【函數(shù)與方程思想在中學數(shù)學解題中的探究5600字（論文）】

函數(shù)與方程思想在中學數(shù)學解題中的研究目錄TOC\o"1-2"\h\u24906函數(shù)與方程思想在中學數(shù)學解題中的研究 19232摘要 17441關鍵詞：函數(shù)與方程思想，中學數(shù)學，典型問題應用研究，教學策略 120548前言 130069一、函數(shù)與方程思想分析 215672（一）函數(shù)與方程思想概述 29441（二）關于學生對函數(shù)與方程思想的掌握程度 216958（三）教師對函數(shù)與方程思想的教學可能存在的問題 331118二、函數(shù)與方程思想的典型應用研究 316409（一）運用函數(shù)思想解決含參數(shù)問題 35878（二）運用函數(shù)思想證明不等式 4788（三）運用方程思想解決幾何問題 523563三、教學案例研究 627364（一）教學過程中運用函數(shù)思想解題案例分析 623567（二）教學過程中運用方程思想解題案例分析 611932（三）教學過程中運用函數(shù)與方程思想解題案例分析 71852四、函數(shù)與方程思想的教學建議 71335（一）學習建議 718847（二）教學策略 832650結論 922993參考文獻 10摘要函數(shù)與方程的思想方法可以直接將一些抽象復雜的問題簡單化，轉(zhuǎn)換數(shù)量關系，用主觀的函數(shù)圖像替代抽象的數(shù)量關系，進而搭建解決抽象數(shù)學問題的橋梁。此外，函數(shù)與方程一直是中高考的熱點、重點，難點問題。本文闡述了函數(shù)與方程思想的概念，并分析函數(shù)與方程思想教學中可能存在的問題，同時探討了函數(shù)與方程思想在中學數(shù)學中六類典型問題中的應用，最后提出了幾點關于函數(shù)與方程思想的學習建議和教學策略。關鍵詞：函數(shù)與方程思想，中學數(shù)學，典型問題應用研究，教學策略前言功能和方程式的思想既有功能的，也有方程式的。所謂的功能思維，就是利用函數(shù)的特性和概念，來分析、轉(zhuǎn)換、解決問題，而方程的思維，就是根據(jù)問題的數(shù)量，運用自己的數(shù)學知識，來解決問題。在教學和學習的過程中，函數(shù)和方程的概念經(jīng)常會出現(xiàn)，老師需要引導學生利用函數(shù)和方程來解決和理解相關的數(shù)學問題，這樣既可以促進學生的解題能力，又可以有效地提高解題的準確率和效率。在應用功能思維解決問題時，研究的是數(shù)量和變量的關系，而方程式思維則是分析問題中變量間的等量關系。函數(shù)和方程式的概念是高中數(shù)學的基礎，也是中學數(shù)學教學的一條主線，因此，加強對其教學和學習的研究具有重要的理論意義。中高考強調(diào)“知識與實踐相結合”，而現(xiàn)實問題中常常包含著函數(shù)和方程式，如何合理地運用函數(shù)和方程式，是中學數(shù)學教育必須探索的一個重要問題。一、函數(shù)與方程思想分析（一）函數(shù)與方程思想概述函數(shù)和方程式是中學數(shù)學的一個重要思想，它是運用函數(shù)的概念和性質(zhì)來分析、轉(zhuǎn)化和解決問題的一種思考方法。方程式思維是用方程式來解決問題，同時也是對方程式的概念性質(zhì)的理解，它主要是對數(shù)理問題之間的各種變項進行分析。將這兩種方法結合起來，可以減少數(shù)學難題的難度，從而讓數(shù)學問題變得更加簡單和高效。這兩種方法的共同之處，就是將數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、方程或者兩者的組合，從而減少了題目的難度，從而解決了問題。為更好地理解學生會的功能和方程式的學習狀況，我們采訪了一些中學的數(shù)學教師和學生（主要是婁底市的星星實驗學校、漣源四中、漣源六中），并參考了一些資料，得到了如下的研究結論?！