利用勾股定理解決最值問題（解析版） 八年級數(shù)學(xué)下冊專題訓(xùn)練

專題07利用勾股定理解決最值問題（解析版）類型一垂線段最短（一）通過軸對稱轉(zhuǎn)化為“垂線段最短”1．（2021?武進(jìn)區(qū)自主招生）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（）A．62 B．6 C．32【思路引領(lǐng)】作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點(diǎn)，過M′點(diǎn)作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值，再根據(jù)AD是∠BAC的平分線可知M′H＝M′N′，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點(diǎn)，過M′點(diǎn)作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分線，∴M′H＝M′N′，∴BH是點(diǎn)B到直線AC的最短距離（垂線段最短），∵AB＝6，∠BAC＝45°，∴BH＝AB?sin45°＝6×22=∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝32．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，解答此類問題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．2．（2020?皇姑區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，P是BC邊上的動點(diǎn)（不與B，C重合），點(diǎn)P關(guān)于直線AB，AC的對稱點(diǎn)分別為M，N，則線段MN長的取值范圍是26≤MN＜42【思路引領(lǐng)】連接AM、AN、AP，由對稱性可知AM＝AP＝AN、△MAN等腰直角三角形，進(jìn)而即可得出MN=2AP，再根據(jù)AP的取值范圍即可得出線段MN【解答】解：連接AM、AN、AP，如圖所示．∵點(diǎn)P關(guān)于直線AB，AC的對稱點(diǎn)分別為M，N，∴AM＝AP＝AN，∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，∴△MAN等腰直角三角形，∴MN=2AM=2∴23≤AP∴26≤MN＜42故答案為：26≤MN＜42【總結(jié)提升】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證得△AMN是等腰直角三角形．3．（2021秋?崇川區(qū)月考）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若點(diǎn)M、N分別是線段AC，AB上的兩個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)BM+MN取最小值時(shí)△BMN的周長為12．【思路引領(lǐng)】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，作FN⊥AB于N，根據(jù)“將軍飲馬”及“垂線段最短”可知：△BMN周長最小值是FN+BN，然后證明△BCE∽△FNB∽△ACB，進(jìn)而求得FN和BN的值．【解答】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，作FN⊥AB，交AC于M，則MN+MN最小，∴∠AEC＝∠FNB＝90°，∴∠BAC+∠ABE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABE＝90°，∴∠CBE＝∠BAC，∵∠ANF＝∠ABC＝90°，∴FN∥BC，∴∠F＝∠CBE，∴△FBN∽△ACB∽△BCE，∴BEAB=BC∵AB＝10，AC＝5，∴AC=102∴BE10∴BE＝25，∴BF＝2BE＝45，∴BN5∴FN＝8，BN＝4，∴當(dāng)BM+MN最小時(shí)，△MBN的周長是4+8＝12，故答案為：12．【總結(jié)提升】本題考查了軸對稱性質(zhì)，垂線段最短性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟悉“將軍飲馬”，“垂線段最短”作出作出圖形．4．（2020?浙江自主招生）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，CA上，則△DEF周長的最小值為56．【思路引領(lǐng)】分別作點(diǎn)E關(guān)于AB，AC的對稱點(diǎn)P，Q．連接AE，AP，AQ，DP，F(xiàn)Q，PQ，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短以及垂線段最短，即可得出△DEF周長的最小值．【解答】解：分別作點(diǎn)E關(guān)于AB，AC的對稱點(diǎn)P，Q．則DE＝PD，EF＝FQ．連接AE，AP，AQ，DP，F(xiàn)Q，PQ，則∠PAQ＝120°，且AP＝AE＝AQ，從而∠APQ＝30°，故PQ=3過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，則AH=AB?sinB=10×sin45°=52于是△DEF的周長為：l=DE+DF+EF=PD+DF+FQ≥PQ=3故答案為：56．【總結(jié)提升】本題主要考查了最短距離問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．對“動點(diǎn)”進(jìn)行兩次軸對稱變換是解決問題的難點(diǎn)．（二）通過證明點(diǎn)的運(yùn)動路徑為線段或直線，轉(zhuǎn)化為“垂線段最短”5．（2021?羅湖區(qū)模擬）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝4，E是AC的中點(diǎn)，D是直線BC上一動點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動時(shí)，AF的最小值是3+1【思路引領(lǐng)】作DM⊥AC于M，F(xiàn)N⊥AC于N，如圖，設(shè)DM＝x，則CM=33x，可計(jì)算出EM=?33x+2，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ED＝EF，∠DEF＝90°，證明△EDM≌△FEN，當(dāng)D在BC上時(shí)，DM＝EN＝x，EM＝NF=?33x+2，接著利用勾股定理得到AF2＝（?33x+2）2+（2+x）2，配方得到AF2=43（x+3?32）2+4+23，此時(shí)AF2沒有最小值，當(dāng)D在BC的延長線上時(shí)，DM＝EN＝x，EM＝NF=33x+2，在Rt△AFN中，AF2＝（33x+2）【解答】解：作DM⊥AC于M，F(xiàn)N⊥AC于N，如圖，設(shè)DM＝x，在Rt△CDM中，CM=33DM=而EM+33∴EM=?33∵線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN，當(dāng)D在BC上時(shí)，∴DM＝EN＝x，EM＝NF=?33在Rt△AFN中，AF2＝（?33x+2）2+（2+x）2=43（x+3?