全國(guó)高一單元測(cè)試）寫出下列命題的否定：

(1)2x+lN0；

(2)p：所有自然數(shù)的平方都是正數(shù)；

(3)"任何實(shí)數(shù)X都是方程5x—12=0的根;

(4),：有些分?jǐn)?shù)不是有理數(shù).

【一隅三反】

1.（2021?全國(guó)高三其他模擬）命題“V%>2,爐+2>6”的否定（）

A.3X>2,X2+2>6B.3x<2,x2+2<6

C.3X<2,X2+2>6D.3X>2,X2+2<6

2.（2021?四川遂寧市）設(shè)命題￡氏君一3%+1<0,則一^為（）

A.Vxe??,x2-3%+1>0

B.3x0G7?,XQ-3x0+l>0.

C.Vxe7?,x2-3x+l<0

D.3x0e7?,-3%o+1<0.

3.（2021?黑龍江大慶市）命題“VXEA,V—l+2021>0”的否定是（）

A.3XQ￡R,XQ2—XQ+2021<0B.3XQWR,—%。+2021<0

C.VxeT?,X2-^+2021<0D.Vxe/?,x2-x+2021<0

4.（2021?浙江高一期末）命題“Vxv0,x2+ax—i之o”的否定是（）

A.Bx>0,x2+tzx—1<0B.3x>0,x2+ax—1>0

C.3x<0,x2+ax—1<0D.3x<0,x2+ax—1>0

考點(diǎn)三求含有量詞的參數(shù)

【例4】（1）（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若“IveR,有kW-下+1成立”是真命題，則實(shí)數(shù)人的取值范圍

是____________

⑵（2021?黑龍江哈爾濱市）已知命題0:使得2x-IN-'是真命題，則實(shí)數(shù)加的最大值是____.

【一隅三反】

1.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)（文））若對(duì)也e[1,2],都有依2—%<0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

2.（2021?安徽蕪湖市?高一期末）已知命題。：“VxeR,26？+丘-§<0恒成立”是真命題，則實(shí)數(shù)左

的取值范圍是.

3.（2021?江西）已知命題“存在xeR,使依？-x+2W0”是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

4.（2021?福建高一期末）若命題“VxeR,x2+2na+m+2?0”為真命題，則加的取值范圍是

5.（2021?河北）己知4=卜|/一8X-2OW。｝,5=1x||x-m|<21

⑴若“Me/,使得為真命題，求力的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)出使是“底8”必要不充分條件，若存在，求出〃的取值范圍；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

答案與解析

考點(diǎn)一判斷全稱、特稱量詞命題的真假

【例1-1](2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))判斷下列全稱量詞命題的真假：

(1)每一個(gè)末位是0的整數(shù)都是5的倍數(shù)；

(2)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

(3)對(duì)任意負(fù)數(shù)x,X2的平方是正數(shù)；

⑷梯形的對(duì)角線相等

【答案】(1)真命題;(2)真命題；(3)真命題;(4)假命題.

【解析】(1)根據(jù)整數(shù)的性質(zhì),末位是0的整數(shù)都是5的倍數(shù)成立.故為真命題.

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.故為真命題.

(3)對(duì)任意負(fù)數(shù)％<0,不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)％有爐>o.故為真命題

(4)舉反例如直角梯形對(duì)角線顯然不相等.故為假命題.

【例1-2】(2021?江蘇無(wú)錫市?)有下列四個(gè)命題：

①WXGR,7?+1>0!

②VxeN,x2>0；

③HreN,x2<x；

④=2.其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】對(duì)于①，X/x&R,+1>1>0故命題成立；

對(duì)于②，顯然當(dāng)X=O時(shí)滿足xeN,但f=0,故命題為假；

對(duì)于③，顯然X=O時(shí)滿足xeN,02Vo成立，故命題為真；

對(duì)于④，f=2的實(shí)數(shù)根為工=土0，是無(wú)理數(shù)，故命題為假.

綜上，真命題的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

【一隅三反】

1.（2021?山東濰坊市）（多選）下列命題中是假命題的是（）.

33

A.\/x&R,x>0B.3x0eR,x0=3

3

C.VxeQ,X>1D.Bx0&N,xj=3

【答案】ACD

【解析】取尤=-—，x3=—<0,所以選項(xiàng)A,C不正確；

28

由/3=3得/=再是無(wú)理數(shù)，所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D不正確，

故選：ACD

2.（2021?淮安市）（多選）下列命題是真命題的有（）

A.3%e7?,x2>xB.Vxe7?,%2>x

C.3%<0,x2-3x+2<0D.Vxe7?,x2+x+2>0

【答案】AD

【解析】對(duì)選項(xiàng)A,當(dāng)x=2時(shí)，滿足*eR,x2>x,故A為真命題；

對(duì)選項(xiàng)B,當(dāng)x=g時(shí)，不滿足VxeR,x?〉x,故B為假命題；

對(duì)選項(xiàng)C,X2-3X+2<0.解得1<%<2,

所以不滿足mxvO,——3x+2<0,故C為假命題.

對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)閄2+X+2=[X+_L]+1>0恒成立，

I2J4

所以滿足Vxe尺,犬+工+2>0,故D為真命題.

故選：AD

3.（2021?云南省云天化中學(xué)高一開學(xué)考試）（多選）下列命題正確的有（）

A.玉<0,X2-2X-1=0

B.m=0是函數(shù)/（%）=必+〃歡+1為偶函數(shù)的充要條件

C.X/xGR,=x

D.x>l是（x—l）（x+2）>0的必要條件

【答案】AB

【解析】對(duì)于A,工2—2x—1=0,解得％=生垂=1土虛，所以土<0,X2-2X-1=0.所以A正確；

2

對(duì)于B,“加=0”時(shí)，函數(shù)〃力=/+1是偶函數(shù)，“函數(shù)〃力=/+叩+1是偶函數(shù)時(shí)，由/（—力=/（“

得到m=0,故B正確.

