《概率》全冊配套課件

《概率》全冊配套課件§1隨機事件與隨機變量一.隨機試驗和隨機事件試驗是對自然現(xiàn)象進行的觀察和各種科學實驗.隨機試驗的特點:

隨機試驗是對隨機現(xiàn)象所進行的觀察和實驗.常見隨機試驗(1)可在相同條件下重復進行;

(2)可以弄清試驗的全部可能結果;(3)試驗前不能預言將出現(xiàn)哪一個結果。電話呼叫試驗拋硬幣其它試驗隨機事件就是在隨機試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情,簡稱事件。必然事件：隨機試驗中肯定發(fā)生的事件,記為

。不可能事件：隨機試驗中肯定不發(fā)生的事件，記為

。在概率統(tǒng)計中用大寫字母A,B,C

以及A1,A2,

…An,···

等表示事件?；臼录?在一次試驗中必發(fā)生一個且僅發(fā)生一個的最簡單事件.注意:基本事件具有相對性。復合事件：由若干基本事件組合而成的事件?；臼录衫斫鉃椤安荒茉俜纸狻钡氖录佊矌艤y量身高電話呼叫試驗紙牌試驗二.樣本空間基本事件A1單點集{ω1}基本事件A2單點集{ω2}············一一對應 將聯(lián)系于試驗的每一個基本事件，可以用一個包含一個元素ω的單點集來表示。所有基本事件對應元素的全體所組成的集合,稱為試驗的樣本空間（Ω）。摸球試驗拋硬幣樣本空間的元素稱為樣本點（ω）。

復合事件是樣本空間的一個子集。一次試驗之后,必定出現(xiàn)基本事件中的一個,假定它對應的樣本點是ω,對任意事件A,若ω∈A,稱事件A發(fā)生,否則稱A沒有發(fā)生。樣本空間Ω對應的事件是必然事件,空集?對應的事件是不可能事件。摸球試驗為了能運用數(shù)學的手段研究隨機現(xiàn)象,需進一步將所有的元素(即樣本點)ω數(shù)量化。即例子()vXRn陳hendie@三、隨機事件的關系及運算隨機事件的關系及運算實際上就是集合的關系及運算。(1)包含關系A

B，即事件A發(fā)生，必然導致事件B發(fā)生,稱事件B包含事件A，或A是B的子事件。從集合的角度：若ω∈Aω∈B 如果兩個事件互相包含,稱為事件相等。對任意事件A,有

A。(2)和事件事件A與B的和事件記為A∪B從集合的角度:A∪B={ω|ω∈A或ω∈B}。例子從隨機事件角度：A∪B是事件{A與B至少有一個發(fā)生}參見例子(3)積事件事件A與B的積事件記為A∩B或AB。從集合的角度:A∩B={ω|ω∈A且ω∈B}。從隨機事件角度:A∩B是事件{A與B同時發(fā)生}。參見例子(4)互不相容事件若AB=

,稱A、B為互不相容或互斥事件,即事件A、B不可能同時發(fā)生。顯然,

與任何事件互不相容。

A1,A2,···,An中任意兩個互不相容,稱n個事件A1,A2,···,An互不相容（兩兩互斥）。事件列A1,A2,···互不相容是指其中任意有限個事件互不相容。性質：同一試驗的基本事件互不相容。參見例子(5)對立事件（逆事件）若AB=

,且A∪B=

,稱A、B互為對立事件（逆事件）,記為B=從隨機事件角度:事件{A不發(fā)生}。顯然,在一次試驗中,與A必發(fā)生且僅發(fā)生一個,非此即彼。從集合的角度:參見例子(6)差事件事件A與B之差A－B從隨機事件角度:A－B是事件{事件A發(fā)生且B不發(fā)生}。參見例子從集合的角度:顯然有

甲乙兩人向同一目標射擊:設A={甲命中目標,乙未命中目標},則其對立事件

(d):{甲未命中或乙命中}A=()(c):{甲未命中}(b):{甲乙均命中}(a):{甲未命中且乙命中}

(7)隨機事件（集合）運算律德·摩根律:交換律:A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。結合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C）;(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。分配律:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C)吸收律:參見例子例題E1

從10個標有號碼1,2,…,10的小球中任取一個,記錄所得小球的號碼.12310987654?隨機試驗E2

拋一枚硬幣，將會出現(xiàn)正面還是反面？隨機試驗E5檢驗出N件產品中的次品。E6測量某團體人員的身高。E4測量某零件長度x和直徑y(tǒng)所產生的誤差。E3儀器上某種型號的電子元件使用時間已達300小時，檢測該元件還能使用多少小時？隨機試驗

E1:某電話總臺一天接到的呼叫次數(shù).A={呼叫次數(shù)為偶數(shù)}；B={呼叫次數(shù)為奇數(shù)}；C={呼叫次數(shù)大于3}；Ai={呼叫次數(shù)為i},i=0,1,2,···

等等;都是隨機事件。W={呼叫次數(shù)不小于0}是必然事件,f={呼叫次數(shù)小于0}是不可能事件。隨機事件

E2拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。 在試驗中，若根據(jù)硬幣出現(xiàn)正面或反面來決定球賽的首發(fā)權，把硬幣“出現(xiàn)正面H”和“出現(xiàn)反面T”這兩個可能結果看成隨機事件。故有：A={出現(xiàn)正面}，

