2024年中考數學試題分類匯編：圓的相關性質（34題）（解析版）

專題22圓的相關性質（34題）

一、單選題

1.（2024?湖南?中考真題）如圖，AB,AC為的兩條弦，連接OB,OC,若NA=45。，則N30C的

度數為（）

A.60°B.75°C.90°D.135°

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

是解題的關鍵.根據圓周角定理可知/A=[NBOC,即可得到答案.

【詳解】根據題意，圓周角—A和圓心角/5OC同對著3C，

ZA=-ZfiOC,

2

NA=45°,

NBOC=2ZA=2x45°=90°.

故選：C.

2.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，A3是二。的直徑，ZE=35°,則N3OD=（）

C.120°D.110°

【答案】D

【分析】本題考查圓周角定理，關鍵是由圓周角定理推出NAOD=2NE.

由圓周角定理得到ZAOD=2NE=70°,由鄰補角的性質求出ZBOD=180°-70°=110°.

【詳解】解：ZE=35°,

.?.ZAOD=2ZE=70°,

ZBOD=180°—70°=110°.

故選：D.

3.（2024.江蘇連云港?中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在。點，另一端綁一重物.將此重物拉到

A點后放開，讓此重物由A點擺動到8點.則此重物移動路徑的形狀為（）

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

【答案】C

【分析】本題考查動點的移動軌跡，根據題意，易得重物移動的路徑為一段圓弧.

【詳解】解：在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點A的運動軌跡是以。為圓心，Q4為半徑的一段

圓弧，

故選：C.

4.（2024.四川涼山?中考真題）數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的

解決方案是：在工件圓弧上任取兩點A8,連接A8,作A8的垂直平分線CD交A3于點。，交A8于點C,

測出AB=40cm,CD=10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識.由垂徑定理，可得出8。的長；設圓心為。，連接。8,在

及△08。中，可用半徑表示出0。的長，進而可根據勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的

直徑長.

【詳解】解：是線段A5的垂直平分線，

直線CO經過圓心，設圓心為。，連接0B.

2

RtAOBD中，BD=-AB=20cm,

2

根據勾股定理得:

OD2+BD2=OB2,即:

(OB-10)2+202=(9B2,

解得：08=25；

故輪子的半徑為25cm,

故選：C.

5.（2024?內蒙古赤峰.中考真題）如圖，AD是。的直徑，是一。的弦，半徑OCLAB,連接CO,交

。3于點E,ZBOC=42°,則NOED的度數是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質.先根據垂徑定理，求得

ZAOC=ZBOC=42°,利用圓周角定理求得4>=；/AOC=21。，再利用三角形的外角性質即可求解.

【詳解】解：：半徑OC_LAB,

?*-AC=BC>

：.ZAOC=ZBOC=42°,ZAOB=84°,

AC=AC'

ZD=-ZAOC=21°,

2

：.ZOED=ZAOB-ND=63°,

故選：B.

6.（2024?湖北?中考真題）AB為半圓。的直徑，點C為半圓上一點，且/C4B=50。.①以點3為圓心,

適當長為半徑作弧，交AB,BC于D,E；②分別以祝為圓心，大于“E為半徑作弧，兩弧交于點「③

作射線3尸，則（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【答案】C

【分析】本題主要考查圓周角定理以及角平分線定義，根據直徑所對的圓周角是直角可求出NABC=40。,

根據作圖可得NABP=\ABC=20°,故可得答案

【詳解】解：為半圓。的直徑，

ZACB=90°,

ZCAB=50°,

：.ZABC=40°,

由作圖知，AP是NA3C的角平分線，

ZABP=-ABC=20°,

2

故選：C

7.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，A3是:O的直徑，若NCDB=60。，則/ABC的度數等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等.根據直徑所對的圓周角為

直角得到NACB=90。，同弧或等弧所對的圓周角相等得到/a?=NA=60。，進一步計算即可解答.

【詳解】解：4?是〈O的直徑，

ZACB=90°,

ZCDB=60°,

4

:.ZA=ZCDB=60°,

ZABC=90°-ZA=30°,

故選：A.

