2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：銳角三角函數(shù)（二）

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之銳角三角函數(shù)（二）

—.解答題（共33小題）

1.中國(guó)新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn).為滿足新能源汽車的充電需求,

某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQMN充電站的平面示意圖，矩形ABC。是其中一個(gè)停車位.經(jīng)測(cè)

量，ZABQ^60°,AB=5.4m,CE^1.6m,GHLCD,GH是另一個(gè)車位的寬，所有車位的長(zhǎng)寬相同，

按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問題：（結(jié)果精確到0.加，參考數(shù)據(jù)聲句.73）

（1）求尸0的長(zhǎng);

（2）該充電站有20個(gè)停車位，求PN的長(zhǎng).

2.圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機(jī)于空中A處探測(cè)到吉塔，此時(shí)飛行高度A8

873m,如圖②.從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角/￡AC=37°,看塔底。的俯角NE4O=45°,求吉塔

的高度。（結(jié)果精確到0.1根）.

(參考數(shù)據(jù):sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)

3.如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組開展“實(shí)地測(cè)量教學(xué)樓A8的高度”的實(shí)踐活動(dòng).教學(xué)樓周圍是開闊平整的地

面，可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)角儀（皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離；測(cè)角儀

的功能是測(cè)量角的大?。?

（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)測(cè)量教學(xué)樓A8的高度的方案，方案包括畫出測(cè)量平面圖，把應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)證所畫的圖形

上（測(cè)出的距離用相，"等表示，測(cè)出的角用a,0等表示），并對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行說明；

（2）根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算教學(xué)樓AB的高度（用字母表示）.

4.如圖，在△ABC中，ADLBC,AE是BC邊上的中線，43=10,AD=6,tanZACB=1.

(1)求BC的長(zhǎng);

(2)求sin/ZME的值.

5.某數(shù)學(xué)興趣小組在校園內(nèi)開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，記錄如下:

活動(dòng)測(cè)量校園中樹AB的高度

項(xiàng)目

活動(dòng)“測(cè)角儀”方案

方案

方案

示意

圖

實(shí)施①選取與樹底B位于同一水平地面的D處;①子

過程②測(cè)量。，B兩點(diǎn)間的距離;

③站在。處，用測(cè)角儀測(cè)量從眼睛C處看樹頂A的仰角/ACR③在E處水平放置一個(gè)

④測(cè)量C到地面的高度CD.

測(cè)量①DB=10m；

數(shù)據(jù)②NACP=32.5°；

③CD=1.6z/z.

備注①圖上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi);

②AB,8均與地面垂直;

③參考數(shù)據(jù)：tan32.5"0.64.③把平面鏡看

請(qǐng)你從以上兩種方案中任選一種，計(jì)算樹A3的高度.

6.綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度（如圖①）.某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)

了一個(gè)方案：如圖②，點(diǎn)C,D,E依次在同一條水平直線上，DE=36m,ECLAB,垂足為C.在。

處測(cè)得橋塔頂部8的仰角QCDB）為45。，測(cè)得橋塔底部A的俯角（NCD4）為6。，又在E處測(cè)

得橋塔頂部8的仰角（NCEB）為31°.

（Z）求線段。的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）;

（II）求橋塔AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：tan31°g0.6,tan6°^0.1.

圖①

7.如圖1,塑像AB在底座BC上，點(diǎn)。是人眼所在的位置.當(dāng)點(diǎn)8高于人的水平視線。E時(shí)，由遠(yuǎn)及近

看塑像,會(huì)在某處感覺看到的塑像最大，此時(shí)視角最大.數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的圓與水

平視線DE相切時(shí)（如圖2）,在切點(diǎn)P處感覺看到的塑像最大，此時(shí)為最大視

圖2

（1）請(qǐng)僅就圖2的情形證明

（2）經(jīng)測(cè)量，最大視角/APB為30°,在點(diǎn)P處看塑像頂部點(diǎn)A的仰角/APE為60°,點(diǎn)P到塑像

的水平距離為6".求塑像的高（結(jié)果精確到0.L”.參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）.

8.綜合與實(shí)踐：小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識(shí)后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性學(xué)習(xí).

【實(shí)驗(yàn)操作】

第一步：將長(zhǎng)方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與

水槽內(nèi)壁AC的夾角為NA；

第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點(diǎn)E處時(shí)，停止注水.（直線NN'為法線，AO為入射光線，

。。為折射光線.）

【測(cè)量數(shù)據(jù)】

如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面內(nèi)，測(cè)得AC=20c?t,NA=45°,折射角/DON

=32°.

