2024年高考數(shù)學一輪復習：導數(shù)的綜合應用專項訓練（原卷版+解析）

第14練導數(shù)的綜合應用

一、單選題

i.下列說法不正卿的是（）

A.若函數(shù)滿足/'⑴=L則函數(shù)在x=l處切線斜率為1

B.函數(shù)/（力=4爐-狂-8在區(qū)間[5,20]上存在增區(qū)間,則后<160

C.函數(shù)〃丈）=父-3/+彳+1在區(qū)間1,2上有極值點，則

D.若任意0<a<6<r,都有Mnavalnb,則有實數(shù)f的最大值為e

,y（x,）-/（x）?

2.已知函數(shù)/（x）=alnx+V,若對任意兩個不等的正實數(shù)4，々，都有7>?,則實數(shù)。的最

X]-%2

小值為（）

11「3

A.—B.-C.-D.2

422

3.已知函數(shù)〃x）=（x-l）e，-"吠在區(qū)間xe[l,2]上存在單調增區(qū)間，則他的取值范圍為（）

A.（0,e）B.（-s,e）C.（0,2e2）D.（-<?,2e2）

4.已知函數(shù)y=a-21n尤,的圖象上存在點M,函數(shù)y=V+1的圖象上存在點N,且M,N關于

e

了軸對稱，貝！的取值范圍是（）

一一：,+)

A.[1-e?,-2]B.38

71

C.-3—^-,-2D.1一e3—-

ee

5.已知"X）是奇函數(shù)并且是R上的單調函數(shù)，若方程/6+1）+〃-3%-丸）=0有三個不同的實數(shù)解，則

實數(shù)幾的取值范圍為（）

A.(-3,1)B.(Y,—1)U(3,+QO)

C.(-1,3)D.(-a)-3)u(l,+o))

6.若過點(小切可以作曲線y=lnx的兩條切線，貝IJ()

A.a<lnbB.b<lnaC.inb<aD.lna<Z?

Ix]nxx〉0

7.已知函數(shù)/(x)=；；-，若函數(shù)g(x)=f(x)-左有三個零點，則()

1—x,xWU

D.」<Z<0

A.-e<k<lB.--<k<lC.—evk<0

e

8.若函數(shù)/（x）=e[f_（2+a）x+l]-/在（0,+勿）恒有2個零點，則a的取值范圍是（）

10,1i

A.B.(—oo,l)C.D.—00----

ee9

皿x>0

9.已知函數(shù)/（%）=x''，若g（x）=/（x）-a有3個零點，則。的取值范圍為（）

x2+2x,x<0.

A.(TO)B.C.0,-D.卜{-1}

e

10.若過點（機M（加<o）可作曲線三條切線，貝ij（）

A.0<n<-m3B.n>—m3C.n<0D.0<n=—nr'

11.已知函數(shù)/（%）=/—3%+a,g（%）=-若對任意/2,2],總存在馬￡[2,3],使得”再）海伍）成

x—1

立,則實數(shù)，的最大值為（）

A.7B.5c-iD.3

YP,XX<]

12.已知函數(shù)/（%）=■二，，若/（X）-左有三個不同的零點，則實數(shù)上的取值范圍為（）

x-2,x>l

[―1,+00)1

A.B.[-1,0)C.-pOD.----,+oo

e

13.已知不等式依+2-21nxN0恒成立，則〃的取值范圍為（）

9+C0*+00

A.B.C.°57D.°4

14.若方程2/—+6+租=0有三個不同的實數(shù)根，則加的取值范圍()

A.(-6.0)B.(-6,2)C.(-2,0)D.（0,6）

15.若存在兩個不相等的正實數(shù)X,y,使得根（y—x）+e'-e、=O成立,則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.m>lB.m>—1

C.m<\D.m<—1

16.已知函數(shù)/（x）=G^_2x+lnx有兩個不同的極值點，且不等式/（%）+/（兀2）<%+%2+—4恒成立,

則實數(shù)/的取值范圍是（）

A.[-l,+oo)B.[-5,+oo)C.[2-21n2,+oo)D.[l-ln2,+oo)

