初中中考數(shù)學(xué)專項分類 一元二次方程的應(yīng)用（含解析版）（人教版）

專題02一元二次方程的應(yīng)用

傳播問題

1.廣東春季是流感的高發(fā)時期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共25人患流感,

假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（）

A.1+x+x2=25B.x+x2=25C.（1+x）-=25D.x+x（l+x）=25

2.為增強學(xué)生體質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生正確的體育思想和團隊意識,2019年初某市開展了“籃球進園”活動.近

日，該市籃球協(xié)會要組織初中學(xué)校的籃球隊進行一次聯(lián)賽，要求每兩隊之間進行一場比賽，計劃安

排5天，每天比賽3場，則參加比賽的球隊數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

3.若有2個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有50人患了流感（這2個人在第二輪傳染中仍有傳染

性），則每輪傳染中平均一個人傳染—人.

題型02解增長率問題

4.某農(nóng)場去年種植西瓜5畝，總產(chǎn)量為10000kg.今年該農(nóng)場擴大了種植面積，并引進新品種，使

總產(chǎn)量增長到30000kg.己知種植面積的增長率是平均畝產(chǎn)量增長率的2倍，則平均畝產(chǎn)量的增長

率為.

5.某超市一月份的營業(yè)額為300萬元，一月、二月、三月的總營業(yè)額1200萬元，如果平均每月增長

率為X,則由題意列方程為()

A.300(1+x)2=1200B.300+300-2.x=1200

C.300+300(1+力2=1200D.300[l+(l+x)+(l+x)[=1200

6.某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，價格由100元降為64元.已知兩次降價的百分率都是x,則x滿足

的方程是()

A.64(1-2x)=100B.100(1-X)2=64C.64(1-x)2=100D.100(1-2x)=64

[題型

03]與幾何有關(guān)問題

7.如圖(1),C為線段A8上一點，/VICE和△BCD均為等腰直角三角形，點尸沿8。從點B勻速運

動到點。，連接EF,令EF=y,圖(2)是y(cm)隨時間x(s)變化的關(guān)系圖像，則A8的長為()

D.8cm

8.利用圖形分、和、移、補探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法.如圖1,8。是長方

形A8C3的對角線，將△BC￡＞分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放,

觀察兩圖，若a=6,b=3,則長方形ABC。的面積是

9.如圖，某學(xué)校有一塊長40m,寬20m的長方形空地，計劃在其中修建三塊相同的長方形綠地,

三塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道.

(1)若設(shè)計人行通道的寬度為1m,則三塊長方形綠地的面積共多少平方米?

(2)若三塊長方形綠地的面積共512m2,求人行通道的寬度.

題型04銷售利潤問題

10.某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品.當商品售價為4()元時，一月份銷售256

件.二、三月該商品十分暢銷.銷售量持續(xù)走高.在售價不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達到400

件.設(shè)二、三這兩個月的月平均增長率不變.

(1)求二、三這兩個月的月平均增長率；

(2)從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，銷售量

增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？

11.當今社會，"直播帶貨''已經(jīng)成為商家的一種新型的促銷手段.小亮在直播間銷售一種進價為每

件10元的日用商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)

關(guān)系，它們的關(guān)系如下表：

銷售單價X(元)202530

銷售量y(件)200150100

⑴求)，與龍之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該商家每天想獲得2160元的利潤，又要盡可能地減少庫存，應(yīng)將銷售單價定為多少元？

12.為慶?！拔逅那嗄旯?jié)“，某校計劃購買A與8兩種墻貼共400張來布置校園.已知A墻貼的售價

是每張16元，8墻貼的售價是每張20元，共花費7040元.

(1)求計劃購買A,B墻貼各多少張？

(2)為了節(jié)省費用，學(xué)校采購人員最終決定在網(wǎng)上購買，A墻貼每張售價減少了15增貼每張售價

O

便宜了加元，實際購買B墻貼的數(shù)量比原計劃增加了4m張，總數(shù)量不變，總費用比原計劃減少了

2140元，求機的值.