8.（2024.四川廣元?中考真題）如圖，己知四邊形ABC。是。的內接四邊形，E為AD延長線上一點,

ZAOC=128°,則NCDE等于（）

A.64°B.60°C.54°D.52°

【答案】A

【分析】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.根據同弧所

對的圓心角等于圓周角的2倍可求得NABC的度數,再根據圓內接四邊形對角互補，可推出ZCDE=ZABC,

即可得到答案.

【詳解】解：NABC是圓周角，與圓心角/AOC對相同的弧，且NAOC=128。，

ZABC=-ZAOC=!x128。=64°,

22

又“四邊形ABC。是；O的內接四邊形，

:.ZABC+ZADC=180°,

又-.■Z.CDE+ZADC=180°,

ZCDE=ZABC=64°,

故選：A.

9.（2024?云南?中考真題）如圖，C。是的直徑，點A、3在：。上.若AC=BC，ZAOC=36,則ND=

C.36°D.45

【答案】B

【分析】本題考查了弧弦圓心角的關系，圓周角定理，連接。3,由AC=BC可得/SOC=NAOC=36。,

進而由圓周角定理即可求解，掌握圓的有關性質是解題的關鍵.

【詳解】解:連接。8,

AC=BC，

/3OC=NAOC=36°,

ZD=-ZBOC=18°,

2

10.（2024.黑龍江綏化?中考真題）下列敘述正確的是（）

A.順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，中心投影，弧、弦與圓心角的關系，根據相關定理逐項分析

判斷，即可求解.

【詳解】A.順次連接平行四邊形各邊中點不一定能得到一個矩形，故該選項不正確，不符合題意；

B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項不正確，不符合題意；

C.物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子是中心投影，故該選項正確，符合題意；

D.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等，故該選項不正

確，不符合題意；

故選：C.

11.（2024廣東廣州?中考真題）如圖，OO中，弦AB的長為4』，點C在O±,OC±AB,ZABC=30P.0（9

所在的平面內有一點P,若。尸=5,則點P與］。的位置關系是（）

6

A.點尸在。上B.點尸在。內C.點尸在。外D.無法確定

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關系，銳角三角函數，掌握圓的相關性質是解

題關鍵.由垂徑定理可得AD=2石，由圓周角定理可得NAOC=60。，再結合特殊角的正弦值，求出。的

半徑，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，令0C與A3的交點為。，

0c為半徑，48為弦，且

ZABC=30°

ZAOC=2ZABC=60°,

在八位）。中，ZADO=90°,NAO0=6O。，AD=2?,

sinZAOD=—

OA

?AD26“

OA=--------=^^=4

sin60°百即O的半徑為4,

2

OP=5>4,

.,.點P在（:O外,

故選：C.

12.（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，四邊形ABCD是：。的內接四邊形，是O的直徑，若

/BEC=20°,則NADC的度數為（）

【答案】B

【分析】此題考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質，連接AC,由A8是。的直徑得到NACB=90。，

根據圓周角定理得到NC4B=N3EC=20。，得至1」45。=90。-/氏^=7。。，再由圓內接四邊形對角互補

得到答案.

/ACB=90°,

"?NBEC=20。,

：.ZCAB=ZBEC=20°

：.ZABC=90°-ABAC=70°

.四邊形ABCZ）是O的內接四邊形,

ZADC=180°-ZABC=110°,

故選：B

13.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，四邊形ABCO內接于。，ZABC=60°,ZBAC=ZCAD=45°,

AB+AD=2,貝！I。的半徑是（）

8

?V6R2V2「出nV2

3322

【答案】A

【分析】延長AB至點E,使=連接80,連接CO并延長交i。于點R連接AF,即可證得

ADCWEBC（SAS）,進而可求得AC=cos45。-A￡=0，再利用圓周角定理得到NAFC=60。，結合三角

函數即可求解.

【詳解】解：延長AB至點E,使3E=AD,連接8D,連接CO并延長交《。于點尸，連接AF,

:四邊形ABCD內接于。，

ZADC+ZABC=ZABC+Z.CBE=180°

???ZADC=ZCBE

'：ZBAC=ZCAD=45°

：.ZCBD=ZCDB=45°,//MB=90。

：?BD是。的直徑，

???ZDCB=90°

??.△OCB是等腰直角三角形，

：.DC=BC

9：BE=AD

：..AZ)C^JEBC(SAS)

AZACD=ZECB,AC=CE,

?；AB+AD=2

AB+BE=AE=2

又丁NDCB=9。。

：.ZACE=90°

???"CE是等腰直角三角形

AC=cos45°AE=V2

ZABC=60°

：.ZAFC=60°

ZFAC=90°

.”AC246

sin6003

???OF=OC=-CF=—

23

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，圓周角定理，銳角三角函數、等腰三角形的性質與判定等

知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵.