B={出現(xiàn)反面}。

由于試驗的目的，硬幣沿什么方向滾動等結果將不被看成隨機試驗。隨機事件

E3檢驗出N件產品中的次品。E4測量某團體人員的身高。隨機事件有：A={檢驗到正品}；

B={檢驗到次品}，等等。 用X表示人的身高，{X=x}表示“人的身高為x

m”則有：{X=x}x>0，{X>0}，{X<1.5}，{X>1.70}等等都是隨機事件。隨機事件

基本事件}復合事件復合事件E1:某電話總臺一天接到的呼叫次數(shù).A={呼叫次數(shù)為偶數(shù)}；B={呼叫次數(shù)為奇數(shù)}；C={呼叫次數(shù)大于3}；Ai={呼叫次數(shù)為i},i=0,1,2,···W={呼叫次數(shù)不小于0}是必然事件,f={呼叫次數(shù)為1.2}是不可能事件。

基本事件例2拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。 在試驗中，若根據(jù)硬幣出現(xiàn)正面或反面來決定球賽的首發(fā)權，把硬幣“出現(xiàn)正面H”和“出現(xiàn)反面T”這兩個可能結果看成隨機事件。故有：A={出現(xiàn)正面}，

B={出現(xiàn)反面}。}基本事件

基本事件例4測量某團體人員的身高。用X表示人的身高，{X=x}表示“人的身高為xm

”則有：{X=x}x>0，{X>0}，{X<1.5}，{X>1.70}等等都是隨機事件?；臼录魷y量人的身高是為了判斷乘車購票與否，則僅有三個基本事件：A={購全票}，B={購半票}，C={免票}。復合事件

基本事件的相對性例：從52張撲克中任意抽取一張。2）不考慮花色其基本事件集合為：3）考慮花色但不考慮點數(shù)其基本事件集合為：基本事件的相對性1）考慮其點數(shù)及其花色。基本事件集合為：

E1從10個標有號碼1,2,…,10的小球中任取一個,記錄所得小球的號碼,這就是一個隨機試驗。A={取得的小球號碼為偶數(shù)}，B={號碼為奇數(shù)},C={號碼大于3}；Ai

={號碼為i},i=1,2,···,10等等;都是隨機事件?；臼录篈i

={號碼為i}={ωi}={i},i=1,2,···,10。復合事件：A={號碼為偶數(shù)}={2,4,6,8,10}B={號碼為奇數(shù)}={1,3,5,7,9}；C={號碼大于3}={4,5,6,7,8,9,10}。

事件的集合表示

Ω={號碼不超過10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}此即為樣本空間，是一個必然事件。

f={號碼等于0}，它不包含任何基本事件，從而不包含任何樣本點，是不可能事件。.0}{2,4,6,8,1}{

AW∪==號碼為偶數(shù).}{1,3,5,7,9}{

BW∪==號碼為奇數(shù)事件的集合表示

E2拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。A={出現(xiàn)正面}，B={出現(xiàn)反面}。基本事件我們可以令A={出現(xiàn)正面}={H}，B={出現(xiàn)反面}={T}。而樣本空間Ω={H，T}。

事件的集合表示E5檢驗N件產品中的次品數(shù)。E4測量某零件長度x和直徑y(tǒng)所產生的誤差。E2拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。 若用X表示拋一次硬幣時出現(xiàn)正面的次數(shù)，則X(H)=1，X(T)=0。 若用Y表示檢查N件產品中的次品數(shù)，我們有Y(k)=k。則生的誤差和直徑所產分別表示測量零件長度和用,yxee},),{(+∞<<-∞+∞<<-∞=Wyxyxeeee

事件的數(shù)字化BA從集合的角度參見示圖例從10個標有號碼1,2,…,10的小球中任取一個,記錄所得小球的號碼。A={球的號碼為4的倍數(shù)}={4，8},B={球號碼為偶數(shù)}={2，4，6，8，10}。則：

包含關系BA從集合的角度參見示圖例從10個標有號碼1,2,…,10的小球中任取一個,記錄所得小球的號碼。A={球的號碼是不大于3的奇數(shù)}={1，3},B={球的號碼是不大于4的偶數(shù)}={2，4}C={球的號碼不超過4}={1，2，3，4}。則：和事件例對某一目標進行射擊，直至命中為止。設：A={擊中目標}；B={前k次擊中目標}。則

和事件從集合的角度參見示圖例從10個標有號碼1,2,…,10的小球中任取一個,記錄所得小球的號碼。A={球的號碼是奇數(shù)}={1，3，5，7，9},B={球的號碼大于5}={6，7，8，9，10}C={球的號碼是7或9}={7，9}。則：BA積事件例對某一目標進行射擊，直至命中為止。設：D={進行了k次射擊}；Ai={第i次射擊命中目標}，i=1,2…Bi

={第i次射擊未命中目標},i=1,2…則D=B1B2…Bk-1Ak

積事件事件的互斥從集合的角度參見示圖AB例從10個標有號碼1,2,…,10的小球中任取一個,記錄所得小球的號碼。A={球的號碼是奇數(shù)}={1，3，5，7，9},B={球的號碼是不大于4的偶數(shù)}={2，4}。則：A與B是互不相容的事件。例對某一目標進行射擊，直至命中為止。設：Dk

