曲靖市2023-2024學(xué)年高三年級第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（二統(tǒng)） 數(shù)學(xué)試卷（含答案）

絕密★啟用前

曲靖市2023-2024學(xué)年高三年級第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)試題卷

（本卷滿分150分,考試時間為120分鐘）

注意事項:

1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在

答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.

寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.函數(shù)y=2x—l（xe{l,2,3}）的值域為（）

A.[1,5]B.{1,3,5}C.[2,6]D.{2,4,6}

2.小明同學(xué)用60元恰好購買了3本課外書，若三本書的單價既構(gòu)成等差數(shù)列，又構(gòu)成等比

數(shù)列，則其中一本書的單價必然是（）

A.25元B.18元C.20元D.16元

3.曲線，+/+2%一4、一4=0所圍成的區(qū)域的面積為（）

A.J7兀B.InC.3兀D.9兀

4.已知工是等比數(shù)列{%}的前〃項和，若的=3,S3=9,則數(shù)列{勺}的公比是（）

I.1.11

A.一5或1B.不或1C.--D.-

5.大年初一，爺爺、奶奶、爸爸、媽媽、讀高中的姐姐以及剛滿周歲的小弟弟一家六口外出游玩,

到某處景點時站成一排拍照，小弟弟由其中任意一人抱著，則不同的站法共有（）

A.120種B.480種C.600種D.720種

6.在三棱錐。-"C中，OA,OB,比兩兩垂直，OA=OC=3,OB=2,則直線08與平面

48C所成角的正切值等于（）

3M

數(shù)學(xué)試題卷第1頁共4頁

7.已知。是△Z8C的外心，9+就=2茄，5=茄，則向量就在向量數(shù)上的投影

向量為（）

A.~^BCB.-BCC.^BCD.坐前

4444

8.設(shè)點48的坐標分別是（-5,0）,（5,0）,M是平面內(nèi)的動點，直線"5的斜率之

積為人動點M的軌跡C與曲線必=2k|相交于4個點，以這四個交點為頂點的矩形的

面積等于4873,則軌跡C的離心率等于（）

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列命題正確的是（）

A.￡-1|6展開式中f的系數(shù)為1B.￡+工丫展開式的常數(shù)項等于20

kXjIxj

C.（x+：）6展開式的二項式系數(shù)之和為64D.0-：）展開式的系數(shù)之和為64

10.已知集合S,T,定義S?=k，|xwS,”7},則下列命題正確的是（）

A.若5={1921,1949},T={0,l},則與K的全部元素之和等于3874

B.若5={2021},R表示實數(shù)集，?表示正實數(shù)集，則即=夫+

C.若8={2024},R表示實數(shù)集，貝1」公=及

D.若5={2049},￡表示正實數(shù)集，函數(shù)/（x）=/og2024X，xe（/?+）S,則2049屬于函數(shù)

/（x）的值域

11.如圖，一個半徑為3m的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，水面在筒車圓弧內(nèi)的寬度

為3m.記筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：m,在水面以下時dvO）,

若在盛水筒P某次剛出水面時開始計時，時間用f（單位：s）表示，則下列說法正確的

是（）

A."與f之間的函數(shù)關(guān)系是~=3cos圖-爸+苧（40）

B.d與（之間的函數(shù)關(guān)系是"=3si〃（金-?）+苧仁0）

C.時間恰好到1小時時，水筒P處在水面以下

D.筒車旋轉(zhuǎn)3周，盛水筒P離開水面的時間總和等于100s

數(shù)學(xué)試題卷第2頁共4頁

|口

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.抽樣統(tǒng)計得到某班8名女生的身高分別為160,155,157,155.5,154,158,155,162,

則這8名女生身高的第75百分位數(shù)是.

13.已知XGC,若，+X+1=0,貝?1+習=.

14.設(shè)監(jiān)N是同一平面上的兩個區(qū)域，點尸€〃，點。GN,P,0兩點間距離的最

小值叫做區(qū)域監(jiān)N間的距離，記作d(M,N).若M={(x,y)|ex-y+2024=0),

N={(x,^)|ln(x-2024)-y=0},貝!]d(M,N)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.(13分)

袋子中有大小相同的2個白球、3個黑球，每次從袋子中隨機摸出一個球.

