2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何面積問題與面積法典例精析

幾何面積問題與面積法典例精析

知識(shí)梳理

幾何起源于對(duì)圖形的面積的測(cè)量，面積是平面幾何中一個(gè)重要的概念，求圖形的面積是平面幾何中常見的基本問題之一.

平面幾何圖形形狀不同，繁簡(jiǎn)不一，計(jì)算圖形的面積常用以下幾種方法:

1.和差法：把圖形面積用常見圖形面積的和差表示，通過常規(guī)圖形面積公式計(jì)算.

2.運(yùn)動(dòng)法：有時(shí)直接求圖形面積有困難，可通過平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等方式，將圖形中的部分圖形運(yùn)動(dòng)起來，把圖形轉(zhuǎn)化為容易觀

察或解決的形狀，就可在運(yùn)動(dòng)中求解.

3.等積變形法：即找出與所求圖形面積相等或有關(guān)聯(lián)的特殊圖形，通過代換轉(zhuǎn)化求圖形的面積.

例題精析

例1如圖,△4BC的面積為lcm2,AP垂直/ABC的平分線BP于點(diǎn)P,則與△P8C的面積相等的長(zhǎng)方形是（今

0.5cm0.5cm0.5cm0.5cm

0.9cm1.0cm1.1cm1.2cm

A.B.c.D.

思路點(diǎn)撥延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)E,根據(jù)AP垂直.N4BC的平分線BP于點(diǎn)P,即可證得點(diǎn)P為AE中點(diǎn)，又知△APC和^CPE等底同

高,可以證明兩三角形面積相等，即可求得^PBC的面積.

解題過程如圖，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)E.

VAP垂直NABC的平分線BP于點(diǎn)P,

根據(jù)等腰三角形的三線合一可知AP=PE.

112

SAPB=SPBE，SAPC=^PCE-SpBC=]SABC=2cm-

選項(xiàng)中只有B的長(zhǎng)方形面積為｝cm2,故選B.

方法歸納本題主要考查面積及等積變換的知識(shí)點(diǎn)，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)E是解答本題的關(guān)鍵，證明出△PBC的面積和原三角形的

面積之間的關(guān)系很重要.

易錯(cuò)誤區(qū)注意三角形的中線可以將三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，但要注意這兩個(gè)三角形不全等.

例2如圖，在正方形ABCD中，已知AB=3,點(diǎn)E,F分別在邊CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于點(diǎn)G.若圖中涂色部分的面積與正方形A

BCD的面積之比為2：3,則^BCG的周長(zhǎng)為.

思路點(diǎn)撥根據(jù)涂色部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2:3得出涂色部分的面積為6,空白部分的面積為3,進(jìn)而依據(jù)^B

CG的面積以及勾股定理得出BG+CG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出八BCG的周長(zhǎng).

解題過程正方形ABCD的面積為3x3=9.

???涂色部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3,

涂色部分的面積為|X9=6.?？瞻撞糠值拿娣e為9-6=3.

---四邊形ABCD是正方形,.,.BC=CD,NBCE=NCDF=90。，

又CE=DF,ABCE^ACDF./.ABCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為|x3=^,ACBE=乙DCF.

'：ZDCF+ZBCG=90°,.\ZCBE+ZBCG=90°./.ZBGC=90°.

設(shè)BG=a,CG=b，貝%ab=|.

又：a?+b?=32,a2+lab+b2=9+6=15,HP(a+b)2=15.

：.a+b=V15,BPBG+CG=V15.

...ABCG的周長(zhǎng)為V15+3..故答案為：餐+3.

方法歸納本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形面積問題.解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

易錯(cuò)誤區(qū)將涂色部分的面積轉(zhuǎn)化為△BCG的面積是解題的關(guān)鍵，解決面積問題最重要的方法就是將不規(guī)則的圖形通過割補(bǔ)或

等積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，面積之間的等量關(guān)系一定要分析清楚，不能搞錯(cuò).

例3在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們常常會(huì)有“似曾相識(shí)”的感覺，如果我們把這些類似進(jìn)行比較、加以聯(lián)想的話，可能出現(xiàn)許多意想不

到的結(jié)果和方法，這種把類似進(jìn)行比較、聯(lián)想，從而解決問題的方法就是類比法.類比法是一種尋求解題思路、猜測(cè)問題答案或結(jié)論

的發(fā)現(xiàn)方法.

如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線.

【嘗試探索】

①經(jīng)過三角形頂點(diǎn)的面積等分線有一條.

②平行四邊形有一條面積等分線.

【類比探究】如圖1是在矩形中剪去一個(gè)小正方形，請(qǐng)畫出這個(gè)圖形的一條面積等分線.

