2024年中考數(shù)學(xué)考前必刷卷3（浙江新中考）（解析版）

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.下列各組數(shù)中，互為倒數(shù)的是（）

A.一2與2B.—2與2C.一2與一巳D.一2與2|

【答案】C

【詳解】解：A.：-2x2=—4,...—2與2不互為倒數(shù)，故A錯誤；

B.?.?-2x1=—1,.2與9不互為倒數(shù)，故B錯誤；

C.???一2又（一|）=1,.?.一2與一［互為倒數(shù)，故C正確；

D.：-2x2|=-4,；.一2與2|不互為倒數(shù)，故D錯誤.

故選：C.

2.下列各式的計算，正確的是（）

A.3a+2b=SabB.4m2n-2mn2=2mn

C.—12x+7x——5xD.5y2—3y2=2

【答案】C

【詳解】解：A、3a與2b不是同類項，不能合并，故錯誤，不符合題意；

B、462九與2nm2不是同類項，不能合并，故錯誤，不符合題意；

C、—12x+7x--5x,正確，符合題意；

D、5y2—3f=2丫2,故錯誤，不符合題意；

故選：C.

3.“學(xué)習(xí)強國”平臺上線的某天，全國大約有1.263X108人在此平臺上學(xué)習(xí)，用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)

1.263x的原數(shù)為（）

A.126300000B.12630000C.1263000000D.1263000

【答案】A

【詳解】解：由題意得

1.263x108

=1.263X100000000

=126300000,

第2頁共26頁

故選：A.

4.下列圖案中，是中心對稱圖形的是（

【答案】D

【詳解】解：選項A、B、C不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原圖重合，所以不是

中心對稱圖形；

選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原圖重合，所以是中心對稱圖形；

故選：D.

5.使得VF不I有意義的b的取值范圍是（）

A.b>-3B.b>3C.b>-3D.b>3

【答案】A

【詳解】?.?二次根式有意義，

：.b+3>0,解得b>-3,

即6的取值范圍為：b>-3,

故選：A.

6.在學(xué)校乒乓球比賽中，從甲、乙、丙、丁這四人中，隨機(jī)抽簽一組對手，正好抽到乙與丁的概率是

（）

1111

A.—B.-C.-D.-

10456

【答案】D

【詳解】畫樹狀圖為：

甲乙丙丁

甲乙丙

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中正好抽到乙與丁的結(jié)果數(shù)為2,

所以正好抽到乙與丁的概率

126

故選D.

7.如圖，在AABC中，過點8作△4BC的角平分線2D的垂線，垂足為凡FGII4B交力C于點G,若力B=

4,則線段FG的長為（）

第3頁共26頁

B

A.1B.2C.2.5D.3

【答案】B

【詳解】解：延長BE交ZC于點E,

'??4。平分484。，

：.Z-BAD=/.CAD,

9：BFLAD,

C.Z.AFB=/-AFE=90°,

'：^AFB=AAFE=90°,AF=AFf^BAD=Z.CAD,

△ABF=△AEF,

??AB=AE=4,

〈FGlim

=乙4FG,

：.Z.GAF=AAFG,

：.AG=FG,

,：Z-GAF+^AEF=^AFG+乙EFG=90°,

：.^AEF=2EFG,

：.EG=FG,

：.FG=AG=EG=-AE=2,

2

故選：B.

8.定義：如果一元二次方程久+c=o（aHO）滿足a+6+c=0,那么我們稱這個方程為“鳳凰”方

程.已知方程的乂2+biX+q=0（a豐0）是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是

第4頁共26頁

().

A.a1—b]B.a[—C1C.b]—C]D.a1—b-y—c1

【答案】B

【詳解】試題分析：:方程有兩個相等實數(shù)根，且%+瓦+q=0,???瓦之—4@遙1=0,br=—ar—cr,

222c

將瓦=—ar—q代入得：ar+2alei+cr—4ale1=-Ci)=0,則0：=\.故選B.