【問題解決】

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)操作和測(cè)量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：

（1）求8C的長(zhǎng)；

（2）求8,。之間的距離（結(jié)果精確到（Me%）.

（參考數(shù)據(jù)：sin32°-0.52,cos32°-0.84,tan32°"0.62）

9.我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使

用《西江月》詞牌寫的：

平地秋千未起，踏板一尺離地.

送行二步與人齊，五尺人高曾記.

仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語歡嬉.

良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？

詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)

10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺.（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）

（1）如圖1,請(qǐng)你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索OA的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,將秋千從與豎直方向夾角為a的位置OA釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為P

的地方。V,兩次位置的高度差.根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索。4的長(zhǎng)度？如果能，請(qǐng)用

含a、0和力的式子表示；如果不能，請(qǐng)說明理由.

念碑所在地，在了解相關(guān)歷史背景后，利用航模搭載的3。掃描儀采集紀(jì)念碑的相關(guān)數(shù)據(jù).

數(shù)據(jù)采集：如圖，點(diǎn)A是紀(jì)念碑頂部一點(diǎn)，A8的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到水平地面的距離.航模從紀(jì)念碑前水平

地面的點(diǎn)M處豎直上升，飛行至距離地面20米的點(diǎn)C處時(shí)，測(cè)得點(diǎn)A的仰角/ACZ)=18.4°；然后沿

CN方向繼續(xù)飛行，飛行方向與水平線的夾角NNCD=37°,當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)A正上方的點(diǎn)E處時(shí)，測(cè)得AE

—9米；...

數(shù)據(jù)應(yīng)用：已知圖中各點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，E,A,8三點(diǎn)在同一直線上.請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算紀(jì)

念碑頂部點(diǎn)A到地面的距離的長(zhǎng)(結(jié)果精確到1米.參考數(shù)據(jù):sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°

-0.75,sinl8.4°心0.32,cosl8.4°-0.95,tanl8.4°-0.33).

N

MB

11.問題提出

(1)如圖①，在△ABC中，AB=15,ZC=30°,作△ABC的外接圓。0,則；O的長(zhǎng)為

(結(jié)果保留it)

問題解決

(2)如圖②所示，道路的一側(cè)是濕地.某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測(cè)點(diǎn)DE,C,線段AD,

AC和8c為觀測(cè)步道，其中點(diǎn)A和點(diǎn)8為觀測(cè)步道出入口.已知點(diǎn)E在AC上，且AE=EC,ZDAB

=60°,NABC=120°,AB1200m,AD=BC=900m,現(xiàn)要在濕地上修建一個(gè)新觀測(cè)點(diǎn)P,使/。PC

=60°.再在線段AB上選一個(gè)新的步道出入口點(diǎn)尸，并修道三條新步道PF,PD,PC,使新步道PF

經(jīng)過觀測(cè)點(diǎn)E,并將五邊形ABCPD的面積平分.

請(qǐng)問：是否存在滿足要求的點(diǎn)P和點(diǎn)P？若存在，求此時(shí)尸尸的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（點(diǎn)A,B,

C,P,。在同一平面內(nèi)，道路與觀測(cè)步道的寬、觀測(cè)點(diǎn)及出入口的大小均忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）

12.某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時(shí)間進(jìn)行測(cè)量活動(dòng).

活動(dòng)主題測(cè)算某水池中雕塑底座的底面積

測(cè)量工具皮尺、測(cè)角

儀、計(jì)算器

等

活動(dòng)過程模型抽象某休閑廣場(chǎng)的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形其示意圖如下:

測(cè)繪過程①在水池外取一點(diǎn)E,使得點(diǎn)C,B,E在同一條直線上；

與數(shù)據(jù)信②過點(diǎn)E作并沿方向前進(jìn)到點(diǎn)R用皮尺測(cè)得跖的長(zhǎng)為4米；

息③在點(diǎn)尸處用測(cè)角儀測(cè)得NCFG=60.3°,ZBFG=45°,ZAFG=21.8°；

④用計(jì)算器計(jì)算得：sin60.3°~0.87,cos60.3°^0.50,tan60.3°=1.75,sin21.8°~0.37,

cos21.8°心0.93,tan21.8°-0.40.

請(qǐng)根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問題（結(jié)果保留整數(shù)）:

（1）求線段CE和BC的長(zhǎng)度；

（2）求底座的底面ABC。的面積.

