2021年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編：30動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題（解析版）

2021年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編：專(zhuān)題30動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題

一、單選題

1.（2021?廣西貴港市?中考真題）如圖，在△A5C中，NABC=90。，A3=8,BC=12f。為AC邊上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接B。,E為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AEtCEt當(dāng)時(shí),線(xiàn)段AE的最小值是（）

【答案】B

【分析】

如圖，取3c的中點(diǎn)7，連接AT，ET.首先證明NCEB=90。，求出AT，ET,根據(jù)AENAT-ET,

可得結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，取的中點(diǎn)/，連接AT,ET.

.?.ZABD+NCBD=9O。,

?;ZABD=/BCE,

:.ZCBD+ZBCE=9Cf,

:./CEB=90。,

?.C7=7B=6,

2222

:.ET=^BC=6fAT=>jAB+BT=78+6=10>

AE>AT-ET

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:.AE>4,

aE的最小值為4.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出AT,ET的長(zhǎng)，屬于中考?？?/p>

題型.

2.（2021?內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在RbABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,將邊8C沿CN折疊，

使點(diǎn)B落在A8上的點(diǎn)8,處，再將邊AC沿CM折疊，使點(diǎn)A落在C8'的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)4處，兩條折痕

與斜邊AB分別交于點(diǎn)N、M,則線(xiàn)段AM的長(zhǎng)為（）

B

986

5-B.5-5-

【答案】B

【分析】

2432

利用勾股定理求出A8=10,利用等積法求出。V=一,從而得47=7，再證明/NMC=NNCM=45。,

55

進(jìn)而即可得到答案.

【詳解】

解：VZACB=90°,AC=8,BC=6

???AB=^AC2+BC2=V62+82=10*

■:SAA8C=—XABXCN=-XAOBC

22

^AN=yjAC2-CN2=32

T

第2頁(yè)共80頁(yè)

???折疊

：.AM=A'M,ZRCN=ZB,CN,ZACM=ZA'CM,

VNBCN+/B'CN+NACM+NA'CM=9。。,

/.NB'CN+NA'CM=45。，

???NMCN=45。,且CN_LA8,

???ZNMC=NNCM=45。，

24

:?MN=CN=——，

5

32248

：.A,M=AM=AN-MN=—--=-.

555

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用折置的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

3.（2021?內(nèi)蒙古中考真題）如圖①，在矩形A5CO中，〃為8邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿折線(xiàn)

AH-HC-CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿43運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是Icm/s,

若點(diǎn)M、N同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/（s）,4AMN的面積為S（cn?）,已知S與，之間函數(shù)圖象如圖

②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得為等腰三角形的點(diǎn)〃一共有3個(gè).

③當(dāng)0＜，＜6時(shí)，S=—t2-

4

④當(dāng)/=9+6時(shí)，AADHS^ABM.

第3頁(yè)共80頁(yè)

⑤當(dāng)9VI<9+36時(shí)，S=—3f+9+36.

A.①③④B.@?@C.D.??⑤

【答案】A

【分析】

由圖②可知：當(dāng)0<名6時(shí)，點(diǎn)M、N兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)6秒時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)”處，點(diǎn)N在點(diǎn)8處并停止

不動(dòng);由點(diǎn)M、N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為Icm/s,所以可得4”=4?=6cm,利用四邊形488是矩形可知CD=A8=6cm；

當(dāng)6WV9時(shí)，S=9j5且保持不變，說(shuō)明點(diǎn)N在8處不動(dòng)，點(diǎn)M在線(xiàn)段“C上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（9-6）秒，

可得"C=3cm,即點(diǎn)”為C。的中點(diǎn)；利用以上的信息對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析判斷后得出結(jié)論.

【詳解】

解：由圖②可知：點(diǎn)M、N兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)6秒時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)H處，點(diǎn)N在點(diǎn)B處并停止不動(dòng)，如

圖，

①???點(diǎn)M、N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為Icm/s,

.*.AH=AB=6cmf

???四邊形4BCO是矩形，

.\CD=AB=()cm.

當(dāng)t=6s時(shí)，S=96cm2,

,JxABxBC=9S

,:當(dāng)6</<9時(shí)，S=96且保持不變，

???點(diǎn)兒在8處不動(dòng)，點(diǎn)M在線(xiàn)段"C上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（9-6）秒,

?,.”C=3cm,即點(diǎn)”為CD的中點(diǎn).

第4頁(yè)共80頁(yè)

：?BH7cH2+BC?=6-

：.AB=AH=BH=()f

為等邊三角形.

ZHAB=60°.

