2024年威海市高三二模數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024年威海市高考模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事.qd

1.答卷歷，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用椽皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.樣本數(shù)據(jù)11,12,13,16,2Q,22,25,2736的60%分位數(shù)為

A.20B.21C.22D.23.5

2.在研究集合時(shí)，用can!(⑷來表示有限集合4中元素的個(gè)數(shù).集合〃={1,2,3,4},

N={x|x>聞，若5rd(”nN)=2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

A.[2,3>B,[2,3]C.(2,3)D.(2,+oo)

3.已知雙曲線W-4=lQ>0,6>0)的離心率為上，則該雙曲線的漸近線方程為

ab4

143

A..y=±2xB.y=±-xC.y=±-xD.y=i-x

4.B知正項(xiàng)等比數(shù)列{(}中，q=1,且-%,%,4成等差數(shù)列，則%=

A.1B.3C.4D.6

5.已知拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，斜率為石的直線過點(diǎn)尸，且與C在第

一象限的交點(diǎn)為Z,若|斯|=8,則0=

A.2B/*C.8D.12

6.在正方體4GA中，E,尸分別為棱BC,的中點(diǎn)，若平面。3片與平

面曲的交線為/,貝卜與直線陽(yáng)所成角的大小為

c兀

A.-BgC，4D.-

62

7.已知向量Q,b滿足|4|=1,|5|=2,且對(duì)V4wR，|b+M|2|b-a|，則a.b=

A?—2B.-lC.1D.2

8.設(shè)。=工，Z>=lnl.21,c=10sinJ-,則

10100

K.a>b>cB,b>a>cC.Oflxb

高三數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.下列命題為貢?命題的嵬

A<l+i)2是純虛數(shù)

B.對(duì)任意的復(fù)數(shù)z,?Hz|2

C.M任意的復(fù)數(shù)z,(z-D(E-l)為實(shí)數(shù)

八cosa+isina,.0、....小

D.麗+isiM=c°s(a")+】sm(a")

10.已知函數(shù)/(x)=sin(4+5),則

AJ(x)在(0,1)上單調(diào)速減

B.將y=/(x)圖象上的所有點(diǎn)向左平移上個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的曲線關(guān)于y軸對(duì)稱

C.在(-1,2)上有兩個(gè)零點(diǎn)

29241

D.Z/(0=*

/?0，

11.數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓4+4=1(<7>/>>0)任意兩條互

ab

相垂直的切線的交點(diǎn)都在以原點(diǎn)。為圓心，庇萬為半徑的圓匕這個(gè)圓被稱為該

工2v2

橢圓的象日?qǐng)A.已知橢圓。:*+與=1(0<8<3)可以與邊長(zhǎng)為2訪的t正方形的四條

9b

邊均相切，它的左、右頂點(diǎn)分別為4,B,則

A.b=\f3

B.若矩形的四條邊均與橢圓C相切，則該矩形面積的最大值為12

C.橢圓。的蒙日?qǐng)A上存在兩個(gè)點(diǎn)〃滿足|協(xié)|=石|地|

D.若橢圓C的切線與C的蒙日?qǐng)A交于E,尸兩點(diǎn)，且直線OE,。尸的斜率都存在，

記為占，七,則尢必為定值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(F-x)7的展開式中產(chǎn)的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

13.在△N8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b+c=4,

cosC=-g.則sin/=______.

6

14.已知圓錐的.頂點(diǎn)與底面圓周都在半徑為3的球面上，當(dāng)該圓錐的側(cè)面積最大時(shí)，.它的

體積為.

高三數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(13分)

市場(chǎng)供應(yīng)的某種商品中，甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等

級(jí)的概率為90%,乙廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為65%.現(xiàn)有某質(zhì)檢部門對(duì)該商品進(jìn)行質(zhì)

量檢測(cè).

(1)若質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測(cè)，求抽到的產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀

等級(jí)的概率：

(2)若質(zhì)檢部41在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取4件該商品進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)抽到的產(chǎn)品中能達(dá)到

優(yōu)秀等級(jí)的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.(15分)

如圖,在四棱錐P-慫CD中，平面尸4D1平面抽CD,ZWD為等邊E角形,

RDLAB,AD//BC,4D=4,AB=BC=2,M為總的中點(diǎn).

(1)證明：0M_L平面癡：

(2)求直線PR與平面MCD所成角的正弦值.

17.(15分)

已知函數(shù)/(x)=lnxror+l.

(1)求/(*)的極值；

(2)證明：Inx+x+lWxet

高三數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))

18.(17分)

在近角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C:y=ax1+c過點(diǎn)(0,-J),且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)*/,

B,|^|=4.

(1)求C的方程：

(2)已知直線/與C'相切.

(i)若/與直線y=-l的交點(diǎn)為證明：/?1加1

3)若/與過原點(diǎn)。的直線相交于點(diǎn)P,且/與直線0P所成角的大小為45。，求點(diǎn)尸

的軌跡方程.