13.如圖所示，一座小山頂?shù)乃接^景臺(tái)的海拔高度為1600機(jī)，小明想利用這個(gè)觀景臺(tái)測(cè)量對(duì)面山頂C點(diǎn)

處的海拔高度.他在該觀景臺(tái)上選定了一點(diǎn)A,在點(diǎn)A處測(cè)得C點(diǎn)的仰角/CAE=42°,再在AE上選

一點(diǎn)B,在點(diǎn)B處測(cè)得C點(diǎn)的仰角a=45°,AB^lOm.求山頂C點(diǎn)處的海拔高度.（小明身高忽略不

計(jì)，參考數(shù)據(jù)：sin42°—0.67,cos42°—0.74,tan42°"0.90）

14.中國(guó)的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對(duì)太空的興趣.某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點(diǎn)P恰好看到一顆星星，

此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離￡2=4/77,仰角為a；淇淇向前走了3/77后到達(dá)點(diǎn)D,透過點(diǎn)尸恰好看到月

亮，仰角為B，如圖是示意圖.已知，淇淇的眼睛與水平地面8。的距離AB=CO=1.6相，點(diǎn)尸到8。

的距離尸。=2.6加，AC的延長(zhǎng)線交P。于點(diǎn)E.（注：圖中所有點(diǎn)均在同一平面）

（1）求B的大小及tana的值；

（2）求”的長(zhǎng)及sin/APC的值.

15.乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內(nèi)，共九級(jí)，為碎框架式結(jié)構(gòu)，造型獨(dú)特別致，遠(yuǎn)可眺

太子山露骨風(fēng)月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹.某校數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了“解直角

三角形”之后，開展了測(cè)量乾元塔高度A8的實(shí)踐活動(dòng).A為乾元塔的頂端，A8L8C,點(diǎn)C,D在點(diǎn)B

的正東方向，在C點(diǎn)用高度為1.6米的測(cè)角儀（即CE=1.6米）測(cè)得A點(diǎn)仰角為37°,向西平移14.5

米至點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角為45°,請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，求乾元塔的高度4艮（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

sin37°心0.60,cos37°心0.80,tan37°仁0.75)

A

圖1圖2

16.小明為了測(cè)量樹的高度，經(jīng)過實(shí)地測(cè)量，得到兩個(gè)解決方案:

方案一：如圖（1）,測(cè)得C地與樹48相距10米，眼睛。處觀測(cè)樹AB的頂端A的仰角為32°；

方案二：如圖（2）,測(cè)得C地與樹AB相距10米，在C處放一面鏡子，后退2米到達(dá)點(diǎn)E,眼睛。在

鏡子C中恰好看到樹AB的頂端A.

已知小明身高1.6米，試選擇一個(gè)方案求出樹的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，tan320弋0.64）

圖（1）圖（2）

17.某校九年級(jí)學(xué)生開展利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的綜合與實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)之一是測(cè)量某護(hù)堤石壩與地

平面的傾斜角.測(cè)量報(bào)告如下表（尚不完整）.

課題測(cè)量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角

成員組長(zhǎng)：XXX組員：XXX,XXX,

測(cè)量工具竹竿，米尺

測(cè)量示意說明：AC是一根!

圖

石

水面

壩

橫

截

面

地平面

測(cè)量數(shù)據(jù)

（1）設(shè)AB=a,BC=b,AC=c,CE=d,DE=e,CD=f,BE=g,AD=h,請(qǐng)根據(jù)表中的測(cè)量示意圖，

從以上線段中選出你認(rèn)為需要測(cè)量的數(shù)據(jù)，把表示數(shù)據(jù)的小寫字母填寫在“測(cè)量數(shù)據(jù)”一欄.

（2）根據(jù)（1）中選擇的數(shù)據(jù)，寫出求/a的一種三角函數(shù)值的推導(dǎo)過程.

（3）假設(shè)sina^O.86,cosa^O.52,tana^l.66,根據(jù)（2）中的推導(dǎo)結(jié)果，利用計(jì)算器求出Na的度數(shù).你

選擇的按鍵順序?yàn)?

①|(zhì)2ndF|回回口回國(guó)

②畫回口回國(guó)

③|2ndF|叵回口兇E

④回?口巨@

⑤12ndFIMrnr-ir~6~ir~6"ir^~i

⑥回Q]口國(guó)叵

18.科技社團(tuán)選擇學(xué)校游泳池進(jìn)行一次光的折射實(shí)驗(yàn)，如圖，光線自點(diǎn)8處發(fā)出，經(jīng)水面點(diǎn)E折射到池底

點(diǎn)A處.已知3E與水平線的夾角a=36.9°,點(diǎn)B到水面的距離BC=1.20"z,點(diǎn)A處水深為1.20〃z,

到池壁的水平距離AO=2.50%點(diǎn)8,C,。在同一條豎直線上，所有點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi).記入射

角為B，折射角為Y,求翳的值（精確至"（H）.