17.已知直線/：＞=立(左＞0)既是函數(shù)"x)=d+i的圖象的切線，同時也是函數(shù)g(無):與+ln尤(peR)的

圖象的切線，則函數(shù)g(x)零點個數(shù)為()

A.0B.1C.0或1D.1或2

18.已知函數(shù)/(x)=ae"lnx(。。0),若Vx￡(O,l),/(x)＜Y+%in〃恒成立，則〃的取值范圍是()

A.B.。+°01C.D.1,1

19.已知函數(shù)/(x)=ax2-2x+lnx有兩個不同的極值點不，巧，若不等式/(西)+/(尤2)＜芯+%2+/恒成立，

則f的取值范圍是()

A.[-4,+co)B.[-5,+oo)C.[-6,+oo)D.[-7,+oo)

20.設左>0,若不等式。幅(履)-3*0在x>0時恒成立，則人的最大值為()

A.eB.eln3C.logseD.3

21.不等式ayAlnx在(。,+8)上恒成立，則實數(shù)，的取值范圍是()

A.B.(-,+oo)C.(1,+8)D.(e,+oo)

＜2e)e

22.已知向量々=(%+1,1)*=何11%,80%),函數(shù)=若對于任意的不看6°最］，且%。入2，均有

|/(%)-〃%2)|＜昨國-e］成立，則實數(shù)X的取值范圍為()

A.[。,+8)B.[l,+oo)C.(-oo,l]D.(-oo,0]

23.已知函數(shù)"%)二|1時-白+。有兩個零點，則〃的取值范圍是()

A?14)B.g,+00)C.[-co,1]D.[|,+]

24.已知函數(shù)/(%)=e奴-21n%--+奴，若/食)>。恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.R,+s]B.(L+8)C.D.(e,+Go)

25.已知函數(shù)/⑺=e"+x-2的零點為m函數(shù)g(%)=ln%+x-2的零點為乩則下列不等式中成立的是()

A.a-b>lB.e"+lnb<2

a21

C.a2+b2<3D.—>—

b24

—兀<0

26.已知函數(shù)/⑴'%',g^x)=f(x)-x-a,若g(x)恰有3個零點，則實數(shù)〃的取值范圍是()

Inx,x>0

A.ci<—2B.a<—1C.a>lD.a>2

二、多選題

Y

27.已知函數(shù)/(力=/一。，xeR,貝1J()

A.1是函數(shù)的極值點B.當％=1時，函數(shù)/(x)取得最小值

C.當時，函數(shù)〃尤)存在2個零點D.當。<“<■!■時，函數(shù)〃尤)存在2個零點

ee

28.已知函數(shù)/(x)=e\g(尤)=lnx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).下列結論正確的是()

A.函數(shù)〉=兀0—g(x)在(0,1)上單調遞減

B.函數(shù)y=/(x)—g(x)的最小值大于2

C.若P,。分別是曲線y=/U)和y=g(x)上的動點，則|尸。|的最小值為0

D.若加斕一g(x)N(l—機)尤對xw(0,+℃)恒成立，則/

29.已知a,beR,滿足e"+e〃=l,則()

A.a+b<-21n2B.ea+b<0C.ab>lD.2(e2fl+e26)>1

30.已知函數(shù)〃x)=x(e*+l),g(x)=(x+l)lnx,則()

A.函數(shù)〃x)在R上無極值點

B.函數(shù)g(x)在(0,+8)上存在唯一極值點

C.若對任意x>0,不等式/(6)恒成立，則實數(shù)a的最大值為：

D.若/a)=g(N)=(>。)，則.(x,+i)的最大值為已

三、填空題

31.已知過點P(0,a)可作出曲線y=2x3-3N的3條不同的切線，則實數(shù)。的取值范圍是.

32.已知不等式2x+l-ae00有且只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)。的范圍為.

33.已知不等式工-㈤2。對任意》>0恒成立(其中ea2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)。的

取值范圍是.

34.實數(shù)x,y滿足eA2w(x-3y-l)e3>,則:一y的值為.

_Qo2

35.已知函數(shù)=―r絲-Y?(mwO)有三個零點國,%2，%3，且有芯</<%，則

mex

[2-O]L-—Y2-—的值為________.

