19題新結構定義題（集合部分）原卷版-2024年高考數學復習解答題解題思路訓練

專題0119題新結構定義題(集合部分)(典型題型歸類訓練)

1.(2023?北京西城?北師大實驗中學?？既?若項數為N(NZ3)的數列見,…,心滿足：

*/、，、f11,2),\<n<M

4=l,a"Ni=2,3,…,N,且存在Me{2,3,…,N-l,使得%J'〃?,則稱數列

M<n<N-l

4具有性質P.

(1)①若N=3,寫出所有具有性質尸的數列4；

②若N=4,%=3,寫出一個具有性質P的數列4；

(2)若N=2024,數列4o24具有性質產，求Hem的最大項的最小值；

⑶已知數列4：%嗎，…,咻當：配白，…4均具有性質P，且對任意i,/e{L2,…,N},當i幻時，都有

a產%,b產bj.記集合7；，心={4也,…，"}，求(c5中元素個數的最小值.

2.(2023?北京西城?北京師大附中?？寄M預測)己知A為有限個實數構成的非空集合，設

A+A=^ai+aj\ai,aje/},A-A=^ai-aj\ai,aje/},記集合/+/和/一/其元素個數分別為

設M+例如當N={1,2}時，4+/={2,3,4},^-^={-1,0,1},\A+A\=\A-A\,所以

n(A)=Q.

(1)若/={1,3,5},求〃(/)的值；

⑵設A是由3個正實數組成的集合且(/+N)nN=@/'=/U{0},證明：〃(/')-〃(/)為定值；

⑶若{%}是一個各項互不相同的無窮遞增正整數數列，對任意〃eN*,設4={%,%,???,%},b,=n⑷.已

知%=1,4=2,且對任意〃eN*”20,求數列{與}的通項公式.

3.(2023?北京101中學?？寄M預測)設4是正整數集的一個非空子集，如果對于任意xe/,都有x-le/

或x+le/,則稱/為自鄰集.記集合4={1,2…，〃}(〃>2,”eN)的所有子集中的自鄰集的個數為a”.

⑴直接寫出4的所有自鄰集；

(2)若〃為偶數且〃>6,求證：4的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數是偶數；

(3)若為24,求證：an<2an_x.

4.(2023?北京門頭溝?統考一模)已知集合Af={±1,士2,±3,…,土〃}(">3).若對于集合M的任意k元子集

力中必有4個元素的和為-1,則稱這樣的正整數人為“好數"，所有"好數"的最小值記作g(M).

(1)當〃=3,即集合”={-3,-2,-1,1,2,3}.

(i)寫出M的一個子集8,且3中存在4個元素的和為T；

(ii)寫出M的一個5元子集C,使得C中任意4個元素的和大于T；

(2)證明:g(M)>n+2；

(3)證明:g(M)="+3.

5.(2023?北京西城?統考一模)給定正整數“22,設集合M={a[a=?U，L{0,1}次=1,2,L對于集

合M中的任意元素/=(X”X2，L,x“)和7=(M，%，L,%),記夕，=為乂+%%+1+xj”.設Z=且集合

[p,i=_

4={*a,=G32，L,2),，=1,2,L,對于A中任意元素%,若.則稱A具有性質T(〃,p).

11,"J,

⑴判斷集合4={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}是否具有性質7(3,2)?說明理由;

(2)判斷是否存在具有性質7(4,p)的集合A,并加以證明；

(3)若集合A具有性質7(",P),證明：t\j++L+tnJ=P(j=1,2,L,n).

6.(2022?北京海淀?首都師范大學附屬中學?？既?設〃2且〃wN,集合為={1,2,3,4,…,2*,若對U,

的任意無元子集匕.，都存在a,b,ce匕.，滿足：a<b<c,a+b>c,且a+b+c為偶數,則稱匕為理想集，并

將發(fā)的最小值記為K,.

⑴當〃=2時，是否存在理想集？并說明理由.

(2)當〃=3時，是否存在理想集？若存在，求出(；若不存在，請說明理由.