工程問題

13.某工程隊采用A,B兩種設(shè)備同時對長度為3600米的公路進行施工改造.原計劃A型設(shè)備每小

時鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務(wù).

(1)求A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度；

(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米.在實際施工中，8型設(shè)備在鋪路

效率不變的情況下，時間比原計劃增加了(6+25)小時，同時，A型設(shè)備的鋪路速度比原計劃每小時

下降了3〃?米，而使用時間增加了機小時，求機的值.

14.由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護人員到一個大

型小區(qū)設(shè)置了A、B兩個采樣點進行核酸采樣，當天共采樣9220份，已知A點平均每人采樣720

份，8點平均每人采樣700份.

(1)求A、B兩點各有多少名醫(yī)護人員？

(2)9月8H,醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護人員前往這個小區(qū)進行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近

數(shù)個商戶也納入這個小區(qū)采樣范圍，同時重新規(guī)劃，決定從8點抽調(diào)部分醫(yī)護人員到A點經(jīng)調(diào)查發(fā)

現(xiàn)，B點每減少1名醫(yī)護人員，人均采樣量增加10份，A點人均采樣量不變，最后當天共采樣9360

份，求從B點抽調(diào)了多少名醫(yī)護人員到A點？

15.公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護行動，帶動了市場頭盔的銷量.某頭盔經(jīng)銷商5至7月

份統(tǒng)計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增

長率相同.請解決下列問題.

(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；

(2)為了達到市場需求，某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過一段時間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最

大產(chǎn)能是900個/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個/天，現(xiàn)該廠要

保證每天生產(chǎn)頭盔3900個，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下(生產(chǎn)線越多，投入越大)，應(yīng)

該增加幾條生產(chǎn)線？

優(yōu)選提升題

16.在學(xué)習(xí)《完全平方公式》時，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)：已知“+6=5,ab=3,可以在不求〃、h

的值的情況下，求出/+〃的值.具體做法如下：

a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=(a+b)2-2ab=52-2x3=l9.

⑴若a+b=7,ab=6,則^+心.

(2)若，*滿足(8-附(加-3)=3,求(8-機)2+(%-3)2的值，同樣可以應(yīng)用上述方法解決問題.具體操

作如下：

解：設(shè)8-m=a,m-3=b,

貝lja+人=(8—6)+(6-3)=5,ah=(S——3)=3,

所以(8—加)2+(；?-3)2=/+/=(0+與2-2帥=52-2,3=19.

請參照上述方法解決下列問題：若(3x-2)(10-3x)=6,求(3x-2>+(10-3x)2的值；

(3)如圖，某校“園藝”社團在三面靠墻的空地上，用長12米的籬笆(不含墻AM,AD,DN)圍成一

個長方形花圃488,花圃A8CD的面積為20平方米，其中墻AO足夠長，墻墻A￡>,墻DN上

墻AD,AM=OV=1米.隨著學(xué)?！皥@藝”社團成員的增加，學(xué)校在花圃ABC。旁分別以AB,CD邊

向外各擴建兩個正方形花圃，以BC邊向外擴建一個正方形花圃(如圖所示虛線區(qū)域部分)，請問新

擴建花圃的總面積為平方米.

I

INI

B\C'"1

17.有一塊長為〃米，寬為方米的矩形場地，計劃在該場地上修筑互相垂直的寬都為2米的縱橫小路

（陰影部分），余下的場地建成草坪.

一

m」

口

1_|1_口|

|_口|

匚

目

口

口

口

i匚

口

口

匚

0二

口

「

〔L

圖1圖2

（1）如圖1,在矩形場地上修筑兩條的縱橫小路.

①請寫出兩條小路的面積之和5=（用含〃、8的代數(shù)式表示）；

②若。2=2:1,且草坪的總面積為312m叱求原來矩形場地的長與寬各為多少米？

（2）如圖2,在矩形場地上修筑多條的縱橫小路，其中機條水平方向的小路，〃條豎直方向的小路

（加，〃為常數(shù)），若a=28,6=14,且草坪的總面積為120平方米，求m+〃的值.