(1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到白球的概率；

(2)若對摸出的球看完顏色后就放回，這樣連續(xù)摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次

數(shù)X的分布列和均值.

16.(15分)

已知函數(shù)/(x)=(x+a)e*,aeR.

(1)求函數(shù)/(x)的圖象在點7?,/(0))處的切線方程;

(2)討論方程f[x)=b的實根的個數(shù).

17.(15分)

小紅同學(xué)利用計算機動畫演示圓柱的形成過程，將正方形X8CZ)繞直線48逆時針旋轉(zhuǎn)

1弧度時，8到達斯的位置，得到如圖所示的幾何體.

(1)求證：平面NC尸1?平面BDE；

(2)若〃是扇的中點，求二面角C-2M-E的正弦值.

18.(17分)

在△N3C中，角4,8,C的對邊分別為a,b,c,^.acosC+4^csinA=b+c.

(1)求角8的取值范圍；

(2)已知△NBC內(nèi)切圓的半徑等于73號，求△XBC周長的取值范圍.

19.(17分)

已知一菱形的邊長為2,且較小內(nèi)角等于60。，以菱形的對角線所在直線為對稱軸的橢

圓C外接于該菱形.

(1)建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担髾E圓C的方程；

(2)已知橢圓C所在平面上的點。到橢圓C的長軸、短軸的距離依次是左,發(fā)，

點48在橢圓C上，直線4。，5。與橢圓C的長軸所在直線的兩個夾角相等.求

直線43與菱形對角線的夾角的正切值；

(3)在(2)的條件下求△ABD面積的最大值.

曲靖市2023-2024學(xué)年高三年級第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

題號12345678

答案BCDACDCB

解析：

1.（本題源于必修第一冊67頁例4,考查函數(shù)的三要素）

分別把x的值代入解析式，求解后選B.

2.（本題源于等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義）

若一數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)列，故選C.

3.（本題源于選擇性必修第一冊88頁習題2.4第1題）

由x2+j?+2x—4y—4=0,得（x+廳+8—21=9,故該曲線圍成區(qū)域的面積就是

半徑為3的圓的面積，s==9乃，故選D.

4.（本題源于選擇性必修第二冊37頁練習第1題（3））

角度一:看到%=3,邑=9,想到公比可以為1,排除C和D,若公比為一;，則生=一6，

q=12,滿足邑=9,故選A.（口算即能完成解答）

33

角度二：設(shè)等比數(shù)列的公比為夕，53=q+生+%==+—+3=9,化簡得

q-q

（2q+D（q-l）=0,所以夕=一；或1,故選A.

角度三：兩個條件均用4和q表示，聯(lián)列方程組求解后選A.（需分q=l及qol兩種

情況考慮）

5.（本題源于選擇性必修第三冊19頁例4）

首先考慮誰抱著小弟弟，有5種可能，然后5人進行全排列，所以不同的站法共有5&

=5x5x4x3x2xl=600種，故選C.

6.（本題源于選擇性必修第一冊41頁練習第3題〉

角度一：如圖所示，取NC的中點為。，連接。。,8。，由已知條件可證N08D就是

直線08與平面所成角.

因為03J.0D,0D=-AC=—，

22

3叵

所以tanN08D==---=?,鏗.,故選D.

0B24

角度二：建系利用空間向量求解，但計算費時.

7.（本題源于必修第二冊24頁第21題，投影向量是個重要概念）

由4B+NC=24O可知。是3C的中點，則/胡C=90°,再

由|而|=|四知4cB=30°.

1D

角度一：如圖，過點Z作力。?IBC,垂足為。，則=

4

-----4—

所以向量力。在向量BC上的投影向量等于。。=巳3。故選C.