I玉"I/人)

b

36.當。>0時，若不等式111%<加+笈-1恒成立，則一的最小值是

a

37.已知函數(shù)/■。)=任+2彳+0)/有兩個極值點X,三，若AM存在最小值，且滿足不等式

f(^)-f(x2)>-2^,貝M的取值范圍為

38.已知e是自然對數(shù)的底數(shù).若3ve[l,y),使〃ze如-G^lnxWO,則實數(shù)機的取值范圍為.

四、解答題

39.已知函數(shù)/(x)=x—l-alnx(其中。為參數(shù)).

⑴求函數(shù)“X)的單調區(qū)間：

(2)若對任意xe(0,+w)都有〃x)20成立，求實數(shù)a的取值集合.

40.已知函數(shù)/(a)———-Inx.

X

(I)當4=4時，討論函數(shù)fa)的單調性；

(II)當4=1,4=。時，/(m)=en,其中“7,we(0,+co),證明：m-2n<0.

41.已知函數(shù)/(x"%3+362+法+°2在x=T時有極值0.

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

⑵記g(x)=〃x)-2左+1,若函數(shù)g(M有三個零點，求實數(shù)上的取值范圍.

42.已知函數(shù)/'(x)=elnx,g(x)=e~lf{x)-(x+l)(e=2.718???).

(1)求函數(shù)g(x)的極大值；

(2)求證：l+g+g"1----1-->ln(w+1)eN*)；

(3)對于函數(shù)/(x)與/i(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)3b,使得/(x)(依+6和以彳)2日+6都

成立，則稱直線>=履+6為函數(shù)/(無)與〃(x)的“分界線”.設函數(shù)試探究函數(shù)”X)與〃(x)是否存

在，，分界線，，？若存在，請加以證明，并求出左，6的值；若不存在，請說明理由.

43.已知函數(shù)〃x)=xln2,g(%)=alnx-x2+l,e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴求函數(shù)“X)的最小值；

⑵若g(尤)V0在(0,+動上恒成立，求實數(shù)〃的值；

2023V022J2O23\

(3)求證:2022J<e<Uo22j

第14練導數(shù)的綜合應用

通釜縫---------------------------------------------

二單選題

1.下列說法不無確的是()

A.若函數(shù)〃無)滿足廣⑴=L則函數(shù)"力在x=1處切線斜率為1

B.函數(shù)一日一8在區(qū)間［5,20］上存在增區(qū)間，貝心＜160

C.函數(shù)〃x)=E*x2+x+l在區(qū)間：,2上有極值點，則24a。

D.若任意0＜。＜匕＜八都有Mnacalnb,則有實數(shù)f的最大值為e

【解析】對于A,由廣(1)=1,可知函數(shù)/'(x)在x=l處切線斜率為1,故A正確；

對于B,由函數(shù)/(力=4一一區(qū)一8在區(qū)間［5,20］上存在增區(qū)間，可知尤=：＜20,

所以左〈160,故B正確；

對于C,由/⑴二(■一慨V+x+i,可得/1%)=12一G；+1,

當〃=2時，/f(x)=x2-2x+l=(x-l)2＞0,

所以函數(shù)在區(qū)間p2上沒有極值，故C錯誤；

對于D,令g(x)=""，則g'(x)J坐,

XX

所以xe(0,e),g'(x)＞0,函數(shù)單調遞增，xe(e,a),g'(x)＜0,函數(shù)單調遞減，

又任意0＜。＜匕＜二，都有Z＞lna＜alnb,即＜——,

ab

故fe(0,e］,即實數(shù)t的最大值為e,故D正確.

故選：C

2.已知函數(shù)/(x)=alnx+V,若對任意兩個不等的正實數(shù)七，乙，都有

則實數(shù)。的最小值為()

A.—B.［C.—D.2

422

【解析】由題意，不妨設5＞馬＞。，

因為對任意兩個不等的正實數(shù)花，演，都有;)2,

所以F(石)-/(%2)>2石-2X29即/(%)-2%>f(x2)-2x29

構造函數(shù)g(x)=/(x)—2x=aln尤+d—2x(尤>0),貝ijg(西)>g(%),

所以g(x)在(0,+s)上單調遞增，

所以g'(x)=2+2x-220在(0,+動上恒成立，即a2-2/+2尤在(。,+句上恒成立，

當x>0時，因為一2/+2元=一2心一!]+?1<，，所以(一2—+2X)=-,

(2^22'，max2

所以。2告，實數(shù)。的最小值為;.