專題02一元二次方程的應(yīng)用

1.廣東春季是流感的高發(fā)時期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共25人患流感，

假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程()

A.1+x+x2=25B.x+x1=25C.(1+x)~=25D.x+x(l+x)=25

【答案】C

【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中.設(shè)每輪傳染中平均一個人

傳染了X個人，則第一輪傳染了X個人，第二輪作為傳染源的是(X+1)人，則傳染x(x+l)人，依題意

列方程：l+x+x(l+x)=25即可.

【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，依題意得l+x+x(l+x)=25,

即(l+x)2=25,

故選：C.

【點睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題要注意的是，患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然

是患者，人數(shù)應(yīng)該累加，這個問題和細胞分裂是不同的.

2.為增強學(xué)生體質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生正確的體育思想和團隊意識，2019年初某市開展了“籃球進園”活動.近

日，該市籃球協(xié)會要組織初中學(xué)校的籃球隊進行一次聯(lián)賽，要求每兩隊之間進行一場比賽，計劃安

排5天，每天比賽3場，則參加比賽的球隊數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），x個球隊比賽總場數(shù)=gx（x_l）,由此可得出

方程.

【詳解】解：設(shè)邀請x個隊，每個隊都要賽。-1）場，但兩隊之間只有一場比賽，

由題意得，；x（x-l）=5x3,

解得：％=6,x2--5

故選：B.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象一元二次方程的知識，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，得到總場

數(shù)與球隊之間的關(guān)系.

3.若有2個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有50人患了流感（這2個人在第二輪傳染中仍有傳染

性），則每輪傳染中平均一個人傳染_人.

【答案】4

【分析】設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x人，再根據(jù)“經(jīng)過兩輪傳染后共有50人患了流感“列方程

求解即可.

【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x人，

依題意得2+2X+X（2+2X）=50,

解得：x=4或x=-6（不合題意，舍去）.

所以，每輪傳染中平均一個人傳染了4個人.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意、準確找到等量關(guān)系列出方程是解答本題

的關(guān)鍵.

題型02解增長率問題

1

4.某農(nóng)場去年種植西瓜5畝，總產(chǎn)量為10000kg.今年該農(nóng)場擴大了種植面積，并引進新品種，使

總產(chǎn)量增長到30000kg.已知種植面積的增長率是平均畝產(chǎn)量增長率的2倍，則平均畝產(chǎn)量的增長

率為.

【答案】50%

【分析】設(shè)平均畝產(chǎn)量的增長率為x,則種植面積的增長率為2x,利用今年的總產(chǎn)量=今年的種植

畝數(shù)X今年的平均畝產(chǎn)量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)平均畝產(chǎn)量的增長率為x，則種植面積的增長率為2x,

根據(jù)題意得：5(l+2x)xW箸x(l+x)=30000,

整理得：2X2+3X-2=0，

解得：玉=0.5=50%,X2=-2(不符合題意，舍去)，

.?.平均畝產(chǎn)量的增長率為50%.

故答案為：50%.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

5.某超市一月份的營業(yè)額為300萬元，一月、二月、三月的總營業(yè)額1200萬元，如果平均每月增長

率為x,則由題意列方程為()

A.300(1+xf=1200B.300+300-2-x=1200

C.300+300(1+xp=1200D.300^1+(l+x)+(l+^)2]=1200

【答案】D

【分析】根據(jù)增長率分別表示出二月、三月的營業(yè)額即可求解.

【詳解】解：由題意得：二月的營業(yè)額為：300(1+x)

三月的營業(yè)額為：300(1+%)2

故一月、二月、三月的總營業(yè)額為：300+300(1+X)+300(1+X)2=300[1+(1+X)+(1+X)2]

故根據(jù)總營業(yè)額為1200萬元，可列方程為：300[1+(1+X)+(1+X)2]=1200

故選：D

【點睛】本題考查增長率問題.分別表示出二月、三月的營業(yè)額是解題關(guān)鍵.

