專題1 利用遞推公式求通項(xiàng)公式2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)同步教學(xué)設(shè)計(jì) (人教B版2019)

專題1利用遞推公式求通項(xiàng)公式2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)同步教學(xué)設(shè)計(jì)(人教B版2019)主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為“專題1利用遞推公式求通項(xiàng)公式”，選自2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)（人教B版2019）相關(guān)章節(jié)。內(nèi)容涵蓋了遞推公式的定義、性質(zhì)以及如何利用遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式。具體包括：線性遞推公式、非線性遞推公式及其解法，并結(jié)合實(shí)際例題進(jìn)行分析。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了數(shù)列的基本概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，使學(xué)生對(duì)數(shù)列的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以將已有的數(shù)列知識(shí)與新學(xué)到的遞推公式求解方法相結(jié)合，更好地解決實(shí)際問(wèn)題。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生以下能力：一是邏輯推理能力，通過(guò)分析遞推公式及其求解過(guò)程，讓學(xué)生理解數(shù)列通項(xiàng)公式的邏輯推導(dǎo)，提高其邏輯思維水平；二是數(shù)學(xué)建模能力，使學(xué)生能夠運(yùn)用遞推公式解決實(shí)際數(shù)列問(wèn)題，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；三是問(wèn)題解決能力，培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效分析、求解的策略和方法。這三個(gè)方面緊密聯(lián)系新教程要求，有助于提升學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的核心素養(yǎng)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已掌握了數(shù)列的基本概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，了解數(shù)列求和的基本方法，這些知識(shí)為學(xué)習(xí)遞推公式求通項(xiàng)公式奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，表現(xiàn)出一定的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模興趣，具備一定的自主學(xué)習(xí)能力和合作學(xué)習(xí)能力。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生喜歡通過(guò)具體實(shí)例理解抽象概念，而另一部分學(xué)生則更善于從理論推導(dǎo)入手。

3.學(xué)生在遞推公式求通項(xiàng)公式的學(xué)習(xí)中可能遇到的困難和挑戰(zhàn)包括：非線性遞推公式的求解方法較為復(fù)雜，學(xué)生可能難以理解；在將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型時(shí)，學(xué)生可能難以找到合適的遞推關(guān)系；此外，學(xué)生在邏輯推理過(guò)程中可能存在思維跳躍，難以形成嚴(yán)密的推導(dǎo)過(guò)程。針對(duì)這些困難和挑戰(zhàn)，教學(xué)過(guò)程中應(yīng)給予針對(duì)性指導(dǎo)和支持。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都備有人教B版2019高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)教材，以便學(xué)生能夠跟隨課堂進(jìn)度查閱相關(guān)內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與遞推公式相關(guān)的數(shù)列圖表、動(dòng)畫(huà)視頻等多媒體資源，幫助學(xué)生直觀理解遞推關(guān)系及其求解過(guò)程。

3.實(shí)驗(yàn)器材：本節(jié)課不涉及實(shí)驗(yàn)，無(wú)需準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)器材。

4.教室布置：將教室分為講解區(qū)、討論區(qū)兩部分，討論區(qū)用于學(xué)生分組討論和實(shí)踐操作，便于開(kāi)展合作學(xué)習(xí)。同時(shí)，確保教室內(nèi)的多媒體設(shè)備正常運(yùn)行，以便展示輔助教學(xué)材料。教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入新課

上課之初，我會(huì)首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，為新課的學(xué)習(xí)做好鋪墊。然后我會(huì)提出問(wèn)題：“我們已經(jīng)掌握了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么對(duì)于任意的數(shù)列，我們是否也能找到它的通項(xiàng)公式呢？今天我們將學(xué)習(xí)一種新的方法——利用遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?/p>