???點(diǎn)M、N同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，速度均為Icmg

：.AM=ANf

???當(dāng)0V也6時(shí)，AAMN為等邊三角形.

故①正確；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在AO的垂直平分線(xiàn)上時(shí)，△AOM為等腰三角形:

D_________H_________C

AN-----aB

此時(shí)有兩個(gè)符合條件的點(diǎn)；

當(dāng)AD=AM時(shí)，aAOM為等腰三角形，如圖

Dy_________H________C

E

AN----?B

當(dāng)0A時(shí)，AAOM為等腰三角形，如圖1：

D________H跖°

m

ANB

第5頁(yè)共80頁(yè)

綜上所述，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得△ADM為等腰三角形的點(diǎn)M一共有4個(gè).

，②不正確：

③過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)E,如圖，

由題意：AM=AN=t,

由①知ZHAB=60°.

在RIAAME中，

ME

???sinNM4E=——，

AM

???ME:AM?sin6()o=巫f,

2

：.S=-ANxME=-x—txt=—t2.

2224

???③正確；

④當(dāng)仁9+6時(shí)，CM3,如圖，

由①知：BC=3\H，

:?MB=BC-CM=26

；AB=6,

?,7BM2百G

..tanZ.MAB=-----=-----=——，

AB63

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AZMAB=30°.

ZHAB=60°.

/.ZZ)AW=90°-60o=30°.

：.ZDAH=ZBAM.

VZD=ZS=90°,

???△?!￡>"△ABM.

???④正確；

⑤當(dāng)9VY9+36時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M在邊BC上，如圖,

止匕時(shí)M8=9+3石"，

.*.5=ixABxMB=ix6x（9+3^-/）=27+9>/3-3r.

，⑤不正確：

綜上，結(jié)論正確的有：①③④.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，主要涉及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義，三角形的面積，等腰三

角形的判定，等邊三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函數(shù)值.對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，依據(jù)已知條

件畫(huà)出符合題意的圖形并求得相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?湖南中考真題）如圖，點(diǎn)瓦尸在矩形A8CO的對(duì)角線(xiàn)8。所在的直線(xiàn)上，BE=DF,則四邊形

AECF是（）

第7頁(yè)共80頁(yè)

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案】A

【分析】

利用三角形全等的性質(zhì)得，對(duì)應(yīng)邊相等及對(duì)應(yīng)角相等，得出一組對(duì)邊平行且相等，即可判斷出形狀.

【詳解】

解?：由題意：

???AD//BC.:.ZADB=NCBD,

/FDA=NEBC,

又,/AD=BC,BE=DF,

:.^ADF^CBE（SAS）,

AF=EC,

ZAFD=NCEB,AF//EC,

???四邊形AEb為平行四邊形，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定定理及性質(zhì)、平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是：掌握平行四

邊形判定定理，利用三角形全等去得出相應(yīng)條件.

5.（2021?山東棗莊市?中考真題）如圖，四邊形A3CZ）是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC,8。相交于點(diǎn)。，AC=66，

80=6,點(diǎn)尸是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)上是A8的中點(diǎn)，則夕。+QE的最小值為（）

第8頁(yè)共80頁(yè)

D.

A.4B.673C.3D.672

【答案】A

【分析】

連接DE，先根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得當(dāng)點(diǎn)。,RE共線(xiàn)時(shí)，PD+PE取得最小值DE，再根據(jù)菱形的

性質(zhì)、勾股定理可得43=6,然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)求出OE的長(zhǎng)即可得.

【詳解】

解：如圖，連接。石，

由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短得：當(dāng)點(diǎn)。，尸，后共線(xiàn)時(shí)，PD+PE取最小值,最小值為。E,

??,四邊形48co是菱形，AC=6JJ，80=6,

AB=AD,OB=-BD=\OA=-AC=3>/3,AC-LBD

22f

.\AB=ylo/^+OB2=6*

，AB=AD=BD=6,

是等邊三角形，

???點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，

/.AE=^AB=3,DE±AB,

:.DE=yjAlf-AE2=,62-32=3行

即PD+PE的最小值為373，

第9頁(yè)共80頁(yè)

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.（2021?河南中考真題）如圖1,矩形ABC。中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)尸沿BC從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,設(shè)

B,P兩點(diǎn)間的距離為工，，圖2是點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)）,隨x變化的關(guān)系圖象，則的長(zhǎng)為（）

圖1

A.4B..6D.7

【答案】C

【分析】

先利用圖2得出當(dāng)P點(diǎn)位于B點(diǎn)時(shí)和當(dāng)P點(diǎn)位于E點(diǎn)時(shí)的情況，得到AB和BE之間的關(guān)系以及AE=5,

再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中點(diǎn)定義得到BC的值.