對(duì)于C,4r=國(guó)，所以VxeR,4r=工不正確，所以C不正確.

對(duì)于D,x>l可得（X—1乂l+2）>0,反之不成立，所以D不正確.

故選：AB.

4.（2021?浙江高一期末）（多選）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.3xeZ,l<4x<3B.3xeZ,2x2-3x+l=0

22

C.VxeR,x-1=0D.VXGR,x+2x+2>0

【答案】AC

13

【解析】A.由I<4xv3,得一<xv—,故錯(cuò)誤；

44

B.由2f—3%+1=0得：x=,或尤=1,故正確；

2

C.由％2一1=。得：X=±lf故錯(cuò)誤；

D.由丁+2尤+2=（工+1）2+1>0,故正確；

故選：AC

考點(diǎn)二命題的否定

【例2-1］（2021?云南麗江市?高一期末）命題引6尺/+1<0的否定是（）

A.VxeT?,x2+1>0B.x2+l>0

C.VxeT?,x2+l>0D.3xe/?,x2+l>0

【答案】A

2

【解析】特稱命題的否定是全稱命題，即命題U3XG/?,X2+1<0"的否定是"VxeR,x+l>0

故選：A

【例2-2】（2021?全國(guó)高一單元測(cè)試）寫出下列命題的否定：

⑴pHxeR,2%+1>0:

⑵P：所有自然數(shù)的平方都是正數(shù)；

⑶口任何實(shí)數(shù)X都是方程5x—12=0的根；

（4）/2：有些分?jǐn)?shù)不是有理數(shù).

【答案】（l）［p：VxeR,2%+1<0；（2）可：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)；（3）可：存在實(shí)數(shù)x不是方

程5x-12=0的根；（4）一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù).

【解析】（l）［p：VxeR,2x+l<0；

（2）可：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)；

⑶「P:存在實(shí)數(shù)x不是方程5%—12=0的根；

（4）可：一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù).

【一隅三反】

1.（2021?全國(guó)高三其他模擬）命題“Vx>2,f+2>6”的否定（）

A.BX>2,X2+2>6B.3x<2,x2+2<6

C.3X<2,X2+2>6D.3X>2,X2+2<6

【答案】D

【解析】因?yàn)樵}“也>2,必+2〉6"，所以其否定為“王〉2,f+246”，

故選：D.

2.（2021?四川遂寧市）設(shè)命題夕與不€氏只一34+1<0,則-］?為（）

A.VxeJ?,x2-3x+1>0

B.3x0&R,XQ-3xa+1>0.

C.Vxe7?,x2-3x+1<0

D.3x0e7?,XQ-3x0+1<0.

【答案】A

【解析】命題。：三/eR,^-3x0+l<0,

由含有一個(gè)量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論,

則一P為：\/XER,x2-3x+l..O.故選：A.

3.（2021?黑龍江大慶市）命題“VxeH,V—%+2021>0”的否定是（）

—2

A.3XQeR,XQ~XQ+2021<0B.3XQeR,x0—+202IWO

C.VxeH,X2-X+2021<0D.\/XER,X2-X+2Q21<Q

【答案】B

【解析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，

22

可得命題7XGR,X-X+2Q21>0”的否定是“3x0e7?,x0-x0+2021<0

故選:B.

4.（2021?浙江高一期末）命題“VxvO,/+0—120”的否定是（）

A.3x>0,x2+ax—1<0B.Bx>0,x2+ax—1>0

C.3x<0,x2+ax—1<0D.<0,x2+ax—1>0

【答案】C

【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以“Vxv0,x2+5-120”的否定是

"3x<0,x2+—1<0.

故選:C

考點(diǎn)三求含有量詞的參數(shù)

【例4】⑴（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若“Ite氏有左W-x'+l成立”是真命題，則實(shí)數(shù)%的取值范圍

是____________

⑵（2021?黑龍江哈爾濱市）已知命題?：”也之3,使得2x-l*7”是真命題，則實(shí)數(shù)加的最大值是—.

【答案】⑴左W1（2）5

【解析】（1）由題意可得左4（-尤2+1）而，函數(shù)y=—V+1的最大值為1,.?.左《I.故答案為：k<l.

（2）當(dāng)時(shí)，2xN6=2x—125,

因?yàn)椤笆沟?x-1上機(jī)”是真命題，所以加45.故答案為：5

【一隅三反】

1.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)（文））若對(duì)Vxe[1,2],都有依2—x〈o,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

…冬J1]

【答案】I

【解析】因?yàn)閂xe[l,2],都有加7<0,所以\/尤?1,2],都有avL令g（x）=L%e[l,2],因?yàn)?/p>

X兀

g（x）=L在XG[1,2]上單調(diào)遞減，所以且⑺而小且⑵二卜所以

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是;

故答案為：1一°°，5

3

2.（2021?安徽蕪湖市?高一期末）已知命題P：“VxeR,269？+丘-§<0恒成立”是真命題，則實(shí)數(shù)左

的取值范圍是

【答案】（—3,0]

,3一

【解析】已知命題。："VxeR,2kx"+kx<0恒成立"是真命題.

8

3

當(dāng)左=0時(shí)，則有——<0恒成立，合乎題意;