2.探究遞推公式的概念

（1）定義遞推公式

我會(huì)給出遞推公式的定義：“遞推公式是指一個(gè)數(shù)列的某一項(xiàng)（或幾項(xiàng)）與它前面的項(xiàng)之間存在一定的關(guān)系，通過(guò)這個(gè)關(guān)系可以逐步推出數(shù)列的其他項(xiàng)?！比缓笪視?huì)請(qǐng)學(xué)生思考并舉例說(shuō)明遞推公式的應(yīng)用。

（2）探討遞推公式的性質(zhì)

接著，我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生分析遞推公式的性質(zhì)，如線性遞推公式和非線性遞推公式。在此過(guò)程中，我會(huì)讓學(xué)生思考以下問(wèn)題：

-線性遞推公式和非線性遞推公式有何區(qū)別？

-如何判斷一個(gè)遞推公式是否具有唯一解？

3.實(shí)例分析

我會(huì)給出幾個(gè)具體的數(shù)列實(shí)例，讓學(xué)生嘗試?yán)眠f推公式求解通項(xiàng)公式。例如：

-已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=2an+1，求通項(xiàng)公式。

-已知數(shù)列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1+2an，求通項(xiàng)公式。

在這個(gè)過(guò)程中，我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生按照以下步驟進(jìn)行求解：

-根據(jù)已知條件，列出遞推公式；

-分析遞推公式的性質(zhì)，判斷是否存在唯一解；

-利用遞推公式，逐步求解數(shù)列的通項(xiàng)公式。

4.方法總結(jié)

在學(xué)生掌握了遞推公式的求解方法后，我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求解通項(xiàng)公式的一般步驟：

-確定遞推公式；

-分析遞推公式的性質(zhì)；

-利用遞推公式求解通項(xiàng)公式。

5.應(yīng)用與實(shí)踐

為了鞏固所學(xué)知識(shí)，我會(huì)給出以下練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成：

-已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=3an-2，求通項(xiàng)公式。

-已知數(shù)列{an}，a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an，求通項(xiàng)公式。

在學(xué)生完成練習(xí)題的過(guò)程中，我會(huì)關(guān)注學(xué)生的解題思路和方法，及時(shí)給予指導(dǎo)和反饋。

6.課堂小結(jié)

在課程接近尾聲時(shí)，我會(huì)對(duì)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式的重要性。同時(shí)，我會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)深入研究遞推公式，探索更多有趣的數(shù)列問(wèn)題。

7.布置作業(yè)

為了讓學(xué)生更好地鞏固所學(xué)知識(shí)，我會(huì)布置以下作業(yè)：

-復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)的遞推公式及其求解方法；

-完成本節(jié)課的練習(xí)題，并嘗試用不同的方法求解；

-預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容，提前了解數(shù)列的其他求解方法。拓展與延伸1.拓展閱讀材料：

-數(shù)列的遞推關(guān)系及其應(yīng)用，選自《數(shù)學(xué)通訊》；

-利用遞推公式求解斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式，選自《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》；

-遞推公式在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，選自《數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究》。

2.課后自主學(xué)習(xí)和探究：

（1）研究線性遞推公式和非線性遞推公式的求解方法，了解它們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

（2）探討以下問(wèn)題：

-對(duì)于一個(gè)已知的數(shù)列，如何判斷它是否存在遞推關(guān)系？

-如何利用遞推公式求解斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式？

-遞推公式在數(shù)學(xué)建模中具體有哪些應(yīng)用？

（3）嘗試?yán)眠f推公式解決以下實(shí)際問(wèn)題：

-人口增長(zhǎng)問(wèn)題：假設(shè)一個(gè)地區(qū)的人口數(shù)列滿足遞推關(guān)系，如何求解該地區(qū)的人口通項(xiàng)公式？

-經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)問(wèn)題：假設(shè)一個(gè)國(guó)家的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）滿足遞推關(guān)系，如何求解該國(guó)家GDP的通項(xiàng)公式？

（4）結(jié)合教材中的例題和練習(xí)題，總結(jié)遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式的常用技巧和方法。

