初中二次函數(shù)知識點

★二次函數(shù)知識點匯總支

1.定義：一般地，如果y=a》2+/?x+c(q,4c是常數(shù)，awO),那么y叫做x的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)y=a/的性質(zhì)

(1)拋物線>=以2(。/0)的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸.(2)函數(shù)>=辦2的圖像與。的符

號關(guān)系.

①當。>0時O拋物線開口向上O頂點為其最低點；②當a<0時。拋物線開口向下O頂點

為其最高點

3.二次函數(shù)y=a/+云+c的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(xi)2+左的形式，其中

,b—b2

KL=----9K.7'=--4-?--c----?

2a4a

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

(1)y=ax1；@y-ax1+k；?y=a(x-h)2；?y=a(x-h)2+k；(5)v=ax2+bx+c.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a決定拋物線的開口方向：

當?！?時，開口向上；當a<0時，開口向下；同相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作x=h.特別地，y軸記作直線x=0.

7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開

口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.

8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

(1)公式法：y=ax+bx+c-(^x+.?.頂點是(-鄉(xiāng)，手士)，對稱軸是直線

la)4〃la4〃

b

x—?

2a

⑵配方法：運用配方法將拋物線的解析式化為了=。("好+女的形式，得到頂點為(〃，左)，對稱

軸是x=h.

(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的

垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

★用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失★

9.拋物線y=a/+/?x+c中，a,4c的作用

⑴。決定開口方向及開口大小，這與y=a/中的。完全一樣.

⑵。和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線》=故:

2a

①6=0時，對稱軸為y軸；②2>0(即。、6同號)時，對稱軸在y軸左側(cè)；

a

③。<0(即a、6異號)時，對稱軸在y軸右側(cè).

a

⑶c的大小決定拋物線y^ax2+bx+c^y軸交點的位置.

當尤=0時，y=c,?,?拋物線y=奴2+bx+c與y軸有且只有一個交點(0,c)：

①c=0,拋物線經(jīng)過原點；②c>0,與_丫軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負半軸.

以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，那么^<0.

10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標

y=ax1尤=0(,軸)(0,0)

y=ax2+k當〃>0時x=0(y軸)(0,k)

y=a(x-/z)2開口向上x=h(〃，0)

當a<0時

y=a{x-h)2-\-kx=h(h,k)

開口向下

b(b4ac-b2)

y=ax2+bx+cx=---

2a2a4a

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：y=ax1+bx+c.圖像上三點或三對X、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：>=。(％-〃)2+上.圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(3)交點式：圖像與x軸的交點坐標修、/，通常選用交點式：y=a(x-x^x-x2).

12.直線與拋物線的交點

(1)y軸與拋物線y=奴2+法+。得交點為(0,。)

⑵與丁軸平行的直線尤=〃與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個交點

(A,ah~+bh+c).

(3)拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)_y+6x+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標修、x2,是對應(yīng)一元二次方

程

ax?+"+c=0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的

判別式判定:

①有兩個交點O△>0O拋物線與X軸相交；

②有一個交點(頂點在X軸上)0△=()O拋物線與X軸相切；

③沒有交點o△<0o拋物線與％軸相離.

(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點

同(3)一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相

等,設(shè)縱坐標為左，那么橫坐標是62+笈+。=左的兩個實數(shù)根.

⑸一*次函數(shù)y=丘+〃(左。0)的圖像/與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)的圖像G的交點，由

方程組

丘:〃的解的數(shù)目來確定：

y=ax+bx+c

①方程組有兩組不同的解時。/與G有兩個交點；

②方程組只有一組解時。/與G只有一個交點；③方程組無解時o/與G沒有交點.

(6)拋物線與x軸兩交點之間的距離：假設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與X軸兩交點為

ax

4%,0),B(X2,0),由于、乙是方程~+bx+c=0的兩個根，故

bc

%]+=--，再,=一

aa

13.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

(1)一元二次方程y^ax2+bx+c就是二次函數(shù)丁=以2+公+。當函數(shù)丫的值為0時的情況.

