2024年高考數(shù)學(xué)易錯題：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（學(xué)生版新高考專用）

專題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

易錯點：忽略切點所在位置及

酗一：毀的慨蔽5M?-

\求導(dǎo)簡化形式

—題型二：利用■研究函數(shù)的…易錯點：轉(zhuǎn)化為恒成立后參變

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

單調(diào)性\分離變號的前提條件

題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

氣易錯點：誤判最值與極值所在位置

極值與最值

易錯點一：忽略切點所在位置及求導(dǎo)簡化形式（導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用）

一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1.概念函數(shù)“X）在X=x。處瞬時變化率是lim=lim；我們稱它為函數(shù)了=/⑴在

x=%處的導(dǎo)數(shù)，記作/''（x。）或.

詮釋：①增量AX可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0.Axf0的意義：Ax與0之間距離要

多近有多近，即|-01可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當Ax-0時，”在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與

包=〃x。+Ax）-/（x。）無限接近；

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是位移在這一時

刻的瞬間變化率，即/'（%）=lima=lim"紋.

——°AxAX

2.幾何意義函數(shù)y=在》=x0處的導(dǎo)數(shù)/'（%）的幾何意義即為函數(shù)y=/（x）在點尸（%，打）處的切

線的斜率.

3.物理意義函數(shù)s=s?）在點辦處的導(dǎo)數(shù)s'&）是物體在時刻的瞬時速度v,即」=5'6）；v=v（0

在點務(wù)的導(dǎo)數(shù)v'Co）是物體在L時刻的瞬時加速度a,即。=M&）.

二、導(dǎo)數(shù)的運算

1.求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=c(C為常數(shù))/'?=0

/"(X)=x"(aeQ)f\x)=axa~x

/(x)=ax(q>0,qw1)f\x)=axina

/(x)=log。x(q>0,aw1)仆)=;

xlna

/(X)=e*rn

/(x)=lnxf'M=-

X

/(x)=sinx/'(x)=cosx

/(x)=cosxf\x)=-sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

⑴函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(x)±g(x)]'=r(x)士g(x)；

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)]=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)；

⑶函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x-O,則[△2]=/'(x)g(x)-/(x)g'(x)

g(x)g(x)

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/3),w=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為匕=無"、.：

應(yīng)用1.在點的切線方程

切線方程y-f(x0)=/'(x0)(x-x0)的計算：函數(shù)y=/(x)在點A(x0,/(x0))處的切線方程為

y-/(^o)=/'(^o)(x-xo))抓住關(guān)鍵

I后=/(x0)

應(yīng)用2.過點的切線方程

設(shè)切點為尸(%,%),則斜率后=/'(%),過切點的切線方程為：y-y0=f'(x0Xx-x0),又因為切線方

程過點4加，〃)，所以〃-%=/'(%)(%-%)然后解出/的值.(%有幾個值，就有幾條切線)

注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外.

易錯提醒：1.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡解析式，再求導(dǎo).注意以下幾點：

連乘形式則先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，

再求導(dǎo)；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外

向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元

2.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點：

(1)函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點坐標可求切線斜率，已知斜率可求切點坐標.

(2)切點既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點.

(3)曲線了=/(”“在”點尸(七,外)處的切線與“過”點2(%,%)的切線的區(qū)別：曲線了=f(x)在點

P(x。,%)處的切線是指點P為切點，若切線斜率存在，切線斜率為左=/'(無。)，是唯一的一條切線；曲線

了=/(外過點尸(七,%)的切線，是指切線經(jīng)過點P,點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可

能有多條.

3.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，

進而求出參數(shù)的值或取值范圍.

4.求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時應(yīng)注意的兩點

(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；

(2)謹記切點既在切線上又在曲線上.

三9

例.已知函數(shù)/(x)="x2_exlnx.

⑴當Q=e時，求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

⑵若Vx>0,都有;■(x"lnx+；,求。的取值范圍.

變式1.已知函數(shù)/'(x)=e*-辦2+x-l.

⑴當。=1時，求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

⑵若/(月=0有兩個不等的實根，求實數(shù)。的取值范圍.

變式2.已知函數(shù)/(x)=lnx-ax-l(a>0).