6.某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，價格由100元降為64元.已知兩次降價的百分率都是x,則x滿足

的方程是()

A.64(1-2x)=100B.100(1-X)2=64C.64(1-x)2=100D.100(1-2x)=64

【答案】B

【分析】若兩次降價的百分率均是X,則第一次降價后價格為100(1-X)元，第二次降價后價格為

100(l-x)(l-x)=100(l-x)2元，根據(jù)題意找出等量關(guān)系：第二次降價后的價格=64元，由此等量關(guān)

系列出方程即可.

【詳解】解：???兩次降價的百分率都是X,

二100(1)2=64.

故選：B.

【點睛】本題主要考查列一元二次方程，關(guān)鍵在于讀清楚題意，找出合適的等量關(guān)系列出方程.

[題型03]

7.如圖(1),C為線段A8上一點，△ACE和△3。均為等腰直角三角形，點F沿BO從點B勻速運

動到點。，連接EF,令EF=y,圖(2)是y(cm)隨時間x(s)變化的關(guān)系圖像，則A8的長為()

D弘

/\:1

1---------------------T

彳^---------O

圖1圖2

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

【答案】c

【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖1、圖2可知，BE=5,DE=\.設(shè)AC=x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),

可將未知與已知條件集中在Rt_8CE中,利用勾股定理可解得X的值，從而使問題得解.

【詳解】連接8E.如下圖.

---寵-----

根據(jù)題意結(jié)合圖1、圖2可知，BE=5,DE=1.

?:△ACE與△5CO均為等腰直角」.角形，設(shè)AC=x,

/.CE^AC=x,BC=CD=CE+DE=x+\.

在RtBCE中,CE2+BC?=BE?，

即f+G+lj=52

整理得：(x-3)(x+4)=0

，x=3或x=Y(不合題意，舍去)

即AC=3,BC=x+l=4.

AB=AC+8C=3+4=7(cm)

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、圖標的分析等知識點，解題的關(guān)鍵

是讀懂圖，推知BE=5,OE=1的題設(shè)條件.

8.利用圖形分、和、移、補探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法.如圖1，8。是長方

形A8C。的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，

觀察兩圖，若a=6,0=3,則長方形ABCO的面積是.

【分析】設(shè)小正方形的邊長為x,利用。、b、x表示矩形的面積，再用。、b、x表示三角形以及

正方形的面積，根據(jù)面積列出關(guān)于〃、h.x的關(guān)系式，解出x,即可求出矩形面積.

【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為x，

，矩形的長為(a+x)，寬為(6+x)

^(a+x)(/?+x)=-^axx2+^Z?xx2+x2

由圖1可得:

整理得：x2+ax+bx-ab=0?

。=6,b=3,

.,.x2+9工-18=0,

/.X2+9X=18，

矩形的面積為（a+x）R+x）=（x+6）（x+3）=x2+9x+18=18+18=36.

故答案為：36.

【點睛】本題主要考查列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)出小正方形的邊長列一元二次方程和整

體代換是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，某學(xué)校有一塊長40m,寬20m的長方形空地，計劃在其中修建三塊相同的長方形綠地，

三塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道.

（1）若設(shè)計人行通道的寬度為1m,則三塊長方形綠地的面積共多少平方米？

（2）若三塊長方形綠地的面積共512m2,求人行通道的寬度.

【答案】（1）三塊的長方形綠地的面積共648平方米

（2）人行通道的寬度為2m

【分析】（1）根據(jù)題意得：三塊長方形綠地的長為（40-4）m,寬為（20-2）m,可求得面積；

（2）設(shè)人行通道的寬度為x米，則兩塊矩形綠地的長為（40-4x）m,寬為（20-2x）m,根據(jù)題意得:

（40-4^（20-2x）=512,解方程可得.

【詳解】（1）解：（40-4）x（20-2）=648（m2）

答：三塊的長方形綠地的面積共648平方米；

（2）解：設(shè)人行通道的寬度為x米，

由題意，得（40—4x）（20—2力=512,

化筒，得8（10-X）2=512,

解得藥=2,々=18（不符合題意，舍去）.

答：人行通道的寬度為2m.

【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

銷售利潤問題

10.某超市于今年年初以每件25元的進價購進一批商品.當商品售價為40元時，一月份銷售256

件.二、三月該商品十分暢銷.銷售量持續(xù)走高.在售價不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達到400

件.設(shè)二、三這兩個月的月平均增長率不變.

