2025年貴州省百所學(xué)校高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

2025年貴州省百所學(xué)校高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A．16,13 B．12．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．3．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A．12 B．11 C．6 D．34．過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn).，且在第一象限，則（）A． B． C． D．5．已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．6．在鈍角中，角所對(duì)的邊分別為，為鈍角，若，則的最大值為（）A． B． C．1 D．7．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng)，每人只能去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū)，乙不去社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．58．如圖所示，為了測(cè)量、兩座島嶼間的距離，小船從初始位置出發(fā)，已知在的北偏西的方向上，在的北偏東的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得在的北偏西的方向上，再開回處，由向西開百海里到達(dá)處，測(cè)得在的北偏東的方向上，則、兩座島嶼間的距離為（）A．3 B． C．4 D．9．已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為8，則實(shí)數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．310．記遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，且對(duì)中的任意兩項(xiàng)與（），其和，或其積，或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，則（）A． B．C． D．11．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，神獸人們喜愛．下圖即是一副窗花，是把一個(gè)邊長(zhǎng)為12的大正方形在四個(gè)角處都剪去邊長(zhǎng)為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個(gè)角處再剪出邊長(zhǎng)全為1的一些小正方形．若在這個(gè)窗花內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)不落在任何一個(gè)小正方形內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．12．若函數(shù)（）的圖象過(guò)點(diǎn)，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線是的一條對(duì)稱軸二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓心在曲線上的圓中，存在與直線相切且面積為的圓，則當(dāng)取最大值時(shí)，該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.14．在的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)為________．（用數(shù)值作答）15．若為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.16．已知，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知，且．（1）請(qǐng)給出的一組值，使得成立；（2）證明不等式恒成立．18．（12分）如圖，在正四棱錐中，，，為上的四等分點(diǎn)，即．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．19．（12分）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，，M、N分別為、的中點(diǎn).?（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.20．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，且，求的取值范圍.21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，，直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的最大值．22．（10分）為了加強(qiáng)環(huán)保知識(shí)的宣傳，某學(xué)校組織了垃圾分類知識(shí)竟賽活動(dòng).活動(dòng)設(shè)置了四個(gè)箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所有卡片中隨機(jī)抽取張，按照自己的判斷將每張卡片放入對(duì)應(yīng)的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得分，投放錯(cuò)誤得分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.從所有參賽選手中隨機(jī)抽取人，將他們的得分按照、、、、分組，繪成頻率分布直方圖如圖：（1）分別求出所抽取的人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)；（2）從所抽取的人中得分落在組的選手中隨機(jī)選取名選手，以表示這名選手中得分不超過(guò)分的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3，根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當(dāng)x∈0,π時(shí)，又f0=3sin由fx在0,π上的值域?yàn)?2解得：ω∈本題正確選項(xiàng)：A本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限，從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.2．D【解析】

根據(jù)，利用排除法，即可求解．【詳解】由，可排除A、B、C選項(xiàng)，又由，所以．故選D．本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的比較大小問(wèn)題，其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．B【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)果．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個(gè)或三個(gè)（時(shí)有三個(gè)，時(shí)有兩個(gè)），所以關(guān)于的方程只能有一個(gè)根（若有兩個(gè)根，則關(guān)于的方程有四個(gè)或五個(gè)根），由，可得的值分別為，則故選B．本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于?？碱}型.4．C【解析】

作，；，由題意，由二倍角公式即得解.【詳解】由題意，，準(zhǔn)線：，作，；，設(shè)，故，，.故選：C本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.5．C【解析】

由題設(shè)條件，可得函數(shù)的周期是，再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)值，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，，則函數(shù)的周期是，所以，，又函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以，.故選：C.本題考查函數(shù)的周期性，由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得，即可得到，再求出，最后根據(jù)求出的最大值；【詳解】解：因?yàn)?，所以因?yàn)樗?，即，，時(shí)故選：本題考查正弦定理的應(yīng)用，余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.7．B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（?。?；A（甲，乙）B（?。〤（丙）；A（甲，丙）B（?。〤（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（?。〤（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7種，選B.8．B【解析】

