高考數(shù)學總復習（基礎知識+高頻考點+解題訓練）一元二次不等式及其解法

第田一---RH-一元二次不等式及其解法

■他知溟工打牢

1強雙基I固本源I得基礎分I掌握程度

［知識能否憶起］

一元二次不等式的解集

二次函數(shù)y=a￡+bx+c的圖象、一元二次方程+bx+c=0的根與一元二次不等式aY+bx+c>0

與aV+bx+c<0的解集的關(guān)系，可歸納為：

判別式/=-―4ac/>0zl=0zl<0

二次函數(shù)P二ax+bx+c(a>0)

的圖象u

一元二次方程ax+bx+c-有兩相u異實根x二Xi或X

有兩相同實根Xu

無實根

O(aWO)的根二X2-X\

一元ax+Z?x+c>0(a>0){x或x>毛}R

二次不

等式的ax+bx+c<0(GO){x〈0}00

解集

若a〈0時，可以先將二次項系數(shù)化為正數(shù)，對照上表求解.

［小題能否全取］

1.(教材.習題改編)不等式x(l-2x)>0的解集是()

A.1-8,JB.0,

C.(-8,0)呢，+8)D.+8]

答案：B

2.不等式9/+6X+1W0的解集是()

C.卜|-'IwxW；-D.R

答案：B

3.(?福建高考)若關(guān)于x的方程V+&+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(-2,2)

C.(-8,-2)U(2,+8)D.(-8,-1)U(1,+8)

解析：選c由一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可得：判別式/>0,即箭-4>0,解得0<-

2或0>2.

4.(?天津高考)已知集合/={xCR||x+2|〈3},集合6={xCR|(x-血(x-.2)〈0},且/A6=(-l,

n),貝U0=,n-.

解析：因為|x+2|<3,即所以4=(-5,1),又/C肝。，所以水1,8=(q2),由/C8=

(-1,〃)得加=-1,n=1.

答案：T1

5-不等式￡<1的解集為.

11X—2

解析：由口<1得即E>°，解得X<1，或x>2.

答案：—或X>2}

解一元二次不等式應注意的問題：

(1)在解一元二次不等式時.，要先把二次項系數(shù)化為正數(shù).

(2)二次項系數(shù)中含有參數(shù)時，參數(shù)的符號會影響不等式的解集，討論時不要忘記二次項系數(shù)為零的

情況.

(3)解決一元二次不等式恒成立問題要注意二次項系數(shù)的符號.

(4)一元二次不等式的解集的端點與相應的一元二次方程的根及相應的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫

坐標相同.

高頻考點要通關(guān)抓考點I學技法|得拔高分|掌握程度

GAOPINKAODIANYAOTONGGUAN________]]__________]

一元二次不等式的解法

31

典題導入

[例1]解下列不等式：

(l)0</-JT-2^4；

(2)x-\ax-5a2>0(57^0).

［自主解答］(1)原不等式等價于

［x-x-2>0,1/-萬-2>0,

\x-x-2^4\x-x-6^0

(x-2x+1>0,(x>-1,

［x-3x+2WO1-2WxW3.

借助于數(shù)軸，如圖所示，

-理10］居~>

原不等式的解集為{x-2Wx<-1,或2<xW3}.

(2)由V-\ax-5才>0知(x-5a)(x+a)>0.

由于aWO故分a>0與乃<0討論.

當乃<0時，才<5a或才>一5；

當乃>0時，x<-x>5a.

綜上，a<0時，解集為{x|x<5a,或x>-a}；a>0時，解集為{x|x>5a,或x<-a}.

由題悟法

1.解一元二次不等式的一般步驟：

⑴對不等式變形，使一端為0且二次項系數(shù)大于0,即aV+6x+c>0(a>0),ax+bx+c<Q(a>Q)；

(2)計算相應的判別式；

(3)當/NO時，求出相應的一元二次方程的根；

(4)根據(jù)對應二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集.

2.解含參數(shù)的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，

則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏.