稁缀卧尽肥窍ＥD時代和人類發(fā)展史上最早的一部數(shù)學思想方法?！稁缀卧尽肥且徊坑上ＥD數(shù)學家歐幾里得寫成的，大約在公元前300年左右，他將希臘的數(shù)學資料進行了梳理，并將其運用到了現(xiàn)代，而在近代，《幾何原本》被翻譯為中文。最早見于劉徽的《九章算術》。函數(shù)和方程式的概念是非常普遍的。本文以高中數(shù)學思維方法為切入點，闡述了數(shù)列問題應用、不等式應用、應用問題應用三個方面的具體應用。本文從多個方面分析了這些問題，以期對教師在數(shù)學思維教學中的應用有所幫助。本文通過對函數(shù)和方程思想在解題過程中的具體應用進行了探討，并指出了將函數(shù)和方程式的思想用于解決問題，從而使我們能夠正確地理解和理解這些問題。本文從功能和方程式的概念出發(fā)，闡述了函數(shù)與方程式的概念在中學數(shù)學解題中的作用，強調(diào)了其思想的意義，并強調(diào)了其思想的意義，強調(diào)了在問題的情況下，如何合理地構造函數(shù)或方程的模型，并運用數(shù)學的語言和方法來表示數(shù)量關系，從而達到逐步轉(zhuǎn)化的目的。（二）關于學生對函數(shù)與方程思想的掌握程度大多數(shù)同學對函數(shù)和方程式的概念都很了解，但大多數(shù)同學對它的理解卻很模糊，只有少數(shù)人能用它來解決問題。主要問題是：沒有充分考慮到函數(shù)和方程的概念。在解題時，同學們只關注是否能解出問題，卻忽視了解題的過程和解題方式，再加上課本上沒有函數(shù)和方程式的概念，讓他們下意識地以為，函數(shù)和方程式這兩個概念太難學，根本就不想學。學生對基本的函數(shù)和方程的理解還不充分。在中學里，函數(shù)和方程是最重要的，也是最重要的，因為它們是從高中到高中的，每一節(jié)課都是在不斷的積累，如果一個學期的時間不夠扎實，那么就會嚴重的影響到后面的公式和函數(shù)。在解決問題時，很少采用函數(shù)和方程式思維。當老師解答函數(shù)和方程式的問題時，他們會覺得自己能理解，而當他們自己做題時，卻不知道該從哪里開始，或者說，他們的思維模糊不清，或者根本就沒有答案。只有在老師的指導下，他才能用函數(shù)和公式來解決問題。學生對功能和方程式的思考還不夠深入。在老師的講解下，中學數(shù)學的課程題目都要記下來，而做筆記，就是要讓學生對題目進行分類，思考，總結，理解。這種學習方式是大多數(shù)同學都不具備的，有些人在課堂上做了筆記，卻沒有完全理解，有些人雖然已經(jīng)做了筆記，但卻沒有時間去思考和總結。（三）教師對函數(shù)與方程思想的教學可能存在的問題有25%的人認為老師在課堂上提及的是函數(shù)和方程式，只有百分之七十五。教師在教學中的主要問題是：教師不太注重功能和公式思維。只有簡單的解題思路，缺乏對函數(shù)和方程式的思考的專題分析。在教學方法上，沒有強調(diào)函數(shù)和方程式的概念。在教學設計方面，由于忙于教學進度，沒有進行主題練習，對函數(shù)和方程式的思維進行了歸納，從而造成了對函數(shù)和方程式思想的指導不足，在教學中提出函數(shù)和方程式的思考也不多。有的老師沒有自己的知識，只是分析了一個特定的問題，卻很少提到，也沒有提到它的概念和概念。二、函數(shù)與方程思想的典型應用研究（一）運用函數(shù)思想解決含參數(shù)問題例題3.1（2020全國Ⅰ卷第21.2題）已知函數(shù)f(x)=ex+ax2?x，當解析：本題主要考察函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，不等式的恒成立問題，利用函數(shù)的概念來構造一個新的函數(shù)模型，然后利用函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的特性來求解原問題。