4，

角度二：設(shè)前=2,則就=再，則向量就在向量團上的投影向量等于

畫一碼岸等前q"死］前’故選仁

8.（本題源于選擇性必修第一冊121頁“探究”）

設(shè)“（X,力，則」——匕-=4,所以動點”的軌跡C的方程為4=一^—

x+5x—5x~-25

設(shè)軌跡C與曲線y2=2國在第一象限的交點為P（Xo，y0）,則/>0,%>0,且

2

70=2x0,由對稱性可知所求矩形的面積5=2x0-2y0=y^-2y0=48百，解得外=2出,

々=6,故P（5,2閭.

4(2⑸2J

因為尸?,2月）在曲線。上，所以；1=

2

x0-25-36-25-11

軌跡C的方程可化為二一二=1,所以軌跡C是雙曲線，且。2=25,〃=25；1,

25252

士、以、山口2c?25+25411223J2533

離心率e*兩足：e=—-=-------=1H---=—,所rr以iue=-----,選B.

a225111111

2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.

題號91011

答案ABCBDABD

解析：

9.略（本題源于選擇性必修第三冊30頁例1）

10.（本題屬于新定義型問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力以及學(xué)生對集合、塞函數(shù)、指

數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)基本知識的掌握情況，通過兩個一百年的主要時間節(jié)點滲透愛國主義教

育，激發(fā)愛國情懷.本題也體現(xiàn)“多想少算”的命題意圖）

對于選項A,已知5={1921,1949},7={0,1},根據(jù)所給定義，得7s={o[},

Sr={1,1921,1949},則S，與『s的全部元素之和等于3872,故選項A錯誤；

對于選項B,S&=卜|y=202eR}=R+,故選項B正確；

對于選項C,Rs=b|y=/M表示某函數(shù)歹=/024（xeR）的值域，值域

為[0,+8）,故選項C錯誤；

2049

對于選項D,xe（R+丫，設(shè)x=產(chǎn)9“>0）,則/（X）=log2024z=2049log2024/,

當1=2024時，/（2O242049）=2049,故選項D正確.

11.（本題源于必修第一冊241頁第7題，屬于現(xiàn)實背景的實踐應(yīng)用問題）

筒車上的盛水筒產(chǎn)做勻速圓周運動，設(shè)d與1之間的函數(shù)關(guān)系式為：

t/=3sin（<y/+^）+/?0（Z>0）.

71

.?筒車每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，.?.函數(shù)的周期為40s,.?.。=工

40

.AB=OA=OB=r=3,二。到筒車軸心的距離

%=。。=半，4COB*.已知在盛水筒P某次剛出水

TT

面時開始計時，則初相°=-；，于是得到d與，之間的函數(shù)關(guān)

系為：J=3sinf—/--1+—（^0）,故選項B正確.

（203）2

3

_L、H=八.（兀乃、（717t71\（Tt5%、,,-

由誘導(dǎo)公式得：sm—t=cos------/+—=cos—t,故選項A正

（203）（2203）（206）

確.

l=l/,=3600s時，J=3sinf—X3600--1+—=0,故選項C錯誤.

（203）2

筒車旋轉(zhuǎn)1周，盛水筒P離開水面的時段所對應(yīng)的圓心角大小為：2萬-9=與，對

應(yīng)時長為紅、型=變（s）,則筒車旋轉(zhuǎn)3周盛水筒P離開水面的時間總和等于100s，故

'3乃3

選項D正確.（或者通過解三角不等式處理）.

三、填空題：本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.15913.V314.2025收

解析:

12.（本題源于必修第二冊202頁例2）

將數(shù)據(jù)由小到大排列為：154,155.155,155.5,157,158,160,162.

V8x75%=6,...第75百分位數(shù)是受土國■=159.

2

13.（本題源于必修第二冊80頁練習第4題（2））

x2+^+l=0=>f^+—=--=>x=

12）422

q=一；士與'_1+^=_1±v/,卜1+汩「3丁1±乎］=也.

NNNN

14.（本題屬于新定義型問題，符號源于泛函分析的范式表達，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力

以及轉(zhuǎn)化化歸能力等.兩個基本初等函數(shù)y=e、與y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線

y=x對稱，經(jīng)過平移建構(gòu)形成本題.教材必修第一冊134-135頁引出了反函數(shù)概念并探究

其圖象關(guān)系）

角度一：表示函數(shù)夕=婕+2024圖象上的動點P與函數(shù)歹=ln（x—2024）圖

象上動點。的距離的最小值，即|P2|mY

y=ex+2024^ex=y-2024=x=ln(y—2024)，互換x,y得y=ln(x-2024),

因此，y=e*+2024與丁=ln（x-2024）互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對

4

稱?|POL恰好等于函數(shù)V=e*+2024圖象上的動點P（x/）到直線y=x的距離的最小

值的2倍.