【詳解】

解：由圖2可知，當(dāng)尸點(diǎn)位于8點(diǎn)時(shí)，PA—PE=1，即AB—3E=1,

當(dāng)P點(diǎn)位于E點(diǎn)時(shí)，PA—PE=5,即46一0=5,則AE=5,

AB2+BE2=AE2,

；?（BE+1）2+BE?=AE:

即砥+8￡：—12=0,

*/BE>0

???BE=3,

???點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),

???BC=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的理解與應(yīng)用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中點(diǎn)的定義等內(nèi)容，解

決本題的關(guān)鍵是能正確理解題意，能從圖像中提取相關(guān)信息，能利用勾股定理建立方程等，本題蘊(yùn)含了數(shù)

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形結(jié)合的思想方法.

7.（2021?山東中考真題）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD在第一象限，且軸，直線(xiàn)

y=2x+l沿x軸正方向平移，在平移過(guò)程中，直線(xiàn)被矩形A3CO截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為。，直線(xiàn)在工軸上平移

的距離為b,。、。間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）所示，那么矩形ABC。的面積為（）

（1）（2）

A.yj5B.2y/5C.8D.10

【答案】C

【分析】

根據(jù)平移的距離〃可以判斷出矩形BC邊的長(zhǎng)，根據(jù)。的最大值和平移的距離匕可以求得矩形AB邊的長(zhǎng),

從而求得面積

【詳解】

如圖：根據(jù)平移的距離b在4至7的時(shí)候線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，

可知圖中Bb=7—4=3,

根據(jù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，AE=CF=1,

/.BC=^F+FC=3+1=4

由圖：2）知線(xiàn)段最大值為石，即=

根據(jù)勾股定理AB=yjBE2-AE2=7（＞/5）2-12=2

二.矩形ABCD的面積為ABxBC=2x4=S

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1

故答案為：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的面積計(jì)算，一次函數(shù)圖形的實(shí)際意義，勾股定理，一次函數(shù)的分段函數(shù)轉(zhuǎn)折點(diǎn)的意義；

正確的分析函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

8.(2021?山東中考真題)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)為4(0,2),B(-1,0),將AA〃。繞

點(diǎn)。按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AA由1O,若48_1_。為，則點(diǎn)4的坐標(biāo)為()

A.(述，拽)B.(莊坐)C.(^)D.(^)

55553355

【答案】A

【分析】

先求出AB,。4,再作輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，如圖所示，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，求出OC和4C即可求解.

【詳解】

解:如圖所示，???點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為4(0,2),B(-1,0),

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：?OB=1,04=2,

???A5=A/『+22

VNAO5=90。,

ZAiOBi=90°,

???0A_L08i,

又???AB_L08i,

：.OA\//AB,

AZ1=Z2,

過(guò)4點(diǎn)作4C_Lx軸，

/.NACO;NAOB,

.A,O_OC

??布?麗―南，

,：OA\=OA=2,

2OCAC

—f=-——=—!—

石12

AOC=|>/5,^C=1x/5,

.（偵拽］

5，57

故選:A.

【點(diǎn)睹】

本題綜合考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是理解并掌握

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相關(guān)概念，能通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等.

9.（2021?湖南中考真題）如圖，矩形紙片人夕?力,4月=4,6。=8,點(diǎn)/僅2分別在矩形的邊4￡）、8C上,

將矩形紙片沿直線(xiàn)MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊A加上，記為點(diǎn)P,點(diǎn)D落在G處,連接PC,交MN

于點(diǎn)Q,連接CM.下列結(jié)論：①四邊形CMPN是菱形；②點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，MN=5；③/QM的

面積S的取值范圍是4WSW5.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③B.??C.??D.??

【答案】C

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，證明出=PM=PN,通過(guò)等量代換，得到PM=CN,則

由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得到結(jié)論正確；用勾股定理CN=5,CQ=；AC=2布,由菱形的性

質(zhì)對(duì)角線(xiàn)互相垂直，再用勾股定理求出MN=2QN=26；當(dāng)MN過(guò)點(diǎn)。時(shí)，最小面積

S=；S菱形CMPS=：x4x4=4，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，S最大為S=.x5x4=5，得出答案,

【詳解】

解：①如圖1,

第14頁(yè)共80頁(yè)

G

ffll

???PMPCN,

：.ZPMN=ZMNCf

丁折疊，：?/MNC—4NM,NC=NP

:?/PMN=/PNM,

???PM=PN,

：?PM=CN,

:.MP//CN,

???四邊形CNPM為平行四邊形，

°：CN=NP,

.?.平行四邊形CN/W為菱形，

故①正確，符合題意；

②當(dāng)點(diǎn)?與A重合時(shí)，如圖2所示

第15頁(yè)共80頁(yè)