19.(17分)

設(shè)xeR,y是不超過”的凝大整數(shù)，且記y=[x],當(dāng)*21時(shí)，[幻的位數(shù)記為/夕)

例如：/(1.6)=1，/(爭(zhēng)=2,/(996.2)=3.

(1)當(dāng)10iWx<10"0?eN+)時(shí)，記由函數(shù)>=/(*)的圖象，直線>=102，"=10"以

及x軸圍成的平面圖形的面積為勺，求可，%及4+%+…+勺；

(2)是否存在正數(shù)"，對(duì)VxeW，*o),f(3x)>f(2x),若存在，請(qǐng)確定一個(gè)M的

值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

I2H

(3)當(dāng)xNl,"GN+時(shí),證明:/(x)+/(10^)+/(10"x)+-+/(10"x)=fO.QHx")-l.

高三數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))

2024年威海市高考模擬考試

數(shù)學(xué)參考答案

P(4)=60%,P(42)=40%，尸(用4)=90%，P(用4)=65%.

4

從而有P(B)=P(At)P(B|4)+P(A2)P(B\A2)=60%x90%+40%x65%=y.---------------4分

(2)由(1)知，質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取1件該商品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為名,

可得X~8(4,40.則X的取值范圍是{0,1,2,3,4},----------------------------------5分

414416

P(%=0)=C：x(l--)4=—,P(y=l)=C>-x(l--)3=—,

30233JbZj

尸(X=2)=C：x(32x(l-32=黑,P(%=3)=C：X4)3X(1-1)=|||,

5562555625

P(X=4)=C：x($4=|||，

3OZJ

從而X的分布列為

X01234

11696256256

r

625625625625625

-----------------------------------------------------------------------------11分

416

E(Jf)=4x-=y.------------------------------------------------------------13分

高三數(shù)學(xué)答案第1頁(yè)（共6頁(yè)）

16.(15分)

(1)證明：取/。的中點(diǎn)。，連接產(chǎn)。，

因?yàn)椤?￡>為等邊三角形，所以PO_L4。，-------------------------------------1分

因?yàn)槠矫鍼AD±平面ABCD,

平面平面488=/。，POu平面產(chǎn)為D,

所以PO1平面Z8CD,所以----------------------------------------2分

因?yàn)镻DC\PO=P,

所以48J■平面PN。，---------------------------------------------------------3分

因?yàn)镺Mu平面尸”。，所以力-----------------------------------------4分

Z▲

因?yàn)椤鱂4D為等邊三角形，〃為力的中點(diǎn)，!

所以DMLP4,5分

因?yàn)?8|"|尸彳="，

所以O(shè)A/_L平面PX8.7分

(2)解：連接C。，

因?yàn)?￡>〃8C,AD=2BC,

所以4?！?c且/。=8。，

所以四邊形48C。為平行四邊形，所以48〃OC,

所以O(shè)C_L平面尸4D,8分

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC,OD,而的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，-----------------------------------------------9分

則C(2,0,0),。(0,2,0),P(0,0,2君)，5(2,-2,0),A/(0,一。我,------10分

所以方=(2,-2,-2萬)，麗=(-2,-1，5,麗=(-2,2,0),------------11分

設(shè)平面MCD的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

m」CA/,〃=0\-2x-y+yfiz=Q

CD?〃=0[-2x+2y=0

令X=l,則”=(1,1,6),-----------------------------------------------13分

設(shè)直線PB與平面MCD所成角為。，

n~DDPB-n|

則milsi,n0=dcos<PB,n>I=-I=：----=\,-27—=2~—尸6二.—3,

|P5|.|?|師65

所以直線PB與平面A/C。所成角的正弦值為士.-----------------------------------15分

5

高三數(shù)學(xué)答案第2頁(yè)(共6頁(yè))

17.（15分）

解：(1)由題意知/(x)的定義域?yàn)?0,+8),r(x)=；_a=l^,------------------2分

當(dāng)aWO時(shí),/(x)>0恒成立，所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無極值;------------4分

當(dāng)a>0時(shí)，令/1'a)>0,解得0<x<L令，(x)<0,解得x>,，

aa

所以/(X)在(0」)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，

aa

所以/(x)的極大值為/(1)=ln1,無極小值.--------------------------------------6分

綜上，當(dāng)a這。時(shí)，/(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，“X)的極大值為In,，無極小值.-------7分

a

(2)［法1］證明：4fcg(x)=j;ev-lnx-x-l(x>0),

1丫+］

則g，(x)=(x+l)e、——1=-(xer-l),-------------------------------------------8分

令〃(x)=xe*—l(x>0),則l(x)=(x+1)/>0,

所以力(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又因?yàn)椤?0)=-1<0,/j(l)=e-l>o,---------------------------------------------9分

所以％(x)存在唯一的零點(diǎn)x°e(0,l),使得。(xo)=x°eW-1=0,----------------------10分

當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，h(x)<Q?則g'(x)<0：當(dāng)xw(Xo，+8)時(shí),A(x)>0)則g，(x)>0,

