河北省2025屆高三上學(xué)期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測(cè)評(píng)（I）數(shù)學(xué)試題（解析版）

河北省2025屆高三年級(jí)大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測(cè)評(píng)（I）數(shù)學(xué)班級(jí)__________姓名__________注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級(jí)和考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，再利用補(bǔ)集、交集的定義直接求解即得.【詳解】依題意，，則，又，所以.故選：B2.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模長(zhǎng)的計(jì)算得出結(jié)果即可；【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：A.3.已知向量，且，則（）A.2 B.-2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，然后利用向量共線建立方程即可得解【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以，故選：C.4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則數(shù)列前10項(xiàng)和為（）A255 B.511 C.1023 D.2047【答案】C【解析】【分析】結(jié)合等比中項(xiàng)公式即可求得，從而可以求出等比數(shù)列的，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以所以，因此故選：C5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用兩角和的正弦公式及兩角差的余弦公式展開(kāi)，再進(jìn)行齊次化，求出再用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】，等號(hào)兩邊同時(shí)除以，得到，即，故選：A.6.已知某圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為4，高為，若某一球的體積與該圓臺(tái)體積相同，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圓臺(tái)的體積公式計(jì)算出圓臺(tái)的體積，然后得到球的體積，最后結(jié)合球的體積公式即可求出球的半徑，從而利用球的表面積公式可求球的表面積.【詳解】由已知圓臺(tái)的體積為，設(shè)該球的半徑為，則，，所以該球的表面積，故選：C.7.現(xiàn)從環(huán)保公益演講團(tuán)的6名教師中選出3名，分別到三所學(xué)校參加公益演講活動(dòng)，則甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合排列組合知識(shí)，以及古典概型概率公式即可求得解【詳解】6名教師選出3人分別到三所學(xué)校的方法共有種.甲、乙2名教師不能到學(xué)校，且丙教師不能到學(xué)校的：第一種情況：若丙去校，有種選法；第二種情況，若丙不去校，則校有種選法，校有種選法，校有種選法，共有種，所以一共有種.所以由古典概型可得，所求概率.故選：D.8.給定函數(shù)，用表示中的最大者，記作，若，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題干條件，得出恒成立，作差構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求構(gòu)造函數(shù)的最小值即可得解.【詳解】由題意可得，，等價(jià)于恒成立，設(shè)恒成立，設(shè)，令，則，解得，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，.，則時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值為1.故選：B.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已為隨機(jī)變量，且，其中，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】由正態(tài)分布的期望公式及方差公式即可判斷AB；由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可判斷C；由方差的性質(zhì)即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，由正態(tài)分布的期望公式得，，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布的方差公式得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性得，，所以，故C正確；對(duì)于D，由，則，根據(jù)方差的性質(zhì)知，分布更集中，所以，故D正確.故選：ACD.10.設(shè)函數(shù)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則C.若有三個(gè)解，則的取值范圍為D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)三次函數(shù)的圖象特征和數(shù)軸標(biāo)根法得到；B選項(xiàng)，求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根，確定極小值點(diǎn)，得到方程，求出；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上，計(jì)算出，數(shù)形結(jié)合得到不等式，求出；D選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及，得到D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)闉楹瘮?shù)的零點(diǎn)，且為函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，由數(shù)軸穿根法，及極值點(diǎn)定義可得，故A正確；B選項(xiàng)，，可得，畫(huà)出的大致圖象如圖，為極小值點(diǎn)，故，解得，所以B正確；C選項(xiàng)，，由有三個(gè)解，則，解得，故C正確；D選項(xiàng)，由以上分析可得，時(shí)單調(diào)遞增，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，故常常利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究三次函數(shù)的性質(zhì)比如三次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，極值點(diǎn)情況等.11.已知曲線（如圖所示）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且上的點(diǎn)Px,y滿足到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.周長(zhǎng)的最小值為8D.的面積最大值為2【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，結(jié)合曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，代入方程求解即得；對(duì)于B，令，求出的值，結(jié)合圖形即得范圍；對(duì)于C，利用基本不等式可求得的最小值，同時(shí)結(jié)合圖形檢驗(yàn)此時(shí)不符合題意，排除此項(xiàng)；對(duì)于D，通過(guò)化簡(jiǎn)曲線方程，求得，通過(guò)換元求出其最大值，即得面積最大值.【詳解】由題意，,即，對(duì)于A，因曲線過(guò)原點(diǎn)，將O0,0代入，解得，故A正確；對(duì)于B，在中，令，則得，解得，或，由圖知，，故B正確；對(duì)于C，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)，由圖知，此時(shí)不能構(gòu)成三角形，即取不到最小值4，則周長(zhǎng)也取不到最小值8，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由上分析可得，，即，即，整理得，，解得，設(shè)，由可得.則，故當(dāng)時(shí)，有最大值1，此時(shí)，有最大值為，所以D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查對(duì)曲線與方程相關(guān)的范圍、最值問(wèn)題，屬于難題.解題關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，既要化簡(jiǎn)曲線方程，又要結(jié)合圖形，關(guān)注圖形經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，區(qū)域范圍，以及對(duì)稱(chēng)性等特點(diǎn)，常運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的最值求解范圍、最值問(wèn)題.