={進行了k次射擊}，k=1,2…Ai={第i次射擊命中目標}，i=1,2…Bj

={第j次射擊未命中目標},j=1,2…則：Dk，k=1,2…是互不相容的事件列。Ai、Bi，i=1,2…是互不相容的事件列。

事件的互斥對立事件從集合的角度參見示圖A例從10個標有號碼1,2,…,10的小球中任取一個,記錄所得小球的號碼。A={球的號碼是奇數(shù)}={1，3，5，7，9},B={球的號碼是偶數(shù)}={2，4，6，8，10}。則：A與B是對立事件。

從集合的角度參見示圖例從10個標有號碼1,2,…,10的小球中任取一個,記錄所得小球的號碼。A={球的號碼是奇數(shù)}={1，3，5，7，9},B={球的號碼不大于4}={1，2，3，4}。則：A-B={5，7，9}。AB差事件例測量某團體人員的身高。 用X表示人的身高，{X=x}表示“人的身高為x米”

事件{X≤1.7}-{X≤1.5}={1.5<X≤1.7}表示事件“人的身高介于1.5與1.7之間”。

差事件例證明(A-AB)∪B=A∪B證明:差事件性質對偶律分配律吸收律吸收律分配律事件的運算

設ABC為三個隨機事件,試用A,B,C的運算關系表示下列事件.A發(fā)生,B,C都不發(fā)生.A,B,C中恰有兩個發(fā)生.A,B,C中不多于一個發(fā)生.A,B,C中至少有一個發(fā)生.解:1)

一、概率概率是刻劃隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標。事件A的概率記為P(A)常規(guī)定0

P(A)1

P(Ω)=1P(?)=0它不依主觀變化而變化例如如何計算概率?摸球試驗拋骰子試驗

§1.2概率二、古典概率賭徒分賭金問題定義:設E是一個隨機試驗,若它滿足以下兩個條件： (1)僅有有限多個基本事件； (2)每個基本事件發(fā)生的可能性相等。則稱E

古典概型的試驗。古典概率的起源

擲骰子試驗例如：定義：設試驗E為古典概型試驗，Ai，i=1,2,…,n是基本事件,則由樣本空間的樣本點總數(shù)所含樣本點的數(shù)目基本事件總數(shù)所含基本事件個數(shù)AAAP==)(所確定的概率稱為事件A的古典概率.鴿籠問題摸彩試驗注：在古典概率的計算中常用到排列組合的知識，如乘法原理、加法原理等等。用樣本空間求概率古典概率具有如下三個性質： (1)對任意事件A，有0≤P(A)≤1； (2)P(W)=1； (3)若A1，A2，…，An互不相容，則

===miimiiAPAP11)()(U思考：古典概率能否解決所有的隨機問題？拋硬幣試驗儀器壽命試驗例如：三、頻率定義：在相同條件下，進行了n次試驗，事件A發(fā)生了m次，稱比值為事件A發(fā)生的頻率。nmAfn=)(頻率從一定程度上反映了事件發(fā)生可能性的大小。它隨著試驗的次數(shù)、試驗者的不同會有所不同。拋硬幣試驗頻率的應用例如：注：頻率不是概率，但在某種意義下，頻率穩(wěn)定于概率。四、概率的公理化定義定義：設E的樣本空間為W，對于E的每個事件A，均對應于唯一一個實數(shù)，記為P(A)，其對應規(guī)則為1.(非負性)對任一事件A,有0≤P(A)≤1; 2.(規(guī)范性)P(W)=1; 3.(可列可加性)E的事件列A1,A2,…,互不相容,則

∞=∞==11)()(iiiiAPAPU由公理化定義可以得到如下重要性質:基本性質:1.不可能事件的概率為0,即P(f)=0;2.(有限可加性)若試驗E的事件組A1,A2,…,Am互不相容,則有

===miimiiAPAP11)()(U3.對立事件概率和為1,即P(A

)+P(A)=1;成立.則有滿足和若事件概率單調性

)()()(

),()(

,

)(

.4APBPABPBPAPBABA-=-≤∩概率加法定理:對試驗E的任意兩個事件A和B有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)BAAB概率的公理化定義及性質，為概率的計算提供了更完善的理論依據(jù).古典概率是公理化定義的特例.抽檢試驗例如：補充例題多除少補例1拋一顆均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)情況。我們通過實踐與分析可得：出現(xiàn)的點數(shù)為1,2,3,4,5,6的可能性都是相等的。概率的客觀性

例2從10個標有號碼1,2,…,10的小球中任取一個,記錄所得小球的號碼。12310987654?我們可得：摸出任一號碼的小球的可能性是相同的，這是客觀存在的事實。概率的客觀性

例3拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。通過實踐與分析可得：硬幣出現(xiàn)正面的可能性等于它出現(xiàn)反面的可能性。歷史上幾位著名科學家的試驗結果:實驗者拋擲次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)m/n德.摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998頻率