二、填空題

14.（2024?四川南充?中考真題）如圖，48是O的直徑，位于AB兩側的點C,。均在。上，ZBOC=30°,

則度.

【分析】本題考查圓周角定理，補角求出/AOC,根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行求解即

可.

【詳解】解：：A8是：O的直徑，位于A3兩側的點C,D均在上，ZBOC=30°,

ZAOC=180°-ZBOC=150°,

/ADC」/AOC=75。；

2

故答案為：75.

15.（2024?北京?中考真題）如圖，：。的直徑48平分弦CD（不是直徑）.若/D=35。，則/C=

【答案】55

【分析】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

10

先由垂徑定理得到ABA.CD,由BC=BC得到AA=ND=35°,故NC=90?！?5°=55°.

【詳解】解：???直徑平分弦8,

ABLCD,

BC=BC，

：.NA=ND=35°,

NC=90°—35°=55°,

故答案為：55.

16.（2024.江蘇蘇州?中考真題）如圖，ABC是；。的內接三角形，若/O3C=28。，則4=

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，連接。C,利用等腰三角形的

性質，三角形內角和定理求出N3OC的度數，然后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：連接。C,

OB=OC,ZOBC=28°,

：./OCB=NO3C=28。，

ZBOC=180°-Z.OCB-NOBC=124。，

ZA=-ZBOC^62°,

2

故答案為：62°.

17.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，ABC內接于O,是直徑，若NB=25°,貝U/CW

B

【答案】65

【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接CD,根據直徑所對的圓周角是直角

得出NACD=90。，根據同弧所對的圓周角相等得出/。=/8=25。，進而根據直角三角形的兩個銳角互余,

即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接C￡>,

,/ASC內接于fO,AD是直徑，

/ACD=90。，

??ZC=AC，4=25。,

ZD=ZB=25°

ACAD=90°-25°=65°,

故答案為：65.

18.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，ABC內接于Q,點。在上，AD平分/BAC交。于。，連

接8￡>.若AB=10,BD=2出,則BC的長為.

【答案】8

【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判

定和性質，延長AC,BD交于E,由圓周角定理可得NA2）3=ZADE=90。，ZACB=ZBCE=90°,進而

可證明▲ABD空"D（ASA）,得到=DE=2指，即得BE=4有，利用勾股定理得AD=46，再證明

△ABDSABCE,得到黑=照,據此即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

ABAD

【詳解】解：延長AC,BD交于E,

是.。的直徑，

ZADB=ZADE=90°fZACB=ZBCE=90°f

12

A￡>平分/8AC,

:.ZBAD=ZDAE,

又：AD=AD,

，ABD^.AED(ASA),

BD=DE=2A/5,

.-.BE=4A/5,

AB=W,BD=2-45,

:.AD=J102-(2肩=4^5,

ZDAC=ZCBD,

又：ZBAD=ZDAE,

NBAD=NCBD,

ZADB=ZBCE=90°,

ABD^BEC,

,BE_BC

,,耘一布，

.4A/5BC

10475

:.BC=8,

故答案為：8.

19.（2024.陜西?中考真題）如圖，BC是「。的弦，連接OB,OC,-4是BC所對的圓周角，則/A與N03C

的和的度數是.

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的

關鍵.根據圓周角定理可得/8OC=2NA,結合三角形內角和定理，可證明2NA+NQ5C+/OCB=180。，

再根據等腰三角形的性質可知/03C=N0CB,由此即得答案.

【詳解】NA是BC所對的圓周角，/BOC是BC所對的圓心角，

:.ZBOC=2ZA,

ZBOC+ZOBC+ZOCB=180°,

:.2ZA+ZOBC+Z.OCB=180。，

OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

2ZA+ZOBC+ZOBC=180°,

.-.2ZA+2ZOBC=180°,

ZA+ZOBC=90°.