設(shè)5N=x,則>W=MC=8—x,

在RfZXABN中，AB2+BN~=AN2^

g|J424-x2=(8-x)2,

解得：x=3,

,CN=5,AC=jAB?+BC?=4非，

???CQ=；AC=2加,

又???囚邊形CVPM為菱形，

：?AC工MN,且MN=2QN,

：.QN=^CN2-CQi=s/5

：.MN=2QN=2#,

故②錯(cuò)誤，不符合題意.

③當(dāng)MN過(guò)點(diǎn)。時(shí)，如圖3所示：

(M)

圖3

此時(shí)，CN最短,四邊形CMPN的面積最小，則S最小為S=；S菱形°的內(nèi)=；乂4><4=4,

當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，CN最長(zhǎng),四邊形CMPN的面積最大，則S最大為S=,x5x4=5,

4

A4<S<5,故③正確，符合題意.

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】

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本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、折疊問(wèn)題、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理與性質(zhì)定

理、勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

10.（2021?山東中考真題）如圖，aA6c是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，。、E為線(xiàn)段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且

ZDBE=30°f過(guò)點(diǎn)仄E分別作AB、8C的平行線(xiàn)相交于點(diǎn)尸，分別交BC、A8于點(diǎn)”、G.現(xiàn)有以下

結(jié)論：①當(dāng)；②當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，F(xiàn)H=；；③AE+CD=0DE;④當(dāng)AE=CD時(shí)，四

邊形37/PG為菱形，其中正確結(jié)論為（）

c.③④

【答案】B

【分析】

過(guò)A作4JLBC垂足為/,然后計(jì)算的面積即可判定①；先畫(huà)出圖形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和

相似三角形的性質(zhì)即可判定②；如I圖將她。繞8點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到求證NE=OE；再延長(zhǎng)EA

至ijP使AP=QXAM證得NP=60。，NP=AP=CD,然后討論即可判定③；如圖1,當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意

求得CH=C。、AG=CH,再證明四邊形B//FG為平行四邊形，最后再說(shuō)明是否為菱形.

【詳解】

解：幻圖1,過(guò)A作A/_LBC垂足為/

???AABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形

AZBAC=ZABC=ZC=60°,CI=-BC=-

22

?9?S^ABC^—AhBC=」xlx3=@，故①正確;

224

第17頁(yè)共80頁(yè)

A

圖1

如圖2,當(dāng)。與C重合時(shí)

VZZ)BE=30°,△A6C是等邊三角形

:.NDBE=NABE=30。

：.DE=AE=-AD=-

22

?：GEHBD

.BGDE

........-------=1t

AGAE

??BG——AB=—

?：GF//BD,BG//DF

???”F=8G=5,故②正確;

如圖3,將△BCD繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到“BN

AZ1=Z2,Z5=Z6=60°,AN=CD、BD=BN

*/Z3=30°

.*.Z2+Z4=Z1+Z4=3O°

???ZA?E=Z3=30°

第18頁(yè)共80頁(yè)

又,：BD=BN,BE=BE

.\ANBE^A.DBE(SAS)

：.NE=DE

延長(zhǎng)EA到P使AP=CD=AN

VNNAP=\80o-60°-60o=60°

???△4VP為等邊三角形

AZP=60°,NP=AP=CD

如果AE+C￡>=GOE成立，典1PE=6NE,需NNEP=9。。,但NNE尸不一定為90。，故③不成立;

如圖1,當(dāng)4E=C。時(shí)，

?:GEHBC

???NAGE=NABC=60。，ZGE4=ZC=60°

:.NAGE=NAEG=60。，

：.AG=AE

同理：CH=CD

：.AG=CH

■:BGHFH,GFHBH

???四邊形8”FG是平行四邊形

*：BG=BH

???四邊形8//FG為菱形，故④正確.

故選B.

【點(diǎn)睹】

第19頁(yè)共80頁(yè)

本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，靈活

運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

11.（2021?甘肅中考真題）如圖L在△ABC中，43=3。,3。_14。于點(diǎn)0（40>8。）.動(dòng)點(diǎn)M從A

點(diǎn)出發(fā)，沿折線(xiàn)ABfBC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。停止.設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路程為.“AM。的面積為乂），與工

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【分析】

從圖象可知，AB=BC=屈,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8位置時(shí)，?AMD的面積達(dá)到最大值產(chǎn)3,結(jié)合等腰三

角形的“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)、三角形的面積公式和勾股定理可求得4c的長(zhǎng).