9.如圖，點A,B,C,。是。。上的四點，ZB為。。的直徑，0cl口。，CELAB,垂足為凡則△ZCE和

和四邊形ABCO的面積之比為()

A.1：V3B.1:2C.V2:2D.(V2-1):1

【答案】B

【詳解】解：如圖，過點C作的垂線與/O的延長線交于點心

??,點A,B,C,。是。。上的四點,

：./.ABC+Z.ADC=180°,

VOA=OC,

：.^ACO=匕CAO,

U：OC\\AD,

J.^DAC=/.ACO,

J./-DAC=Z.ACO=Z.CAO,

?XC平分"4。，

U：CE1AB,CFLAD,

第5頁共26頁

：.2LAEC=^AFC=90°,

在△4EC和△AFC中，

2AEC=/.AFC=90°

乙DAC=Z-CAO,

AC=AC

：.△AEC=A71FC(AAS),

.?.CE=CF,S^AEC=S—FC，

'：/.CDF+^ADC=180°,

AzCPF=/-ABC.

在^CDF和△CEB中，

CE=CF

(CFD=乙CEB=90°,

乙CDF=/.ABC

：.△CDF=△CEF(AAS),

,*S&CDF=S^cEB'

?S四邊形4BC0=S2ACE+S^BCE+S^ACD'

??S四邊形4BC0=S4ACE+S^CDF+S&ACD~LACE+LACF=LACEJ

??SA4CE：S四邊形ABCO=S^ACE：2S“CE=1：2,

???△4CE和和四邊形/BCD的面積之比為1:2.

故選：B.

10.若點B是直線y=-％+2上一點，已知人(0,-2),則力B+OB的最小值是()

A.4B.2V5C.2V3D.2

【答案】B

【詳解】解：在y=-x+2中，當(dāng)x=0時，y=2,當(dāng)y=0時，0=-x+2,解得x=2,

???直線y=?x+2與x的交點為C(2.0),與y軸的交點為D(0,2),如圖，

.\OC=OD=2,

VOC±OD,:OC±OD,

AAOCD是等腰直角三角形，

:.ZOCD=45°,

AA(0,-2),

.'.OA=OC=2

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VOAXOC,

.1.△OCA是等腰直角三角形，

/.ZOCA=45°,

ZACD=ZOCA+ZOCD=90°,

A.AC±CD,

延長AC到點E,使CE=AC,連接BE,作EFL軸于點F,

則點E與點A關(guān)于直線y=-x+2對稱，ZEFO=ZAOC=90,

點O、點B、點E三點共線時，OB+AB取最小值，最小值為OE的長,

在ACEF和ACAO中，

2EFC=Z.AOC

乙ECF=Z4C0

.CE=AC

.?.△CEF絲OCAO(AAS),

.?.EF=OA=2,CF=OC=2

；.OF=OC+CF=4,

???OE=^OF2+EF2=J42+22=2V5

即OB+AB的最小值為2b.

故選:B

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.分解因式：3a2+6ab+3b1=.

【答案】3(a+b)2

第7頁共26頁

【詳解】3a2+6ab+3b2=3(a2+2ab+b2)=3(a+b)2.

故答案為:3(a+b)2.

12.一組數(shù)據(jù)5,6,7,8,9的方差為.

【答案】2

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5+6+J8+9=7,

,這組數(shù)據(jù)的方差為gX[(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)2]=2,

故答案為：2.

13.已知x是滿足71亍<刀<內(nèi)的整數(shù)，且使A/2X-6的值為有理數(shù),貝卜=.

【答案】5

【詳解】解：是滿足"U<%<何的整數(shù)

.,.V10<V16<何或VTU<V25<V27

x=4或5,

當(dāng)％=4時，&=四是無理數(shù)，不符合題意舍；

當(dāng)％=5時，12%-6==2是有理數(shù),符合題意，

??x-59

故答案為：5.