⑴當"=0時，求過原點且與/(x)的圖象相切的直線方程；

(2)若g⑴=e"+#>0)有兩個不同的零點網(wǎng),Z(0<網(wǎng)<馬)，不等式網(wǎng)￡>《恒成立，求實數(shù)m的取

值范圍.

變式3..已知函數(shù)/(x)=-2x+lnx.

⑴求曲線y=/(x)在處的切線方程;

(2)若對Vxe(O,+s),恒成立.求實數(shù)。的取值范圍.

1.已知函數(shù)/(尤)=欣與g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，直線/與g(x),/z(x)=em-l的圖象均相切，貝J/

的傾斜角為()

c37r

ABD.——

-7-14

若曲線〃x)=F存在與直線了=丘垂直的切線，則A的取值范圍是()

2.

_j，°)U(0,+8)

A.(-a?,0)U(0,+oo)B.

3

c.^-7?,ojlJ(0,+oo)D.(-oo,0)U[2e,+ooj

過點(加,0)作曲線〃x)=xe'的切線有且只有兩條，切點分別為(再,〃再)),(X,/(X)),則，+，=()

3.22

X]x2

A.-1B.1C.~mD.m

4.曲線y=e*在點(x°,e'。)處的切線在y軸上的截距的取值范圍為()

A.(-1,1]B.(5]C.(-8,0]D.(0,1]

5.已知函數(shù)〃幻=竽，則()

A.函數(shù)〃x)在x=l處的切線方程為無-即-1=0B.函數(shù)〃x)有兩個零點

C.函數(shù)〃x)的極大值點在區(qū)間。,2)內(nèi)D.函數(shù)〃x)在[2,+⑹上單調(diào)遞減

6.已知直線/與曲線/(x)=lnx+Y相切，則下列直線中可能與/平行的是()

A.3x—y—1=0B.2x—y+1=0C.4x—y+l=0D.5x—y+3=0

7.已知函數(shù)〃X)=2尤3一3x,則()

A./(x)的圖象關(guān)于原點中心對稱

B./3在區(qū)間[-2』上的最小值為_&

C.過點(2,⑼有且僅有1條直線與曲線y=〃x)相切

D.若過點P。,/)存在3條直線與曲線y=/(x)相切，則實數(shù)1的取值范圍是

8.已知函數(shù)/(x)=e[x2-(2a+l)x+l]

⑴若求曲線y=/(x)在點(OJ(O))處的切線；

(2)討論〃x)的單調(diào)性;

⑶當。>0時，若對任意實數(shù)X,〃x)>(2-3a)e2"恒成立，求a的取值范圍.

9.已知函數(shù)/(x)=2a"-gbx"+2,a>0且awl,beR.

⑴當a=e時，求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)〃l)=2a,g(x)=/(x+l)-2,x>-l,討論函數(shù)g(x)的零點個數(shù).

10.已知函數(shù)/(%)=?4。-4aln(2x).

⑴當。=1時，求曲線/(X)在點七，嗎]處的切線方程；

⑵當。>0時，若關(guān)于x的不等式〃x”a+aln(2G恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

11.已知aeR,函數(shù)/(x)=e*-ax,g(x)=ar-lnx.

⑴當a=e時，若斜率為0的直線/是gj)的一條切線，求切點的坐標；

⑵若“X)與g(x)有相同的最小值，求實數(shù)a.

易錯點二：轉(zhuǎn)化為恒成立后參變分離變號的前提條件(利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性)

1.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

第一步：確定函數(shù)/(x)的定義域；

第二步：求/'(X),令/'(x)=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；

第三步：把函數(shù)/(x)的間斷點(即/(x)的無定義點)的橫坐標和/'(x)=0的各實根按由小到大的順

序排列起來，然后用這些點把函數(shù)/(%)的定義域分成若干個小區(qū)間;

第四步：確定/'(X)在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)/'(X)的符號判斷函數(shù)/(X)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增

減性.

注意①使/'(x)=0的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當/'(X)在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為零，在其余點

處均為正(或負)時，/(X)在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增(或遞減)的.例如，在(-叫+8)上，/(X)=X3,

當X=O時，/'(^)=0；當XNO時，/'(x)>0,而顯然/(x)=d在(_*+00)上是單調(diào)遞增函數(shù).