故答案為：90°.

20.（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）如圖，在（O中，直徑ASLCZ）于點E,CD=6,BE=1,則弦AC的

長為.

【答案】3歷

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關鍵.

由垂徑定理得CE=ED=gcD=3,設O的半徑為r，則=-￡3=廠一1,在咫OED中，由勾股定

理得出方程，求出r=5,即可得出AE=9,在RtAEC中，由勾股定理即可求解.

14

【詳解】解：

:.CE=ED=-CD=3,

2

設<。的半徑為,，則OE=O3-￡B=r-l,

在R0匹中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2,即（-I）?+3?=/,

解得：r=5,

OA—5QE-4,

:.AE=OA+OE=9,

在MAEC中，由勾股定理得：AC=^CE2+AE2=732+92=3710.

故答案為：3M.

21.（2024.江西?中考真題）如圖，AB是。的直徑，AB=2,點C在線段上運動，過點C的弦DEI,

將。BE沿DE翻折交直線AB于點R當DE的長為正整數時，線段陽的長為.

【答案】2-百或2+6或2

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質，根據可得DE=1或2,利用勾股定理

進行解答即可，進行分類討論是解題的關鍵.

【詳解】解：4?為直徑，DE為弦,

DE<AB,

..■當DE的長為正整數時，DE=1或2,

當DE=2時，即DE為直徑，

：DE^AB

，將沿OE翻折交直線AB于點F,此時產與點A重合，

故上?=2;

當OE=1時，且在點C在線段OB之間，

如圖，連接。。，

此時OD=』AB=I,

2

2

BF=2BC=2-6

當OE=1時，且點C在線段Q4之間，連接0D,

:.BF=2BC=2+也,

綜上，可得線段的長為2-有或2+6或2,

故答案為：2-石或2+6或2.

22.（2024?河南?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,C4=CB=3,線段C。繞點C在平面內

旋轉，過點8作A￡）的垂線，交射線4。于點E.若CD=1,則AE的最大值為,最小值為.

【答案】2點+1/1+2&2V2-1/-1+2V2

【分析】根據題意得出點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上，點E在以48為直徑的圓上，根據

AE=ABcosZBAE,得出當cos/BAE最大時，AE1最大，cos/BAE最小時，AE最小，根據當AE與C

16

相切于點。，且點。在ABC內部時，44E最小，AE最大，當AE與_C相切于點。，且點。在ABC

外部時，NBAE最大,AE最小，分別畫出圖形，求出結果即可.

【詳解】解：：/ACB=90。，CA=CB=3,

：.ABAC=ZABC=1x90°=45°,

2

:線段CO繞點C在平面內旋轉，CD=1,

...點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上，

BE±AE,

：.ZAEB=90°,

...點E在以AB為直徑的圓上，

在RtAABE中，AE=AB-cosZBAE,

?/A3為定值，

??.當cosNBAE最大時，AE最大，cos/BAE1最小時，AE最小，

.,.當AE與；C相切于點。，且點。在一ABC內部時，NBAE最小,AE最大,連接8,CE,如圖所示:

則CDLAE,

ZADC=NCDE=90。，

???AD=7AC2-CD2=打-f=272，

AC=AC

：.ZCED=ZABC=45°,

,：NCDE=90。,

；.CDE為等腰直角三角形，

DE=CD=1,

AE=AD+DE=2a+1，

即AE的最大值為20+1;

當AE與C相切于點，且點。在4ABe外部時，NBAE最大,AE最小,連接C。，CE,如圖所示:

則CDLAE,

NCDE=90。,

22

???AD=VAC-CD=V32-i2=2V2，

?..四邊形ABCE為圓內接四邊形，

ZCEA=180°-ZABC=135°,

：.NCED=180°-ZCEA=45°,

NCDE=90。,

,.CDE為等腰直角三角形，

Z.DE=CD=1,

AE=AD-DE=2&-1，

即AE的最小值為20-1;

故答案為：20+1;272-1.

【點睛】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，圓內接四邊形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，

解直角三角形的相關計算，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的性質，找出AE取最大值和最小值

時，點。的位置.