14.在我市“創(chuàng)衛(wèi)攻堅”行動中，某社區(qū)計劃對面積為3600m2的區(qū)域進(jìn)行綠化改造，經(jīng)投標(biāo)由甲、乙兩個工

程隊來完成.已知甲隊每天能完成的綠化面積是乙隊每天能完成的綠化面積的2倍，如果兩隊各自獨立完

成面積為600m2區(qū)域的綠化時，甲隊比乙隊少用6天.若甲隊每天綠化的費用是1.2萬元，乙隊每天綠化

的費用為0.5萬元，社區(qū)要使這次綠化的總費用不超過40萬元，則至少應(yīng)安排乙工程隊綠化天.

【答案】32

【詳解】設(shè)乙工程隊每天能完成綠化的面積是xm2,

根據(jù)題意得：

600600,

--x---------2-x-=6,

解得：x=50,

經(jīng)檢驗，x=50是原方程的解，

則甲工程隊每天能完成綠化的面積是50x2=100,

設(shè)甲工程隊施工。天，乙工程隊施工b天剛好完成綠化任務(wù)，

由題意得100a+50b=3600,

第8頁共26頁

則。=等=-|b+36,

根據(jù)題意得：1.2a+0.5b<40,

：.1.2x(~lb+36)+0.5b<40

解得：b>32,

即至少應(yīng)安排乙工程隊綠化32天.

故答案為：32.

15.如圖，在等腰梯形A8CD中，AB平行C。，對角線AC1BD于點。，AB+CD=24,BC13,則

S&ABD_

S&BCD

【答案嗎

【詳解】解：如圖，作于點E,BF||/C交DC延長線于點R

9：AC1BD,

：.BF1BD,

???四邊形ZBCD是等腰梯形，

：.AC=BD,

*：AB||CD,BF||AC,

???四邊形ZCFB是平行四邊形

：.AB=CF,AC=BF,

：.DF=CD+CF=CO+ZB=24,AC=BD=BF

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\"BF1BD,

...△BDF是等腰直角三角形，

:.ABDE、△BFE是等腰直角三角形，

：.BE=DE=E尸=2X24=12,

2

在RtABCE中，根據(jù)勾股定理得：

CE=^BC2-BE2=V132-122=5,

VCE=|(CD-71B)=5,

C.CD-AB=10,又4B+CD=24,

ACD=17,AB=7,

:△ABD與△BCD等高，

?SxABD_竺_7

**5ABCD~CD~Y7'

16.如圖，直線y=mx+n與雙曲線y=：(k>0,x>0)相交于點A(2,4),與y軸相交于點B(0,

2),點C在該反比例函數(shù)的圖象上運動，當(dāng)AABC的面積超過5時，點C的橫坐標(biāo)t的取值范圍是—

【答案】￡>手或0<"1

【詳解】解：如圖，過C作CD〃y軸，交直線AB于點D.

:雙曲線y=：(k>0,x>0)過點A(2,4),

第10頁共26頁

.*.k=2x4=8,

?_8

??y—丁

:直線y=mx+n過點A(2,4),B(0,2),

.儼+『解得『號,

(n=2(n=2

直線AB的解析式為y=x+2.

設(shè)C(t,，，則D(t,t+2),CD=|t+2-：|.

SAABC=|CDx2=CD=|t+2-1|,

.,.當(dāng)AABC的面積超過5時，|t+2T>5,

.,"+2-&>5或1+2-&<-5.

tt

①如果t+2-g>5,那么巴爐>0,

Vt>0,

.,.t2-3t-8>0,

.,、3+聞一.3-V41

..t>------或t<-------（舍去）;

22

②如果t+2-?V-5,那么三曰＜0,

Vt>0,

.\t2+7t-8<0,

-8<t<l,

A0<t<l.

綜上所述，當(dāng)AABC的面積超過5時，點C的橫坐標(biāo)t的取值范圍是t＞過/或

故答案為：t＞上/或0＜tVL

三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）計算：（11—2023）。-2（：0530。一后+|1-7^：

'4%-3<2(%+3)①

（）解不等式組:

2|x+2>3-|%@；

(3)解方程：%2—5%—1=0.