2N

故選：B.

3.已知函數(shù)/(x)=(x-l)e*-如在區(qū)間xe[l,2]上存在單調增區(qū)間，則機的取值范圍為()

A.(0,e)B.(-00,e)C.(0,2e2)D.(-<?,2e2)

【解析】因為/(%)=(%-1把"-3，所以/'(%)=

了(%)在區(qū)間口2]上存在單調遞增區(qū)間，，存在xe[l,2],使得/'(x)>0,即加<9，

令g(x)=xe”,“￡口,2],則g'(x)=(x+l)e*>0恒成立，所以g(x)=xe"在[1,2]上單調遞增,所

以?.收(%)”=g⑶=2。2,

:.m<2e2,故實數(shù)加的取值范圍為(—co,2e2).

故選：D

4.已知函數(shù)y=a-21n],d<x<e)的圖象上存在點M,函數(shù)y=/+1的圖象上存在點N，

e

且M,N關于x軸對稱，則，的取值范圍是()

A.[l-e2,-2]B.-3一：,+8)

-1101一

C.-3—^,一2D.1—e,-3—-

eJ|_e_

【解析】因為函數(shù)>=k+1與函數(shù)y=-一_1的圖象關于入軸對稱，

根據(jù)已知得函數(shù)、=。-21!1項己4》<6)的圖象與函數(shù)丫=-/一1的圖象有交點，

e

即方程21nx=7?一1在冗￡一,e上有解，

e

即。=21nlT在xe%e上有解.

令g(x)=21nx-%2-l,XG-,e

2-2x22(l-x2)

則gf^=—-2x=

XX

可知g(x)在1,1上單調遞增，在[l,e]上單調遞減，

故當x=l時，8(力力=8。)=-2，

由于g[j=_3_!，g(e)=l-e2,_EL-3--^->l-e2,

所以1-e?2.

故選：A.

5.已知/(無)是奇函數(shù)并且是R上的單調函數(shù)，若方程/(丁+1)+〃-3*-2)=0有三個不同

的實數(shù)解，則實數(shù)4的取值范圍為()

A.(-3,1)B.(^?,-l)u(3,+oo)

C.(-1,3)D.(-CO,-3)U(1,-H?)

【解析】因為/(尤)是奇函數(shù)并且是R上的單調函數(shù)，

所以問題等價于方程V一3無+1=2在R上有三個不同的實數(shù)解，

即函數(shù)g(x)=*3-3x+l的圖象與直線y=2有三個不同的交點，

由g(x)=%3-3x+l,得g，(x)=3f-3=3(x+l)(x-l),

當xe(ro,—l)時，g'(x)>O,g(x)單調遞增；

當尤時，g'(x)<O,g(x)單調遞減；

當xe(l,+oo)時，g'(x)>O,g(x)單調遞增;

所以g(無)的極大值為g(-l)=3,極小值為g⑴=-1,

.?/的取值范圍為(-L3),

故選：C

6.若過點9,6)可以作曲線〉=111》的兩條切線，貝1]()

A.a<lnbB.b<inaC.]nb<aD.\na<b

IJllJ/?-lnx0=-----,Z?+1=Inx0H---,

%不

設/(x)=lnx+@,函數(shù)定義域是(0,+s),則直線y=6+l與曲線/(無)=111尤+巴有兩個不同

XX

.一上，，/、1ax—a

的父點，fW=-------2=-T~，

XXX

當時，［。)＞0恒成立，，(%)在定義域內單調遞增，不合題意；當，＞0時，0＜l＜。時,

rw＜o,，⑺單調遞減，

時，/'。)＞。，/(%)單調遞增，所以/(%)*=/(Q)=ln〃+l,結合圖像矢口人+lAlna+l,

即b＞ln〃.

故選：D.