【詳解】

解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路程x=AB+BC=2j萬(wàn)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的位置時(shí)，?人也的

面積j達(dá)到最大值3,即一ABD的面積為3.

?:AB=BC,BD1AC,

:?AB=BC=后,AC=2AD,-ADQBD=3.

2

:.AD2+BD2=A8?=（屈『=13,2ANBD=.

AAD1+2AD1BD+BD2=+=，即：（4力+=25,

AD2-2ADQBD+BD2=-=，即：（AD-BD）2=1.

???AD>BD,

AD+BD=5,AD—BD=1.

第20頁(yè)共80頁(yè)

兩式相加,得,2AD=6.

.\AC=2AD=6.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、等式的性質(zhì)與恒等變形、函數(shù)圖象等知識(shí)點(diǎn)，從函數(shù)圖象中獲

取相應(yīng)的信息，利用勾股定理和三角形的面積公式，進(jìn)行等式的恒等變形是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?四川中考真題）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，

點(diǎn)尸是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD,以尸。為邊在PD的下方作等邊三角形P。。，連接CQ.則CQ的

最小值是（）

C3

A.—B.1C.d2D.一

22

【答案】B

【分析】

以CD為邊作等邊三角形CDE,連接EQ,由題意易得NPOLNQQE,PD=QD,進(jìn)而可得△2。?△。七。，

貝I」有/P3NQ?90。，然后可得點(diǎn)。是在所在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，所以C。的最小值為CQ_LQE時(shí)，最后

問(wèn)題可求解.

【詳解】

解：以CO為邊作等邊三角形CDE,連接E。，如圖所示：

第21頁(yè)共80頁(yè)

???△PDQ是等邊三角形，

:./CED=NPDQ=Z.CDE=60°,PD=QD,CD=ED,

???NCDQ是公共角，

???夕DC=/QDE,

.?.△PCD^AQED（SAS）,

???4C8=90。，AC=8C=4,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，

：?NFCD=NQED=90°,CD=DE=CE=-BC=2,

2

:,點(diǎn)。是在。￡所在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，

，當(dāng)CQ_LQE時(shí)，CQ取的最小值，

???ZLQEC=90°-ZCED=30°,

：.CQ=^CE=\；

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30。直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問(wèn)題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、

含30。直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?四川中考真題）如圖，已知點(diǎn)尸是菱形ABCQ的對(duì)角線(xiàn)AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸分別作A。、

OC延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)￡、F.若NA3C=120。，AB=2,則PE—尸產(chǎn)的值為（）

第22頁(yè)共80頁(yè)

ADE

35

A.-B.Vr3C.2D.-

22

【答案】B

【分析】

根據(jù)菱形的基性質(zhì)，得到N%E=30。，，利用勾股理求出AC=2X/L則4P=2、行+PC,PE=^AP=j3+^

PC,由NPCF=NQCA=30°,得至11尸尸二!PC,最后算出結(jié)果.

2

【詳解】

解：：四邊形A4c。是菱形且N48G120。，AB=2,

：.AB=BC=CD=DA=2fZBAD=600,AC1BD,

：.ZCAE=3O°,

VAC1BD,ZCAE=3O°,AD=2,

???AC=2存了=2百，

:?AP=26+PC,

在直角AAE尸中，

VZME=3O°,AP=2y/3+PC,

:?PE=gAP=6+gpC,

在直角△尸尸C中，

???NPCr=30°,

：.PF=—PC,

2

???PE-PF=逐*PC-gPC=5

故選：B.

【點(diǎn)睛】

第23頁(yè)共80頁(yè)

本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一

半，關(guān)鍵會(huì)在直角三角形中應(yīng)用30°.

14.（2021?江蘇南通市?中考真題）如圖，四邊形ABCZ）中，AB//DC,DELAB,CF^AB,垂足分別

為E,F,且AE=EF=FB=5cm,DE=12cm.動(dòng)點(diǎn)尸，。均以lcm/s的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中

點(diǎn)P沿折線(xiàn)AD-OC—C8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)5停止，點(diǎn)。沿A8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)〃停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，（s）,△APQ的

面積為），（cn?）,則），與，對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖象大致是（）

【分析】

分四段考慮，①點(diǎn)P在A。上運(yùn)動(dòng)，②點(diǎn)P在OC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)。還未到端點(diǎn)B,③點(diǎn)P在。。上運(yùn)動(dòng),

且點(diǎn)。到達(dá)端點(diǎn)8,④點(diǎn)尸在上運(yùn)動(dòng)，分別求出y與/的函數(shù)表達(dá)式，緞而可得出函數(shù)圖象.