(2)二次函數(shù)丁=以2+法+。的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、

沒有交點；當二次函數(shù)丁=。/+以+。的圖象與x軸有交點時，交點的橫坐標就是當

y=0時自變量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

⑶當二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與X軸有兩個交點時，那么一元二次方程

y^ax-+/w+c有兩個不相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)y^ax1+bx+c的圖象與x軸有一

個交點時，那么一元二次方程a/+bx+c=。有兩個相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)

yax2+bx+c的圖象與x軸沒有交點時，那么一元二次方程ax?+fex+c=0沒有實數(shù)根

14.二次函數(shù)的應(yīng)用：

(1)二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數(shù)的最大(小)值；

(2)二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面:分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)

關(guān)系；

運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大QJ、)值.

15.解決實際問題時的根本思路：（1）理解問題；（2）分析問題中的變量和常量；（3）用函數(shù)

表達式表示出它們之間的關(guān)系；（4）利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進行求解；（5）檢驗結(jié)果的

合理性，對問題加以拓展等.

二次函數(shù)知識點

一、二次函數(shù)概念：

1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=aY+fcv+c（b,c是常數(shù)，。大0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這

里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)。工0,而b,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).

2.二次函數(shù)y+6x+c的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.

⑵a,6,c是常數(shù)，。是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

二、二次函數(shù)的根本形式

1.二次函數(shù)根本形式：>=狽2的性質(zhì)：

a的絕

4的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)對值越

x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x大，拋

a>0向上(0,0)y軸

的增大而減??；％=0時，y有最小值0.物線的

開口越

%>0時，y隨尤的增大而減?。籜<0時，y隨x

a<0向下(0,0)y軸小。

的增大而增大；彳=0時，y有最大值0.

2.

y=ax2+c的性質(zhì):

上加下減。

3.

。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)

x>0時，y隨x的增大而增大；尤<0時，y隨xy=a[x-hy

a>0向上（0,C）y軸

的增大而減小；％=0時，y有最小值c.

的性

x>0時，y隨x的增大而減小；x<0時，y隨x質(zhì)：

a<0向下（0,C）y軸

的增大而增大；x=0時，y有最大值c.左

加右

減。

。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)

時，y隨X的增大而增大；龍v/z時，y隨X

a>0向上(/2,0)X二h

的增大而減??；x=/z時，y有最小值0.

時，y隨x的增大而減?。积?lt;/z時，y隨x

a<0向下(h,0)X二h

的增大而增大；x=/z時，y有最大值0.

4.y=+%的性質(zhì):

。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)

x＞為時，y隨x的增大而增大；尤〈力時，y隨x

a>Q向上(h,k)X二h

的增大而減??；x=/z時，y有最小值左.

時，y隨x的增大而減?。挥取从脮r，y隨x

a<0向下(h,k)X二h

的增大而增大；了=//時，y有最大值化.

三、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)=a（x-/7）2+A:,確定其頂點坐標（〃，左）；

⑵保持拋物線＞的形狀不變，將其頂點平移到他，左）處，具體平移方法如下：

2.平移規(guī)律

在原有函數(shù)的根底上“人值正右移，負左移；左值正上移，負下移”.

概括成八個字“左加右減，上加下減”.

方法二：

⑴丁=ax?+6x+c沿y軸平移:向上（下）平移機個單位，y=?%2+Z?x+c變成

y=ax1+bx+c+m（或_y=af+》x+c-〃z）

⑵y=ad+bx+c沿軸平移：向左（右）平移7〃個單位，y-ax2+bx+c

y=a（x+m）2+b{x+m）+c（或y=a（x-tn）2+b{x-in）+c）

四、二次函數(shù)y=a（x-/?y+k與＞=辦2+bx+c的比擬

從解析式上看，了=。（犬-/7）2+上與〉="2+法+。是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者,

22

b\4ac-b7b.4ac-b

即y=〃XH---?----+---4a-其中%二---,k=----------

2a2a4a

五、二次函數(shù)y=ax2+Zzx+c圖象的畫法

五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y=/+bx+c化為頂點式y(tǒng)=a（x-〃）2+左，確定其開口方向、

對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y

軸的交點（0,c）、以及（0,c）關(guān)于對稱軸對稱的點（2mc）、與無軸的交點&,0）,0）（假設(shè)

與x軸沒有交點，那么取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.

畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.

六、二次函數(shù)、=辦2+法+c的性質(zhì)

1.當。＞0時，拋物線開口向上，對稱軸為彳=-2,頂點坐標為絲匕生］.

2a12a4aJ

當了＜--生時，y隨x的增大而減小；當-■上時，y隨工的增大而增大；當％=2時，y有最小

2a2a2a

/士4ac-b1

值-------

4a

2當。<。時，拋物線開口向下，對稱軸為一：，頂點坐標為當一白時，y隨

X的增大而增大；當x>-2時，y隨X的增大而減小；當無=-2時，y有最大值4農(nóng)一”.

2a2a4a

七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，awO）；

2.頂點式：y=a（x-h）2+k（a,h,左為常數(shù)，awO）；

3.兩根式：y=a（x-xj（尤-尤2）（。大0,藥，多是拋物線與了軸兩交點的橫坐標）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有

拋物線與x軸有交點，即6?一4acN0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式的這

三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項系數(shù)a

二次函數(shù)y=aY+6x+c中，a作為二次項系數(shù)，顯然a/O.

（1）當a>0時，拋物線開口向上，。的值越大，開口越小，反之。的值越小，開口越大；

⑵當a<0時，拋物線開口向下，。的值越小，開口越小，反之。的值越大，開口越大.

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，回的大小決定開口的大小.

2.一次項系數(shù)6

在二次項系數(shù)。確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.

⑴在a>0的前提下，

當人>0時，-3<0,即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)；

2a

b

當b=o時，——=0,即拋物線的對稱軸就是y軸；

2a

b

當8<0時，>0,即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè).

2a

⑵在。<0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

當b>0時，——>0,即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)；

2a

當8=0時，-△=（）,即拋物線的對稱軸就是y軸；

2a

b

當b<0時，--<0,即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè).

2a

總結(jié)起來，在a確定的前提下，6決定了拋物線對稱軸的位置.

b

ab的符號的判定：對稱軸x=----在y軸左邊那么ab>0,在y軸的右側(cè)那么ab<0,概括的說

2a

就是“左同右異”

總結(jié)：

3.常數(shù)項c

⑴當c>0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；

⑵當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；

⑶當c<0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負.

總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置.

總之，只要a,b,c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.

二次函數(shù)解析式確實定：

根據(jù)條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目

的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：

1.拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2.拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式；

3.拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；

4.拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式.

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達

1.關(guān)于x軸對稱

y=依2+6x+c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=-辦2-bx-c；

y=a（x-/?y+上關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=-a（尤-左；

2.關(guān)于y軸對稱

y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；

y=a[x-lty+k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=a（x++k；

3.關(guān)于原點對稱

y=依2+6x+c關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y二-亦？+bx-c-,

y=a（x-/i）2+左關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是y=-a[x+h\-k；

4.關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180。）

h2

y=ax2+6x+c關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y=-如2-bx+c---；

2a

y=a（x-/z『+左關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y=-a（尤.

5.關(guān)于點（加，”）對稱

y=+左關(guān)于點（加，〃）對稱后，得到的解析式是y=-a（x+/?-2〃z）2+2”-上

根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此間永遠不變.求拋

物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原那么，選擇適宜的形式，習(xí)慣上是先確定原拋

物線（或表達式的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫

出其對稱拋物線的表達式.