⑶求心

a+e

7.(2022?北京豐臺?統考二模)設4=[q，4],I2=[a2,b2],-^n+1—[?+P^H+l]?)

個互不相同的閉區(qū)間，若存在實數升使得=+則稱這〃+1個閉區(qū)間為聚合區(qū)間，不為該

聚合區(qū)間的聚合點.

⑴已知A=[1,3],/2=[-2,疝小0</<萬)為聚合區(qū)間,求]的值;

(2)已知/|=[%，4],/1=[。2也],...,/,=[%也],/“+1=[。用也+]]為聚合區(qū)間.

(i)設%,%是該聚合區(qū)間的兩個不同的聚合點.求證：存在k,7e{l,2,...,n+l},使得

[ak,bj~\^Ii(i=i,2,...,n+l)；

(ii)若對任意0,q(PS且p,^e{l,2,...,?+1)),都有4互不包含.求證：存在不同的3

/e{1,2,…，〃+1},使得4—a,W----也一％).

n

8.(2022■北京豐臺?統考一模)已知集合S={1,2,…,"}("23且〃eN*),4={49,…，%},且一三S.若對

任意外?/，。六4(1<z<j<m,當q+%W〃時，存在%e/(l<k<m),使得%+%=%,則稱A是S的

"?元完美子集.

⑴判斷下列集合是否是$={123,4,5}的3元完美子集，并說明理由；

①4={1,2,4}；②4={2,4,5}.

(2)若［={%,%，/}是5={1，2/“，7}的3元完美子集,求4+%+%的最小值；

(3)若/={%,。2,…，%,}是5={1，2,…(〃23且“eN*)的加元完美子集，求證：at+a2+.??+amm{n+\)并

指出等號成立的條件.

9.(2023?北京海淀101中學?？寄M預測)在〃x〃(〃22)個實數組成的〃行力列的數表中，為表示第i

行第/列的數，記。=a*+a,2+…+。加(1<，<?)，q=aXj+a2j+---+anj(l<j<n).若atje{-l,0,l}(l<i,j<n),,

且外，々，…，/，qg,…,的兩兩不等，則稱此表為"〃階〃表"，記乩={小々,…,*GJ…,c"}.

⑴請寫出一個"2階H表"；

(2)對任意一個""階〃表"，若整數％?-”,可,且/任與，求證：丸為偶數；

⑶求證：不存在"5階H表".

10.(2021?北京門頭溝?統考一模)對于一個非空集合力,如果集合。滿足如下四個條件：

①。U{(a,b)|ae/}；②Vae/,(a,a)eD；③Va,6e/,若(a,6)e。且(6,a)e。，貝1]°=6；

@\/a,b,c&A,若3向€。且(6,c)e。，貝！|(a,c)e。，則稱集合D為/的一個偏序關系.

(1)設/={1,2,3},判斷集合。={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合力的偏序關系，請你寫出一個含

有4個元素且是集合A的偏序關系的集合D-,

(2)證明：凡={(%6)]。€凡6€R046}是實數集夫的一個偏序關系：

(3)設E為集合/的一個偏序關系，.若存在cl4,使得(c,a)e￡,(c,ZJ)e￡,J3.V<7eA，若(d,a)eE,

(d,b)eE,一定有(d,c)e￡,則稱c是。和6的交，記為c=a人6.證明：對/中的兩個給定元素a,b,若

存在，則一定唯一.

11.(2020?北京房山?統考二模)已知集合P的元素個數為且元素均為正整數，若能夠將集合產分

成元素個數相同且兩兩沒有公共元素的三個集合A、B、C,即尸=/C3=0,/cC=0,

8nC=0,其中/={。1嗎，…,%}，8={4也,…也}，C={c“2，L,c,J,且滿足qVC?<…<c.，ak+bk=ck,

k=l、2、L、〃，則稱集合P為"完美集合

(1)若集合P={1,2,3},0={1,2,3,4,5,6},判斷集合尸和集合。是否為“完美集合"？并說明理由；

(2)已知集合尸={l,x,3,4,5,6}為“完美集合"，求正整數x