以題試法

1.解下列不等式：

(1)-3/-2了+820；

(2)ax-(a+1)x+1<0(a>0).

解：⑴原不等式可化為39+2x-8W0,

即(3x—4)(x+2)WO.

4

解得-2WxW、

o

所以原不等式的解集為卜|

⑵原不等式變?yōu)?ax-1)(矛-1)<0,

因為a>0,所以1)<0.

所以當a>l時，解為：<x<l；

當a=l時，解集為。；

當0<a<1時，解為Kx<~.

Q,

綜上，當0<a<l時，不等式的解集為卜卜<才<］

當a=l時，不等式的解集為。；

當a>l時，不等式的解集為卜

3

一元二次不等式恒成立問題

典題導入

［例2］已知/U)=f-2ax+2(aeR),當xE［-1,+8)時，f(x)》a恒成立，求a的取值范圍.

［自主解答］法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=a.

①當aE(-8,-1)時，_f(x)在［一1,+8)上單調(diào)遞增，_f(x)min=廣(一1)=20+3.

要使F(x)23恒成立，只需_f(x)min，名即2乃+322解得-3WE<-1；

②當［-1,+8)時，咒才著行=F(a)=2-才，由2-才解得一1WaWL

綜上所述，2的取值范圍為［-3,1］.

法二：令g(x)二/一2ax+2-a,由已知，得/-2ax+2-@20在［-1,+8)上恒成立，即/二4才

>0,

—4(2—4W0或1己<一1,解得一3

［g-120.

所求a的取值范圍是［-3,1］.

?》一題多變

本題中的+8)改為?！辏?1,1)”，求a的取值范圍.

解：令g(x)=x、2ax+2-a,由已知，得V-2ax+2-a20在［-1,1)上恒成立，即4=4才一4(2

/>0,/>0,

-@）忘0或（@<-1,或ja>l,解得-3WaWl,

〔gT》0L120.

所求a的取值范圍是[-3,1].

由題悟法

1■對于二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上

方；恒小于。就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.

2.一元二次不等式恒成立的條件：

(1)ax+6x+c>0(aW0)(xER)恒成立的充要條件是：

a>0且4-4ac<0.

(2)ax+bx+c<0(a=0)(xER)恒成立的充要條件是：

a<0且6,-4ac<0.

以題試法

2.(?九江模擬)若關(guān)于x的不等式f-ax-a>0的解集為(-8,+8),則實數(shù)a的取值范圍是

；若關(guān)于x的不等式/-ax-aW-3的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是.

解析：由小<0,BPa2-4(-a)<0,得-4〈a<0；

由4220,即a2—4(3—a)》0,得a<—6或a22.

答案：(-4,0)(-8,-6］U［2,+8)

3一元二次不等式的應用

典題導入

［例3］某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件.若售價降低x成(1成=10%),

售出商品數(shù)量就增力啟x成.要求售價不能低于成本價.

O

(1)設該商店一天的營業(yè)額為K試求了與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x),并寫出定義域；

(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.

［自主解答］(1)由題意得y=lOO0-總?

因為售價不能低于成本價,

所以loop-自-80NO.

所以尸『(x)=20(10-x)(50+8x),定義域為[0,2].

⑵由題意得20(10-x)(50+10260,

化簡得8*-30X+13W0.

1

解

得-WXV13-

2/4

所以x的取值范圍是a2

由題悟法

解不等式應用題，一般可按如下四步進行：

（1）認真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準不等關(guān)系；

（2）弓I進數(shù)學符號，用不等式表示不等關(guān)系；

（3）解不等式；

（4）回答實際問題.

以題試法

3.某同學要把自己的計算機接入因特網(wǎng).現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇.公司A每小時收費1.5元；

公司8在用戶每次上網(wǎng)的第1小時內(nèi)收費L7元，第2小時內(nèi)收費1.6元，以后每小時減少0.1元（若用

戶一次上網(wǎng)時間超過17小時，按17小時計算）.假設該同學一次上網(wǎng)時間總是小于17小時，那么該同學

如何選擇ISP公司較省錢？

x35-x

解：假設一次上網(wǎng)x小時，則公司/收取的費用為L5x元，公司方收取的費用為一-一元.