I%］口xx＞0

7.已知函數(shù)/(尤)=?；/八,若函數(shù)g(x)=/(x)-左有三個零點，則()

11—X,X&(J

A.—ev化＜1B.—＜.k＜.1C.—e＜左＜0D.—＜女＜0

ee

【解析】要使函數(shù)/(x)=左有三個解，則y=/(x)與了=上有三個交點，

當尤＞0時，/(x)=xlnx,則廣。)=lnx+l,可得了⑺在上遞減，在［：,+℃］遞增,

...尤>0時，/(x)=xlnx^>/J\{t/[-1=--,且0cx時，xlnx<0；

<ejee

當尤ft)+時，/W-＞0;當Xf+8時，/(x)^+oo；

當無40時，/。)=一/+1單調遞增；

.../(x)圖象如下,要使函數(shù)g(如有三個零點,則L<k<Q,

8.若函數(shù)/(x)=e[x2_(2+a)x+l]-/在(0,+s)恒有2個零點，貝I。的取值范圍是()

A.B.(-co,l)C.I。,[D.1°0,-

丫2r1

【解析】當尤>0時，令〃x)=o,則/-(Z+QX+J],...2+。=尤-1+：,

(爐-l)ex+x2(x-l)(x-l)|^(x+l)ex+x2^|

則"1一u

x2exx2ex

%>0時，(x+l)e*+f>。，％21>0,

.,.當X￡(0,l)時，g'(x)<0；當了￡(l,+oo)時，gf(x)>0；

???g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,包)上單調遞增，.?.g(_r)min=g⑴=2-：,

由此可得g(x)大致圖象如下圖所示，

/(x)在(0,+8)恒有2個零點等價于y=2+a與g(x)恒有2個交點，

/.2+?>2--,解得：a>--,的取值范圍為[-L+e].

eeveJ

故選：A.

處x>0

9.已知函數(shù)/(x)=X''，若g(x)=〃x)-a有3個零點，則a的取值范圍為()

x2+2x,x<0.

A.(—1,0)B.1-l,JC.0,1D.(0,:口{一1}

【解析】設依無)=處(x>0),.，(x)=匕生，

XX

令h\x)>0,.\0<x<e,令/(%)<0,/.x>e,

所以函數(shù)〃(%)在(0,e)單調遞增，在(e,+8)單調遞減.

所以〃⑴皿=L

e

令g(x)=/(x)-a=0，"(x)=。有三個零點作出函數(shù)y=/(x)和y=a的圖象如圖所示,

所以a的取值范圍為

A.0<n<-m3B.n>-m3C.n<0D.0<n=-m3

【解析】設切點為“3),

由y=一尤3ny，=一3/,故切線方程為y+r=_3產(chǎn)(x-0，

因為(孤〃)(根<0)在切線上，所以代入切線方程得2/_3〃”2一〃=o,

則關于t的方程有三個不同的實數(shù)根，

令g⑺=2/—3皿2一孔，則/(,)二6/-6mZ=0n/=機或1=0,

所以當，￡(-0,聞，(0,+。)時，g'?)>0,g⑺為增函數(shù),

當fe(-"2,0)時，g'?)<0,g⑺為減函數(shù)，

且/—時，g(f)-—oo,時，g(f)—+oo,

g⑺極大值=8('〃)=一"一">0

所以只需解得0〈“<-m3

g⑺極小值=g(°)=f<。

故選：A

11.已知函數(shù)/(力=丁-3》+。，g(x)="若對任意玉e[-2,2],總存在％e[2,3],

x—\

使得〃占)Vg(%)成立，則實數(shù)。的最大值為()

7

A.7B.5C.-D.3

2

【解析】因為〃力=彳3-3彳+。，所以刊^)=3/-3,

所以當無?-2,-1),。2)時,廣(力>0,單調遞增，

當xe(Tl)時,r(x)<0,〃x)單調遞減，

因為〃_2)=-2+a,/(-l)=2+a,f(l)=-2+a,/(2)=2+a,

所以當xe[-2,2]時，/(%)_=2+?,

因為8(尤)=三[=2+二，所以g(x)在區(qū)間[2,3]上單調遞減,

x—1X-1

所以當xw[2,3]時，g(x)a=g(2)=5,

因為對任意％e[-2,2],總存在々e[2,3],使得了(不)*仁)成立，所以2+aW5,即aW3,

所以實數(shù)。的最大值為3,

故選：D

YpXV<"1

12.已知函數(shù)〃x)='，若〃X)-%有三個不同的零點，則實數(shù)%的取值范圍為()