三、解答題

23.（2024.四川甘孜.中考真題）如圖，43為。。的弦，C為人臺的中點，過點C作CO〃AB,交的延

長線于點D連接Q4,OC.

18

⑴求證：co是。。的切線；

(2)若。4=3,BD=2,求90c。的面積.

【答案】(1)見解析

⑵6

【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識點，熟記相關結論是解題關鍵.

(1)由垂徑定理的推論可知據此即可求證；

(2)利用勾股定理求出。即可求解；

【詳解】(1)證明：為。。的弦，C為A8的中點，

由垂徑定理的推論可知：OC±AB,

CD//AB,

：.OCLCD,

0C為。。的半徑，

C￡)是。。的切線；

(2)解：,：OB=OA=OC=3,BD=2,

：.OD=OB+BD=5,

CD=>JOD2-OC2=4>

/.Svocfl=g義OCxCD=6.

24.(2024?內蒙古包頭?中考真題)如圖，48是。的直徑，BC,BD是。的兩條弦，點C與點。在的

兩側，E是0B上一點(OE>BE),連接OC,CE,且ZBOC=2NBCE.

(1)如圖1,若5E=1,CE=y[5,求：。的半徑；

(2)如圖2,若BD=2OE,求證：3D〃OC.(請用兩種證法解答)

【答案】(1)3

(2)見解析

【分析】(1)利用等邊對等角、三角形內角和定理求出NO2C=NOCB=g(180O-/BOC),結合

NBOC=2NBCE,可得出/QBC+/3CE=90。，在RtOCE中，利用勾股定理求解即可；

(2)法一：過。作OF,應)于凡利用垂徑定理等可得出==然后利用HL定理證明

RtCEO^RtOFB,得出NCOE=NOBb,然后利用平行線的判定即可得證；

法二：連接AD,證明CEOsADB,得出/COE=/ABD,然后利用平行線的判定即可得證

【詳解】(1)解：'：OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB=1(180°-ZBOC),

,：ZBOC=2ZBCE,

：.NOBC=1(180°-2NBCE)=90°-NBCE,即ZOBC+NBCE=90°,

ZOEC=90°,

OC2^OE2+CE2,

oc2=(oc-i)2+[^)2,

解得OC=3,

即一。的半徑為3；

(2)證明：法一：過。作。尸，3。于后

D

：.BF=-BD,

2

,?BD=2OE

：.OE=BF,

又OC=OB,NOEC=NBFO=90°,

20

RtCEO^RtOZ;B(HL),

ZCOE=ZOBF,

：.BD//OC-,

法二：連接AD,

：AB是直徑，

ZADB=90°,

?*.AD=^AB2-BD2=J（2OC）2_（2OE）2=2y/oC2-OE2=2CE,

.PCCEOE\

"AB~AD~BD~1'

.CEO^ADB,

：.ZCOE=ZABD,

：.BD//OC.

【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，全

等三角形的判定與性質等知識，明確題意，靈活運用所學知識解題是解題的關鍵.

25.（2024?安徽?中考真題）如圖，。是.ABC的外接圓，。是直徑A3上一點，NACD的平分線交AB于

⑴求證：CD1AB；

（2）設垂足為若OM=OE=1,求AC的長.

【答案】（1）見詳解

（2）472.

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，圓周角定理，勾股定理等知識，掌握這些性質以及定理是解

題的關鍵.

（1）由等邊對等角得出44E=N位,由同弧所對的圓周角相等得出NE4E=N3CE,由對頂角相等得

出ZAEF=NCEB,等量代換得出/CEB=N8CE,由角平分線的定義可得出NACE=/OCE,由直徑所對

的圓周角等于90?？傻贸?ACB=90。，即可得出/CEB+〃CE=/fiCE+/ACE=NACB=90。，即

ZCDE=90°.

（2）由（1）知，/C￡B=/BCE,根據等邊對等角得出郎=3C,根據等腰三角形三線合一的性質可得

出M4,AE的值，進一步求出OA,BE,再利用勾股定理即可求出AC.