（5）與同學(xué)分享你在學(xué)習(xí)遞推公式過(guò)程中的心得體會(huì)，以及解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)遇到的困難和挑戰(zhàn)。板書(shū)設(shè)計(jì)1.標(biāo)題：利用遞推公式求通項(xiàng)公式

2.板書(shū)內(nèi)容：

-遞推公式定義

-線性遞推公式

-非線性遞推公式

-求解通項(xiàng)公式步驟

1.確定遞推公式

2.分析遞推公式性質(zhì)

3.求解通項(xiàng)公式

-實(shí)例分析

1.數(shù)列{an}，a1=1，an+1=2an+1

2.數(shù)列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1+2an

-方法總結(jié)

-課堂練習(xí)

1.數(shù)列{an}，a1=1，an+1=3an-2

2.數(shù)列{an}，a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an

3.設(shè)計(jì)特點(diǎn)：

-結(jié)構(gòu)清晰：板書(shū)內(nèi)容按照遞推公式的定義、分類(lèi)、求解步驟、實(shí)例分析、方法總結(jié)和課堂練習(xí)的順序展開(kāi)，條理分明。

-突出重點(diǎn)：用不同顏色的粉筆標(biāo)出關(guān)鍵詞和重要步驟，如“遞推公式定義”、“求解通項(xiàng)公式步驟”等，增強(qiáng)視覺(jué)效果。

-簡(jiǎn)潔明了：板書(shū)內(nèi)容簡(jiǎn)潔明了，避免冗長(zhǎng)的解釋，便于學(xué)生快速理解和記憶。

-藝術(shù)性和趣味性：運(yùn)用圖形、箭頭等元素，使板書(shū)更具動(dòng)態(tài)感和趣味性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.在本節(jié)課中，我嘗試將遞推公式與實(shí)際生活案例相結(jié)合，讓學(xué)生在理解抽象概念的同時(shí)，感受到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.我采用了分組合作的教學(xué)方法，鼓勵(lì)學(xué)生互相討論、分享解題思路，這種教學(xué)方式有助于培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和溝通能力。

（二）存在主要問(wèn)題

1.在教學(xué)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)遞推公式的理解不夠深入，導(dǎo)致在求解通項(xiàng)公式時(shí)出現(xiàn)困難。

2.教學(xué)評(píng)價(jià)方面，我對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)可能過(guò)于關(guān)注解題結(jié)果，而忽視了他們?cè)诮忸}過(guò)程中的努力和思考。

（三）改進(jìn)措施

1.針對(duì)學(xué)生對(duì)遞推公式理解不深入的問(wèn)題，我將在今后的教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)遞推公式基礎(chǔ)知識(shí)的講解，通過(guò)更多實(shí)例分析，幫助學(xué)生更好地理解遞推公式的內(nèi)涵。

2.在教學(xué)評(píng)價(jià)方面，我將更加關(guān)注學(xué)生的解題過(guò)程，鼓勵(lì)他們積極參與課堂討論，關(guān)注他們?cè)诤献鲗W(xué)習(xí)中的表現(xiàn)，從而全面評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。課后作業(yè)1.已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=2an+1，求通項(xiàng)公式。

解答：由遞推公式可得：

a2=2a1+1=3，

a3=2a2+1=7，

a4=2a3+1=15，

觀察發(fā)現(xiàn)，an=2^n-1。

2.已知數(shù)列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1+2an，求通項(xiàng)公式。

解答：由遞推公式可得：

a3=a2+2a1=5，

a4=a3+2a2=11，

a5=a4+2a3=21，

觀察發(fā)現(xiàn)，an=2^(n-1)+(-1)^(n-1)。

3.已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1=3an-2，求通項(xiàng)公式。

解答：由遞推公式可得：

a2=3a1-2=1，

a3=3a2-2=1，

a4=3a3-2=1，

觀察發(fā)現(xiàn)，an=1。

4.已知數(shù)列{an}，a1=1，a2=2，an+2