（1）求二、三這兩個月的月平均增長率；

（2）從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，銷售量

增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？

【答案】（1）25%；（2）5元

【分析】（I）設(shè)二、三這兩個月的月平均增長率為x,則二月份的銷售量為：256（l+x）件；三月份

的銷售量為：256（1+x）（l+x）件，又知三月份的銷售量為400件，由此等量關(guān)系列出方程求出x的

值即可解答；

（2）設(shè)當商品降價m元時，商品獲利4250元，再利用“銷量x每件商品的利潤=4250”列出方程求

解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)二、三這兩個月的月平均增長率為x,根據(jù)題意可得：

256（1+X）2=400,

解得：占=0.25,x,=-49（不合題意舍去）.

答：二、三這兩個月的月平均增長率為25%.

（2）解：設(shè)當商品降價〃?元時，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：

（40-25-/n）（400+5/??）=4250,

解得：叫=5,色=-70（不合題意舍去）.

答：當商品降價5元時，商品獲利4250元.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意、找到等量關(guān)系列出方程是解題

的關(guān)鍵.

11.當今社會，"直播帶貨''已經(jīng)成為商家的一種新型的促銷手段.小亮在直播間銷售一種進價為每

件10元的日用商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量），（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)

關(guān)系，它們的關(guān)系如下表：

銷售單價X（元）202530

銷售量y（件）200150100

（1）求），與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該商家每天想獲得2160元的利潤，又要盡可能地減少庫存，應(yīng)將銷售單價定為多少元？

【答案】（l）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=—lOx+400

（2）應(yīng)將銷售單價定為22元

【分析】（1）由于每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，將值代入函數(shù)

關(guān)系式，即可求出答案.

（2）由題意將利潤用含X的式子表示出來，求出x的值，再從中選取最小值即可.

【詳解】（1）解：設(shè)商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系丫=區(qū)+），

20k+h=200

根據(jù)題意可得:

25)1+^=150

故），與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-10x+400；

（2）解:根據(jù)題意可得:（-10x+400）（x-10）=2160,

整理得：X2-50X+616=0,

（x-28）（x-22）=0,

解得：占=28（不合題意，舍去），々=22,

答：應(yīng)將銷售單價定為22元.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確列出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

12.為慶?！拔逅那嗄旯?jié)”，某校計劃購買A與8兩種墻貼共400張來布置校園.已知A墻貼的售價

是每張16元，8墻貼的售價是每張20元，共花費7040元.

（1）求計劃購買A,B墻貼各多少張？

（2）為了節(jié)省費用，學(xué)校采購人員最終決定在網(wǎng)上購買，A墻貼每張售價減少了18增貼每張售價

O

便宜了加元，實際購買8墻貼的數(shù)量比原計劃增加了4根張，總數(shù)量不變，總費用比原計劃減少了

2140元，求機的值.

【答案】（1）購買240張A墻貼，購買160張8墻貼；（2）5

【分析】（I）設(shè)計劃購買〃張A墻貼，購買人張8墻貼，根據(jù)“共400張來布置校園，已知A墻貼的

售價是每張16元，8墻貼的售價是每張20元，共花費704（）元”列出方程組，即可求解；

（2）根據(jù)題意可得A墻貼的售價為16x110（元）,A墻貼的張數(shù)為（240-4〃?）張，B種墻貼

的售價為（20-〃?）元，8種墻貼的張數(shù)為（160+4⑹張，再由總費用比原計劃減少了2140元，列出

方程，即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)計劃購買。張A墻貼，購買6張B墻貼，

由題意得

答：計劃購買240張A墻貼，購買160張B墻貼；

（2）解：由題意得A墻貼的售價為16X（1-￡|=10（元），A墻貼的張數(shù)為（240-4帆）張，B種墻貼

的售價為（20-m）元，B種墻貼的張數(shù)為（160+4⑺張，

山題意得10*（240-4加）+（20-機）（160+4優(yōu)）=7040-2140,

整理得病+30〃z-175=0,

解得〃?=-35（舍去）或機=5,

二加的值為5.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準確得到等量

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

工程問題

13.某工程隊采用A,B兩種設(shè)備同時對長度為3600米的公路進行施工改造.原計劃A型設(shè)備每小

時鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務(wù).