例4圓周率p

的計算。劉徽(公元263年，割圓術)p

=3927/1250=3.1416。祖沖之(429~500)3.1415926<p

<3.1415927。威廉.向克斯：用20年時間于1872年將p算到小數(shù)后707位。法格遜懷疑向克斯的結果，用了一年的時間，發(fā)現(xiàn)向克斯p只有前527位是正確的。法格遜猜想：在p的數(shù)值中各數(shù)碼0,1,…9出現(xiàn)的可能性大小應當相等。1973年，法國學者讓·蓋尤對p的前100萬位小數(shù)中各數(shù)碼的頻率統(tǒng)計結果表明，盡管各數(shù)字出現(xiàn)也有起伏，但頻率都穩(wěn)定于1/10。頻率的應用

有兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算贏了，當賭徒A贏a局(a<s)，而賭徒B贏b局(b<s)時，賭博中止，那賭本應怎樣分才合理呢？在三年後，即1657年，荷蘭的另一數(shù)學家Higgins

亦用自己的方法解決了這一問題，更寫成了《論賭博中的計算》一書，這就是概率論最早的論著，他們三人提出的解法中，都首先涉及了數(shù)學期望﹝mathematicalexpectation﹞這一概念，并由此奠定了古典概率論的基礎。而且他們給出了該問題的正確解法。古典概率

這是一個古典概型的隨機試驗。因為該試驗的基本事件有6個：{wi}={出現(xiàn)的點數(shù)為i}i=1,2,..,6而且基本事件{w1}、{w2},...{w6}發(fā)生的可能性相等。古典概率

例1拋一顆均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)情況。例7一個鴿場養(yǎng)了n只鴿子，每只鴿子都等可能的飛入N個鴿籠中的任意一個去住(n≤N)，求下事件發(fā)生的概率。（1）指定的n個鴿籠各有一只鴿子去??；（2）恰好有n個鴿籠，每個各有一只鴿子。分析：在解決這類問題時，當樣本點很少時，我們可以把它全部寫出來，再來計算所求事件包含的樣本點數(shù)。當樣本點很多時，我們可以利用排列組合的知識求出樣本點總數(shù)和所求事件包含的樣本點數(shù)。古典概率解：設A={指定的n個鴿籠各有一只鴿子}

B={恰好有n個鴿籠，每個各有一只鴿子}由乘法原理可知，基本事件總數(shù)為Nn。指定的n個鴿籠各有一只鴿子，有n!個不同的住法。故n!)(NnAP=從N個鴿籠中任意選出n個，有種不同的方法，選出的n個鴿籠各有一只鴿子，有n!個不同的住法。故CnN)!(!!)(nNNNNnCBPnnnN-==古典概率

例8袋中有10個小球，4個紅的，6個白的，求（1）有放回地從中依次取3球,取得“2紅1白”的概率。（2）不放回地從中依次取3球,取得“2紅1白”的概率。解:設想10個球依次編為1，2，3，…10。（1）有放回抽樣。樣本點總數(shù)為N=10×10×10=103642××23C數(shù)為r

=所求事件包含的樣本點

是三次抽取中選出兩次取到紅球23C288.010643223=××=C)(

=NrAP所以古典概率（2）無放回抽樣。解法一：N=10×9×8=P31034××23Cr

=6×r)(

=NAP=0.3r)(

=NAP=0.3×24Cr

=16C解法二：N=C310注意：例子中的基本事件的結構有什么變化。古典概率

例9拋一枚質量分布不均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面H和反面T的情況。這不是一個古典概型的隨機試驗。因為該試驗的基本事件只有兩個：{w1}={出現(xiàn)正面H},{w2}={出現(xiàn)反面T}。但基本事件{w1}、{w2}發(fā)生的可能性不相等。概率的公理化定義

例10

儀器上某種型號的電子元件使用時間已達30小時，測該元件還能使用多少小時？該試驗不是古典概型的隨機試驗，因為它的樣本空間有無數(shù)多個樣本點。概率的公理化定義

例11設50件產品中有5件是次品，其余的是合格品，從中任取3件，求選到的3件產品中有次品的概率。解法一：設A={選到的3件產品中有次品}，Ai={選到的3件產品中有i件次品}，i=1,2,3。則A1，A2，A3互不相容。并且有A=A1∪A2∪

A3。所以有2761.0≈350353501452535024515++=CCCCCCCC)()()()(321++=APAPAPAP概率的公理化定義有解法二：考慮A的對立事件

A={選到的3件產品全是合格品}7239.0≈)(350345=CCAP從而2761.0=7239.01-≈)(1)(-=APAP概率的公理化定義

利用樣本空間求P例:將兩顆均勻骰子拋擲一次,求兩顆骰子點數(shù)之和不為7,11的概率.解:設Ω={(1,1)(1,2)…(6,6)}A={兩顆骰子點數(shù)之和為7,11}p(A)=8/36=2/9所求概率p=（36-8）/36=7/9能將樣本空間定義為:Ω={2,….,12}嗎?為什么?