參考數(shù)據(jù)：sin36.9°仁0.60,cos36.9°20.80,tan36.9°仁0.75.

19.圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，8C為水平固定桿，豎直固定桿AB_L8C,活動(dòng)桿可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，CD

為液壓可伸縮支撐桿，已知AB=10c相，BC=20cm,AD=5Qcm.

（1）如圖②，當(dāng)活動(dòng)桿處于水平狀態(tài)時(shí)，求可伸縮支撐桿O的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）如圖③，當(dāng)活動(dòng)桿AO繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度a,且tana=^（a為銳角），求

此時(shí)可伸縮支撐桿C。的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）.

D

圖①圖②圖③

20.為建設(shè)全城旅游西昌，加快旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展.2022年9月29日位于西昌主城區(qū)東部的歷史風(fēng)貌核心區(qū)

唐園正式開園，坐落于唐園內(nèi)的懷遠(yuǎn)塔乃唐園至高點(diǎn)，為七層密檐式八角磚混結(jié)構(gòu)閣樓式塔樓，建筑面

積為1845.4平方米，塔頂金碧輝煌，為“火珠垂蓮”窣（sti）堵坡造型.某校為了讓學(xué)生進(jìn)一步了解

懷遠(yuǎn)塔，組織九年級(jí)（2）班學(xué)生利用綜合實(shí)踐課測(cè)量懷遠(yuǎn)塔的高度.小江同學(xué)站在如圖所示的懷遠(yuǎn)塔

前的平地上A點(diǎn)處，測(cè)得塔頂C的仰角為30°,眼睛B距離地面1.8相，向塔前行67相，到達(dá)點(diǎn)。處,

測(cè)得塔頂C的仰角為60°,求塔高CB.（參考數(shù)據(jù)：V2-1.414,V3-1.732,結(jié)果精確到0.01W

21.根據(jù)手機(jī)的素材，探索完成任務(wù).

素材一太陽能熱水器是利用綠

安裝在每天都可以

素材二某市位于北半球，太陽:

素材二如圖，該市甲樓位于乙

南面墻上安裝該品牌太

層，一層從卻

任務(wù)一

任務(wù)二

22.習(xí)近平總書記于2021年指出，中國(guó)將力爭(zhēng)2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰、2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.甘肅省風(fēng)能

資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速.某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中，“風(fēng)電塔筒”非常

重要，它的高度是一個(gè)重要的設(shè)計(jì)參數(shù).于是小組成員開展了“測(cè)量風(fēng)電塔筒高度”的實(shí)踐活動(dòng).如圖，

已知一風(fēng)電塔筒AH垂直于地面，測(cè)角儀CD,EE在A"兩側(cè)，C。=E尸=1.6m，點(diǎn)C與點(diǎn)E相距182〃z

（點(diǎn)C,H,E在同一條直線上），在。處測(cè)得筒尖頂點(diǎn)A的仰角為45°,在F處測(cè)得筒尖頂點(diǎn)A的仰

角為53°.求風(fēng)電塔簡(jiǎn)A8的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin53。4cos53。?|,tan53。J）

23.圖1是世界第一“大碗”一一景德鎮(zhèn)昌南里文化藝術(shù)中心主體建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影

青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”.如圖2,“大碗”的主視圖由“大碗”主體ABC。和矩形碗底BEPC組成，

已知AM,￡W是太陽光線，AM±MN,DN1MN,點(diǎn)、M,E,F,N在同一條直線上.經(jīng)測(cè)量

ME=FN=20.0m,EF=40.0m,BE=2.4m,NABE=152°.（結(jié)果精確到0.L"）

（1）求“大碗”的口徑A。的長(zhǎng)；

（2）求“大碗”的高度AM的長(zhǎng).

（參考數(shù)據(jù)：sin62°20.88,cos62°"0.47,tan62°心1.88）

太陽光線

圖1

24.“三匯彩亭會(huì)”是達(dá)州市渠縣三匯鎮(zhèn)獨(dú)有的傳統(tǒng)民俗文化活動(dòng)，起源于漢代，融數(shù)學(xué)、力學(xué)、鍛造、

綁扎、運(yùn)載于一體(如圖1),在一次展演活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)”綜合與實(shí)踐”小組將彩亭抽象成如圖2的

示意圖，AB是彩亭的中軸，甲同學(xué)站在C處.借助測(cè)角儀觀察，發(fā)現(xiàn)中軸上的點(diǎn)。的仰角是30。，

他與彩亭中軸的距離BC=6米，乙同學(xué)在觀測(cè)點(diǎn)E處借助無人機(jī)技術(shù)進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得AE平行于水平