【詳解】（1）證明：：FA=FE,

：.ZFAE=ZAEF,

又44E與23CE都是2f所對的圓周角，

NFAE=NBCE,

'：ZAEF=NCEB,

：.NCEB=NBCE,

'：CE平分/AGO,

ZACE=NDCE,

,/A3是直徑，

ZACB=90°,

：.ZCEB+Z.DCE=NBCE+ZACE=ZACB=90°,

故NCDE=90。，

即CD_LAB.

（2）由（1）知，NCEB=NBCE,

：.BE=BC,

又E4=FE,FM±AB,

：.MA=ME=MO+OE=2,AE=4,

圓的半徑OA=OB=AE-OE=3,

BE=BC=OB-OE=2,

在，ABC中.

AB=2（M=6,BC=2

AC=y]AB2-BC2=A/62-22=40

即AC的長為40.

26.（2024.四川眉山?中考真題）如圖，BE是。的直徑，點A在O上，點C在BE的延長線上，

22

ZEAC=ZABC,A￡>平分ZBAE交：。于點。，連結OE.

⑴求證：C4是O的切線；

(2)當AC=8,CE=4時，求的長.

【答案】(1)見解析

(2)6A/2

【分析】本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判

定是解題的關鍵.

(1)連接Q4,根據圓周角定理得到/及歸=90。，根據等腰三角形的性質得到=求得

NQ4c=90。，根據切線的判定定理得到結論;

(2)根據相似三角形的判定和性質定理得到BC=16,求得BE=BC-CE=12,連接9,根據角平分線

的定義得到44￡>=㈤￡>,求得BD=DE，得到3D=DE，根據等腰直角三角形的性質即可得到結論.

【詳解】(1)證明：連接。4,

BE是,。的直徑,

.-.ZBAE=90°,

:.ZBAO+ZOAE=90°,

OA=OB,

:.ZABC=ZBAO,

/EAC=ZABC,

ZCAE=ZBAO,

ZCAE+ZOAE=90°,

.-.ZOAC=90°,

CM是O的半徑,

二.C4是：。的切線；

(2)解：ZEAC=ZABC,ZC=ZC,

ACCE

*BC-AC?

.8_4

??=一,

BC8

:.BC=16,

:.BE=BC-CE=12,

連接50,

AD平分ZBAE,

\?BAD?EAD,

BD=DE，

BD=DE，

BE是；。的直徑，

.-.ZBDE=90°,

27.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知NPAQ及AP邊上一點C.

（1）用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點0,使得NCOQ=2NC4Q；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，以點。為圓心，以。4為半徑的圓交射線AQ于點5,用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP

上求作點使點”到點C的距離與點/到射線A。的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）

3

⑶在（1）、（2）的條件下，若sinA=g,CM=12,求的長.

【答案】⑴作圖見詳解

24

(2)作圖見詳解

(3)BM=675

【分析】(1)根據尺規(guī)作角等于已知角的方法即可求解；

(2)根據尺規(guī)作圓，作垂線的方法即可求解；

(3)根據作圖可得“川，4。CM=WM=U,AB是直徑，結合銳角三角函數的定義可得40的值，根

據勾股定理可求出AC的值，在直角中運用勾股定理即可求解.

/.ZCOQ=2ZCAQ.

點。即為所求

(2)解:如圖所示,

連接BC,以點B為圓心，以2C為半徑畫弧交AQ于點片，以點片為圓心，以任意長為半徑畫弧交AQ于

點G，2,分別以點G，2為圓心，以大于為半徑畫弧，交于點耳，連接用《并延長交AP于點

：AB是直徑，

ZACB=90°,即BC_LAP,

根據作圖可得4G=BR,GE=DE,

：.MBt±AQ,即/Mg8=90。，M4是點M到AQ的距離,

,/BC=BBt,

：.RtBCMQRt_BB\M(HL),

：.CM=B[M,

點M即為所求點的位置;

（3）解：如圖所示,

根據作圖可得，ZCOQ=2ZCAQfMC=MW=12,MWLAQ,連接BC,

WM3

在RtAMW中，sinA-------=—,

AM5

."-2。,

33

???AC=AM-CM=2Q-n=8,

???是直徑,

???ZACB=90°,

sinA=^=3

AB5

設BC=3x,貝！=

???在RtABC中，（5x）2=（3%）2+g2,

解得，X=2（負值舍去），

BC=3x=6,

在用3cM中，BM=yjCM2+BC2=7122+62=675-

【點睛】本題主要考查尺規(guī)作角等于已知角，尺規(guī)作垂線，勾股定理，銳角三角函數的定義等知識的綜合，

掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵.