例n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐,求其中甲乙二人坐在一起(相鄰)的概率.補充例題解法一:

n個朋友隨機地圍繞圓桌而坐,共有(n-1)!種不同坐法.甲乙二人坐在一起有2*(n-2)!種坐法.所求概率p=解法二:

設甲已經(jīng)坐好,考慮乙的坐法.乙的每一種可能坐法對應一個基本事件,共有(n-1)種可能.甲乙坐在一起有2種坐法.所求概率p=2/(n-1)補充例題例:從5雙不同的鞋子中任取4只,求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一對的概率.解:設A={4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一對}解法1:直接計算.A解法2:利用p(A)=1-p()補充例題

一、條件概率

在計算事件的概率時，一個事件與另一個事件有一定的聯(lián)系。

我們把已知事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的可能性的客觀度量稱為條件概率，記為P(A|B)。抽簽試驗例如：§3條件概率條件概率與無條件概率之間沒有確定的大小關系。對條件概率P(A|B)的理解：

1)一般情況下，條件概率較原來概率發(fā)生了變化。P(A|B)P(A)

2)條件概率與積事件的概率有別。條件概率有先后次序之分,積事件無先后次序之分.3)條件概率可通過原來的概率計算得到。

定義：設A，B是隨機試驗E的兩個隨機事件,且P(B)>0，稱)()()|(BPABPBAP=為在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率。條件概率的性質:

注意：由于條件概率易與概率混淆，故在應用中，不僅會算，還要會判斷問題是否涉及條件概率。二、乘法公式

定理：設P(B)>0，則有P(AB)=P(B)P(A|B)若P(A)>0，有P(AB)=P(A)P(B|A).注：該公式是概率計算中的重要公式。關鍵是分清題目中的條件概率.

更一般地有，若P(A1

A2…An-1

)>0，則P(A1A2…An-1An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)空戰(zhàn)試驗例如：三、全概率公式當事件的概率計算很復雜時,我們可以對基本事件進行分類計算.有朋自遠方來引例:

定義：設W為隨機試驗E的樣本空間，B1，B2,…，Bn為E的一組事件，若(1)Bi∩Bj

=f，i≠j；

(2)B1∪B2∪

…∪Bn=W。稱B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分.

定理（全概率公式）：設隨機試驗E的樣本為W，A

W，B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分，且P(Bi)>0,i=1,2,…,n;則有∪∑==niiiBAPBPAP1)|()()(證明：B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分W=B1∪B2∪…∪

Bn從而有A=A∩W=A∩（B1∪B2∪…∪

Bn）吸收律Uni=1iAB)(=分配律注:該公式常用在預測推斷中，又稱為事前概率.抽檢試驗例如：抽簽的公平性又因為(ABi)∩

(ABj)=A∩(BiBj)=Af=f,i≠j由概率的有限可加性∑====niiniiABPABPAP11)()()(U因為P(Bi)>0,i=1,2,…,n，利用乘法公式得∑==niiiBAPBPAP1)|()()(某儀器有三個燈泡，燒壞第一、二、三燈泡的概率分別為0.1,0.2,0.3，并且相互獨立。當燈泡未被燒壞時儀器正常工作。當燒壞一個燈泡時儀器發(fā)生故障的概率為0.5，兩個為0.6三個為0.9。求儀器發(fā)生故障的概率。對此問題我們給出的劃分應為：思考：在應用中，我們常遇到：在已知結果已經(jīng)發(fā)生的條件下，去找出最有可能導致它發(fā)生的原因。四、貝葉斯公式

定理（貝葉斯公式）：設隨機試驗E的樣本為W，A

W，B1，B2，…，Bn為W的一個有限劃分，且P(Bi)>0,i=1,2,…,n;則有∪∑==niiijjjBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(證明：P(Bj|A)=P(ABj)P(A)P(Bj)P(A|Bj)P(A)=貝葉斯公式用來計算事后概率。在實際應用中，如果把事件A看成“結果”，把事件B1，B2，…，Bn看成導致該結果的可能的“原因”?！敖Y果”發(fā)生了，P(Bj|A)即為“原因”Bj導致該結果發(fā)生的概率。實際中的例子有很多：設備維修，計算機診病等等。病情診斷試驗例如：例1100件產品中有5件不合格，其中3件是次品，2件是廢品，現(xiàn)從中任取一件，試求（1）抽得廢品的概率p1;

（2）已知抽得不合格品，它是廢品的概率p2。解：令A={抽得廢品}，B={抽得不合格品}。有52)|(2==BAPp1002)(1==APp注意到1002)(,1005)(==ABPBP有)()(1005100252)|(BPABPBAP===條件概率

例2甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被擊中，求它被甲射中的概率。解：令A={目標被甲擊中}，B={目標被擊乙中}，C={目標被擊中}。有8.05.06.05.06.0)()()()()(=×-+=-+==ABPBPAPBAPCPU所求概率為75.08.06.0)()()()()|(=====CPAPCPACPCAPp條件概率

乘法公式例3兩架飛機進行空戰(zhàn)，甲機首先開火，擊落乙機的概率為0.2，若乙機未被擊落，進行還擊，擊落甲機的概率為0.3，若甲機又未被擊落，它再次向乙機開火，并擊落它的概率為0.4。試求這幾個回合中（1）甲機被擊落的概率p1；（2）乙機被擊落的概率p2。解：設A={甲機首次攻擊擊落乙機}

B={乙機擊落甲機}

C={甲機第二次攻擊擊落乙機}所以有P(A)=0.2,4.0)|(,3.0)|(==BACPABP（1）甲機被擊落的概率24.03.08.0)|()()(1=×===ABPAPBAPp（2）乙機被擊落的概率424.0=4.0)3.01)(2.01(2.0×--+=)|()]|(1)][(1[)(--+=BACPABPAPAP)|()|()()(+=BACPABPAPAP2)()()(+==CBAPAPCBAAPpU