②若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(凡人)上單調(diào)遞增，則/'(x)NO(/'(x)不恒為0),反之不成立.因為

/'(x"0,即/'(x)>0或/'(x)=0,當_f(x)>0時,函數(shù)y=/(x)在區(qū)間Qb)上單調(diào)遞增.當f'(x)=0

時，/(X)在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間Qb)上單調(diào)遞減，則/'(x)wo(/'(x)

不恒為0),反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不

必要條件.于是有如下結(jié)論：

/'(%)>0n/(%)單調(diào)遞增；/(x)單調(diào)遞增=>/'(%)n0；

f\x)<0n/(x)單調(diào)遞減；/(%)單調(diào)遞減=>f\x)<0.

技巧：L利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧

利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式.

2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的解題思路

第一步：由函數(shù)在區(qū)間可上單調(diào)遞增(減)可知/'(x"0(/'(x)wO)在區(qū)間可上恒成立列出不等式;

第二步：利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題；

第三步：對等號單獨檢驗，檢驗參數(shù)的取值能否使r(x)在整個區(qū)間恒等于o,若/恒等于0,則參

數(shù)的這個值應(yīng)舍去；若只有在個別點處有_r(x)=o,則參數(shù)可取這個值.

易錯提醒：一：研究單調(diào)性問題

1.函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/口)>0,則y=/(x)為增函數(shù)；如

果/'(x)<0,則y=/(x)為減函數(shù).

2.已知函數(shù)的單調(diào)性問題

①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有了'(x"0恒成立(但不恒等于0);反之，要滿足

/,(%)>0,才能得出/(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有r(x”0恒成立(但不恒等于0);反之，要滿足

/'(x)<o,才能得出/(x)在某個區(qū)間上單調(diào)遞減.

二：討論單調(diào)區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論

(1)求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；

(2)變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒

負，無需單獨討論的部分)；

(3)求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)

正負區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；

(4)未得結(jié)論斷正負(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負)；

(5)正負未知看零點(若導(dǎo)函數(shù)正負難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點)；

(6)一階復(fù)雜求二階(找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導(dǎo));

求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo).

(7)借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負區(qū)間段)；

類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論

(1)求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連

續(xù)的區(qū)間)；

(2)變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒

負，無需單獨討論的部分)；

(3)恒正恒負先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負)；然后再求有效根；

(4)根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；

(5)導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間.

例.已知函數(shù)/'(力=詈+加(^(0€2，尸(力為函數(shù)/(尤)的導(dǎo)函數(shù).

⑴若.V-2,討論一(X)在(0,2兀)上的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)g(x)=〃x)+/(x),且g(x)在(0,兀)內(nèi)有唯一的極大值，求實數(shù)。的取值范圍.

變式1.已知函數(shù)/(x).

⑴若判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

(2)若/(X)有兩個不同的極值點三,超(Xj<%2),求證：X[X2+111^+lnx2>1.

變式2.已知函數(shù)八尤)=注.

CLQ

⑴求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若一--</(x)+2x,求。的取值范圍.

變式3.設(shè)函數(shù)〃x)=#-8x+21nx.

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若正數(shù)芯，芍滿足/(占)+〃％)=7,證明：X1+X2>9.

1,若方程2入11次=-￡("0)在(。,0)上有實根，則a的取值范圍是()

xex

A.(-oo,-2)B,(-2,0)C.(-co,-ln2)D.(-ln2,0)

2.已知函數(shù)/(%)=lg(幺-2@+202ST+2023I,則不等式〃3x)<〃x+3)成立的x的取值范圍是()

a-H4)b-K@哈I)C.(T0)U(0,|)D.停2

3.設(shè)函數(shù)/(X)是奇函數(shù)/("(尤eR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,當尤>0吐必■'(尤)一/3<0,則不等式/^)<0

的解集為()

A.(-oo,-l)U(0,1)B.(-1l,0)u(l,+oo)

C.(-c?,-l)U(-l,0)D.(0,l)U(l,+oo)

4.已知函數(shù)〃x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為1-得,且〃X)為偶函數(shù),/圖=2