線8C,中軸上的點(diǎn)歹的俯角/A所=45°,點(diǎn)E、尸之間的距離是4米，已知彩亭的中軸AB=6.3

米，甲同學(xué)的眼睛到地面的距離MC=1.5米，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求中軸上的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到0.1

米，參考數(shù)據(jù)W~1.73,V2?1.41)

25.圖1是古代數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中對(duì)“邑的計(jì)算”的相關(guān)研究.數(shù)學(xué)興趣小組也類比進(jìn)行

V2

了如下探究：如圖2,正八邊形游樂城AM2A3A4A546A7A8的邊長(zhǎng)為萬公九，南門O設(shè)立在4)的邊的正

中央，游樂城南側(cè)有一條東西走向的道路BM,A6&7在上(門寬及門與道路間距離忽略不計(jì))，東

側(cè)有一條南北走向的道路BC,C處有一座雕塑.在4處測(cè)得雕塑在北偏東45°方向上，在上處測(cè)得

雕塑在北偏東59°方向上.

(1)ZCAIA2=°,ZCA2AI=°；

(2)求點(diǎn)4到道路8c的距離；

(3)若該小組成員小李出南門。后沿道路MB向東行走，求她離8處不超過多少千米，才能確保觀察

雕塑不會(huì)受到游樂城的影響？

(結(jié)果精確到O1初z,參考數(shù)據(jù)：V2-1.41,sin76°^0.97,tan76°^4.00,sin59°20.86,tan59°小

1.66)

26.風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義.某電力部門在某地安裝了一批風(fēng)力發(fā)

電機(jī)，如圖(1),某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)其中一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖(2)為測(cè)量示

意圖(點(diǎn)A,B,C,。均在同一平面內(nèi)，AB±BC\已知斜坡C。長(zhǎng)為20米，斜坡的坡角為60°,

在斜坡頂部。處測(cè)得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端A點(diǎn)的仰角為20°,坡底與塔桿底的距離BC=30米，求該

風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿A3的高度.(結(jié)果精確到個(gè)位；參考數(shù)據(jù)：sin20°^0.34,cos200仁0.94,tan20°&

0.36,V3?1.73)

(1)(2)

27.中國(guó)古代運(yùn)用“土圭之法”判別四季.夏至?xí)r日影最短，冬至?xí)r日影最長(zhǎng)，春分和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度等

于夏至和冬至日影長(zhǎng)度的平均數(shù).某地學(xué)生運(yùn)用此法進(jìn)行實(shí)踐探索，如圖，在示意圖中，產(chǎn)生日影的桿

子AB垂直于地面，A2長(zhǎng)8尺.在夏至?xí)r，桿子在太陽光線AC照射下產(chǎn)生的日影為8C；在冬至

時(shí)，桿子A2在太陽光線照射下產(chǎn)生的日影為BD已知NACB=73.4°,ZADB=26.6°,求春分

和秋分時(shí)日影長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到0.1尺；參考數(shù)據(jù)：sin26.6°-0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°七0.50,

sin73.4°心0.96,cos73.4°仁0.29,tan73.4°仁3.35)

圭立夏春分立春

28.如圖，海中有一個(gè)小島C,某漁船在海中的A點(diǎn)測(cè)得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一

段時(shí)間后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得小島C位于北偏西30°方向上，再沿北偏東60°方向繼續(xù)航行一段時(shí)間后到

達(dá)。點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島C位于北偏西60°方向上.已知A,C相距30〃加/e.求C,。間的距離（計(jì)算

過程中的數(shù)據(jù)不取近似值）.

29.如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向3,。兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東方向的C港

裝運(yùn)新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達(dá)3港，再沿北偏東60°方向航行一定距離

到達(dá)C港.乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)。港，再沿南偏東30°方向航行一定距

離到達(dá)C港.

（參考數(shù)據(jù)：V2-1.41,V3-1.73,V6?2.45）

（1）求A,C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？?,D兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請(qǐng)通過計(jì)算

B：

30.宜賓地標(biāo)廣場(chǎng)位于三江匯合口（如圖1,左側(cè)是岷江，右側(cè)是金沙江，正面是長(zhǎng)江）.某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)

踐中測(cè)量長(zhǎng)江口的寬度，他在長(zhǎng)江口的兩岸選擇兩個(gè)標(biāo)點(diǎn)C、D,在地標(biāo)廣場(chǎng)上選擇兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A、B

（點(diǎn)A、B、C、。在同一水平面，且A8〃a9）.如圖2所示，在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C在北偏西18.17°方