乘法公式例4甲盒中有5個紅球,6個白球;乙盒中有3個紅球,4個白球.現(xiàn)拋一枚均勻硬幣,若出現(xiàn)正面,則從甲盒中任取一球,反之從乙盒中任取一球.試求取出白球的概率p。解：設A={取出白球}，B={甲盒中任取一球}={H}。從而A={從甲盒中取出一白球}∪{從乙盒中取出一白球}。=(AB)∪(AB)于是5584.0217421116≈×+×=)()|()()|(+=BPBAPBPBAP)()()(+==BAPABPAPpBBA#全概率公式例5某工廠有4個車間生產同一種產品,其產品分別占總產量的15%、20%、30%和35%，各車間的次品率依次為0.05、0.04、0.03及0.02?，F(xiàn)從出廠產品中任取一件，問恰好抽到次品的概率是多少？解：設Ai={恰好取到第i個車間的產品}，i=1,2,3,4

B={任取一件，恰好取到次品}。.02.0)|(,03.0)|(,04.0)|(,05.0)|(1121====ABPABPABPABP.35.0)(30.0)(20.0)(15.0)(

4321====A,PA,PA,PAP故有由全概率公式0315.0)|()()(41==∑=iiiABPAPBP全概率公式

例6設袋中有n個紅球，m個白球。三人依次不放回地各取出一個球。求他們取得紅球的概率各為多少？解：設Ai={第i個人取到紅球}，i=1,2,3,)(1nmnAP+=nmn+=nmnnmmnmnnmn-+×++-+-×+=111AAPAPAAPAPAP+=)|()()|()()(1211212全概率公式由全概率公式可得劃分限這四個事件構成一個有我們把時求,,,,,)(212121213AAAAAAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAPAP++)|()|()()|()|()(

213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAP+=)|()|()()|()|()(

213121213121AAAPAAPAAAPAAP++)|()()|()(

2132121321AAAPAAPAAAPAAPAP+=)|()()|()()(21321213213---nmnnmnmmnnmnnmnnmn-+-+++-+-++=21)1)((22211×

××nmnnmnnmmnmm+=-+-+-++211

××全概率公式

例7設某醫(yī)院用某一種方法診斷肝癌，由于各種原因，被診斷為患有肝癌的患者未必患有肝癌。令A={被檢查者確實患有肝癌}，B={被檢查者診斷為患有肝癌}。現(xiàn)有一病人被該方法診斷為肝癌,求此人確是患者的概率。假設P(A)=0.0004（患者的比例很?。?/p>

P(B|A)=0.95（對肝癌病人的診斷準確率很高），

P(B|A)=0.9（對非肝癌病人的診斷準確率也很高),解：從題設可得.9.01)|(,0004.01)(1)(-=-=-=ABPAPAP貝葉斯公式根據(jù)貝葉斯公式有0038.0≈)9.01()0004.01(95.00004.095.0×0004.0--+=××)|()()|()()|()()(+=ABPAPABPAPABPAPBAP注：診斷有病的人確實患病的可能性很小。貝葉斯公式

一、兩個事件的獨立性在一般情況下,P(A|B)≠P(A).P(A|B)=P(A)（*）成立.即事件A發(fā)生的可能性大小不受事件B的影響,我們稱A與B相互獨立.

定義：設A，B是試驗E的兩個事件，若滿足P(AB)=P(A)P(B)（**）稱事件A與B相互獨立.

注：當P(B)>0時公式（*）與（**）是等價的.§4事件的獨立性但若

定理：若事件A和B相互獨立，則下列三對事件A，B；A，B；A，B也相互獨立.證明：僅對第三種情形證明。因為P(AB)=P(A)P(B))()(BPAP=)](1)][(1[BPAP--=)()()()(1BPAPBPAP+--=)]()()([1

ABPBPAP-+-=)(1)()(BAPBAPBAP-==UU故?,),|()|(,1)(),(0,,是否相互獨立請問且是兩個隨機事件設BAABPABPBPAPBA=<<

結論：A和B相互獨立。因為)()()(BPAPABP==>)()]()([)](1)[(APABPBPAPABP-=-=>)()()()(APABPAPABP==>)(AP)()()()|()|(ABPAPABPABPABP===>此結論也可用來判斷兩個事件的獨立性思考二、n個事件的獨立性在多個事件中，是否存在類似的獨立性呢？擲四面體試驗例如

定義：設A1，A2，…，An為試驗E的事件，若對任意的s（1<s≤n）及1≤i1<i2<…<is≤n，有P(Ai1Ai2…Ais）=P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais）（*）成立，則稱事件組A1，A2，…，An相互獨立

.

若對一切1≤i1<i2

≤n，有P(Ai1Ai2）=P(Ai1)P(Ai2)成立，則稱事件組A1，A2，…，An兩兩獨立

.