28.（2024.河南?中考真題）如圖1,塑像A3在底座3c上，點。是人眼所在的位置.當點B高于人的水平

視線OE時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數學家研究發(fā)現：當經過

A,2兩點的圓與水平視線DE相切時（如圖2）,在切點尸處感覺看到的塑像最大，此時/APB為最大視

角.

26

A

(1)請僅就圖2的情形證明ZAPB>ZADB.

(2)經測量，最大視角為30。，在點P處看塑像頂部點A的仰角/4PE為60。，點P到塑像的水平距

離PH為6m.求塑像AB的高(結果精確到0.1m.參考數據：V3?1.73).

【答案】(1)見解析

(2)塑像AB的高約為6.9m

【分析】本題考查了圓周角定理，三角形外角的性質，解直角三角形的應用等知識，解題的關鍵是：

(1)連接根據圓周角定理得出=根據三角形外角的性質得出然后

等量代換即可得證；

(2)在RtA//P中，利用正切的定義求出凡修，在中，利用正切的定義求出即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接

ZAMB>ZADB,

ZAPB>ZADB.

(2)解：在RtAHP中，ZAPH=60°,PH=6.

AH

VtanZAPH=——,

PH

AAH=PZ/tan60°=6x^/3=6^.

VZAPS=30°,

???ZBPH=ZAPH-ZAPB=60°-30°=30°.

在RtZkBHP中，tanZBPH=——,

AB=AH-BH=673-273=473~4x1.73~6.9(m).

答：塑像AB的高約為6.9m.

29.(2024?江西?中考真題)如圖，是半圓。的直徑，點。是弦AC延長線上一點，連接3DBC,

ZD=ZABC=6O°.

AOB

⑴求證：是半圓。的切線；

(2)當3C=3時，求AC的長.

【答案】(1)見解析

(2)2萬

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質，弧長公式，熟知相關性質和計

算公式是解題的關鍵.

(1)根據直徑所對的圓周角為直角結合已知條件，可得/QV=30。，即可得？ABD90?,進而可證得結

論；

(2)連接OC,證明△OBC為等邊三角形，求得ZAOC=120。，利用弧長公式即可解答.

【詳解】(1)證明：48是半圓。的直徑，

ZACB=90°,

ZD=ZABC=60°,

ZCAB=90°-ZABC=30°,

ZABD=180°-ZCAB-ZD=90°,

.〔BO是半圓。的切線；

(2)解：如圖，連接OC,

OC=OB,ZCBA=60°,

28

.?..OCB為等邊三角形,

/.ZCOB=60°,OC=CB=3,

ZAOC=180°-/COB=120°,

,120ccc

!.=---x2〃x3=2?.

AC360

30.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在△ABO中，AB=BD,O為△AB。的外接圓，BE為。的切線,

AC為O的直徑，連接。。并延長交班于點E

（1）求證：DE±BE；

⑵若AB=5而，BE=5,求O的半徑.

【答案】（1）見解析

(2)3小

【分析】本題考查切線的性質，圓周角定理，中垂線的判定和性質，矩形的判定和性質：

（1）連接80并延長，交于點H,連接。。，易證80垂直平分AD,圓周角定理，切線的性質，推出

四邊形3m花為矩形，即可得證；

（2）由（1）可知D〃=3E=5,勾股定理求出3"的長，設；。的半徑為人在RtZkAOH中，利用勾股

定理進行求解即可.

【詳解】（1）證明：連接80并延長，交于點H,連接。。，

D

VAB=BD,OA=OD,

5。垂直平分AD,

/.BHJ.AD,AH=DH,

,：BE為。的切線，

為O的直徑，

/ADC=90。，

.??四邊形跳ZDE為矩形，

?*.DELBE；

（2）由（1）知四邊形3HDE為矩形，BHJ.AD,AH=DH,

：.AH=DH=BE=5,

；?BH=4AB1-AH2=5#>，

設的半徑為r,貝lj：OA=OB=r,OH=BH-OB=5y/5-r,

在RtAAO”中，由勾股定理，得：r2=（5）2+（5^-r）2,

解得：r=3>/5;

即：。的半徑為3指.