【類比拓展】如圖2,在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB*CD,且SABC<S4m過點(diǎn)A畫出四邊形ABCD的面積等分

線，并描述方法.

【靈活運(yùn)用】請(qǐng)您嘗試畫出一種圖形，并畫出它的一條面積等分線.

C

圖1

思路點(diǎn)撥嘗試探索：①根據(jù)三角形的三條中線是面積等分線解答.②根據(jù)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形解答即可.類比探究：找出兩

個(gè)矩形的對(duì)稱中心即可.類比拓展：根據(jù)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等作圖.靈活運(yùn)用：根據(jù)經(jīng)過圓心的直線把圓分成面積相等的兩

部分解答.

解題過程【嘗試探索】①三角形的三條中線是面積等分線,

???經(jīng)過三角形頂點(diǎn)的面積等分線有3條.故答案為：3.

②?.?平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，.?.經(jīng)過對(duì)稱中心的直線都是它的面積等分線..?.平行四邊形有無數(shù)條面積等分線.故答案為：無

數(shù).

【類比探究】如圖3,經(jīng)過兩個(gè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)的直線是這個(gè)圖形的一條面積等分線.(答案不唯一)

【類比拓展】如圖4,過點(diǎn)B作BE〃AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE交BC于點(diǎn)H取ED的中點(diǎn)F,連接AF.VAABC和4A

EC的公共邊AC上的高也相等,二S=S.S=S.S皿皿…=S.AEID的中線AF是四邊形ABCD的面積等分線.

ABCAECABHHEC四也形AB3AED

【靈活運(yùn)用】如圖5,經(jīng)過兩圓圓心的直線0。是這個(gè)圖形的面積等分線.(答案不唯一)

方法歸納本題考查的是面積與等積變換，正確理解平面圖形的面積等分線的定義、中心對(duì)稱圖形的概念以及三角形面積的計(jì)算公

式是解題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)誤區(qū)類比拓展題是將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題再解決，要注意轉(zhuǎn)化過程要保持面積不變，這個(gè)過程是本題的難點(diǎn)

也是易錯(cuò)點(diǎn).

例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB與x軸重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4),直線1的解析式為.y=

kx+6(kW0).

(l)k取任意不為零的數(shù)時(shí)，直線1都經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)坐標(biāo)為____.

(2)當(dāng)直線1把矩形ABCD分成的兩部分面積相等時(shí)，求k的值

(3)當(dāng)直線1與矩形ABCD有交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍.

(4)當(dāng)直線1與線段BC相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為E,△CDE的面積為S,試求S與k的函數(shù)解析式及k的取值范圍.

思路點(diǎn)撥⑴在y=kx+6中，令x=0得y=6,即得答案為(0,6).⑵當(dāng)直線1經(jīng)過矩形ABCD的對(duì)稱中心F時(shí)，直線1把矩形ABCD分成

的兩部分面積相等，由點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為Q,4),得F@2)用待定系數(shù)法即得k=-*(3)當(dāng)直線1經(jīng)過A(2,0)時(shí),解

得k=-3.當(dāng)直線1經(jīng)過C(5,4)時(shí),解得k=-1,即得當(dāng)-3VkV-1時(shí)，直線1與矩形ABCD有交點(diǎn).(4)在y=kx+6中，令x=5得y=5k+6,即

E(5,5k+6).可得CE=BC-BE=-5k-2.因?yàn)镃D=3,所以△CDE的面積為S=^CD-CE=-^-k-3,當(dāng)直線1經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，解得k=-*當(dāng)直

線1經(jīng)過C(5,4)時(shí),解得k=-1,故-￡W上＜-1據(jù)此解答即可.

解題過程〉(1)在y=kx+6中，令x=0得y=6,

直線1始終經(jīng)過點(diǎn)(0,6).

故答案為：(0,6).

⑵當(dāng)直線1經(jīng)過矩形ABCD的對(duì)稱中心F時(shí)，直線1把矩形ABCD分成的兩部分面積相等，如圖1.

:點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為Q,4),二

將尸(('2)代入y=kx+6得2=+6,解得k=

(3)如圖2.

,?,四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4),

.,.A(2,0),C(5,4).

當(dāng)直線1經(jīng)過A(2,0)時(shí)，代入可得0=2k+6,解得k=-3.

當(dāng)直線1經(jīng)過C(5,4)時(shí)代入可得4=5k+6,解得fc=-|.

由圖可知：當(dāng)-3WkW-豹寸，直線1與矩形ABCD有交點(diǎn)

(4)如圖3.

??,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4),

；.CD=3,BC=4.

在y=kx+6中，令x=5得y=5k+6,即E(5,5k+6),

，BE=5k+6.CE=BC-BE=-5k-2.