【答案】解：(1)(n-2023)°-2cos30°-V25+|l-V3|；

第11頁共26頁

V3L

=1-2x--5+V3-1

—1—V3—5+V3—1

=—5；

'4x-3<2(%+3)①

(2)i%+2>3-|x@

解不等式①得，x〈支

解不等式②得，x>1,

將它們的解集在數(shù)軸上表示如下:

—?------?-------?-------1------1-e~~?----

-10123495

2

所以這個不等式組的解集是1<%<^;

(3)x2—5x—1—0

"a=l,b=—5,c=—1,

???b2-4ac=(-5)2-4x1x(-1)=29>0,

._-b+y/b2-4ac_5+V29

【分析】本題考查實數(shù)的混合運算、解一元一次不等式組、解一元二次方程，熟知計算方法是正確解決本

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)0次幕、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的運算法則計算即可；

(2)先解每一個不等式再確定公共部分即可；

(3)用公式法即可求解.

18.圖①、圖②、圖③均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.△ABC的頂點均在格點

上，〃是4B與網(wǎng)格線的交點，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡.

第12頁共26頁

⑵在圖②中，作點M關(guān)于BC的對稱點N.

(3)在圖③中，在BC邊上找一點E,連結(jié)ME,使ME=MB.

【答案】(1)解：如圖①所示，ADBC即為所求，

圖①

由圖可知：CD=G4=4,乙DCB=AACB=45°,BC=BC,

??△DBC=△A^BC.

(2)解：如圖②所示，作點A關(guān)于BC的對稱點Z),連接BD,交格線于N,

則點N即為所求,

圖2

由作圖可知：點A、點。關(guān)于BC的對稱,

.?.80與84關(guān)于8C的對稱，

：.BN=BM

.,.點M與點N關(guān)于的對稱.

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(3)解：取格點尸，連接4P交格線于E連接NF交BC于E,

則點N即為所求，

由作圖可知：AF=BN,AFWBN,

：.四邊形4BNF是平行四邊形，

：.AB\\NF,

,BE_AF_3

**PE~FP~2

..BM_3

*MA~2

.BE_BM

99PE-MA

：.ME\\AP

：.ME\\BN

???四邊形BNEM是平行四邊形，

???點M與點N關(guān)于BC的對稱.

：.BM=BN

???四邊形BNEM是菱形形，

：.MB=ME.

【分析】(1)取格點。，連接BD,CO即可;

(2)作點A關(guān)于的對稱點。，連接80,交格線于N,則點N即為所求;

(3)在圖②的基礎(chǔ)上，如圖③，取格點P,連接/P交格線于凡連接NF交BC于E,則點N即為所求.

19.“讓我們攜起手來，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運共同體，讓互聯(lián)網(wǎng)更好造福世界各國人民，共同創(chuàng)造人類更加

美好的未來！”11月8日上午，國家主席習(xí)近平向2023年世界互聯(lián)網(wǎng)大會烏鎮(zhèn)峰會開幕式發(fā)表視頻致辭，

科學(xué)分析全球互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展治理面臨的新形勢新要求，為攜手推動構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運共同體提供了重要指

引。與會人士紛紛表示，習(xí)近平主席的致辭凝聚合作共識、激發(fā)奮進(jìn)力量，為共同推動構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運

第14頁共26頁

共同體邁向新階段進(jìn)一步指明了方向。為了共同推動構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)空間命運共同體發(fā)展，某高校計劃在圖書館

引進(jìn)計算網(wǎng)絡(luò)書籍，為合理搭配各類書籍，學(xué)校團(tuán)委以“我最喜愛的書籍”為主題，對全校學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)

查，收集整理喜愛的書籍類型(4網(wǎng)絡(luò)安全，B.計算軟件計算，C、計算數(shù)學(xué)，D.通信技術(shù))數(shù)據(jù)

后，繪制出兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

(1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量是;

(2)請補全條形統(tǒng)計圖；

(3)求出扇形統(tǒng)計圖中類型。所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)；

(4)請你估計該校參加調(diào)查的1000名學(xué)生中喜歡類型C的學(xué)生人數(shù).