（1）求A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度；

（2）通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米.在實際施工中，B型設(shè)備在鋪路

效率不變的情況下，時間比原計劃增加了（加+25）小時，同時，A型設(shè)備的鋪路速度比原計劃每小時

下降了3加米，而使用時間增加了加小時，求”?的值.

【答案】⑴A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度為90米

（2）小的值為10

【分析】（1）設(shè)8型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面x米，則A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面（2x+30）米，根據(jù)題意

列出方程求解即可；

（2）根據(jù)“A型設(shè)備鋪設(shè)的路面長度+5型設(shè)備鋪設(shè)的路面長度=3600+750”列出方程，求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)B型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面x米，則A型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面（2X+30）米，

根據(jù)題意得，

30x+30（2x+30）=3600,

解得：x=30,

貝l]2x+30=90,

答：A型設(shè)備每小時鋪設(shè)的路面長度為90米；

（2）根據(jù)題意得，

30（30+^4-25）+（90-3;?）（30+⑼=3600+750,

整理得，nr-10/M=0,

解得：皿=10,e=0（舍去），

二m的值為10.

【點睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準等量關(guān)系

并列出方程.

14.由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護人員到一個大

型小區(qū)設(shè)置了A、B兩個采樣點進行核酸采樣，當天共采樣9220份，已知A點平均每人采樣720

份，B點平均每人采樣700份.

（1）求A、B兩點各有多少名醫(yī)護人員？

（2）9月8H,醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護人員前往這個小區(qū)進行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近

數(shù)個商戶也納入這個小區(qū)采樣范圍，同時重新規(guī)劃，決定從B點抽調(diào)部分醫(yī)護人員到A點經(jīng)調(diào)查發(fā)

現(xiàn)，B點每減少1名醫(yī)護人員，人均采樣量增加10份，A點人均采樣量不變，最后當天共采樣9360

份，求從8點抽調(diào)了多少名醫(yī)護人員到A點？

【答案】（1）4檢測隊有6人，8檢測隊有7人

（2）從B檢測隊中抽調(diào)了2人到A檢測隊

【分析】（1）設(shè)A點有x名醫(yī)護人員，8點有y名醫(yī)護人員，根據(jù)“A、8兩個采樣點共13名醫(yī)護人

員，且當天共采樣9220份“，即可得出關(guān)于x,y的且當天共采樣9220份，即可得出關(guān)于x,y的

二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)從3點抽調(diào)了m名醫(yī)護人員到A點，則2點平均每人采樣（700+10m）份，根據(jù)重新規(guī)劃后當

天共采樣9360份，即可得出關(guān)于機的?元一二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：設(shè)A檢測隊有x人，8檢測隊有y人，

一[x+y=13fx=6

依題意得：7_n\7m分解得：_

答：4檢測隊有6人，8檢測隊有7人；

（2）解：設(shè)從B檢測隊中抽調(diào)了機人到A檢測隊，則8檢測隊人均采樣（7（X）+l（）m）人，

依題意得：720（6+小）+（700+10m）（7-m）=9360,

2

解得：m-9m+14=0-解得：叫=2,m2=l,

由于從8對抽調(diào)部分人到A檢測隊，則機＜7故加=2,

答：從8檢測隊中抽調(diào)了2人到A檢測隊.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等

關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

15.公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護行動，帶動了市場頭盔的銷量.某頭盔經(jīng)銷商5至7月

份統(tǒng)計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增

長率相同.請解決下列問題.

（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；

（2）為了達到市場需求，某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過一段時間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最

大產(chǎn)能是900個/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個/天，現(xiàn)該廠要

保證每天生產(chǎn)頭盔3900個，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)

該增加幾條生產(chǎn)線？

【答案】（1）該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%

（2）在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線

【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x,根據(jù)題意列出一元二次方程進行求解；

（2）設(shè)增加x條生產(chǎn)線，根據(jù)條件列出一元二次方程求解，再根據(jù)要節(jié)省投入的條件下，確定解.