【詳解】

第24頁(yè)共80頁(yè)

解：在RmADE中AD=yj^E24-DE2=13（加），

在RIACFB中,BC=4BF2+CF2=13（czn）?

AB=AE+EF+FB=l5（cm）,

①點(diǎn)尸在40上運(yùn)動(dòng)，AP=t,AQ=tf即0WIV13,

如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PGL43于點(diǎn)G,

16o

此時(shí))=]4QxPG二石"(owf?i3),圖象是一段經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且開(kāi)口向上的拋物線(xiàn);

②點(diǎn)尸在。。上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)。還未到端點(diǎn)8,即13C/V15,

此時(shí)產(chǎn);八QxOE=6f(13vrvl5),圖象是一段線(xiàn)段；

③點(diǎn)尸在OC上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)。到達(dá)端點(diǎn)以BP15</<18,

此時(shí)尸;A3x。成90(15W18),圖象是一段平行于x軸的水平線(xiàn)段;

④點(diǎn)P在3C上運(yùn)動(dòng)，PB=3\-t,即18VZW31,

第25頁(yè)共80頁(yè)

如圖，過(guò)點(diǎn)P作P"_LAB于點(diǎn)”,

此時(shí)產(chǎn)LAAX尸斤-史，+口22（18＜，431）,圖象是一段線(xiàn)段；

21313

綜上，只有D選項(xiàng)符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是分段討論y與/的函數(shù)關(guān)系式，

15.（2021?廣西中考真題）圖（1）,在孜AABC中，乙4=90。，點(diǎn)2從點(diǎn)A出發(fā)，沿三角形的邊以1cm/

秒的速度逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周，圖（2）是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度）（cm）隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間工（秒）變化的

關(guān)系圖象，則圖（2）中尸點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

【答案】C

【分析】

由圖象及題意易得A8=8cm,AB+BC=\Scm,則有BUlOcm,當(dāng).v=13s時(shí)，點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)直

角三角形斜邊中線(xiàn)定理可求解.

【詳解】

第26頁(yè)共80頁(yè)

解：由題意及圖象可得：

當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上時(shí)，則有AP=lxx=.xcm,AP的長(zhǎng)不斷增大,當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)5時(shí),AP為最大，所以此時(shí)

4p=4B=8cm；

當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段上時(shí)，由圖象可知線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度y先隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間X的增大而減小，再隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間X的增

大而增大，當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)C時(shí)，則有A8+BC=18cm,即BC=IOcm,由圖象可知當(dāng)時(shí)間為13s時(shí)，則BP=13-8=5cm,

此時(shí)點(diǎn)P為5C的中點(diǎn)，如圖所示：

???4=90。，

:.AP=-BC=5cm,

2

??.0點(diǎn)的坐標(biāo)是（13,5）；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理、直角三角形斜邊中線(xiàn)定理及函數(shù)圖象，解題的關(guān)犍是根據(jù)函數(shù)圖象得到相關(guān)信息，

然后進(jìn)行求解即可.

16.（湖南省郴州市2021年中考數(shù)學(xué)試卷）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形A5CO中，ZA=60°.點(diǎn)?從點(diǎn)A出

發(fā),沿路線(xiàn)AfBfC—。運(yùn)動(dòng).設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為工，以點(diǎn)A,D,尸為頂點(diǎn)的三角形的面積為V,

則下列圖象能反映）'與大的函數(shù)關(guān)系的是（）

第27頁(yè)共80頁(yè)

【答案】A

【分析】

過(guò)點(diǎn)B作BE1AD干點(diǎn)E,由題意易得AR=AD=RC=4,BE=26.當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí),zkAOP

的面積逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上時(shí).△AQP的面積保持不變，當(dāng)點(diǎn)尸在。。上時(shí)，A4。尸的面積逐漸

減小，由此可排除選項(xiàng).

【詳解】

解：過(guò)點(diǎn)8作BEJ_4O于點(diǎn)E,如圖所示：

???邊長(zhǎng)為4的菱形4BC。中，ZA=60°,

AB=AD=BC=4?