【答案】(1)解：1004-25%=400(人)

本次抽樣調(diào)查的樣本容量是400,

故答案為：400

(2)類型。的人數(shù)為400x10%=40(人)，

類型B的人數(shù)為400-100-40-140=120(人)，

補全統(tǒng)計圖如下：

(3)360°X10%=36°,

:?扇形統(tǒng)計圖中類型。所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)為36。；

第15頁共26頁

(4)1000x—=350(人)

400

估計該校參加調(diào)查的1000名學(xué)生中喜歡類型C的學(xué)生人數(shù)為350人.

【分析】此題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)，還考查了樣本估計總體等知識，讀懂題意，正

確計算是解題的關(guān)鍵.

(1)用類型A的人數(shù)除以對應(yīng)的百分比即可得到答案；

(2)求出。類型和C類型的人數(shù)，再補全統(tǒng)計圖即可；

(3)利用周角的度數(shù)乘以。類型的百分比即可得到答案；

(4)用總?cè)藬?shù)乘以樣本中類型C的百分比即可得到答案.

20.在Rt△力BC中，ABAC=90。，。是BC的中點，E是力。的中點，過點4作力FIIBC交CE的延長線于點F.

⑴求證：四邊形4DBF是菱形；

(2)若4B=4,菱形的面積為20,求4C的長.

【答案】(1)證明：--AF||BC,

???/.AFC=Z.FCD,/.FAEZ.CDE,

???點E是4D的中點，

AE=DE,

/.△FAE=△CDE(AAS),

???AF=CD,

???點。是BC的中點，

?0.BD=CD,

AF=BD,

四邊形4FBD是平行四邊形，

vABAC=90°,。是BC的中點，

???AD=BD=-BC,

2

二四邊形4DBF是菱形；

(2)解：???四邊形力DBF是菱形，

.,?菱形4DBF的面積=2△4BD的面積，

第16頁共26頁

???點。是BC的中點，

ABC的面積=2△4BD的面積，

二菱形4DBF的面積的面積=20,

???|力BMC=20,

?々HO,

.■.AC=10,

二4C的長為10.

【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)可得乙4FC=ZFC。，4FAE=4CDE,利用中點的定義可得4E=DE,從

而證明AFAEmACDE,然后利用全等三角形的性質(zhì)可得4尸=CD,再根據(jù)D是的中點，可得4尸=

BD,從而可證四邊形4FBD是平行四邊形，最后利用直角三角形斜邊上的中線可得BQ=AD,從而利用菱

形的判定定理即可解答；

（2）利用（1）的結(jié)論可得菱形4DBF的面積=2ZkaBD的面積，再根據(jù)點。是BC的中點，可得AABC的面

積=2A4BD的面積，進(jìn)而可得菱形4DBF的面積=A4BC的面積，然后利用三角形的面積進(jìn)行計算即可解

答.本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等

三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角

形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.某企業(yè)投入59萬元（只計入第一年成本）生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，按訂單生產(chǎn)并銷售（生產(chǎn)量等于銷售

量）.經(jīng)測算，該產(chǎn)品每年的銷售量y（萬件）與售價久（元/件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=24-x,第一年

除59萬元外其他成本為8元/件.

（1）求該產(chǎn)品第一年的利潤w（萬元）與售價x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該產(chǎn)品第一年利潤為5萬元，第二年將它全部作為技改資金再次投入（只計入第二年成本）后，其他成

本下降2元/件.