3/(x)cosx+/'(x)sinx>0則不等式/(x+^Jcosl

,■的解集為()

A?(一(IB.匿)C.1T27'1?兀J、D.…(2兀八、

5.定義在(0,+8)上的函數(shù)"X)的導(dǎo)函數(shù)為/(X),J1,卜2+工"(外一〃切>0恒成立，則下列結(jié)論正確的有

()

A.4/(1)<3/(2)B.16/(3)>15/(4)

C.6/(2)<5/(4)D.25〃4)>24〃5)

6.已知g(x)是定義域為R的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，〃0)=1,〃l)=0,g(x)+g(2r)=0,小)+g(”>o,

x-1

則下列說法正確的是()

A./(2)=1

B./(3)>|(e為自然對數(shù)的底數(shù)，e，2.71828…)

C,存在％eR,/(x0)<0

D.若尤。式0,1),則

7.設(shè)/(x)=/+&+Z)x+c,若/1(1)=1,/(2)=2〃3)=3,下列說法正確的是()

A./(4)=4B.無極值點

2023女

C./(x)的對稱中心是(2,2)D.y46

8.已知函數(shù)〃x)=a(x-l)+(x+l)hu,aeR,則下列說法正確的是()

當，時,

A.Q=ln/(2)=/

8

B.當a>0時，/(。)<2。2-a

C.若〃x)是增函數(shù)，則。>-2

D.若〃x)和尸(x)的零點總數(shù)大于2,則這些零點之和大于5

9.已知函數(shù)/(月=亦2-0>(：11次(4€1^且。*0).

⑴討論了(X)的單調(diào)性；

(2)若不等式恒成立，求實數(shù)。的最大值.

10.已知函數(shù)〃x)=axe*-gf-x,xeR.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

⑵若關(guān)于x的方程f(x)=lnx-1x2有兩個實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.

11.已知函數(shù)尸(x)=(x—3)e“-a(x2-4x).

⑴當。=5時，求函數(shù)尸(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若尸(X)存在極小值點％,且尸(x°)<2a,求。的取值范圍.

易錯點三：誤判最值與極值所在位置(利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值)

1.函數(shù)的極值

函數(shù)/(X)在點X。附近有定義，如果對X。附近的所有點都有/(X)</(x0),則稱/(X。)是函數(shù)的一個極大

值，記作了極大值=/?).如果對與附近的所有點都有/(x)>〃Xo),則稱/(X。)是函數(shù)的一?個極小值，記作

V極小值=/(/).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱X。為極值點.

求可導(dǎo)函數(shù)/(X)極值的一般步驟

第一步：先確定函數(shù)/(X)的定義域；

第二步：求導(dǎo)數(shù)/(X)；

第三步：求方程/'(x)=o的根；

第四步：檢驗/'(X)在方程/G)=0的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為

負，那么函數(shù)>=/(x)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)

y=f(x)在這個根處取得極小值.

2.函數(shù)的最值

函數(shù)y=f(x)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)/(x)最小值為極小值與靠近極

大值的端點之間的最小者.

1

導(dǎo)函數(shù)為f(x)=ax+bx+c=a(x-x^x-x2)(m<xi<x2<ri)

(1)當。>0時，最大值是"xj與〃")中的最大者；最小值是/(超)與/("?)中的最小者.

(2)當。<0時，最大值是/(超)與)(〃?)中的最大者；最小值是〃再)與/(〃)中的最小者.

一般地，設(shè)y=/(x)是定義在M句上的函數(shù)，y=/(x)在(僅，〃)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),求函數(shù)耳=/(尤)在Mn]

上的最大值與最小值可分為兩步進行：

第一步：求y=/(x)在(m,〃)內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

第二步：將y=/(x)的各極值與〃加)和/(〃)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一，個為最小值.

技巧：

1.由圖象判斷函數(shù)y=f(x)的極值，要抓住兩點：⑴由片/'(X)的圖象與X軸的交點，可得函數(shù)v=/(x)

的可能極值點；(2)由導(dǎo)函數(shù)了=r(x)的圖象可以看出y=/(x)的值的正負，從而可得函數(shù)y=/(x)的單調(diào)

性.兩者結(jié)合可得極值點.