向上，測(cè)得點(diǎn)。在北偏東21.34°方向上；在B處測(cè)得點(diǎn)C在北偏西21.34°方向上，測(cè)得點(diǎn)。在北偏

東18.17°方向上，測(cè)得A8=100米.求長(zhǎng)江口的寬度CD的值（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù):sinl8.17°

-0.31,cosl8.17°心0.95,tanl8.17°-0.33,sin21.34°心0.36,cos21.34°-0.93,tan21.34°-0.39）

31.小明的書桌上有一個(gè)L型臺(tái)燈，燈柱A8高40c7小他發(fā)現(xiàn)當(dāng)燈帶與水平線夾角為9°時(shí)（圖

1）,燈帶的直射寬DE^BD±BC,C￡±BC）為35cm,但此時(shí)燈的直射寬度不夠，當(dāng)他把燈帶調(diào)整到

與水平線夾角為30°時(shí)（圖2）,直射寬度剛好合適，求此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn)C到桌面的距離.（結(jié)果保留1

位小數(shù)）（sin9°^0.16,cos9°^0.99,tan9°^0.16）

32.如圖，A,B,C,。分別是某公園四個(gè)景點(diǎn)，8在A的正東方向，。在A的正北方向，且在C的北偏

西60°方向，C在A的北偏東30°方向，且在B的北偏西15°方向,AB=2千米.（參考數(shù)據(jù):/=1.41,

V3-1.73,V6-2.45）

（1）求8C的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1千米）；

（2）甲、乙兩人從景點(diǎn)。出發(fā)去景點(diǎn)8,甲選擇的路線為：D-C-B,乙選擇的路線為：O-A-8.請(qǐng)

計(jì)算說明誰選擇的路線較近？

33.在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課上，活動(dòng)小組測(cè)量一棵楊樹的高度.如圖，從C點(diǎn)測(cè)得楊樹底端8點(diǎn)的仰角

是30°,長(zhǎng)6米，在距離C點(diǎn)4米處的。點(diǎn)測(cè)得楊樹頂端A點(diǎn)的仰角為45°,求楊樹的高度

（精確到0.1米，AB,BC,在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C,。在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：V3?1.73）.

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之銳角三角函數(shù)（二）

參考答案與試題解析

一.解答題（共33小題）

1.中國(guó)新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn).為滿足新能源汽車的充電需求,

某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQWN充電站的平面示意圖，矩形ABC。是其中一個(gè)停車位.經(jīng)測(cè)

量，ZABQ^6Q°,AB=5Am,CE^1.6m,GHLCD,GH是另一個(gè)車位的寬，所有車位的長(zhǎng)寬相同，

按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問題：（結(jié)果精確到0.1%參考數(shù)據(jù)遍=1.73）

（1）求尸。的長(zhǎng);

（2）該充電站有20個(gè)停車位，求PN的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【答案】（1）6.1/7!;

(2)66.7m.

【分析】(1)先求出和AP的長(zhǎng)度，進(jìn)而可以解決問題；

(2)求出QW的長(zhǎng)度，因?yàn)樗倪呅蜳QMN是矩形，所以PN=QM=66.7祖.

【解答】解：(1).??四邊形PQMN是矩形，

：.ZQ=ZP=90°,

在中，ZABQ=60°,AB=5Am,

：.AQ=AB^inAABQ=ZQAB=30°,

???四邊形ABC。是矩形，

：.AD=BCfZBAD=ZBCD=ZABC=ZBCE=90°,

：.ZCBE=30°,

,CE8y/3

..BDCr=taC=km，

,8/5

..AADn=—g—m,

VZB4D=180°-30°-90°=60°,

*.AP=AD-cosZ-PAD=—g—m,

:.PQ=AP+AQ=嚕屋6.1(?n)；

(2)在RtZkBCE中，BE=.=3.2m,

stnZ.CBE

在RtzXABQ中，BQ=AB，cos/ABQ=2.7m,

:該充電站有20個(gè)停車位，

QM=QB+2QBE=66.1m,

:四邊形PQWN是矩形，

:.PN=QM=66.7m.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解題目意思是解題的關(guān)鍵.

2.圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機(jī)于空中A處探測(cè)到吉塔，此時(shí)飛行高度A8=

873/77,如圖②.從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角/EAC=37°,看塔底。的俯角NE4￡>=45°,求吉塔

的高度CD(結(jié)果精確到0.1m).

(參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)

圖①圖②

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】計(jì)算題；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】218.3m.