先根據(jù)角度分析出的大小，然后根據(jù)角度關(guān)系得到的長(zhǎng)度，再根據(jù)正弦定理計(jì)算出的長(zhǎng)度，最后利用余弦定理求解出的長(zhǎng)度即可.【詳解】由題意可知：，所以，，所以，所以，又因?yàn)椋?，所?故選：B.本題考查解三角形中的角度問(wèn)題，難度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.9．A【解析】

先求的展開式，再分類分析中用哪一項(xiàng)與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開式的常數(shù)項(xiàng)，從而求出的值.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)取2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)取時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為由題知，則.故選：A.本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中的系數(shù)問(wèn)題，其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】

由題意可得，從而得到，再由就可以得出其它各項(xiàng)的值，進(jìn)而判斷出的范圍．【詳解】解：，或其積，或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，或者或者是該數(shù)列中的項(xiàng)，又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，，，，只有是該數(shù)列中的項(xiàng)，同理可以得到，，，也是該數(shù)列中的項(xiàng)，且有，，或（舍，，根據(jù)，，，同理易得，，，，，，，故選：D．本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．11．D【解析】

由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)（）的圖象過(guò)點(diǎn)，可得，即，，，故，對(duì)于A，由，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：A本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意可得圓的面積求出圓的半徑，由圓心在曲線上，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)，到直線的距離等于半徑，再由均值不等式可得的最大值時(shí)圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，由題意設(shè)圓心，由題意可得，由直線與圓相切可得，所以，而，，所以，即，解得，所以的最大值為2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，可得，所以圓心坐標(biāo)為：，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：．本題考查直線與圓的位置關(guān)系及均值不等式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意驗(yàn)正等號(hào)成立的條件.14．-40【解析】

由題意，可先由公式得出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項(xiàng)的系數(shù)【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：-40.本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的公式，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

由為假，可知為真，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求出的最小值，令即可.【詳解】因?yàn)闉榧?，則其否定為真，即為真，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以.故答案為：.本題考查全稱命題與特稱命題間的關(guān)系的應(yīng)用，利用參變分離是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16．【解析】

先求，再根據(jù)的范圍求出即可.【詳解】由題可知，故.故答案為：.本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（答案不唯一）（2）證明見解析【解析】

（1）找到一組符合條件的值即可；（2）由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時(shí)加可得,即可得證.【詳解】解析:（1）（答案不唯一）（2）證明:由題意可知,,因?yàn)?所以.所以,即.因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.考查不等式的證明,考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用.18．（1）答案見解析．（2）【解析】

（1）根據(jù)題意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出面的法向量為，的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】（1）由由因?yàn)槭钦睦忮F，故于是，由余弦定理，在中，設(shè)再用余弦定理，在中，∴是直角，同理，而在平面上，∴平面平面（2）以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖：則設(shè)面的法向量為，的法向量為則，取于是，二面角的余弦值為：本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角，屬于基礎(chǔ)題.19．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，證明平面，由線面垂直的性質(zhì)可得；（2）由，即可求得三棱錐的體積．【詳解】解：（1）證明：取中點(diǎn)D，連接，.因?yàn)椋?，所以且，因?yàn)?，平面，平面，所以平?又平面，所以；（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，過(guò)N作于E，則平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，由于，所以所以，所?本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．20．（1）；（2）.【解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立時(shí)，的取值范圍；（2）由已知，在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）的結(jié)論對(duì)分類討論，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，則，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，在區(qū)間上恒成立.∴（其中），解得.當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)，在區(qū)間上恒成立，∴（其中），解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）.由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).∴在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).由（1）易知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，∴.令，得，∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.記的兩個(gè)零點(diǎn)為，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.21．（1），；（2）1．【解析】

（1）根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，可得p值，即可求拋物線C的方程從而可得解；（2）設(shè)直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．【詳解】（1）∵點(diǎn)F是拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，P（2，y0）是拋物線上一點(diǎn)，|PF|＝3，∴23，解得：p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x，∵點(diǎn)P（2，n）（n＞0）在拋物線C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．（2）∵F（1，0），∴設(shè)直線l的方程為：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y