①求該產(chǎn)品第一年的售價；

②若第二年售價不高于第一年，銷售量不超過13萬件，則第二年利潤最少是多少萬元？

【答案】（1）解：由題意可得，

w=（x-8）（24-x）-59=-x2+32%-251,

即w=—X2+32%—251；

（2）解：①：該產(chǎn)品第一年利潤為5萬元，

第17頁共26頁

.,.5=-x2+32x-251,

解得％=16,

答：該產(chǎn)品第一年的售價是16元/件；

②?.?第二年產(chǎn)品售價不超過第一年的售價，銷售量不超過13萬件，

.(x<16

,,124-%<13'

解得11<x<16,

設(shè)第二年利潤是w，萬元，

則力=[%-(8-2)](24-x)-5=-%2+30%-147,

:拋物線開口向下，對稱軸為直線x=15,

XVII<x<16,

/.%=llHt，”有最小值，最小值為(11一6)X(24-11)-5=60(萬元)，

答：第二年的利潤至少為60萬元.

【分析】(1)根據(jù)總利潤=每件利潤x銷售量-投資成本，列出式子即可求解；

(2)①構(gòu)建方程即可求出該產(chǎn)品第一年的售價；②根據(jù)題意求出自變量的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)性

質(zhì)解答即可求解；

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建方程或函數(shù)

解決問題.

22.如圖，反比例函數(shù)y=2>0)的圖象與直線交于4停,4),B(3,m)兩點，已知乙4C。=90。，

0(0,1),連接4D,BD,BC.

(1)求直線A8與雙曲線的解析式；

(2)AABC和△48D的面積分別為S「S2,求|si—S2的值.

【答案】⑴解：把力(|,4)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=§得，4=與,

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k=6,

雙曲線的解析式為y=：,

把8(3,巾)代入y=(得，M=|=2,

8(3,2),

設(shè)直線4B的解析式為y=九萬+6,把A(I，4)、B(3,2)代入得，

[4=!?i+b

[2=3九+b

解得卜=一'

(b=6

；?直線解析式為y=+6；

(2)解：由4(|,4)可得，4c=4,點B到四的距離為3—|=|,

1Q

?\S=-x4x-=3,

122

設(shè)直線4B與y軸的交點為E,貝忸(0,6),

DE=6—1=5,

$2=S"DE—S.OE=-X5x3--X5x-=―,

ZN/4

331S3

：.-S-S=-x3--=-.

2r12z244

【分析】(1)先將點a(|,4)代入反比例函數(shù)解析式中求出k的值，進(jìn)而得到點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)

法即可求出直線的表達(dá)式；

(2)利用三角形的面積公式以及割補法分別求出國，S2的值，即可求出|si-S2的值；

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及三角形的面積，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題

的關(guān)鍵.

23.如圖①，已知拋物線丫=。刀2+6；+(；的圖象經(jīng)過點4(0,3),5(1,0),其對稱軸為直線1:比=2,過點A

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作ACIIx軸，交拋物線于點C,乙40B的平分線交線段AC于點E,點尸是拋物線上的一個動點，設(shè)其橫坐

標(biāo)為m.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若動點尸在直線0E下方的拋物線上，連接PE、P0,當(dāng)初為何值時，四邊形20PE面積最大，并求出其

最大值.

(3)如圖②，E是拋物線的對稱軸/上的一點，在拋物線上是否存在點P使APOF成為以點P為直角頂點的等

腰直角三角形？若存在；直接寫出所有符合條件的點尸的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為O,