點尸（x,力到直線y=x的距離d（x）=噌1=*卜、一x+2024|.

設(shè)/（x）=e、一x+2024,則,（x）=、-l,/（0）=e°-1=0,函數(shù)/（x）在（一8,0）

上單調(diào)遞減，在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以/（Mms=/（0）=2025.

所以，d（x）min=?^^，|POL=2025j1，所以"（“，N）=2025jI

角度二：優(yōu)秀學(xué)生可以憑直覺閃電式獲得答案：

函數(shù)y=e*與y=lnx互為反函數(shù)，函數(shù)歹=e”圖象上任意點與歹=Inx圖象上任意點

之間的最小值恰好等于點（0,1）與（1,0）之間的距離.y=ex圖象向上平移2024個單位得到

y=ex+2024的圖象，y=lnx圖象向右平移2024個單位得到y(tǒng)=ln（x-2024）的圖象.

從而d（跖N）就等于點（0,2025）與點電025,0）的距離，故d（M,N）=2025jL

此題的命題意圖是引導(dǎo)學(xué)生“多想少算今，甚至“只想不算”而快速解決問題，充分

考查學(xué)生直觀想象、數(shù)據(jù)分析等學(xué)科核心素養(yǎng).

四、解答題（本大題共6小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（本題源于選擇性必修第三冊48頁第3題）

解：（1）角度一：：第一次摸到白球，.?.第二次摸球時袋子中有1個白球，3個黑球，

所求概率尸=1......................................................................

5分

4

角度二：設(shè)4="第一次摸到白球"，B="第二次摸到白球”，

則P（R）=|,P（聞=言='.

.?.所求概率P=P⑻⑷="粵=4x2=1.

5分

''尸⑷1024

（2）X的所有可能取值為0，1，2-3.6分

P（X=2）=C]10分

5

X的分布列為:

X0123

2754368

P

125125125125

.........................................11分

?.?X?8(3,|),的均值E(x)=3x|=(..........................................13分

16.(本題源于選擇性必修第二冊95頁例7)

解：(1)-：f(x)=(xJra)ex,/./(0)=<2.

又?."，(x)=(x+a+l)e、，.??&=/'(O)=a+l,........................................3分

；?函數(shù)/(x)的圖象在點T(0,/(0))處的切線方程為y-a=(a+l)x

即y=(a+l)x+a........................................................................5分

(2)???函數(shù)/(x)的定義域為底.且/,(x)=G+a+l)e、，

x<—a-1時/〈X)<0,x>—a—i時康"(x)>0,

.?./々)在(一00,-4-1)上單調(diào)遞減，在(—a—1,+8)上單調(diào)遞增，........8分

???/(x)min=/(x)極小=/(-?-1)=—ir<0-.............................................9分

e

丁時/(x)<0,工>一。時/(工)>0,p

x->-co時/(X).0,xf+8時+00./

.??/(x)的大致圖象如圖所示............12分\：匕

???當6<-』打時，方程/(x)=6沒有實數(shù)根；?

當6=-二，或6N0時，方程/(x)=6有且只有1個實數(shù)根；

e

當一占<b<0時，方程/(x)=b有2個實數(shù)根.....................15分

e

17.(本題圓弧上點的坐標的書寫可借助三角函數(shù)的定義)

解：(1)證明：?.?力斤148,AFLAD,/80幺。=4，..?力平面ZBC。，

B。u平面/8CZ),.?.月R_LB。.