2.已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：(1)根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條

件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)因為導(dǎo)數(shù)值等于。不是此點為極值點的充要條件，所以用待定系

數(shù)法求解后必須檢驗.

3.求函數(shù)/(X)在閉區(qū)間m可內(nèi)的最值的思路

(1)若所給的閉區(qū)間[。,可不含有參數(shù)，則只需對函數(shù)/(X)求導(dǎo)，并求/'(x)=o在區(qū)間司內(nèi)的根，

再計算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與/(?),/■他)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一

個是最小值.

(2)若所給的閉區(qū)間可含有參數(shù)，則需對函數(shù)/(x)求導(dǎo)，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)

性，從而得到函數(shù)/(x)的最值.

結(jié)論：1、若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上存在最小值/(外神和最大值/(x)皿，則

不等式y(tǒng)(x)>a在區(qū)間。上恒成立。y(x)min>?；

不等式a在區(qū)間。上恒成立=/(x)min>a；

不等式/(x)<b在區(qū)間。上恒成立o/(x)max<b；

不等式/(x)Wb在區(qū)間。上恒成立o/(x)maxvb；

2、若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域為(能，〃)，則

不等式/(尤)>a>a)在區(qū)間。上恒成立omza.

不等式/(x)<6(或/1(x)<b)在區(qū)間。上恒成立omwb.

3,若函數(shù)〃尤)在區(qū)間。上存在最小值/(XL和最大值/(Mmax，即/(無)目加刈，則對不等式有解問

題有以下結(jié)論：

不等式a</(x)在區(qū)間。上有解。。〈/⑴皿/

不等式av/(x)在區(qū)間。上有解oav/(x)max；

不等式a>/(可在區(qū)間^上有解。。>/^)福；

不等式a2/(x)在區(qū)間°上有解0az/(x)一

4、若函數(shù)/(九)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域為(加，〃)，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：

不等式a</(x)(或aw/(x))在區(qū)間0上有解oa<n

不等式或bN/(x))在區(qū)間0上有解。6>優(yōu)

5、對于任意的可日見可，總存在/elm,n],使得〃再)”優(yōu))0〃%)1mxMg(%)1mx;

6、對于任意的西可名可，總存在/6[m,n],使得〃%)*(%)0/(%).Ng(%L；

7、若存在再十，b],對于任意的『引m,n],使得〃/g(w)o〃石)。1fa“㈤.；

8、若存在占中,b],對于任意的/e[m,n],使得/(占)3卜)?！ㄕ?皿3仇心

9、對于任意的國€[a,b],x2e[m,,使得/(須)"g(%2)o/(項)1rax產(chǎn)g、).；

10、對于任意的%!e[a,b\,X2G[m,川使得/(再"g(%)o/(國心二g(%L；

11、若存在西G[a,b]，總存在x2G[m,n],使得/(再)wg(%)o/(%)*wg(x2

12、若存在占中，可，總存在％e[m,n],使得〃㈤。/(再)1以馬).

易錯提醒：(1)①可導(dǎo)函數(shù)/(X)在點％處取得極值的充要條件是：/是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即/(x0)=0,

且在X。左側(cè)與右側(cè)，/'(X)的符號導(dǎo)號.

②/(%)=0是X。為極值點的既不充分也不必要條件，如/(X)=x3,/'(0)=0,但X。=0不是極值點.另

外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/1(X)=|x|,在極小值點升=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：升為

可導(dǎo)函數(shù)/(x)的極值點=>/'(%)=0；但f'(x0)=O^xo為/(x)的極值點.

(2)①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最

值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；

③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.

三

例.已知函數(shù)〃x)=x?-尤-Hnx存在兩個極值點外,三，且再<%.

⑴求。的取值范圍；

(2)若/(占)-/(%)〈叫尤2,求小的最小值.

變式1.已知函數(shù)/(x)=ax2-lwc+(l-2a)x,其中“eR.

⑴若x是函數(shù)/(x)的極值點，求a的值；

⑵若”0,討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

變式2.若函數(shù)/(力=；/-&+4,x=2為函數(shù)/(x)的極值點.

⑴求6的值；

⑵求函數(shù)的極值.