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點情況）：

一元二次方程ax1+bx+c=0是二次函數(shù)y=6?+笈+0當函數(shù)值>=o時的特殊情況.

圖象與x軸的交點個數(shù)：

①當A=>2一4〃°>0時，圖象與元軸交于兩點A（玉,0）,B（X2,0），其中的玉，工2是一元二次

方程ax2+bx+c=0（a^0）的兩根.這兩點間的距離AB=民-占|=":產(chǎn).

\a\

②當A=0時，圖象與尤軸只有一個交點；

③當Ac。時，圖象與x軸沒有交點.

「當。>0時，圖象落在龍軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y>0；

2,當a<0時，圖象落在尤軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y<0.

2.拋物線了=0?+加+。的圖象與y軸一定相交，交點坐標為（0,c）；

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)_￥=依2+法+。中。，b,c的符號，或由二次函數(shù)中a,b,c的符號判

斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和一點對稱的點坐標，或與無軸的一個交點坐標,

可由對稱性求出另一個交點坐標.

⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式冰？+法+°（。片0）本身就是所含字母X的二次函數(shù)；下

面以。>0時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系:

A>0拋物線與無軸有兩二次三項式的值可正、可一元二次方程有兩個不相等實根

個交點零、可負

A=0拋物線與無軸只有二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根

一個交點

A<0拋物線與X軸無交二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.

點

圖像參考：

H^一■、函數(shù)的應(yīng)用

‘剎車距離

二次函數(shù)應(yīng)用〈何時獲得最大利潤

最大面積是多少

二次函數(shù)考查重點與常見題型

1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：

以工為自變量的二次函數(shù)y=（切一2）產(chǎn)+m2一〃?一2的圖像經(jīng)過原點，那么加的值是

2.綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點是在同一直角坐標系內(nèi)考查兩

個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數(shù)y=依+）的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y=上一+6x—l的圖像大致是（）

一條拋物線經(jīng)過(0,3),(4,6)兩點，對稱軸為X=3,求這條拋物線的解析式。

3

4.考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：

3

拋物線y=+6x+c1aW0)與x軸的兩個交點的橫坐標是一1、3,與y軸交點的縱坐標是一^

(1)確定拋物線的解析式；(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

5.考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。

【例題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號

例1(1)二次函數(shù)〉=。無2+法+。的圖像如圖1,那么點〃(仇￡)在()

a

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)二次函數(shù)y=ax?+bx+c[a/0)的圖象如圖2所示，那么以下結(jié)論：①a、b同號；②當x=l和x=3

時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

(1)(2)

【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.

例2.二次函數(shù)y=ax°+bx+c的圖象與x軸交于點(-2,。)、(xn0),且l〈x《2,與y軸的正半軸的交點在點

(0,2)的下方.以下結(jié)論：①a〈b〈O；②2a+c>0；③4a+c<0；@2a-b+l>0,其中正確結(jié)論的個數(shù)為()

A1個B.2個C.3個D.4個

答案：D

會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

例3.：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2,且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2,

那么拋物線的頂點坐標為()

A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)

答案：C

例4、[2006年煙臺市)如圖(單位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB

與CD重合.設(shè)x秒時，三角形與正方形重疊局部的面積為ym?.

(1)寫出y與x的關(guān)系式；

(2)當x=2,3.5時，y分別是多少？/。

(3)當重疊局部的面積是正方形面積的一半時，K----------

三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、\

對稱軸.\

例5、拋物線y=工x2+x-』._____________________________L

22BC

(1)用配方法求它的頂點坐標和對稱軸.

(2)假設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點為A、B,求線段AB的長.

【點評】此題(1)是對二次函數(shù)的“根本方法”的考查，第(2)問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)

系.

例6.：二次函數(shù)y=axJ(b+l)x-3a的圖象經(jīng)過點P(4,10),交x軸于4(玉,0),,0)兩點($</)，

交y軸負半軸于C點，且滿足3Ao=0B.