ZXCDE的面積為S=|CD-CE=|X3X(-5fc-2)=-yfc-3.

當(dāng)直線1經(jīng)過B(5,0)時(shí)，代入可得0=5k+6,解得k=_*

由⑶知，當(dāng)直線1經(jīng)過C(5,4)時(shí),k=-|,

A當(dāng)直線1與線段BC相交時(shí)，-&＜上V一1?

圖1圖2圖3

方法歸納本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、矩形中心對(duì)稱性、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出直線1經(jīng)

過相關(guān)頂點(diǎn)時(shí)k的值，利用數(shù)形結(jié)合得到k的范圍.

易錯(cuò)誤區(qū)解答本題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合題意，分情況作出圖形，利用圖形列式求得k的值.

八專項(xiàng)訓(xùn)練

A組

1.在△ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD_LCE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面積等于().

A.12B.14C.16D.18

2.在下列圖形中，各有一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正方形與一個(gè)8cmx2cm的長(zhǎng)方形相重疊，則重疊部分的面積最大的是().

A.

(第3題)

4.如圖是山西省某古宅大院窗揭圖案，圖形構(gòu)成10x21的長(zhǎng)方形，空格與實(shí)木的寬度均為1,那么這種窗戶的透光率（即空格面積

與全部面積之比）是（）.

（第4題）（第5題）

5.如圖,在凸四邊形ABCD中,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),EG與FH相交于點(diǎn)O,設(shè)四邊形AEOH,BFOE,CGOF的面積分

別為3,4,5,則四邊形DHOG的面積為（）.

4苧C.4D.6

6.如圖，在△48c中,AB=10cm,AC=6所,,點(diǎn)D在BC邊上，作DE14B于點(diǎn)E,DF±4c于點(diǎn)F.若DE=2cm,△的面積為

49cm2,,則DF的長(zhǎng)為___.

2

工C

E

AB

（第6題）（第7題）

7.如圖，長(zhǎng)方形ABCD平移得到長(zhǎng)方形交BC于點(diǎn)E,4Di交CD于點(diǎn)F,若E為BC的中點(diǎn)，四邊形.4ECF為

正方形，AB=20cm,AD=10c科則涂色部分的面積為___（cm2.

8.如圖，已知矩形ABCD的面積是36c*在邊AB,AD上分別取點(diǎn)E,F,使得.ZE=3EB,DF=2AF,DE與CF的交點(diǎn)為點(diǎn)O,求△

A

（第8題）

9.規(guī)律：如圖1,直線7n||n,A,B為直線n上的點(diǎn),C,P為直線m上的點(diǎn).如果A,B,C為二個(gè)7E點(diǎn)，點(diǎn)P在m上移動(dòng),那么無論點(diǎn)P

移動(dòng)到何位置，△ABP與△4BC的面積總相等，其理由是.

（第9題）

應(yīng)用：

⑴如圖2,.△48c和△DCE都是等邊三角形，若A4BC的邊長(zhǎng)為1,則.△B4E的面積是

⑵如圖3,四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,求△4CF的面積.

B組

10.如圖,在△ABC中,/人08=125。,把4ABC剪成三部分，邊AB,BC,AC放在同一直線上，點(diǎn)O都落在直線MN上，且

SBCO-SCAO-SABO=BC:AC:4B,則NACB的度數(shù)為（）.

A.70°B.65°C.60°D.85°

（第10題）

1L如圖,已知點(diǎn)MG3,4）,點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿射線OM方向以1個(gè)單位/秒的速度進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的過程中以P為對(duì)稱中心，O

為一個(gè)頂點(diǎn)作正方形OABC,當(dāng)正方形面積為128時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）.

（第11題）

C.(2,2同)MM)

12.如圖，已知△48c的面積為S,D是邊BC的三等分點(diǎn)，E是邊AC的四等分點(diǎn)，F(xiàn),G皆是邊AB的五等分點(diǎn)，則四邊形DEFG

的面積是一

13.如圖，已知直線Zi,12,13.〃及mj,m2mx,m2,m3,如分別互相平行，且S四邊形ABCO=100,S=20,則

S四邊形PQRS=■

14.如圖,在四邊形ABCD中,DE=EF=FC,AG=GH=HB.試判斷四邊形EFHG的面積.S1與四邊形ABCD的面積.S?之間的關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

（第14題）

15.(1)如圖1在.ZMBC中."C8=90°,,AE平分ZC4B,4c=6,4B=10,,貝［J點(diǎn)E至！JAB的距離為_.