工ZABE=30°,

???A￡=2,

???BE=25

當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，^A。尸的面積逐漸增大，點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合時(shí)，AAOP的面積最大，最大為

SjDP=gADBE=46

當(dāng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段BC上時(shí)，AA。產(chǎn)的面積保持不變；

第28頁(yè)共80頁(yè)

當(dāng)點(diǎn)P在。。上時(shí)，aAOP的面積逐漸減小，最小值為0：

，綜上可得只有A選項(xiàng)符合題意：

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)圖象及菱形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握函數(shù)圖象及菱形的性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

17.（2021?新疆中考真題）如圖，在矩形A8CO中，AB=8cm,40=6cm.點(diǎn)尸從點(diǎn)4出發(fā)，以2cm/s

的速度在矩形的邊上沿A-3->CfO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位:

s）,△APQ的面積為S（單位：cm2）,則S隨，變化的函數(shù)圖象大致為（）

【答案】D

【分析】

分點(diǎn)P在A3上運(yùn)動(dòng),0￡￡4；點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),4V￡7；點(diǎn)P在CO上運(yùn)動(dòng),7〈飪11,分別計(jì)算即可

【詳解】

當(dāng)點(diǎn)尸在A8上運(yùn)動(dòng)時(shí),S=-xADxAP=-x6x2t=6/,0</<4；

22

當(dāng)點(diǎn)P在8C上運(yùn)動(dòng)時(shí),S=LXAOXZ）C=LX6X8=24,4<r<7；

22

點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng),S二gxADxA尸=gx6x（22-2f）=66-6r,7</<11,

第29頁(yè)共80頁(yè)

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形中的動(dòng)點(diǎn)面積函數(shù)圖像問(wèn)題，正確進(jìn)行分類(lèi)，清楚函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.（2021?山東中考真題）如圖，四邊形48co中，已知AR與5之間的距離為4,40=5,

CD=3,Z4BC=45°,點(diǎn)P,。同時(shí)由A點(diǎn)出發(fā)，分別沿邊從〃，折線(xiàn)4&CB向終點(diǎn)8方向移動(dòng)，在移動(dòng)

過(guò)程中始終保持尸。已知點(diǎn)尸的移動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為X秒，AAPQ

的面積為必則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【答案】B

【分析】

依次分析當(dāng)0K/W3、3<r<6,6</410三種情況下的三角形面積表達(dá)式，再根據(jù)其對(duì)應(yīng)圖像進(jìn)行判斷即

可確定正確選項(xiàng).

【詳解】

解：如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)。、點(diǎn)C向A8作垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)區(qū)點(diǎn)凡

???已知AB^CD,AB與3之間的距離為4,

：.DE=CF=4f

???點(diǎn)P，。同時(shí)由A點(diǎn)出發(fā)，分別沿邊AB,折線(xiàn)月0cB向終點(diǎn)8方向移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中始終保持PQ_L

AB,

:,PQ〃DE〃CF,

*：AD=5,

,AE=yjAD2-DE2=3，

???當(dāng)0W/W3時(shí)，尸點(diǎn)在AE之間，此時(shí)，AP=t,

..APPQ

?~AE~~DE'

第30頁(yè)共80頁(yè)

4

，PQ守，

i/42

???4尸，。=5、］，=§/，

2

因此，當(dāng)0KZK3時(shí)，其對(duì)應(yīng)的圖像為y=1/(owf?3),故排除C和D；

,:CD=3,

:?EF=CD=3,

，當(dāng)3v，K6時(shí)，尸點(diǎn)位于E尸上，此時(shí)，Q點(diǎn)位于0c上，其位置如圖中的尸?，則S.MQ=jx4x/=2r,

因此當(dāng)3v/《6時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像為y=2(3</K6),即為一條線(xiàn)段：

,:ZABC=45°,

:?BF二CF=4,

,48=3+3+4=10,

,當(dāng)6v，K10時(shí)，P點(diǎn)位于尸B上，其位置如圖中的尸2。2,此時(shí)，P2B=10-3

同理可得，QlP2=P2B=\0-ft

SAP(.=-xfl0—/)/=—產(chǎn)+51,

因此當(dāng)6VY10時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像為丁=一3/+5(6</?10),其為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)的6〈/金0的一段圖像；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的推論、勾股定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的面積公式、二次函數(shù)的圖像

等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與公式，能分情況討論等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論的思

想方法等.

第31頁(yè)共80頁(yè)

二、填空題

19.（2021?內(nèi)蒙古中考真題）如圖，已知正方形A3CO的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)尸是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接C'EOP',

且NADF=NDCF,點(diǎn)￡是AO邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接EB,EF,則即+4長(zhǎng)度的最小值為.

【答案】3m?3

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NAOC=90。，推出ND〃C=90。，點(diǎn)尸在以。。為直徑的半圓上移動(dòng)，，如圖，設(shè)C。

的中點(diǎn)為。，作正方形4BCO關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)的正方形APGD,則點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P,連接P。交A。于

E,交半圓。于凡則線(xiàn)段FP的長(zhǎng)即為BE+FE的長(zhǎng)度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：?；四邊形ABCD是正方形，

???ZADC=90°,

:.ZA￡>F+ZCDF=90°,

ZADF=ZDCF.