X—2,x>l

A.B.[-1,0)C.D.J-1,+ooj

【解析】由題意，當x<l時,f(x)=xex,可得廣(x)=eYx+l),

當xe(-M)時,r(x)>0,〃x)單調遞增；

當時，r(x)<0,f(x)單調遞減，

所以〃xL=/(T)=—且"l)=e，

當xv-1時,可得〃x)<0,

所以函數(shù)的圖象如圖所示,

又由-左有三個不同的零點，即函數(shù)丫=/（力和丁=上的圖象有三個公共點,

結合圖象，可得實數(shù)上的取值范圍（-L。）.

e

故選：C.

13.已知不等式改+2-21nxN0恒成立，則〃的取值范圍為（）

A.卜+ooJB.3+8）C.D.（0,5

【解析】由題設，可知：xe（O,+S）,問題轉化為“2泗0在工€（0,y）上恒成立,

X

人...、lnx-1/.,/、2-lnx

令"x）=--------,貝nlilj/'（x）=——）

XX

當0＜x＜e邛寸（（無）＞0,即"X）遞增;

當尤＞，時/（尤）＜0,即H工）遞減;

12

所以=f（e）=V，故

ee~

故選：B

14.若方程2元3一6/+6+機=0有三個不同的實數(shù)根，則加的取值范圍（）

A.（-6,0）B.（-6,2）C.（-2,0）D.（0,6）

【解析】設/（%）=2三-6^+6,天€尺，令/'（x）=6/-12x=0,解得x=0或2,

則f'（x）"（x）隨尤的變化如下表

X(-00,0)0（0,2）2(2,+co)

+0-0+

、A

則當x=0時，函數(shù)有極大值/（。）=6；當x=2時，函數(shù)有極小值/（2）=-2,

又當X-＞-8時，〃X）f-CO,當為―時，/（X）f+oo,

所以當一2〈一根＜6時，2丁一6/+6=-機有三個不同的實數(shù)根，此時-6＜機＜2,

故選:B.

15.若存在兩個不相等的正實數(shù)x,y,使得〃7（丫-彳）+1-3=0成立，則實數(shù)優(yōu)的取值范

圍是（）

A.m>lB.m>—l

C.m<lD.m<—l

【解析】Sw(y-x)+ev-ex-0<i^my+ey-mx+ex,令/(f)=+>0),

則存在兩個不相等的正實數(shù)x,y,使得/(x)=/(y),即存在垂直于y軸的直線與函數(shù)/⑺的

圖象有兩個公共點，

t>Q,f'(t)=m+e,,而">1,當〃后—1時，尸⑺>。，函數(shù)F⑺在(。,+勾)上單調遞增,

則垂直于y軸的直線與函數(shù)/⑺的圖象最多只有1個公共點，不符合要求，

當〃z<-1時，由f'(t)=0得r=ln(-m)，當0<x<ln(-m)時,f'(t)<0,當x>ln(-m)時，_f⑺>0,

即函數(shù)了。)在(O，ln(-〃z))上單調遞減，在(111(-〃2),+8)上單調遞增，

/(Ornin=/(卜(一加))=7疝11(一加)一7%,

令g(f)=e'-產(chǎn)g")=e'-2t,令h(t)=e'-2t,則/z'?)=e'-2>0,即人⑺在(1,+(?)上

單調遞增，

A(f)>/z(l)=e-2>0,即g")>0,gQ)在(1,+s)上單調遞增，則有當,>1時，e'>產(chǎn)，

e!+mt>t2+mt,而函數(shù)r+〃”在(+8)上單調遞增，取則

e'+mt>t2+mt=-m+1>1,

而/(0)=l,因此，存在垂直于y軸的直線>=。(機皿-加)-機<々<1),與函數(shù)/⑺的圖象有

兩個公共點，

所以實數(shù)m的取值范圍是機<-1.