⑵如圖2,在.A4BC中，NC=90°,乙4=60°,BC=2,,D為斜邊AB上一點(diǎn),且乙EDF=90。,/EDF的兩邊分別交BC于點(diǎn)E,交

AC于點(diǎn)F,若DE=DF,求四邊形DECF的面積.

（3）為了美化城市，某公園準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一個(gè)三角形觀賞花園，如圖3,A48c為觀賞花園的大致輪廓，并將觀賞花園分成△BEDA

DFC和四邊形AEDF三部分，其中在四邊形AEDF區(qū)域內(nèi)種植（6475n的牡丹，在和△DFC兩區(qū)域內(nèi)種植薰衣草，設(shè)計(jì)要

求：LBAC=120。,,點(diǎn)D,E,F分別在邊BC,AB,AC上，且DE=DF/EDF=60。為了節(jié)約種植成本，三角形觀賞花園ABC的面積是否

存在最小值?若存在，請(qǐng)求出AABC面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2圖3

（第15題）

A組

1.C2.B3.B4.B5.C6.13cm7.1008.連接OBQA,設(shè)SSAFOD=X,SAOBE=y,.則SA0D=

DF=JABCDCOD=矩形人蛇口二-^-由AOBCOD矩形得

,S^AOE=3y,S^AOB=4y,S^C~^^^^^12-I,S4DAE=^+^=]SABCD'4y

2

+12-x=18①，由SA0E=SME-SyioD得孑一1％=3ycirc歷2,解由①②聯(lián)立的方程組得.%=4.-SF0D=4cm.

9.規(guī)律：同底等高的兩個(gè)三角形面積相等

應(yīng)用：⑴弓⑵連接BF.

四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，

.".ZBAC=ZEBF=45°..,.AC/7BF.

'''SACF=SABC=gS正方形ABCD=8.

B組

29

10.All.D1620.—S

13.60

【解析】口II12,mi||m3,

??.四邊形APFQ是平行四邊形.

:*SAPQ=SFQP.

同I理可得，SBRQ=SGQR，SCRS=SHSR，SDPS=SESP?

?*,SAPQ+^BRQ+^CRS+SDPS=^FQP+^GQR+^HSR+^ESP-

△人四邊形。一

?SPQ+S^BRQ+SACRS+S&DPS=SABC

S福力髀CR4QP+SGQR+SHSR+SESP=s四邊形PQRS-S]四邊形EFGH,

?**S四邊形ABC。-S四邊形PQRSS四邊形PQRS

S四邊形EFGH-

,/S四邊形ABCD=100,SP四邊形EFGH=20,

A100-S四邊形PQRs=S四邊形PQRs-20,

解得S四邊形PQRS=60.

14.如圖，連接EH,EA,CH,CA.

DE=EF=FC,AG=GH=HB,

ADE

S'=S四邊形EFHG=SEGH+SEHF—^EAH+^EHC—2^^=3^ADC$BCH=^SABC,■-SADE+SBCH=-(SADC+54BC)

?四邊形；，(S溝=紙.

S=3.STSLS“+BCH)]=j(s2-

15.(1)如圖1,作EH_LAB于點(diǎn)H.

在RtAACB中,：ZACB=90°,AC=6,AB=10,BC=yjAB2-AC2=V102-62=8.

VAE平分NCAB,:.ZCAE=ZEAH.

VZACE=ZAHE=90°,AE=AE,

JAAEC^AAEH(AAS).

:.AC=AH=6,EC=EH.Z.BH=4.

設(shè)EC=EH二x.在RtAEHB中，???EH2+BH2=BE2,:,%2+42=(8-%產(chǎn)解得x=3.AEH=3.

圖1圖2

(2)如圖2,作DM±BC于點(diǎn)M,DN±AC于點(diǎn)N,連接CD.

；ZDNC=ZDMC=ZMCN=90°,

，四邊形DNCM是矩形.I.ZNDM=90°.

???ZNDM=ZEDF.AZNDF=ZMDE.

■:NDNF=NDME=90°,DE=DF,

ADNF^ADME(AAS).

???DN=DM,S四邊形DECF=S四邊形DNCM-

在RtAACB中,,?,ZACB=90°,ZA=60°,BC=2,

；?易得4C=^,4B=竽.

,:SABC=SCDB+SACD>

1?2V31r，12V3

-x2x—=--2-DM+-----DN.

23223

DM=DN=V3-1.ASi四邊形DECF=S四邊形DNCM二(V3-1)X(V3-1)=4-2V3.

⑶存在.

如圖3,作DM±AB于點(diǎn)M,DN±AC于點(diǎn)N.

，ZMDN=ZEDF=60°.Z.ZEDM=ZFDN.

,/DE=DF,NDME=NDNF=90。,

???ADME^ADNF(AAS).