:拋物線丫=。/+6”+(；的圖象經(jīng)過點4(0,3)、8(1,0),其對稱軸為直線Lx=2,

?1+沏Q

2

解得孫=3,

故0(3,0),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-l)(x-3),

把A(0,3)代入解析式，得

3=a(0-1)(0-3),

解得a=1,

故拋物線解析式為y-(x—1)(%一3)=-4久+3=(x-2乃一1；

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(2)?；。￡1平分44。8,且44。3=90°,

J.Z.AOE=/.BOE=-/-AOB=45°,

2

???/C||%軸，交拋物線于點c,

J.Z.AEO=乙BOE=45°,

：.Z-AOE=乙BOE=/-AEO=45°,

：.AE=AO,

,??點4(0,3),

：.AE=AO=3,

?,?點E(3,3),

1g

,,^^AOE~,a。-

設(shè)。E的解析式為y=kx,

A3=3k,

解得々=1,

????！甑慕馕鍪綖?/='，

過點尸作PFIIy軸交直線。E于點F,

圖2

設(shè)P(zn,m2—4m+3),則F(m,m),

2

則FP=zn—血2+4m-3=-m+5m—3,

??S^POE=S^POF+S^PEF

11

--PF(xP—%。)+-PF{XE-Xp)

1

=-PF?%一%0)

13

=-PFx(3-0)=-PF

32?15一9

=—4—m——,

222

第21頁共26頁

?3215

,,S四邊形ZOPE=S^AOE+S^POE~~2m+"T771

.,.當(dāng)m=J時，四邊形aoPE面積最大，最大值為

28

（3）①當(dāng)尸在對稱軸的左邊，過尸作MN_Ly軸，交I于N,

TOP=PF,AOPF=90°,

：.^MPO=90°一乙NPF=乙NFP,

在Rt△MP。和Rt△NFP中，

20Mp=乙PNF

VzMPO=乙NFP,

PO=FP

：.Rt△MPO=RtAN"(AAS),

：.OM=PN,

VP(m,m2—4m+3),

貝Ij|7n2—47n+3|=2—m,

m2—4m+3=2—m^m2—4m+3=m—2

2

.'.m—3m+1=0或tn?—5m+5=0,

解得血1=節(jié)匹(舍去)，血2=2合或血3=節(jié)匹(舍去)，血4=

Vm<2,

的坐標(biāo)為（竽,等）或（竽,T）;

②當(dāng)尸在對稱軸的右邊，如圖4,過尸作MNlx軸于N,

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圖4圖5

同理得Rt△ONP=RtAPMF（AAS）,

：.FM=PN,

VP（m,m2—4m+3）,

則|僧2-47n+3|=m—2,

2

m—4m+3=m—2或TH?_4m+3=2—m

2

.'.m—5m+5=0或zn?—3m+1=0,

解得mi=節(jié)四，m2=土產(chǎn)（舍去）或63=紀(jì)/，血4=（舍去），

Vm>2,

a3+V^―p.5+VS

?./Hi=-^―或g=—,

...尸的坐標(biāo)為（竽,或（竽，竽1

綜上所述，點p的坐標(biāo)是：（竽，號9或（竽，D或（竽，1）或（竽，竽）

【分析】（1）設(shè)拋物線與無軸的另一個交點為。，利用對稱思想求得點。的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的交點式,

解答即可；

（2）過點P作PF||y軸交直線OE于點凡設(shè)P（zn,m2-4m+3）,則F（m,m）,

則FP=zn-巾2+47n-3=一巾2+57n一3,把不規(guī)則四邊形切割成幾個三角形，利用三角形面積之和,

求四邊形面積.

（3）根據(jù)等腰直角三角形的定義，分類解答即可.

24.如圖，己知AD,EF是O。的直徑，AD=6五,。。與團(tuán)。48c的邊4B,OC分別交于點E,M,連接

CD并延長，與4F的延長線交于點G,乙AFE=4CD.

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⑴求證：CD是。。的切線；

(2)若GF=1,求cos乙4EF的值；

⑶在(2)的條件下，若乙4BC的平分線8”交CO于點H,連接交。。于點N,求需的值.

【答案】(1)證明：如圖，連接OR

??,EF是。。的直徑，

：.^AFE="CD.

：.DF//AE.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AE//OC.

J.DF//OC.

：.Z.FDA=乙DOC.

?；0F=OA,

：./.FAD=/.AFE.

U：^AFE=ZOCD,

：.Z.FAD=NOCO.

'：AFDA+^FA