【分析】過點(diǎn)C作CPLAB,先說明四邊形88尸是矩形，再在RtAACF>RtADBA中，利用直角三

角形的邊角間關(guān)系求出AF的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系得結(jié)論.

【解答】解：過點(diǎn)C作CFLAB,垂足為E

,：AB1BD,CF1AB,DCA.BD,

:./CDB=/B=/CFB=90°.

???四邊形COBb是矩形.

：?BF=CD,CF=BD=873m.

9：CF//BD//AE,

：.ZEAC=ZACF=37°,ZEAD=ZADB=45°.

在RtAACF中，

AJ7

VtanZACF=汴，

.\AF=tanZACF-CF

=tan37°X873

^0.75X873

=654.75(m).

：.CD=FB=AB-AF

=873-654.75

=218.25

Q218.3(m).

答：吉塔的高度CO約為218.3加.

E-------------------------------------7A]

C，'/：

C\--/---------------------\F

?I

廠，

DB

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、矩形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)

是解決本題的關(guān)鍵.

3.如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組開展“實(shí)地測(cè)量教學(xué)樓的高度”的實(shí)踐活動(dòng).教學(xué)樓周圍是開闊平整的地

面，可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)角儀（皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離；測(cè)角儀

的功能是測(cè)量角的大?。?

（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)測(cè)量教學(xué)樓A8的高度的方案，方案包括畫出測(cè)量平面圖，把應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)證所畫的圖形

上（測(cè)出的距離用相，〃等表示，測(cè)出的角用a,0等表示），并對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行說明；

（2）根據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算教學(xué)樓的高度（用字母表示）.

UJB__________

Z7Z7^7ZZ77/7777777777Z7777-皮尺測(cè)角儀

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】（1）在地面上取C,測(cè)量8C=〃z,測(cè)量/AC2=a,根據(jù)tana=器，即可得出AB的長(zhǎng)度；圖

見解析；（2）AB=mtana.

【分析】（1）設(shè)計(jì)一個(gè)直角三角形即可；

（2）根據(jù)三角函數(shù)即可求得.

【解答】解：（1）如圖：在地面上取C,測(cè)量BC=m,測(cè)量/ACB=a,

A

即可得出AB的長(zhǎng)度.

（2）VZABC=90Q,

.*AB

..tana=玩，

AB=BCXtana=mtana.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的用法是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在△ABC中，AD±BC,AE是邊上的中線，AB=10,AD=6,tanZACB=1.

（1）求的長(zhǎng)；

(2)求sin/ZME的值.

【考點(diǎn)】解直角三角形；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】⑴14；

V37

(2)-----.

37

【分析】(1)由tan/AC2=l可得05=40=6,根據(jù)勾股定理可得3。的長(zhǎng)，進(jìn)而底層的長(zhǎng)；

(2)根據(jù)AE是BC邊上的中線可得”的長(zhǎng)，由DE=CE-CD可得。E的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得AE

的長(zhǎng)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可.

【解答】解：(1)'：AD±BC,AB=10,AD=6,

:.BD=-JAB2-AD2=Vio2-62=8；

VtanZACB=l,

：.CD=AD=6,

.?.8C=B￡)+a)=8+6=14；

(2)是BC邊上的中線，

1

：.CE=^BC=7,

：.DE=CE-CD=7-6=1,

9：AD±BC,

AE=y/AD2+DE2=V62+l2=V37,

..smZDAE-而一面一二

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形以及勾股定理，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是

解直角三角形.

5.某數(shù)學(xué)興趣小組在校園內(nèi)開展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，記錄如下：

活動(dòng)測(cè)量校園中樹A3的高度

項(xiàng)目

活動(dòng)“測(cè)角儀”方案

方案

方案

示意

圖

實(shí)施①選取與樹底B位于同一水平地面的D處；①五

過程②測(cè)量。，2兩點(diǎn)間的距離；

③站在。處，用測(cè)角儀測(cè)量從眼睛C處看樹頂A的仰角/4CF；③在E處水平放置一個(gè)

④測(cè)量C到地面的高度CD.

測(cè)量@DB—10m；

數(shù)據(jù)②NACF=32.5°；

③CD=L6m.

備注①圖上所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi);

②AB,C￡）均與地面垂直；

③參考數(shù)據(jù)：tan32.5心0.64.③把平面鏡看

請(qǐng)你從以上兩種方案中任選一種，計(jì)算樹AB的高度.

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】樹A8的高度為8m.

【分析】“測(cè)角儀”方案：過C作CPLAB于凡根據(jù)矩形的性質(zhì)得到3=8。=10"z,BF=CD=1.6m,

根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；

“平面鏡”方案：根據(jù)垂直的定義得到NC￡>E=NABE=90°,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可

得到結(jié)論.