故選：D

16.已知函數(shù)〃力=加-2%+111彳有兩個不同的極值點苦,血，且不等式

/(占)+〃尤2)〈玉+當+-4恒成立，則實數(shù)f的取值范圍是()

A.[-l,+oo)B.[-5,+oo)C.[2-21n2,+co)D.[l-ln2,+oo)

【解析】/(%)=W~2x+1(^>o),

因為函數(shù)/(x)=-—2x+lnx有兩個不同的極值點X1,巧，

所以方程2"2一2x+l=0有兩個不相等的正實數(shù)根，

A=4—8〃〉0

于是有<=，>0,解得0<a<1.

a2

因為不等式/(占)+/(馬)<芭+當+-4恒成立,

所以?/'(西)+/伍)-(&+彳2)+4</恒成立.

/(x1)+/(x2)-x1-x2+4=ox；—2玉+ln%+應—2x2+lnx2-x1-x2+4

=Q[(玉+Z)2—2%x2]-3(玉+元2)+In(%工2)+4

2

=-------1-3—In2Q,

a

/Z(Q)-......F3—In2Q[o<a<—,

“(")==>0,故〃(a)在0<a<；上單調遞增，

Cl乙

故=所以叱-1.

因此實數(shù)f的取值范圍是卜1,收).

故選：A

17.已知直線/：)=丘(左>0)既是函數(shù)〃％)=%2+1的圖象的切線，同時也是函數(shù)

g(元)=缶+111元(0€?的圖象的切線，則函數(shù)g(X)零點個數(shù)為()

A.0B.1C.0或1D.1或2

【解析】設4(藥,才+1)是函數(shù)"x)=d+l圖象的切點，

則左=ra)=2芯，(1)

又3+1=%(2),

將(1)代入(2)消去為整理得：左2=4,???左=2,

設從格盧-+山工2]是函數(shù)g(%)=-^+lnx的切點，

I1+9)x+1

據(jù)題意g'(%)=/Pf+；=2,又4+皿%=2々

(l+x2)%21+%2

—%+In入2—1=0，

令"(1)=2%2-x+lnx-1,(x>0),

，/?,(x)=4.r-l+->2^4x---l=3>0,

故/?(尤)=2d-x+inx—l,(尤>0)在定義域上為增函數(shù)，

又硝)=0,故％=1，

故g〈l)=l+?=2,

4丫4

:?P=4,g(1)=-----+Inx=Inx--------+4在(0,+8)上是增函數(shù)

X+1X+1

當X=：■時，當x=l時，g(l)=2>0；

由零點存在性定理可得，g(x)存在唯一一個x°

函數(shù)零點個數(shù)是1,

故選：B.

18.已知函數(shù)/0)=w1!1忒。片0),若Vxe(0,l),/(?〈d+xlna恒成立，則。的取值范

圍是()

A.：，+"[B.(，+8]C.D.1,1

【解析】依題意，6/>0,/(%)<%：+xln〃oae"In%vf+xln〃=見^<'+1""=ln(〃e),

xaexaex

令g(x)=UB,求導得:g，(x)=E^,xe(0,e)時，g'(x)>0,即g(x)在(0,e)上單調遞增，

XX

當工￡(0,1)時，1<ex<e,/(x)<x2+x]nac^g(x)<g(aex),

x

若有0<ae”<e,于是得Dxw(。/)，x<aex<^>a>—,

e

Y1—x

令以%)=W，0v%vl,求導得“(%)=—>(),則力(%)在(0,1)上單調遞增,

ee

VXG(0,1),h(x)<h(l)=-,因此，-<a<l,

ee

當時，VXG(0,1),f(x)=aexInx<0<x2+xlna,符合題意，則

所以。的取值范圍是:，+也]

故選：A

19.已知函數(shù)/(x)=ax2—2x+lnx有兩個不同的極值點為，巧，若不等式

/(再)+/(%2)<玉+%2+，恒成立，則才的取值范圍是()

A.[T,+oo)B.[-5,+oo)C.[-6,+oo)D.[-7,+oo)

【解析】由題設，f\x)=2ax+--2^x>Q,由〃%)有兩個極值點，

x

.??令廣。)=。，貝1)2以2—2x+l=0在x>0上有兩個不等的實根引，巧，

11—〉0\

??%+/=—，X|X=—，且<2〃，得0<a<—.