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點M,使銳角/MC0〉/AC0?假設(shè)存在，請你求出M

點的橫坐標的取值范圍；假設(shè)不存在，請你說明理由.

⑴解:如圖：拋物線交x軸于點A(xi,0),B(x2,0),

那么Xi?X2=3<0,X'."XI<X2,

x2>0,xi<0,,.'30A=0B,.*.X2=-3XI.

???_Xi?X22_——3xi—?—32._-i??Xi—1.

Xi<0,??Xi——1.???X2~3.

...點A(-l,0),P(4,10)代入解析式得解得a=2b=3

A.二次函數(shù)的解析式為y-2x-4x-6.

⑵存在點M使/MC0〈NAC0.

(2)解：點A關(guān)于y軸的對稱點A'(1,0),

直線A,C解析式為y=6x-6直線A'C與拋物線交點為(0,-6),(5,24).

符合題意的x的范圍為T〈x〈0或0〈x〈5.

當點M的橫坐標滿足T〈x〈0或0<x<5時，ZMC0>ZAC0.

1,,____,

例7、“函數(shù)y=—廠+Z?x+c的圖象經(jīng)過點A(c,一2),II

2

求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3J題目中的矩形框局部是一段被墨水污染了無法識別的文字。

(1)根據(jù)和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？假設(shè)能，請寫出求解過程，并畫

出二次函數(shù)圖象；假設(shè)不能，請說明理由。

(2)請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當?shù)臈l件，把原題補充完整。

點評：對于第(1)小題，要根據(jù)和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)

圖象的對稱軸是x=3”當作來用，再結(jié)合條件”圖象經(jīng)過點A(c,—2)”，就可以列出兩個方程了，而解析式

中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第(2)小題，只要給出的條件能夠使求出的

二次函數(shù)解析式是第(1)小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮

再給圖象上的一個任意點的坐標，可以給出頂點的坐標或與坐標軸的一個交點的坐標等。

［解答］(1)根據(jù)y=5/+)x+c的圖象經(jīng)過點A(c,-2),圖象的對稱軸是x=3,

—c2+bc+c=-2,

2

得《-2=3

2

b=-3.

解得1

[c=2.

1,

所以所求二次函數(shù)解析式為y=—3x+2.圖象如下圖。

(2)在解析式中令y=0,得gx?—3x+2=0,解得X1=3+括,》2=3-J5.

所以可以填“拋物線與X軸的一個交點的坐標是13+火,0)”或“拋物線與X軸的一個交點的坐標是

(3-75,0).

令x=3代入解析式，得y=—』，

-2

所以拋物線y=gx2—3x+2的頂點坐標為（3,—g）,

所以也可以填拋物線的頂點坐標為（3,-：）等等。

函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將

函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。

用二次函數(shù)解決最值問題

例1邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2,BF=1.試在AB上求一點P,使

矩形PNDM有最大面積.

【評析】此題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生

的綜合應(yīng)用能力.同時，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間.

例2某產(chǎn)品每件本錢10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如

下表：

X（元）152030???

y（件）252010.??

假設(shè)日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù).

（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

[15k+b=25,

【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達式為y=kx+b.那么4解得k=-l,b=40,即一次函數(shù)表達

2k+b=2Q

式為y=-x+40.

（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元

w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225.

產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元.

【點評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設(shè)未知數(shù)在“當

某某為何值時，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）

問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.