解：依題意得：f(x)≥1設函數(shù)g(x)=(12x3?axg=?1=?(i)若2a+1≤0，即a≤?12，則當x∈(0,2)時，∴g(x)在(0,2)單調(diào)遞增，而g(0)=1，∴當x∈(0,2)時，g(x)>1，不合題意(ii)若0<2a+1<2，即?1當x∈(0,2a)∪(2,+∞)時，當x∈(2a+1,2)時，∴g(x)在(2a+1,2)單調(diào)遞增，在(0,2a),(2,+∞)單調(diào)遞減而g(0)=1∴g(x)≤1當且僅當g(2)=(7?4a)e?2≤1即a≥∴當7?e2g(x)≤(12∵0∈[由（ii）可得(∴當a≥12綜上，a的取值范圍是[（二）運用函數(shù)思想證明不等式例題3.2（2020全國Ⅱ卷第21題）已知函數(shù)f(x)=sin（1）討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性；（2）證明：f(x)≤解析：本題主要考察函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，三角恒等變換，不等式的證明，利用三角函數(shù)的有關屬性，把問題轉(zhuǎn)化為一個問題。解：（1）f=2sinxcosxsin2x+2=2sinxsin3x當x∈(0,π3當x∈(π3∴f(x)在區(qū)間(0,π在區(qū)間(π∵f(0)=f(π)=0由（1）知f(x)在[0,π]的最大值為f(最小值為f(而f(x)是周期為π的周期函數(shù)∴f(x)（三）運用方程思想解決幾何問題例題3.3(2020國家卷15題）可知，錐形的底部半徑是1，而母線長度是3，那么這個錐形中最大的球體的容積是什么？解析：本題主要考察了錐形內(nèi)切球，利用方程式的思路，從縱向關系出發(fā)，建立了內(nèi)切球半徑的方程式。解：根據(jù)題目的意思，最大的球體是內(nèi)切球，而錐形PE和它的內(nèi)切球O見圖3.3設內(nèi)切球的半徑為r，PB=3,BE=1則sin∠BPE=∴OP=3r∴OP=3r∴PE=4r=∴r=∴內(nèi)切球的體積：V=即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為23圖3.3三、教學案例研究（一）教學過程中運用函數(shù)思想解題案例分析在解題過程中，教育者首先要引導學生思考：總的解題方向是什么？怎么轉(zhuǎn)化不等式f(x)≥12x3+1更益于解題？（設計意圖：通過提出問題，將學生的思維往函數(shù)上引導，體現(xiàn)函數(shù)思想，為后續(xù)運用函數(shù)思想解題做鋪墊。）不等式轉(zhuǎn)化成(12x3?a可轉(zhuǎn)化為?33至此，我們只需運用函數(shù)性質(zhì)，計算其最值，加以說明即可作用：能夠有效的將題目難度降下來，直觀地體現(xiàn)函數(shù)思想的優(yōu)點。（二）教學過程中運用方程思想解題案例分析在教學中，老師會引導學生將最大的球體作為一個圓錐形的內(nèi)切球進行解析，如果內(nèi)切球的半徑是不確定的，那么可以將半徑r設為r（設計目的：將未知的量或變量轉(zhuǎn)換成常數(shù)），利用POC和△PEB，將問題的底部半徑與母線之間的關系轉(zhuǎn)換為半徑r和PO之間的關系，然后利用直角三角形的勾股定理，得到r的方程，得到半徑，然后得到球體的表面和體積。（目的：指導學生運用公式思維，轉(zhuǎn)換問題的已知條件。在不確定的情況下，可以用公式來構造公式，這樣就能更好的計算出重要的數(shù)值，從而凸顯出公式的優(yōu)點。）（三）教學過程中運用函數(shù)與方程思想解題案例分析在教學中，教師要注意：圓錐曲線方程和函數(shù)有本質(zhì)的不同，它和函數(shù)是相關的，可以將它們結合起來，如果直線L的方程是不確定的，那么我們可以從一次函數(shù)的圖象為一條直線出發(fā)，假定它是一個拋物線的方程和它的特性y=32x+b這個b。