6

???480）是正方形，.?./。18。..................................3分

又?.■工。02尸=力，,8。_L平面/CR,

又BQu平面BDE,二平面4。尸J_平面BDE.........................................6分

（2）由（1）知：力￡力3兩兩垂直，以力。,工￡48所在直線分別為x,%z軸,

建立空間直角坐標系如圖./以奶=45。，不妨設(shè)力8=2,則40,0,0）,A/（V2,V2,0）,

C（2,0,2）,￡（0,2,2）.................8分

.-.7A7=（72,72,0）AC=（2,0,2）,萬=（0,2,2）,

設(shè)加=（x是平面力MC的法向量,則

2x+2~=0

［無二+6*取X-得藕（T，1D

同理可得平面AME的一個法向量為〃=（1,-1,1）......................................12分

cos^/w-=-^—J==—,即二面角C——E的余弦值的絕對值為g.…14分

二二面角—E的正弦值為2互................15分

3

18.（本題源于必修第二冊54頁第22題）

解：（1）dfcosC+V3csinJ=6+c,

由正弦定理得:sinJcosC+-73sinCsinJ=sinB+sinC，...........................1分

sinAcosC+V^sinCsin力=sin4cosC+cosJsinC+sinC,............3分

即V3sinCsinJ=cosJsinC+sinC.

sinCw0,百sin力=cosZ+1,sinA--=—,6分

I6j2

7t.7157T.7t7t.

?：----<A-----<——,/.A-----=—,..A--.

666663

??角5的取值范圍是(0,.........................................

8分

II

(2)vS=—bcsinA=——be,S=—Q+b+c)〃=

242、,

7

:.a+b+c=bcf即a=bc-(b+c).10分

由余弦定理得：a2=b2+c2-bc.

/.(bcf-2bc(b+c)+0+4=伍+_36c,

be=2(6+c)-3.

（當且僅當b=c時取等號），

.?.20+c)_3W伍;,),.?.b+cM2或b+cN6.12分

3

設(shè)A48C與圓內(nèi)切于點。,E,F,則力。=力R=u?tan60°=—.

2

二b+c=AC+AB>AD+AF=3,

:.b+c>6(當且僅當b=c=3時取等號).....14分

MBC的周長L=a+b+c=\lb2+c2-2bccosA+b+c

=J伍+c)2-36c+6+c>+c)2-+b+c

=1(6+c)>9(當且僅當b=c=3時兩處都取等號J

一^min=9.16分

-.?c=AB>DB=—^—=^—(0<B<—

tanO2tan以3

22

..B-0時,c^+8,L~~+oo.

..A48c的周長的取值范圍是［9,+8)...................................................17分

另一個角度考慮：

?.,bc=2(b+c)-3,..(Z>-2)(c-2)=1,..c-2=―--.

b-2

若b-2c0,則c一2<0,進而b+c<4,與6+cN6矛盾；

若c-2<0,則b-2<0,進而b+cv4,與b+cN6矛盾.

，b>2且c>2.

/.b-,2時，c-------F2-》+8,/.L->4-oo.

b-2

8

19.（本題是原創(chuàng)題）

解：（1）?.?菱形邊長等于2且較小內(nèi)角等于60°,

菱形較短對角線的長度為2,較長對角線的長度為2上...............1分

以菱形較長對角線所在直線為x軸，較短對角線所在直線為y軸建立如圖所示的平面直

角坐標系......................................2分

設(shè)橢圓的方程為2+}=1（。>6>0）,則。=若力=1,

2

.??橢圓。的方程為工+必=1............5分

3

（2）由對稱性，不妨設(shè)點。位于第一象限，則。V2,—且點。在橢圓上.

3

?.?直線與x軸的兩個夾角相等,

二直線ZO,8。的斜率存在且互為相反數(shù)...........................7分

設(shè)直線4D的斜率為2,則直線4D的方程為：歹-孝=庶一⑸,

即y=Ax+

得（1+3⑶x2+2型（1-網(wǎng)X+6/—2病-2=0.

設(shè)力日,弘），8々2，%），因為。一在橢圓C上,

6/一2病-23而2一2傷一五

...........9分

F=1+3G1+3-

3岳2+2園-五

將占中的左換為-左得:

1+3/

又???直線AD的方程為:V=-Ax++y[lk

3

9

—kx-.+——-+A/2A—kx.———+

35=—^----------—

工2一玉三一