31.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在&ABC中，AC^BC,ZACB=90。,O經過4、C兩點，交AB

于點D,CO的延長線交A3于點凡DE〃C尸交BC于點E.

⑴求證：DE為O的切線;

(2)若AC=4,tanZCfD=2,求,。的半徑.

【答案】（1）證明見解析:

3

【分析】（1）連接。。，根據等腰三角形的性質可得/COD=2NC4B=90。，再根據DECF,可得

ZEDO=180°-ZCOD=90°，問題得證；

（2）過點C作CH，AB于點H,根據等腰直角三角形的性質有C"=A"=20，結合tan/CFD=2,可

30

得于=2,即切=拒，利用勾股定理可得CF=廂.在Rt^FOD中，根據tanNCED=￡=,設半

FHOF

徑為廠，即有扁二:二2,問題得解.

【詳解】（1）證明：連接OQ.

VAC=BC,ZACB=9Q0,

.??為等腰直角三角形，

???NC4B=45。，

???ZCOD=2ZCAB=90°,

'：DECF,

：.NCOD+NEDO=180。,

：.ZEDO=180°—Z.COD=90°,

OE為〈。的切線.

(2)過點C作CHLAB于點H,

???△ACB為等腰直角三角形，AC=4,

?,AB=4\/2，

,CH=AH=242，

tan/CFD=2,

0=2,

FH

FH=叵,

CF2=CH2+FH2,

CF=yJ10.

在RtAFOZ)中，VtanZCFD=—=2,

OF

設半徑為…扁丁2,

.2M

??F—---------?

3

\FH/Dn

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正切，勾股定理等知識以及等腰三角形的性質等知識，問

題難度不大，正確作出合理的輔助線，是解答本題的關鍵.

32.（2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在ABC中，以AB為直徑的。交于點AC,

垂足為￡.。的兩條弦陽相交于點=陽.

⑴求證：DE是?。的切線；

（2）^ZC=30°,CZ）=273,求扇形03。的面積.

【答案】（1）見解析

⑵生

3

【分析】（1）連接。。，利用等邊對等角，圓周角定理等可得出/a）A=/ZME,由垂直的定義得出

ZADE+ZDAE=90°,等量代換得出/ADE+/OD4=90。，即。OIDE,然后根據切線的判定即可得證；

（2）先利用含30。的直角三角形的性質求出。E=小，同時求出NEDC=60。，進而求出/SOD=30。，利

用等邊對等角，三角形外角的性質等可求出/AOD=60。，ZBOD=120°,證明△AOD是等邊三角形，得

出AD=OD,ZODA=60°,進而求出NAZ）E=30。，在Rt^ADE中，利用余弦定義可求出45=2,最后

利用扇形面積公式求解即可.

【詳解】（1）證明：連接OO,

,?OD^OA,

32

ZODA=ZOAD,

又NDAB=NBFD,ZDAE=ZBFD,

：./ODA=/DAE,

,：DE1AC,

：.ZADE-^ZDAE=90°,

：.ZADE+ZODA=90°,即ODJ.DE,

又OD是。的半徑；

：?DE是。的切線；

(2)解：VZC=30°,CD=2K，DE1AC,

:.DE==CD=6,ZCDE=60°,

2

又ODLDE,

???ZBDO=180°-ZODE-ZCDE=30°,

OB=OD,

：.NOBD=ZODB=30°,

AZAOD=60°,ZBOD=120°

又QD=Q4,

???△AOD是等邊三角形，

：.AD=OD.ZODA=60°,

：.ZADE=30°,

在RtZXADE中，AD=———=近?=2,

cos/ADEcos30°

扇形OBD的面積為強之=—.

3603

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，解直角三

角形的應用，三角形外角的性質，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

33.(2024.江蘇揚州?中考真題)在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊

情況，猜想結論，然后再研究一般情況，證明結論.

如圖，已知ABC,CA=CB,。是,ASC的外接圓，點。在一(AD>BD),連接AD、BD、CD.

【特殊化感知】

(1)如圖1,若/ACB=60。，點。在49延長線上，則AD-3D與CD的數量