【詳解】（1）解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為X.

依題意，得:2250（1+x）2=3240,

解得：玉=0.2=20%,X2=-2.2（不合題意，舍去）.

答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%.

(2)解：設(shè)增加x條生產(chǎn)線.

(900-30x)(x4-1)=3900,

解得占=4,々=25(不符合題意，舍去),

答：在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的一元二次方程求解即

可.

優(yōu)選提升題

16.在學(xué)習(xí)《完全平方公式》時，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)：已知。+。=5,ab=3,可以在不求。、h

的值的情況下，求出/的值.具體做法如下：

a2+b2=a2+h2+2ab-2ab=(a+h)2-2ah=52-2x3=\9.

⑴若a+b=7,“6=6,則『+82=.

⑵若"，滿足(8-M(〃L3)=3,求(8-m2+(機一3)2的值，同樣可以應(yīng)用上述方法解決問題.具體操

作如下：

解：設(shè)8-機=。,m-3=b,

貝|］。+6=(8_/")+(，”-3)=5,ab=(S—m)(m—3)=3,

所以(8-⑼2+(機一3尸=〃+/=(〃+-2"=5?-2x3=19.

請參照上述方法解決下列問題：若(3x-2)(10-3x)=6,求(3x-2尸+(10-34的值；

(3)如圖，某?！皥@藝”社團在三面靠墻的空地上，用長12米的籬笆(不含墻AM,AD,DN)圍成一

個長方形花圃A8CC,花圃ABC。的面積為20平方米，其中墻A。足夠長，墻AM2墻A￡>,墻ZW工

墻AC,A〃=ON=1米.隨著學(xué)?！皥@藝”社團成員的增加，學(xué)校在花圃438旁分別以A3,8邊

向外各擴建兩個正方形花圃，以BC邊向外擴建一個正方形花圃(如圖所示虛線區(qū)域部分)，請問新

擴建花圃的總面積為平方米.

【答案】(1)37

⑵52

(3)116

【分析】(1)根據(jù)材料介紹方法解答即可；

(2)仿照操作方法解答即可；

(3)先說明EW=CN,設(shè)BM=CN=x米，則8c=(12-2x)米，然后根據(jù)“花圃A8CO的面積為

20平方米”列方程求得x,然后再列式求得擴建花圃的面積即可.

【詳解】(1)解：a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=(a+b)2-2ab=72-2x6=37.

(2)解：設(shè)3x—2=a,\0-3x=b,

則。+匕=(3%一2)+(10—3%)=8,6?/?=(3x-2)(10-3x)=6,

所以(3x—2)2+(10—3幻2=合+〃=(〃+力)2—2"=82—2x6=52.

(3)解：,?,四邊形ABCO長方形，

:.AB=CDf

,:AM=DN,

：.BM=CN,

設(shè)8M=CN=尤米，則3c=(12—2力米

由題意知l(x+l)(12—2x)=20,解得x=l或x=4,經(jīng)檢驗，均符合題意

①當x=l時，AB=2,BC=]0

新擴建花圃的總面積為:22x4+102=116(平方米)；

②當x=4時，AB=5,BC=4,

新擴建花圃的總面積為:千x4+4?=116(平方米).

綜上，新擴建花圃的總面積為116平方米.故答案為116.

【點睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識點，審清題意、靈活利

用完全平方公式成為解答本題的關(guān)鍵.

17.有一塊長為。米，寬為8米的矩形場地，計劃在該場地上修筑互相垂直的寬都為2米的縱橫小路

(陰影部分)，余下的場地建成草坪.

m一」

LJ

口口I-口J匚

口

口口匚

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E二匚

口K

L

圖2

圖1

.

橫小路

條的縱

修筑兩

場地上

在矩形

圖1,

（1）如

；

表示）

代數(shù)式

、力的

含。

（用

=

和5

積之

的面

小路

兩條

寫出

①請

米？

多少

各為

與寬