定理：若事件組A1，A2，…，An相互獨立，則將A1，A2，…，An中的任意多個事件換成它們的對立事件后，所得到的個事件仍然相互獨立.例如“三個臭皮匠，頂個諸葛亮”“有志者事竟成”系統(tǒng)的可靠性設計事件的獨立性在實際生活中有著廣泛的用途。

2）事件組A1，A2，…，An相互獨立事件組A1，A2，…，An兩兩獨立注：1）（*）共包含2n-n-1

個等式。試求A1，A2，…，An至少有一個發(fā)生的概率.其中0

<P(Ai)=pi

<1，若（1）A1，A2，…，An

互不相容，

（2）A1，A2，…，An相互獨立.（1）當A1，A2，…，An

互不相容時,由概率的有限可加性可得P=P(A1)+

P(A2)+

…+P(An)=p1+p2+

…+pn（2）若A1，A2，…，An相互獨立，由加法定理可得P=P{A1∪A2∪…∪An}

=1-P{A1A2…

An}

=1-P{A1

}P{A2

}

…

P{An}=1–(1-p)n例1設同時擲兩個均勻的四面體一次，每一個四面體的四面分別標有號碼1，2，3，4。令A={甲四面體向下的一面是偶數(shù)}，

B={乙四面體向下的一面是奇數(shù)}，

C={兩個四面體向下的一面同為奇數(shù)或偶數(shù)}。由古典概率定義有P(A)=P(B)=P(C)=8/16=1/2P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4P(ABC)=P(f)=0從而有P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)(*)

P(BC)=P(B)P(C)事件的獨立性即A、B、C中任意兩個都是相互獨立的。我們稱A、B、C兩兩獨立。另一方面P(A|BC)=0≠1/2=P(A)若（*）式成立，并且P(A|BC)=P(A)，有P(ABC)=P(A|BC)P(BC)=P(A)P(B)P(C)我們稱A、B、C

相互獨立。這說明事件A發(fā)生的可能性大小會受到B與C的“聯(lián)合”影響。事件的獨立性

例2三個臭槍手向一個神槍手比武.他們都獨立地向同一目標射擊,三個臭槍手的命中率分別為0.5,0.55,0.60，神槍手的命中率為0.90.問哪一方勝出的可能性大?解：令Ai={第i個臭槍手命中目標}，i=1,2,3。則有

A1、A2、A3相互獨立。于是由加法定理可得p=P(A1∪A2∪A3

)=P(A1)+P(A2

)+P(A3

)-P(A1A2)-P(A1A3

)-P(A2A3

)+P(A1A2A3

)=0.5+0.55+0.60–0.5×0.55–0.5×0.60-0.60×0.55+0.5×0.55×0.60=0.91事件的獨立性

三個臭槍手勝出的可能性大.例3某人做一次試驗獲得成功的概率僅為0.2，他持之以恒，不斷重復試驗，求他做10次試驗至少成功一次的概率？做20次又怎樣呢？解：設他做k次試驗至少成功一次的概率為pk，

Ak={第k次試驗成功}，k=1，2，…則p10=P(A1∪A2∪…∪A10

)

=1-(1-0.2

)10≈0.8926

p20=P(A1∪A2∪…∪A20

)

=1-(1-0.2

)20≈0.9885

=1-P(A1)P(A2)…P(A10

)

=1-P(A1)P(A2)…P(A20

)事件的獨立性一般，將試驗E重復進行k次，每次試驗中A出現(xiàn)的概率p（0<p<1）則A至少出現(xiàn)一次的概率為pk=1–(1–p)k并且1)1(1[limlim=--=kkkppk→∞k→∞事件的獨立性

例4(可靠性問題)設有6個元件，每個元件在單位時間內能正常工作的概率均為0.9，且各元件能否正常工作是相互獨立，試求下面系統(tǒng)能正常工作的概率。124365解：設Ak={第k個元件能正常工作}，k=1，2，…，6

A={整個系統(tǒng)能正常工作}=(A1∪A2)(A3

∪A4)(A5

∪A6)

A1

，A2，…，A6設相互獨立，可以證明A1∪A2，A3

∪A4，A5

∪A6也相互獨立。事件的獨立性所以有970299.0])9.01(1[32≈--=)]()(1)][()(1)][()(1[654321---=APAPAPAPAPAP)](1)][(1)][(1[654321---=AAPAAPAAP)()()()(654321=AAPAAPAAPAPUUU事件的獨立性

第二章隨機變量及其分布第一節(jié)隨機變量的分布函數(shù)一、隨機變量

定義：設E的樣本空間為W，對于每一個樣本點w

W，都有唯一實數(shù)X(w)與之對應,且對于任意實數(shù)x，事件{w|X(w)≤x}都有確定的概率，則稱X(w)為隨機變量，簡記為X.摸彩賭博隨機變量的好處：(1)將樣本空間數(shù)值化、變量化(但不同于通常變量)，(2)可以完整地描述隨機試驗,(3)可以借用其它高數(shù)工具來解決隨機問題.二、分布函數(shù)從上例中可看到對任一實數(shù)x→P{w|X(w)≤x}，這是一個函數(shù).定義：設X是一個隨機變量,x是任意實數(shù),稱函數(shù)F(x)=P{X

≤x}=P{w:X(w)≤x}為隨機變量X的分布函數(shù)，F(xiàn)(x)也記為FX(x)

.

