四川省宜賓2024高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末考試試題

四川省宜賓市2024屆高三上學(xué)期末考試

理科數(shù)學(xué)

本試卷共4頁?？荚嚱Y(jié)束后，只將答題卡一并交回

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合S={0』,2},T={0,3},P=ST,則尸的真子集共有

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

2

2.設(shè)z=rl+2i’則N的虛部是

A.2B.1C.-2D.-1

3.設(shè)向量Q=(%-l,x),b=(-1,2),若〃///?,則％=

_3「2「3

A.B.-1C.—D.-

~232

4.已知點(diǎn)。是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，。為3C邊的中點(diǎn)，且3Q4+OB+OC=0，貝

A.AO=-ODB.AO=-ODC.AO=--ODD.AO=--OD

2323

5.某中學(xué)在高三上學(xué)期期末考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成果X?N（105,100）.若已知P（904X<105）=0.36,則

從該校理科生中任選一名學(xué)生，他的數(shù)學(xué)成果大于120分的概率為

A.0.86B.0.64C.0.36D.0.14

6.如圖是調(diào)查某地區(qū)男女中學(xué)生喜愛理科的等高條形圖，陰影部分表示喜愛理科的百分比，從圖中可以看出

A.性別與喜愛理科無關(guān)

B.女生中喜愛理科的比為80%

C.男生比女生喜愛理科的可能性大一些

D.男生不喜愛理科的比為60%

7.已矢口cos[■!■+&]=2cos(兀一0),1@口(；一々]=貝1]

1

A.-4B.4C.——

8.在ABC,已知A3=0，AC=5tanNB4c=—3,則5c邊上的高等于

A.1B.y/2C.6D.2

若函數(shù)〃x）=sin（0x-的圖象向左平移3個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則①的最小值為

9.

1379

A.-B.-C.-D.-

4444

10.已知與是函數(shù)〃x）=3*+log3X的零點(diǎn)，若?！礄C(jī)（X。，則/㈣的值滿意

A./(m)=OB.f(m\<0C.D.〃祖）的符號(hào)不確定

1A1A

11.設(shè)產(chǎn)為拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，曲線>=—（左>0）與C相交于點(diǎn)A,直線R4恰與曲線>=—（左>0）

XX

\FA\

相切于點(diǎn)A,R4交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)8,則身等于

\BA\

.11八23

A.—B.-C.—D.一

4334

fjcpx%<0

12.已知函數(shù)〃無）=?",若g（x）=〃x）-ox有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍為

[Inx,x>0

A.]o,[B.8C.[l,e）D.[e,+s）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x>Q

13.已知實(shí)數(shù)x,y滿意約束條件<x+y42,則z=4x+y的最大值等于.

x+3y>3

14.已知函數(shù)/（x）=w（2尤+1）3-2/,若曲線>=/（元）在（0,/（0））處的切線與直線4x+y-2=0平行，則〃z=

15.已知（2+mX）（l+x）3的綻開式中x，的系數(shù)為5,貝1|%=.

16.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)“X）滿意〃l+x）+〃l-x）=。，當(dāng)xe[0,l）時(shí),f（x）=siny,給出下列四個(gè)結(jié)論:

②若/（再）+/（%）=0,則尤1+1=。；

③函數(shù)在（0,4）內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)；

④若且，（玉）=/（%）=/（電），則W一玉的最小值為4.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必

需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分。

17.（12分）為更好地落實(shí)農(nóng)夫工工資保證金制度，南方某市勞動(dòng)保障部門調(diào)查了2024年下半年該市100名農(nóng)夫

工（其中技術(shù)工、非技術(shù)工各50名）的月工資，得到這100名農(nóng)夫工的月工資均在[25,55]（百元）內(nèi)，且月工資收

入在[45,50）（百元）內(nèi)的人數(shù)為15,并依據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖：

2

（1）求〃的值；

（2）已知這100名農(nóng)夫工中月工資高于平均數(shù)的技術(shù)工有31名，非技術(shù)工有19名.