變式3.已知函數(shù)/（x）=x+——,aeR.

x

⑴當°=時，求函數(shù)/（x）的極值；

⑵若有兩個極值點出x2,求證：小）+/?>4.

+x2

2

1.已知函數(shù)/（x）=fcdnx-=-Ax（左eR）,在（0,e?）有且只有一個極值點，則上的取值范圍是（）

A.[0,e）B,（-co,0）Uy,+cojlj{e}

,、「e?、,

C.（-oo,0）U—,+coD.（0,e]

_2J

2.已知x=0是函數(shù)〃x）=fe，-2xe，+2e，-.3的一個極值點，貝ij0的取值集合為（）

A.{小11}B.{0}C,{1}D.R

3.若函數(shù)〃x）=（x-2）e'qy+奴"用在x=l處取得極小值，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-℃,0)B.(O,e)C.(-oo,eD.(e,+c?)

兀1/八、,_、_,I兀7L

4.設(shè)函數(shù)〃x)=sinCOX-7）（3>0）在區(qū)間，兀內(nèi)有零點，無極值點，則3的取值范圍是（）

2

￡545

A.B.C.11D.U

6533?3143?3

5.關(guān)于函數(shù)/（x）=siiu-xcosx,下列說法正確的是（）

A./（x）是偶函數(shù)B.0是〃x）的極值點

C.〃x）在卜/方）上有且僅有1個零點D.〃x）的值域是[-1,1]

6.若函數(shù)lnx+1在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間（左-1,左+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)A的取值范

圍（）

A.[1,+同B.l，1'）

丫2Ipy

7.已知函數(shù)〃尤)=6'+5-11?的極值點為0函數(shù)〃(x)=鬢的最大值為芍，貝I」()

A.再>工2B.工2>x\C.項N%2D.%2-X1

8.當x=2時，函數(shù)〃-=/+/-12》取得極值,則/⑺在區(qū)間［-4,4］上的最大值為()

A.8B.12C.16D.32

9.已知函數(shù)/3=2尸+。旨-1).

(1)當a=0時，求〃x)的極值；

(2)當a=1時,求〃x)在［1,+8)上的最小值;

⑶若〃x)在(l,e)上存在零點，求。的取值范圍.

10.已知函數(shù)/(切=/-辦2+工-1.

⑴若〃(無)為函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)，求人(無)的極值；

⑵若/(x)=0有兩個不等的實根，求實數(shù)。的取值范圍.

11.已知函數(shù)/(x)=arsinx+cosx在無=甘處取得極值.

⑴求。的值；

(2)求在［0,可上的值域.

易錯點四：零點不易求時忽略設(shè)零點建等式(利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題)

1.判斷函數(shù)尸f(幻在某個區(qū)間上是否存在零點，主要利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷.首先看函數(shù)

尸f㈤在區(qū)間區(qū)句上的圖象是否連續(xù)，然后看是否有他)<0.若有，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,6)

內(nèi)必有零點.

2.判斷函數(shù)內(nèi)(力的零點個數(shù)時，常用以下方法：

(1)解方程：當對應(yīng)方程易解時，可通過解方程，判斷函數(shù)零點的個數(shù)；

(2)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件進行判斷；

(3)通過數(shù)形結(jié)合進行判斷，畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸交點的個數(shù)來判斷.

3.已知函數(shù)有零點(方程有根)，求參數(shù)的取值范圍常用的方法：

方法1：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

方法2：分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.

方法3：數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，再數(shù)形結(jié)合求解.

4.解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟

第一步：審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

第二步：建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)

學(xué)模型；

第三步：解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；

第四步：還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的意義.

技巧：判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：

方法1：利用零點存在性定理判斷法；

方法2：代數(shù)法：求方程/(x)=0的實數(shù)根；

方法3：幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)了=/(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點或

利用兩個函數(shù)圖象的交點求解.在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.

方法技巧：已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法

1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式(組)確定參數(shù)的取值范圍2、

分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決

2、數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解

結(jié)論拓展：與砂和Inx相關(guān)的常見同構(gòu)模型

①ae"voe"Ine"vblnb,構(gòu)造函數(shù)〃芯)=xlnx或g(x)=xe"

②《