（目的：讓同學們了解到，函數(shù)和方程式之間的關系，可以互相配合，讓他們感受到函數(shù)和方程式的精妙，讓他們在不知不覺中，對函數(shù)和方程的概念進行培養(yǎng)。）在課堂上，引導同學們對方程式進行解析，結果發(fā)現(xiàn)，這并非一元二次方程式，而是一元三次方程式，以方程式根的判別法，根本無法解決此問題。這時，請同學將等號左側的項看作一個函數(shù)，如果這個函數(shù)就是我們要找到的。兩個函數(shù)的交點正好是等式的解法，所以交點的數(shù)目就是方程式的實根數(shù)f(x)=在教學過程中，幫助學生理清解題思路，為學生提供簡單直接有效的解題方法，此題旨在構建函數(shù)關系，分析已給信息，沒有直接的函數(shù)關系可以運用，但是有等量關系，可以構建方程，而構建方程需要假設未知量，此題有兩個未知量：兩車之間的距離f(x)、行駛時間x。處理好未知量，找等量關系；f(x)=900?(90+60)x，建立好一元二次方程，也解決了兩車之間的距離f(x)與行駛時間x的四、函數(shù)與方程思想的教學建議（一）學習建議首先，要注重對基本的函數(shù)和方程的掌握，這是高中階段的一個難點，要注意記筆記，并及時鞏固所學的內(nèi)容。其次，整理整理好的筆記，獨立使用函數(shù)和方程式進行思考，得出答案，所謂“好事多磨”，就是這樣，反復練習，才能有自己的想法。第三步，歸納歸納了函數(shù)和方程的相關知識，理清了它們之間的邏輯關系，找到了它們之間的聯(lián)系和差異，并建立起了一個完整的知識庫。（二）教學策略教師在教學中注重函數(shù)和方程式的思想，但在教學中難免會出現(xiàn)教育者的錯誤，或是在傳授知識時忽視了許多因素，從而影響了學生的功能和方程式觀念，從而影響了他們的應用意識。在教學中，要注重函數(shù)和方程式的教學，要把函數(shù)和方程式的思想滲透得像質(zhì)一樣，使學生對數(shù)學的認識更加深刻，把課堂作為主要途徑，不斷改善教學方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力。在解題過程中，引導學生積極地運用函數(shù)和方程式思維，積極地幫助學生對這些問題進行歸類，培養(yǎng)學生的思維方式，培養(yǎng)學生的思維，培養(yǎng)學生的邏輯思維，培養(yǎng)學生的學習積極性。

結論函數(shù)和方程是數(shù)學的一個重要組成部分，在高中數(shù)學中，靈活地使用函數(shù)和方程式，可以有效地解決有關的數(shù)學問題，提高求解的效率和精確度。從中學數(shù)學的角度來看，函數(shù)和方程式一直是高中物理教學中的一個熱門話題，也是一個難題。在數(shù)學思維中，函數(shù)和方程的概念非常突出和重要，它可以把復雜的問題簡單化，把抽象的問題具體化，把問題變成方程，或者函數(shù)，然后利用方程和函數(shù)的相關知識，來解決問題。教師在研究函數(shù)和方程式的思想時，要概括出函數(shù)、方程式的概念和研究意義，并具體分析其實際應用。在解題之前，學生要先了解方程（群），函數(shù)的有關性質(zhì)，這是函數(shù)和方程的基本概念，在解題時，將函數(shù)和方程結合起來，使問題變得簡單明了。在日常教學中，及時幫助同學們對函數(shù)和方程式的相關知識進行整理，使他們能夠靈活的使用函數(shù)和方程式，并充分發(fā)揮函數(shù)和方程式思維的優(yōu)點。同時，對教學設計、教學方法、教學技巧進行了總結和反思，及時對學情進行分析，并作出相應的調(diào)整和改善。

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