彳列3.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線.如下圖，正在甩繩的甲、

乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m,距地面均為1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離加、2.5m

處.繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂.學(xué)生丙的身高是1.5m,那么學(xué)生丁的身高為（建立的平面

直角坐標系如右圖所示）

（）

A.1.5mB.1.625m

C.1.66mD.1.67m

分析：此題考查二次函數(shù)的應(yīng)用

答案：B

知識點一、平面直角坐標系

1＞平面直角坐標系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標系。

其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；

兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。

為了便于描述坐標平面內(nèi)點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個局部，分別叫做第一象限、

第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。

2、點的坐標的概念

點的坐標用(a,b)表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置

不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當。2匕時，［a,b)和(b,a)是兩個不同點的坐標。

知識點二、不同位置的點的坐標的特征

1、各象限內(nèi)點的坐標的特征

點P(x,y)在第一■象限Ox>0,y>0

點P(x,y)在第二象限Ox<0,y>0

點P(x,y)在第三象限Ox<0,y<0

點P(x,y)在第四象限ox>0,y<0

2、坐標軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上Oy=0,x為任意實數(shù)

點P(x,y)在y軸上OX=0,y為任意實數(shù)

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上Ox,y同時為零，即點P坐標為(0,0)

3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上。x與y相等

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上Ox與y互為相反數(shù)

4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。

5、關(guān)于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特征

點P與點P'關(guān)于x軸對稱O橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)

點P與點P'關(guān)于y軸對稱O縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)

點P與點p'關(guān)于原點對稱。橫、縱坐標均互為相反數(shù)

6、點到坐標軸及原點的距離

點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：

⑴點P(x,y)到x軸的距離等于卜|

(2)點P(x,y)至y軸的距離等于卜|

〔3〕點P(x,y)到原點的距離等于F7

知識點三、函數(shù)及其相關(guān)概念

1、變量與常量

在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量X與y,如果對于X的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng),

那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

2、函數(shù)解析式

用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點

(1)解析法

兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做

解析法。

⑵列表法

把自變量X的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。

(3)圖像法

用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

(2)描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點

(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

知識點四，正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，如果y=(k,b是常數(shù)，kWO),那么y叫做x的一次函數(shù)。

特別地，當一次函數(shù)y=kx+b中的b為。時，y=kx(k為常數(shù)，kwo)。這時，y叫做x的正比例

函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)y=的圖像是經(jīng)過點(0,b)的直線；正比例函數(shù)y=%c的圖像是經(jīng)過原點(0,0)

的直線。

k的符號b的符號函數(shù)圖像圖像特征

圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的

b>0

JL增大而增大。

r

k>0

圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的

b<0

JL增大而增大。

r

y圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的

K<0b>0

k增大而減小

0X

圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的

b<0

增大而減小。

注：當b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。

4、正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù),=依有以下性質(zhì)：

(1)當k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大;

(2)當k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)y=々x+b有以下性質(zhì):

(1)當k>0時，y隨x的增大而增大

(2)當k<0時，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式確實定

確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=%c(kWO)中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù),

需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=(kwo)中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法

知識點五、反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=±(k是常數(shù)，kwo)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成y=的

x

形式。自變量x的取值范圍是xWO的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它

們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量xWO,函數(shù)yWO,所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即

雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例k

y二—（左。0）

函數(shù)X

k的符號k>0k<0

圖像

①X的取值范圍是XWO,①x的取值范圍是xWO,

V的取值范圍是yWO；V的取值范圍是yW0；

性質(zhì)②當k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別②當k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別

在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y

隨x的增大而減小。隨x的增大而增大。

4、反比例函數(shù)解析式確實定

確定及談是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y=幺中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對

x

對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

k

如以下圖，過反比例函數(shù)V=—（左70）圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM,PN,那么所得的矩

X

形PMON的面積S=PM<PN=|y|e|x|=|xy|ovy=xy=k,S=悶。

知識點六、二次函數(shù)的概念和圖像

1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果特y=a/+加:+c（〃,"c是常數(shù)，QWO）,特別注意a不為零

那么y叫做x的二次函數(shù)。

y^ax1+"+。（。,仇。是常數(shù)，aw0）叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

b

二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于x=——對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

2a

拋物線的主要特征：

①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。

3、二次函數(shù)圖像的畫法

五點法：

門）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M,并用虛線畫出對稱軸

（2）求拋物線y=a/+6x+c與坐標軸的交點：

當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y