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，若雙曲線右支上點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)雙曲線中，得到，代入方程得，結(jié)合以及雙曲線定義，即可求得的值，從而得解.【詳解】在雙曲線中，，所以，即，所以，又，所以又點(diǎn)雙曲線右支上，所以，解得，由雙曲線定義可知，，所以，所以離心率.故答案為：13.若為函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，，則MN的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直時(shí)，MN最小，故設(shè)出點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出斜率，利用兩直線垂直斜率之積為，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】解：設(shè)，，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直時(shí)，MN最小，即，即，設(shè)，令，則，即hx在0,1上單調(diào)遞增，1,+故，在0,+∞恒成立，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，在0,+∞上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，即時(shí)，MN最小，最小值為.故答案為：.14.已知是三個(gè)集合，且滿足，則滿足條件的有序集合對(duì)的總數(shù)是__________.（用數(shù)字作答）【答案】1024【解析】【分析】先求出集合的子集的個(gè)數(shù)，從而根據(jù)題意可得集合的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得有序集合對(duì)的總數(shù).【詳解】集合的子集共有個(gè)，因?yàn)椋约嫌?2種情況，集合有32種情況，所以滿足條件的有序集合對(duì)的總數(shù)是.故答案為：1024.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）15.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式和弦切互化結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)可得；（2）由三角形的面積公式結(jié)合余弦定理計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】由，，又，，得【小問(wèn)2詳解】由已知可得，，可得.又由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得，，聯(lián)立解得，所以的周長(zhǎng)為.16.如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，底面，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：；（2）若二面角的余弦值為，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直證明，結(jié)合，證明平面，從而得到，又等腰三角形中，得出平面，從而得證，再結(jié)合已知條件得出平面，從而得證；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，令，分別求出二面角兩個(gè)半平面的法向量，利用余弦值為建立方程，解方程即可；方法二：由（1）知為二面角的平面角，且為以為直角的直角三角形，即有，建立方程即可得解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)榈酌娴酌妫?因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所?因?yàn)?，平?平面,所以平面.因?yàn)槠矫?，所?在中，是的中點(diǎn)，則.因?yàn)椋矫?平面,所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)?，平?平面,所以平面.因?yàn)槠矫妫?【小問(wèn)2詳解】方法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，由（1）知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，所以，所以，解得，即.方法二：由（1）可得平面因?yàn)槠矫嫫矫?，所?所以為二面角的平面角.所以，設(shè)，則，所以，解得，即.17.已知橢圓焦點(diǎn)在軸上，離心率為，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)，離心率定義，以及點(diǎn)在曲線上，建立方程求得，即可得解；（2）分斜率存在與不存在兩類(lèi)進(jìn)行直線方程的處理，將轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比：，利用，結(jié)合韋達(dá)定理，求出的范圍，從而得解.【小問(wèn)1詳解】依題意，可設(shè)橢圓的方程為.由得，又因?yàn)?，所以，則，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入上述方程解得，則，所以橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，當(dāng)斜率不存在時(shí)，若點(diǎn)與重合，與重合.此時(shí).若點(diǎn)與重合，與重合，則.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立得消去可得，顯然，則，可得，整理可得，因?yàn)?，可得，令，則，解得，即，所以.綜上，的取值范圍為.18.已知函數(shù).（1）求證；（2）求方程解的個(gè)數(shù)；（3）設(shè)，證明.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）有兩個(gè)解（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）作差構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出構(gòu)造函數(shù)的最小值即可得解；（2）作差構(gòu)造函數(shù)，將方程的解個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出構(gòu)造函數(shù)的極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間，即可得解；（3）借助第1小問(wèn)的結(jié)論，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為，設(shè)得，等價(jià)于然后利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行計(jì)算即可得證.【小問(wèn)1詳解】令，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以得證.【小問(wèn)2詳解】由得，即，令，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為方程解的個(gè)數(shù)，，令，即，解得，-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增因?yàn)椋栽谏嫌形ㄒ灰粋€(gè)零點(diǎn)，又，所以在上有唯一一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，方程有兩個(gè)解.【小問(wèn)3詳解】由（1）知，，令，則，即，設(shè)，則滿足，所以，即，所以所以即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（1）、（2）小問(wèn)是通過(guò)轉(zhuǎn)化化歸，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行處理，第（3）問(wèn)的關(guān)鍵是借助第（1）問(wèn)的結(jié)論，進(jìn)行等價(jià)變形，然后進(jìn)行裂項(xiàng)處理，結(jié)合數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和即可得解.19.定義二元數(shù)，將所有的二元數(shù)按照從小到大排列后構(gòu)成數(shù)列.（1）求；（2）對(duì)于給定的，是否存在，使得，成等差數(shù)列？若存在求出滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若，求.【答案】（1），，，（2）存在，（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)的條件，以及所求的各項(xiàng)，分別取值，即可逐一求解；（2）由等差中項(xiàng)公式得到等式，然后分、和三類(lèi)討論，然后得出時(shí)，滿足題意，從而得解；（3）利用已知條件得到等式由（2）相同的方法，得出，從而得到，結(jié)合，得出，由二次數(shù)定義知，從而得到.【小問(wèn)1詳解】令，得令，得，令，得，令，得，令，得，令，得【小問(wèn)2詳解】若成等差數(shù)列，則，即.當(dāng)時(shí)，①式兩邊同時(shí)除以得：，此時(shí)左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不成立；當(dāng)時(shí)，①式兩邊同時(shí)除以得：，此時(shí)左邊為奇數(shù)，右邊為偶