若能夠保證選擇/比選擇夕費用少，則

x35-x,、

....-....>1.5x(0<17),

整理得力-5x<0,解得0<x<5,

所以當一次上網(wǎng)時間在5小時內(nèi)時，選擇公司月的費用少；超過5小時，選擇公司6的費用少.

晶解題訓練要高效抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

4級全員必做題

X—1

1.（-重慶高考）不等式E<0的解集為（）

A.(1,+°°)B.(-°0,-2)

C.(-2,1)D.(-8,-2)U(1,+8)

解析：選C原不等式化為(x-l)(x+2)<0,解得-2<x<l,故原不等式的解集為(-2,1).

4

2.(-湘潭月考)不等式EWx-2的解集是()

A.(-0]U(2,4]B.[0,2)U[4,+°0)

C.[2,4)D.(-8,2]U(4,+8)

解析：選B①當x-2>0即x>2時，原不等式等價于(X-2)224,解得X24.

②當x-2<0即x<2時，原不等式等價于(x-2)?W4,

解得02.

3.關(guān)于x的不等式(a+l)x+a<0的解集中，恰有3個整數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(4,5)B.(-3,-2)U(4,5)

C.(4,5]D.[-3,-2)U(4,5]

解析：選D原不等式可能為(x-l)(x-a)<0,當a>l時得l<x<a,此時解集中的整數(shù)為2,3,4,

則4<aW5,當H<1時得a<x<l,則-3Wa<-2,故aE[-3,-2)U(4,5]

4.若E-l)x+3(〃-l)〈0對任何實數(shù)x恒成立，則實數(shù)力的取值范圍是()

-1)

U(1,+8)

解析：選C①必二-1時，不等式為2x-6〈0,即x<3,不合題意

f〃+l〈0,13

②*-1時，1解得.

5.已知函數(shù)『(X)的定義域為(-8,+8),f

f(x)的圖象如圖所示，且/'(-2)=1,『(3)=1,

()

A..(2,3)U(-3,-2)B.(-4

C.(2,3)D.(-8,_巾)(JW，+8)

解析：選A由導函數(shù)圖象知，當x<0時，rW>0,即f(x)在(-8,0)上為增函數(shù)；當x>o時,

f'(X)<0,即/1(*)在(0,+8)上為減函數(shù)，

故不等式/(/-6)>1等價于-6)>F(-2)或—6)>A3)，即-2<f-6W0或0-6<3,

解得xE⑵3)U(-3,-2).

6.(-長沙模擬)已知二次函數(shù)f(x)=aV-(a+2)x+l(aEZ),且函數(shù)/<x)在(-2,-1)上恰有一個

零點，則不等式r(x)>1的解集為()

A.(-8,-1)U(0,+8)B.(-8,0)U(1,+8)

C.(-1,0)D.(0,1)

解析：選C_f(x)-ax-(己+2)x+1,

/=(〃+2)2-43=步+4>0,

函數(shù)F(x)=ax-(a+2)jr+1必有兩個不同的零點，

又/'⑸在(-2,—1)上有一個零點，貝IJH—2)〃一1)<0,

35

(6a+5)(2a+3)<0,解得一5V--

又5EZ,a--1.

不等式F(x)>l,BP-x-x>0,解得一l<x<0.

7.若不等式的解集為{x[l<x<3},則實數(shù)4=________.

X—o

_k_3k_3x-k

解析：Q>1,得1-Q<0,即7<0,(x-4)(x-3)<0,由題意得k=1.

X—6X—oX—o

答案：1

8.不等式V-2X+3Wa2-2a-l在R上的解集是。，則實數(shù)a的取值范圍是一—.

解析：原不等式即/-21-4+24+4忘0,在R上解集為。，

/=4-4(-a2+2a+4)<0,

即a2-2a-3<0,

解得-1<a<3.