:.ZDC卜十ZC/J"=9（r,

.,.ZDFC=90°,

???點(diǎn)尸在以。C為直徑的半圓上移動(dòng)，

如圖，設(shè)C。的中點(diǎn)為O,作正方形4BCD關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的正方形APGD,則點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P,

連接尸0交AD于E,交半圓。于F,則線(xiàn)段廣P的長(zhǎng)即為BE+FE的長(zhǎng)度最小值，0尸=3,

VZG=90°,PG=DG=AB=6,

???0G=9,

???0P=ylPG2+OG2=V62+92=3而，

???吁3如-3，

第32頁(yè)共80頁(yè)

???BE+FE的長(zhǎng)度最小值為3如3

故答案為：3如-3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及圓的基本性質(zhì).凡是涉及最短距離的問(wèn)題，

一般要考慮線(xiàn)段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

20.（2021?遼寧中考真題）如圖，將正方形紙片A3CD沿R2折疊，使點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E落在邊A8上，點(diǎn)

。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，EF交AD于點(diǎn)G,連接CG交PQ于點(diǎn)"，連接CE.下列四個(gè)結(jié)論中：①

22

APBES/^QFG；②S&CEG=SMBE+%郵紀(jì)DQH；③EC平分NBEG；@EG-CH=GQGDf正確

的是（填序號(hào)即可）.

第33頁(yè)共80頁(yè)

A

【答案】①@④.

【分析】

①用有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行判定即可；

②過(guò)點(diǎn)。作CM_LKG于也，通過(guò)證明進(jìn)而說(shuō)明可得

SACEG=5ABEC+SACDG>SABEC+S網(wǎng)邊形CDQH;

③由折疊可得:NGEGNOCb由48〃8可得N5EONOCE,結(jié)論③成立；

④連接。從MH,HE,由△BECgAMEC,△CMG^ZSCOG可知：ZBCE=ZMCE,ZMCG=ZDCG,則/

ECG=ZECM+ZGCM=—ZBCD,由于EC_LHP,貝ijNC”尸=45°,由折疊可得:NE〃P=NC”P(pán)=45。，利用勾

2

2

股定理可得EG-EH^GH,由CMJ_EG,EH±CGf得到NEMC二NE”C=90。，所以E,M,H,C四點(diǎn)共

圓，通過(guò)易證AGHQS^GDH,則得G/72:GQ,GO,從而說(shuō)明④成立.

【詳解】

解：①???四邊形ABCD是正方形，

:.NA=/8=N?（力=/"=9。"由折疊可知：

ZGEP=ZfiCD=90°,ZF=Z￡>=90

???ZBEP+ZAEG=90°,

,ZZA=90°

???NA￡G+/AGE=90。,

???NBEf^NAGE,

YZFGQ=ZAGE,

：.4BEP=/FGQ,

VZB=ZF=90,

第34頁(yè)共80頁(yè)

△。尸G,

故①說(shuō)法正確,符合題意：

②過(guò)點(diǎn)C作CM_LEG于M,

由折疊可得:NGEONDC2,

?：AB//CD,

:?NBEC=/DCE,4BEC=4GEC,

在ABEC和△MEC中，

VNR=NEMC=90。,NBEC=/GEC,CE=CE

：.ABEg△MEC(A4S)

**?CB=CMtSABEQS&MBC，

?:CG=CG,

RmCMG@R於CDG(HL),

??SACMG=SACDG?

:.S&CEG=SWELS&CD6>SABEC+S四邊彩CDQH

,②說(shuō)法不正確，不符合題意；

③由折疊可得:/GEGNOCE,

，：AB；/CD,

:.NBEC=NDCE,

:?NBEC=/GEC,即EC平分N8EG

???③說(shuō)法正確，符合題意；

④連接。"，MH,HE,如圖：

?：ABEC^AMEC,KMGqACDG,

第35頁(yè)共80頁(yè)

：?/BCE=/MCE,ZMCG=ZDCG,

ECG=/ECM+NGCM二上/BCD=45",

2

'：ECLHP,

：.NCHP=45°,

；?GHQ=/CHP=45。,

由折疊可得:NEHP=NCHP=45。,

：.EHLCG

.-.ECr-E^GH2

由折疊可知:E”二C〃

:.EG2-CH2;GH2,

?；CM_LEG,EHICG,

:.NEMC=NEHC=9。。,

：.E,M,H,C四點(diǎn)