【解答】解：“測(cè)角儀”方案：過C作CFLAB于R

A

?；CD_LBD,AB1BD,

???四邊形CQBb是矩形，

：.CF=BD=lQmfBF=CD=T.6m,

VZACF=32.5°,

.*.AF=CF-tan32.5°=10*0.64心6.4(m),

AB=AF-^-BF=6.4+1.6=8(m),

答：樹A3的高度為8加；

9

“平面鏡”方案：：CD±BD,AB±BDf

：.ZCDE=ZABE=90°,

?：/CED=/AEB,

:.XCDESXABE,

?_C_D__D_E

??—,

ABBE

.1.62

??—,

AB10

：.AB=8,

答：樹AB的高度為8s.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形

的方法和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度(如圖①).某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)

了一個(gè)方案：如圖②，點(diǎn)C,D,E依次在同一條水平直線上，DE=36m,ECLAB,垂足為C.在。

處測(cè)得橋塔頂部B的仰角(/CDB)為45°,測(cè)得橋塔底部A的俯角(NCZM)為6°,又在E處測(cè)

得橋塔頂部B的仰角(NCEB)為31°.

(7)求線段C。的長(zhǎng)(結(jié)果取整數(shù))；

(II)求橋塔AB的高度(結(jié)果取整數(shù)).參考數(shù)據(jù)：tan31°20.6,tan6°^0.1.

圖①圖②

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】（I）線段的長(zhǎng)約為54m；

（〃）橋塔AB的高度約為59m.

【分析】（/）設(shè)C￡）=x,由。￡=36m，得到CE=CD+OE=（x+36）m,根據(jù)垂直的定義得到/BCE=

ZACD=90°,解直角三角形即可得到結(jié)論；

（ID根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AC=CD?tanZCZ）A^54Xtan6o^54X0,1=5.4（加）.于是得到AB=

AC+8C?=5.4+54259(m).

【解答】解：(/)設(shè)CD=x,：。￡=36切,

CE=CD+DE=(x+36)m,

'：EC±AB,

：.ZBCE^ZACD=90°,

???tan乙CDB=竊,乙CDB=45°,

:?BC=CD*tanZC￡>B=x*tan45°=xm,

R「

VtanZ-CEB=近，乙CEB=31°,

：.BC=CE^nZCEB=(X+36)?tan310

.\x=(x+36)?tan31

36xtan31°?36x0.6

解得久=

l-tan31°x1-0.6

答：線段。的長(zhǎng)約為54"z；

AC

(〃)'：tan^CDA=粽，^CDA=6°,

:.AC=CZ>tan/CZM^54Xtan6°心54X0.1=5.4Cm).

：.AB=AC+BC^5A+54^59(m).

答：橋塔AB的高度約為59優(yōu).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵.

7.如圖1,塑像AB在底座BC上，點(diǎn)。是人眼所在的位置.當(dāng)點(diǎn)8高于人的水平視線。E時(shí)，由遠(yuǎn)及近

看塑像，會(huì)在某處感覺看到的塑像最大，此時(shí)視角最大.數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A,8兩點(diǎn)的圓與水

平視線DE相切時(shí)(如圖2),在切點(diǎn)P處感覺看到的塑像最大，此時(shí)NAP2為最大視

(1)請(qǐng)僅就圖2的情形證明艮

(2)經(jīng)測(cè)量，最大視角NAPB為30°,在點(diǎn)P處看塑像頂部點(diǎn)A的仰角NAPE為60°,點(diǎn)P到塑像

的水平距離為6”求塑像AB的高(結(jié)果精確到O.Lw.參考數(shù)據(jù)：V3?1.73).

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題；視點(diǎn)、視角和盲區(qū)；切線的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí).

【答案】(1)見解析；

(2)塑像AB的高約為69".

【分析】(1)如圖，連接根據(jù)圓周角定理得到/AA"=/APR由得到/APB

>/ADB；

(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義得到=PH-tan60°=6x值=6百(m),得到NAP8-ZAPB

=60°-30°=30°,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：如圖，設(shè)AD與圓交于

連接

則

??ZAMB>ZADB,

：.ZAPB>ZADB；

(2)解：VZAPH=6Q°,PH=6m,

***tanZ-APH=麗，

：.AH=PH-tan60°=6XV3=6V3(m),

VZAPB=30",

ZBPH=ZAPH-ZAPB=60°-30°=30°,

■:tcm乙BPH=器，

：.BH=PH-tan30°=6X=2A/3(m),

：.AB=XW-BW=6V3-2V3=4V3?4x1.