a22a,,一八2

Xf(x)-x=ax2-3x+lnx,且八百)=八%)二°，

2axf=2玉一1,2axl=2x2-1,BP+考)=玉+%一1,

2

f(x)-x+/(x)-x=+x；)—3(X］+x)+lnxx=Inxx-2(^+x)-l=-In2a------1,

ll22-2l2x22a

2i

令g(a)=-ln2a------1且0<。<彳，要使題設不等式恒成立，只需g3)<%恒成立，

a2

21121

g\a)=——一=-(——1)>0,即g(〃)遞增，故g(")<g(z)=—5,

aaaa2

***12—5.

故選：B

20.設fc>0,若不等式。叫(辰)-3*0在x>0時恒成立，則人的最大值為()

A.eB.eln3C.logseD.3

罕

【解析】由題意，klog(kx)-3X<0<^>log(kx)<—(%>0)對％>0恒成立.容易判斷，函數(shù)

33k

y=log?(h),丫=工互為反函數(shù)，且均在(0,+動上單調遞增.因為y=log3(履)與y=±的圖象

kk

關于直線y=x對稱，所以問題等價于-對x>0恒成立，即3"Wfccoxln3-Inx上Inh

k

記/(%)=%ln3-lnx(x>0),/r(x)=ln3--=%ln31,則XE［。,時，/f(x)<0,函數(shù)

JCX\UIDJ

單調遞減，時，r(x)>0,函數(shù)單調遞增，所以

"x)min=f［上)=1-In［看］=1+山(In3)=ln(eln3).

于是，In左<ln(eln3)=>0〈kKeln3,即左的最大值為eln3.

故選：B.

21.不等式In%在(0,+8)上恒成立，則實數(shù)，的取值范圍是()

A.'+")B.(―,+cc)C.(L+8)D.(e,+co)

【解析】當，《0時，不等式〃e辦〉Inx在(0,+8)上恒成立不會成立，

故〃>0，

當X￡(O,1］時，lnx<0,此時不等式比?>In%恒成立；

不等式ae">In%在(L+00)上恒成立，

即axe^>x\nx在(L+00)上恒成立，

而ore">xlnx即axe^>Inx-e1nx,

設g(%)=Xe”,g'(%)=(%+l)ex,當％>-1時,gf(x)=(x+l)ex>0,

故g(無)=xe*,(尤>-1)是增函數(shù)，

]nx

則axeT>Inx-d"'即g(6)>g(Inx),故or>Inx,a>——，

%

、幾7/、]nx.1、.、1-lnx

設依工)=——,(x>l),/1zf(x)=——,

xx

當l<x<e時，〃'。)=上卓>0,〃(無)遞增，

當x>e時，/(無)=匕坐<0,/7(x)遞減，

X

故人(%)W/z(e)=」,貝(J?！怠?

ee

綜合以上，實數(shù)。的取值范圍是“>!，

e

故選：B

22.已知向量a=(x+l,l))=(sinx,cosx),函數(shù)/(%)=〃心.若對于任意的再,馬￡°最)

且玉工々，均有|/(石)-/(%2)|<加*-*|成立，則實數(shù)丸的取值范圍為()

A.[。,+8)B.[l,+oo)C.(-oo,l]D.(-oo,0]

【解析】由題意得/(%)=(冗+l)sinx+cosx,則/'(X)=sinx+(x+l)cosx-sinx=(x+l)cosx,

當xe廣。)>0恒成立，

所以/(x)在0,1)上為增函數(shù)，

不妨設占<%,則/6)</(馬)，

因為e國〈匕巧，

所以，a)-“文)1〈昨為一回等價于〃n)_/&)<加燈-加』，

即/(網(wǎng))一加既>八%)一加”,

令砥X)=小)-北=(X+1)皿+c°SAW,Xe[o,f}

所以可知3)在。目上為減函數(shù)，

所以//(X)=(x+1)cosx-Xe*V0在。,3上恒成立，

GPA>[x+Dssx在日,9]上恒成立,

exL2；

令g(X)=S2,

[cosx-(x+l)sinx]e''-(x+l)cos