答案：(T,3)

x+5x<3

.'且AH3))>6,貝I]m的取值范圍為

m

{LX-y

解析：由已知得『⑶=6-必，①當辰3時，6-^3,貝IJ『(『(3))=2(6-4-勿=12-30>6,解得加

<2；②當/>3時，6-加<3,貝|『(『(3))=6-加+5>6,解得3(/<5.綜上知，/<2或3(加<5.

答案：(一8,2)U(3,5).

10.解下列不等式：

⑴8x-1^16/；

(2)/-2a^-3a<0(a<0).

解：⑴原不等式轉(zhuǎn)化為16/-8^+1^0,

即(4x-l尸》0,貝IJxER,

故原不等式的解集為R.

(2)原不等式轉(zhuǎn)化為(x+a)(x-3a)<0,

'：a<0,

3a<-a,得3a<x<-a,

故原不等式的解集為33a<x<-a).

11.一個服裝廠生產(chǎn)風衣，月銷售量x(件)與售價。(元/件)之間的關(guān)系為。=160-2X,生產(chǎn)x件的成

本0=500+30x(元).

(1)該廠月產(chǎn)量多大時，月利潤不少于1300元？

(2)當月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？

解：⑴由.題意知，月利潤了二內(nèi)-其

即y=(160-2x)x-(500+30x)

=-2/+130^-500.

由月利潤不少于1300元，得-2f+130X-500N1300.

即/-65才+900/0,解得20WXW45.

故該廠月產(chǎn)量在20~45件時，月利潤不少于1300元.

(2)由(1)得，y=-2/+130x-500

由題意知，x為正整數(shù).

故當x=32或33時，y最大為1612.

所以當月產(chǎn)量為32或33件時，可獲最大利潤，最大利潤為1612元.

12.設二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c,函數(shù)尸(x)=f(x)-x的兩個零點為n(m<n).

(1)若e=-1,77=2,求不等式戶(x)>0的解集；

(2)若a>0,RO<x<m<n<~,比較f(x)與力的大小.

a

解：由題意知，尸(x)=F(x)-X=a(x-4,(x-ri),

當勿二一1,〃=2時，不等式尸(王)>0,

即a(x+1)(x-2)>0.

當0>0時，不等式/(x)>0的解集為｛x[x<-1,或x>2｝；

當乃<0時，不等式力(王)>0的解集為｛.一1<.<2｝.

(2)f(^x)-m-a(x-ni)(x-ri)+x-m

(x-ni)(ax-an+V),

1

*/a>0,且〈一,

x-m<0,1-an-^-ax>0.

/.f{x)-m<0,即f{x)<m,

B級重點選做題

1,若關(guān)于X的不等式三+%仔卜0對任意〃EN*在XE(-8,捫上恒成立，則實數(shù)A的取值范

圍是

1L_1

解析：由題意得步|max-2,

2

解得王鳥或V-L

又xE(-8,打，所以A的取值范圍是(-8,-1].

答案：(-8,-1]

2.(-江蘇高考)已知函數(shù)f^x)=x+ax+b{a,右ER)的值域為[0,+°°),若關(guān)于x的不等式f(x)

<c的解集為()，必+6),則實數(shù)c的值為.

2

解析：因為f(x)的值域為[0,+8),所以/=0,即#=44所以V+ax+充-c<0的解集為(加，m

2

+6),易得m,0+6是方程V+ax+/c=0的兩根，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

2勿+6=-a,

a2解得c=9.

mm+6=~r~c,

4，

答案：9

3.行駛中的汽車，在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行*-------------,—段距離才能

停下，這段距離叫做剎車距離.在某種路面上，其種型號汽車的"i：剎車距離s(m)

nvv~O40kV

與汽車的車速r(km/h)滿足下列關(guān)系：5=訴+痂(〃為常數(shù)，且〃GN),做了兩

6<Si<8,

次剎車試驗，有關(guān)試驗數(shù)據(jù)如圖所示，其中

14<s2<17.

⑴求n