所以g(x)在(O,Xo)上單調(diào)遞減，在(丸,+8)上單調(diào)遞增，-------------------------12分

所以g(x)Ng(Xo)=XoeM-lnxo-々-1,------------------------------------------13分

由=兩邊取對(duì)數(shù)得lnxo+x°=O,--------------------------------------14分

故g(x())=O,所以xe*-Inx-x-120，即lnx+x+1Wxe」成立.----------------------15分

【法2】證明：要證明lnx+x+1Wxe*,

只需證明lnxe*Wxe、-l,

1=xex(t>0),即證明InfWt-l,---------------------------------------------10分

即證明ln/T+lW0,即當(dāng)a=l時(shí),，/(/)<0.-------------------------------------12分

由第(1)問知，當(dāng)a=l時(shí)，/(。//。)=0,

所以lnx+x+1Wxe,成立.------------------------------------------------------15分

高三數(shù)學(xué)答案第3頁(yè)(共6頁(yè))

18.(17分)

解：(1)因?yàn)榍€C:y=ax2+c過點(diǎn)(0,-1),所以c=-l,----------------------------1分

由or?—1=0,可得x=±-]=,因?yàn)閨/8|=4,

21所以C的方程為尸;》2_1

所以—^=4,解得。=了，---------------------------------4分

84

(2)(i)設(shè)直線/與曲線c相切的切點(diǎn)為,因?yàn)閥=Jx,所以片=%，

422

2

則/的方程為y-g+l=?(x-〃7),

2

Bnmmt，八

BPy="~2x——i，------------------------------------------------------------------6分

所以〃(3,一1),---------------------------------------------------------------------7分

..2一

由題息知加。0,所以々0“=一百，可得k°M?仁=-1,所以-------------------9分

(ii)設(shè)尸的坐標(biāo)為(xj),則而=(x,y),因?yàn)?與直線。尸所成角的大小為45。,

且/的一個(gè)方向向量為v=(l,g),所以cos45°=粵出，

2\OP\\v\

x+?五

可得|--------2==1=^,-------------------------------------------------------10分

歷7代

整理得(4一陽(yáng)2)X2+8〃7號(hào)+(〃/一4)'2=。,----------------------------------------11分

BP[(2-ni)x+(m+2)y][(2+ni)x+(w-2)y]=0,

所以(2一加)x+(〃？+2)y=0或(2+m)x+(〃i-2)y=0,-----------------------------------12分

當(dāng)(2-加)x+(m+2)y=0時(shí)，加="+2',

x-y

因?yàn)閥=gx_；〃?2,所以y=』+)-乂工―(」+與2-1,

24x-yx-y

323222

x+xy-y-xy=2(x+y)9

BPx(x2+y2)-y(y2+x2)=2(x2+y2),因?yàn)椋?/6。，所以x-y=2,-----------------]4分

當(dāng)(2+m)x+(加一2)y=0時(shí)，m=2；+j,因?yàn)閥=,

同理可得x+y=-2,---------------------------------------------------------------16分

所以點(diǎn)尸的軌跡方程為x-y=2或x+y=-2(|x|=|y+2|).---------------------------17分

高三數(shù)學(xué)答案第4頁(yè)(共6頁(yè))

19.(17分)

解：(1)若〃=1,則lWx<10,可得/(x)=l,所以6=007)x1=9,-----------------------1分

若睚=2,則10Wx<l()2,可得/。)=2,所以的=(100-10)x2=180...............................2分

當(dāng)lO'TExvlO"時(shí)，可得/"(x)=〃，所以勺=(10"-10"-“”=9〃/(/1,-----------------------3分

設(shè)方=4]+%++%，

則7；=9+18x10+27x102……+9(〃-1).10"-2+9〃,1()心，

上式xlO得107；=9x10+18x102+27x1()3……+9(/?-1)10^+9?10",

兩式相減得一97；=9+9x10+9x1()2+9x103??…-+9-10^-9n-10",

整理得看=〃40”-(1+10+102+1()3……+io"T),

所以北一罌--------------------------------------------5分

(2)由題意知，若x滿足3"210x2"則/(3、)>/(2，)一定成立，------------------6分

所以lg3*21g(10x2,),即xlg321+xlg2,

解得所以〃取["FF，+8)中任何值皆可.-------------------------9分

lg3Tg2Ig3-lg2

(3)設(shè)㈤的位數(shù)為m,則10M-Yx<10"',可得,

所以=即m=[lgx]+l,所以/(x)=[lgx]+l,----------------------------------------11分

|2生

所以左邊=/(x)+/(10"x)+/(10^)+……+/(10~x),

￡2n4_

=([lgx]+l)+([lglO?x]+l)+([lglO?x]+l)+---+([lglO-x]+l),

[o1

=([lgx]+l)+([-+lgx]+1)+([—+lgx]+l)+???+([―—Flgx]+l)9

設(shè)lgx=[lgx]+a,且一定存在正整數(shù)％,

使a€[H±)([O,-)U[-,-)U-U[—,l)=[0,1))>------------