①完成如下所示2x2列聯(lián)表

技術(shù)工非技術(shù)工總計(jì)

月工資不高于平均數(shù)50

月工資高于平均數(shù)50

總計(jì)5050100

②則能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)系？

參考公式及數(shù)據(jù)：K2=m+b）（c+d）Z+c）g+,/）,其中

尸（片

淮）0.050.010.0050.001

k03.8416.6357.87910.828

18.（12分）及:中，內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,。是/。的中點(diǎn)，已知平面對(duì)量加、〃滿意

m=（sinA-sinB,sinB-sinC）,n=（^a+b,c）,m±n■

⑴求4;

⑵若BD=K,b+2c=46，求△力回的面積.

19.（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，4B=BC=&，aA=尸8=尸C=AC=2,O為AC的中點(diǎn).

（1）證明：尸O_L3C；

（2）若點(diǎn)M在線段BC上，且直線AM與平面PAC所成角的正

弦值為巫，求直線AC與尸M所成角的余弦值.

10

“分）已知橢圓。:+和?…的左右焦點(diǎn)分別為耳，尸2,離心率為當(dāng)橢圓C上的一

點(diǎn)P到月，生的距離之和等于4.

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)尸（3,0）,過橢圓「的右焦點(diǎn)FZ的直線與橢圓,交于48兩點(diǎn),若滿意尸恒成立，求力的最小

值.

分)已知函數(shù)；依

21.(12/(x)=xsinx+cosx+2,Xe[-71,71],

（1）當(dāng)a=0時(shí)，求〃尤）的單調(diào)區(qū)間;

（2）當(dāng)。＞0,探討/（'）的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.

[x=4cosa+2

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為4.（。為參數(shù)），在以。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半

Iy=Asma

軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為0=9（夕eR）.

＜1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線/與曲線C相交于A,B兩點(diǎn)，P為曲C上的一動(dòng)點(diǎn)，求4PAB面積的最大值.

23.已知f=|x—2|+|x+l|+2|x+2|.

（1）求證：/（%）＞5；

O

（2）若對(duì)隨意實(shí)數(shù)x,15-2〃x）＜/+戶有都成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4

理科數(shù)學(xué)參考答案

1.B2.D3.C4.B5.D6.C7.C8.A9.B10.B11.B12.A

15.1

16.①③

17.解：（1）二?月工資收入在［45,50）（百元）內(nèi)的人數(shù)為15

一月工資收入在［45,50）（百元）內(nèi)的頻率為：霽=0.15；

由頻率分布直方圖得：(0.02+0.04+2n+0.01)x5+0.15=l=0.05

（2）①依據(jù)題意得到列聯(lián)表:

技術(shù)工非技術(shù)工總計(jì)

月工資不高于平均數(shù)193150

月工資高于平均數(shù)311950

總計(jì)5050100

%二100x(19x19-31x31)=5,76<IO.828

50x50x50x50

不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān).

18解：(1)Vm=(sinA-sin5,sin^-sinC),〃=(a+b,c),mLny

:.(sinA-sinB)(?+Z?)+(sinB—sinC)c=0.

(a-b)(a+b)+(b-c)c=0,即6+/一/=兒

?A-1??cA?A冗

..cosA=-------------=—.?Q<A<TT??A=一.

2bc2F3

r—=_

(2)在△/初中，由3和余弦定理，得

BD2=3=AB2+AD2-2AB-ADcosA=AB2+AD2-ABAD.

AD=-

?..。是4c的中點(diǎn)，，2

c2+—0x^=3,化簡(jiǎn)得4c2+/—2Ac=12,即(Z?+2c)2—66c=12.b+2c=4^/3,

—6bc=12,解得be=6.

SABC=-bcsinA=-bcsin-=^^=—....△45。的面積為述.

ABC223422

19.解：（1）因?yàn)锳8=BC=7IAC=2,所以有AB2+2C2=4C2,所以三角形ABC是直角三角形，而。為斜

邊AC的中點(diǎn).所以三角形A3C的外心為點(diǎn)。，因?yàn)閰?P3=PC,所以點(diǎn)尸在底面ABC的射影是底面ABC的

外心，因此尸0_L平面ABC,而3Cu平面ABC,因此有尸O_LBC；

（2）由（1）可知：PO_L平面ABC,而POu平面PAC,所以平面PAC_L平面ABC,過M作MZ）_LAC,垂

足為￡）,因?yàn)槠矫鍼AC平面ABC=AC,所以MO_L平面PAC,因?yàn)橹本€A"與平面PAC所成角的正弦值為

—,所以sin/ZMM=巫，設(shè)9W=x,久

10

I__rA

所以=因此由sin=叵=也=DM=+f），因此有/\\\

Ao（2+7）

CM（），依據(jù)3C=AM+C"=2,可得喬武力

10”