注:（1）分布函數(shù)F(x)的函數(shù)值表示事件“隨機點X落在(－∞,x]內”的概率.OxxX（2）F(x)的改變量DF=F(x+Dx)-F(x)=P{x<X≤x+Dx}是事件“隨機點X落在(x,x+Dx]內”概率.Oxxx+DxX摸彩試驗例如射擊試驗儀器壽命問題分布函數(shù)的性質:（1）F(x)為單調不降函數(shù)，即若

x1

≤x2

，則有F(x1)≤F(x2)

.（2）0≤F(x)≤1，且limF(x)=0,limF(x)=1

.x→-∞x→+∞（3）F(x)是右連續(xù)函數(shù)，即F(x+0)=F(x)

.分布函數(shù)的性質可以用來確定某一函數(shù)是否為一個隨機變量的分布函數(shù)，還可以用來求解分布函數(shù).分布函數(shù)的確定例如例1

一個莊家在一個簽袋中放有8個白、8個黑的圍棋子。規(guī)定：每個摸彩者交一角錢作“手續(xù)費”，然后從一個袋中摸出五個棋子,按下面“摸子中彩表”給“彩金”。摸到五個白四個白三個白其它彩金2元1元5角共樂一次解：用“i”表示摸出的五個棋子中有i個白子，則試驗的樣本空間為W={0，1，2，3，4，5}用Y(單位:元)表示賭徒摸一次得到的彩金，則有Y(i)=0，i=0，1，2Y(3)=0.5，Y(4)=1，Y(5)=2Y是定義在W上的隨機變量，對于每一個

i，都有一個實數(shù)與之對應。

并且5001.0

0128.01282.03589.01}2,1,0{}0{=---===PYP0128.0}5{}2{51658====CCPYP1282.0}4{}1{5164818====CCCPYP3589.0}3{}5.0{5163828====CCCPYP對于任意實數(shù)x，{Y(w)≤x}實際表示一個隨機事件，從而有確定的概率。例如1)(}5{==≤WPYP9872.00128.01}4,3,2,1,0{}2.1{=-==

PYP0)(}5.0{==-≤PYPf

總結：從本例中可看到，隨機變量Y完整地描述了試驗的全過程，而不必對每一個事件進行重復討論。進一步，我們可以把高等數(shù)學工具用在對隨機試驗的分析。

例2.一袋中有依次標有-1、2、2、2、3、3數(shù)字的六個球，從中任取一球，試寫出球上號碼X的分布函數(shù)。解：由題意有31}3{,21}2{,61}1{=====-=XPXPXP當x<-1時,F(x)=P{X≤x}=P(f)=0。x-123xX當-1≤

x<2時,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1

}=1/6。x-123xX當2≤x<3時,F(x)=P{X≤x}=P{X=-1

}+P{X=2

}=2/3。x-123xX當3≤

x

時,F(x)=P{X≤x}=P{W

}=1。x-123xX綜上所述,可得

<

<

--<=313232216110)(xxxxxFx1O-123F(x)1這是一個右連續(xù)的單調不降階梯函數(shù)，在不連續(xù)點處的階躍值恰為P{X=k},k=-1,2,3。

例3.一個靶子是半徑為2米的圓盤,設擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成正比，射擊均能中靶，用X表示彈著點與圓心的距離。試求X的分布函數(shù)。解：由題意有當x<0時,F(x)=P{X≤x}=P(f)=0。當x

≥2時,F(x)=P{X≤x}=P(W)=1。當0≤x<2時,由題意知P{0<X≤x}=kx2

其中k為一常數(shù)。Xx由題意可得1=P{0<X≤2

}=4k→

k=?。x1O2從而有F(x)=P{X≤x}=P{X≤0

}+P{0<X≤x}=241x所以分布函數(shù)為:≥<

<=.2,1;20,4;0,0)(2xxxxxFF(x)1

例4.使用了t小時的電子管在以后的Dt小時內損壞的概率等于lDt+o(Dt),其中l(wèi)>0為一常數(shù),試寫出電子管的壽命T的分布函數(shù)。解：由題意當t<0時,F(t)=P{T≤t}=0。當t

≥0時,設Dt>0，由題設條件有P{T≤t+Dt|T>t}=lDt+o(Dt),F(t+Dt)=P{T

≤t+Dt}=

P{T

≤t}

+P{t<T

≤t+Dt}

從而有

DF=F(t+Dt)-F(t)=P{t<T

≤t+Dt}又因為{t<T

≤t+Dt}={T>

t}{T

≤t+Dt}

DF=P{T>

t}P{T

≤t+Dt|T>

t}=[1-F(t)][lDt+o(Dt)]求解方程得分布函數(shù).0,0;0,e1)(<≥-=-tttFtl令

Dt→0時，得到關于函數(shù)F(t)的微分方程=-=0)0()](1[)(FtFdttdFl

解：

例5.隨機變量X

的分布函數(shù)為xeex11xxF<

<

=d;;a)(dcxxbx++ln1d1c1b0a=-===,,,求a,b,c,d第二節(jié)離散型隨機變量一、離散型隨機變量的分布律稱X是離散型隨機變量，并稱pi=P{X=xi}，i=1,2,…為X的分布律.

定義：如果隨機變量X至多取可列無窮個數(shù)值：x1,x2,…,pi=P{X=xi},滿足（1）pi≥0；（2）∑pi

=1.i=1∞我們常用表格表示分布律：Xx1x2…xi…P{X=xi}p1p2…pi…產品檢驗試驗例如

對于離散型隨機變量X，由概率可加性得

{X≤x}=∪{X=

xi}，從而有xi≤x

P{X≤x}=P[∪{X=

xi}]=∑P{X=

xi}xi≤xxi≤x

所以分布函數(shù)

F(

x)