2024年高考全國卷Ⅱ理科數(shù)學

頁〔共4頁〕2024年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學本試題卷共23題，共150分，共5頁。考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回。本卷須知：1.答卷前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確貼在條形碼區(qū)域內。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1．A． B． C． D．2．集合，那么A中元素的個數(shù)為A．9 B．8 C．5 D．43．函數(shù)的圖像大致為A． B．C． D．4．向量，滿足，，那么A．4 B．3 C．2 D．05．雙曲線的離心率為，那么其漸近線方程為A． B． C． D．6．△ABC中，，，，那么A． B．C． D．7．為計算，設計了右側的程序框圖，那么在空白中應填入A．B．C．D．8．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和〞，如30＝7＋23．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．9．在長方體中，，，那么異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．10．假設在是減函數(shù)，那么a的最大值是A． B． C． D．11．是定義域為的奇函數(shù)，滿足．假設，那么A． B．0 C．2 D．5012．，是橢圓的左、右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，那么的離心率為A． B． C． D．二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程為__________．14．假設滿足約束條件那么的最大值為__________．15．，，那么__________．16．圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，假設的面積為，那么該圓錐的側面積為__________．三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答?！惨弧潮乜碱}：共60分。17．〔12分〕記為等差數(shù)列的前項和，，．〔1〕求的通項公式；〔2〕求，并求的最小值．18．〔12分〕以以下圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境根底設施投資額〔單位：億元〕的折線圖．為了預測該地區(qū)2024年的環(huán)境根底設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)〔時間變量的值依次為〕建立模型①：；根據(jù)2024年至2024年的數(shù)據(jù)〔時間變量的值依次為〕建立模型②：．〔1〕分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境根底設施投資額的預測值；〔2〕你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．19．〔12分〕設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．〔1〕求的方程；〔2〕求過點，且與的準線相切的圓的方程．

20．〔12分〕如圖，在三棱錐中，，，為的中點．〔1〕證明：平面；〔2〕假設點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．21．〔12分〕函數(shù)．〔1〕假設，證明：當時，；〔2〕假設在只有一個零點，求．〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計分。22．[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]〔10分〕在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕，直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕．〔1〕求和