在410（；「）+龍=及n尤=《或.2/（舍去），故"乎,

因此點(diǎn)M是線段5C的中點(diǎn)，取B4的中

點(diǎn)E,連接￡M,PE,則有EM〃AC,￡M=；AC=1,所以是直線AC與尸M所成角（或補(bǔ)角）,

PB2-（|AB）2=半，由余弦定理可知:

因?yàn)镠4=PB=PC=2,AB=BC=血，所以PM=PE=

c°s/PME=PM?EM=PE；叵

2PMME7

c_V3

a2a=2

20.解：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意可得,2Q=4，解得＜6=1，，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+y2:=1;

4'

a2=b2+c1C=超

（2）由（1）可知居（6,0）,設(shè)4（占,%）,

3（%,%）,則上4=（%-3,yj,P5=（x2-3,y2）,

二.以?=（占-3）（X?-3）+%%=%馬+M%―3（芯+/）+9,

①當(dāng)直線）與x軸垂直時(shí)，直線/的方程為x=JL得占=々=6,

代入得％=（，%=-：，或H=-g，%=g，則PA,PB=?-64，

②當(dāng)直線/不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為〉=々卜-血卜

4+）；-1

,得（1+4廿）二一86公x+12/一4=。，由韋達(dá)定理得x+x=0^空12k2-4

聯(lián)立,xx2=--------?

y=中-?]+止121+4左2

■'-%%

1+4/

6

欄1,則

又因函數(shù)/(f)=生專產(chǎn)在［1,+s)上是減函數(shù),

2427

.'.PAPB<--6A/3+^~=5,綜上：加的最小值為5.

44

21.解：???/(-兀)=/(%).??/(尤)為偶函數(shù)，只需先探討xw。％］,

/(x)=xsinx+cosx,f\x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

JTIT

當(dāng)XG0,—,f\x)>0,當(dāng)—,71,/(X)<0,

7171

所以/(九)在XG0,—單調(diào)遞增，在不￡—.71,單調(diào)遞減,

所以依據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

7T71

得了(X)在N￡單調(diào)遞增，在工￡--,0單調(diào)遞減,

JT兀JTJT

故/⑺單調(diào)遞減區(qū)間為：一萬,0,3K；單調(diào)遞增區(qū)間為：—匹一5，o,-

f

(2)f(x)=xcosx+ax=x(cosx+a)t

①a21時(shí)，/'(%)=x(cos工+a)20在工￡［0,萬］恒成立，

/.于3在％￡［0,7T］單調(diào)遞增

又"))=1,所以在％式一心刃上無零點(diǎn)

②Ovavl時(shí)，3x0e(0,^-),使得天(cos+a)=0,gpcosx0=-a.

又cosx在(0⑺單調(diào)遞減，所以工￡(0,%)，f\x)>0,乃)，f\x)<0

所以X￡(O,Xo),/(九)單調(diào)遞增，XG(X0,^),/(X)單調(diào)遞減，

又/'(0)=1,

12

(i)-a7r2-l>0,即r<a<l時(shí)/(x)在［0,汨上無零點(diǎn)，

271-

又了(無)為偶函數(shù)，所以/(X)在［-兀，兀］上無零點(diǎn)，

1,2

(ii)—an—1<0,即。<a4——.

2萬2

/(x)在［0,兀］上有1個(gè)零點(diǎn)，

又了(無)為偶函數(shù)，所以/(x)在［-Jr,兀］上有2個(gè)零點(diǎn)，

2

綜上所述，當(dāng)=時(shí)，/（%）在I-兀兀]上有2個(gè)零點(diǎn),

冗

2

當(dāng)。＞F■時(shí)，f（x）在[-71,71]上無零點(diǎn).

71

[x=4cosa+2,cc

22.（1）將方程…（a為參數(shù)），消去參數(shù)a后可得V+y2-4x-12=0,

[y=^sma,

二曲線。的一般方程為*+；/-4x-12=0,將V+y2=22,%=/8$。代入上式可得夕2-408$。=12,

曲線。的極坐標(biāo)方程為夕2-4pcos"12=0.