此時(shí)AF2沒有最小值，當(dāng)D在BC的延長線上時(shí)，∴DM＝EN＝x，EM＝NF=33在Rt△AFN中，AF2＝（33x+2）2+（2﹣x）2=43（x?3?3當(dāng)x=3?32時(shí)，AF2∴AF的最小值為4+23故答案為3+【總結(jié)提升】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．6．（2023?武山縣一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D為AB上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），△AED為等邊三角形，過D點(diǎn)作DE的垂線，F(xiàn)為垂線上任一點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，則線段CG長的最小值是9．【思路引領(lǐng)】首先連接AG，DG，根據(jù)線段中垂線性質(zhì)定理逆定理得出AG為線段DE的中垂線，然后得出∠GAD＝30°，而后證明∠CAG＝60°即∠CAG為定值，得出G的運(yùn)動軌跡，再根據(jù)垂線段最短即可得出CG的最小值．【解答】解：連接DG，AG，AG交DE于H，∵∠FDE＝90°，G為EF中點(diǎn)，∴DG=1∵△ADE為等邊三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵AD＝AE，GD＝GE，∴AG是DE的中垂線（線段中垂線性質(zhì)定理逆定理），∴AH⊥DE，∴∠DAH＝∠EAH＝30°，∴∠CAG＝∠BAC+∠DAH＝60°，∴G點(diǎn)在過點(diǎn)A，與AC所交角60°的直線上運(yùn)動，過點(diǎn)C作CG'⊥AG于點(diǎn)G'，則CG'為所求，∵BC＝6，∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∴tan∠BAC=BC∴33∴AC＝63，∵∠CAG'＝60°，∠CG'A＝90°，∴sin∠CAG'=CG′∴32∴CG'＝9，故答案為：9．【總結(jié)提升】本題考查含30度角的直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，利用已知得出點(diǎn)的軌跡是解本題的突破口，利用垂線段最短求出CG的最小值是解本題的關(guān)鍵．類型二兩點(diǎn)之間，線段最短（一）通過軸對稱轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”及延伸8．如圖，已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P，Q分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，OP＝3，OQ＝4，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的動點(diǎn)，則折線P﹣N﹣M﹣Q長度的最小值是（）A．5 B．7 C．1 D．10【思路引領(lǐng)】作P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P′，作Q關(guān)于OA的對稱點(diǎn)Q′，連接P′Q′，即為折線P﹣N﹣M﹣Q長度的最小值．【解答】解：作P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P′，作Q關(guān)于OA的對稱點(diǎn)Q′，連接P′Q′，即為折線P﹣N﹣M﹣Q長度的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：∠NOP′＝∠AOB＝30°，∠OPP′＝60°，∴△OPP′為等邊三角形，△OQQ′為等邊三角形，∴∠P′OQ′＝90°，∴在Rt△P′OQ′中，P′Q′=3故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了軸對稱﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，根據(jù)軸對稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2021秋?上高縣月考）如圖1，A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)，在直線l上確定一點(diǎn)，使PA+PB的值最小．方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A’，連接A’B交l于點(diǎn)P，則PA+PB＝A’B的值最?。ú槐刈C明）應(yīng)用：（1）如圖2，正方形的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動點(diǎn)．連接BD，由正方形的對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱，連接ED交于AC于P，則PB+PE的最小值是5．（2）如圖3，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO＝10，Q，R分別是OA，OB上的動點(diǎn)，求△PQR周長的最小值．【思路引領(lǐng)】（1）由題意易得PB+PE＝PD+PE＝DE，在△ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；（2）作出點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)M，關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)N，連接MN，它分別與OA，OB的交點(diǎn)Q、R，這時(shí)三角形PEF的周長＝MN，只要求MN的長就行了．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB＝PD，由題意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE，在△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2故答案為：5．（2）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R，連接PR、PQ，此時(shí)△PQR周長的最小值等于MN．由軸對稱性質(zhì)可得，OM＝ON＝OP＝5，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，在Rt△MON中，MN=OM2即△PQR周長的最小值等于102．【總結(jié)提升】此題綜合性較強(qiáng)，主要考查有關(guān)軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€的問題，綜合應(yīng)用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識．（二）通過平移轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”9．（2023春?鞍山期末）如圖，河的兩岸有A，B兩個(gè)水文觀測點(diǎn)，為方便聯(lián)絡(luò)，要在河上修一座木橋MN（河的兩岸互相平行，MN垂直于河岸），現(xiàn)測得A，B兩點(diǎn)到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且A，B兩點(diǎn)之間的水平距離為12米，則AM+MN+NB的最小值是18米．【思路引領(lǐng)】過點(diǎn)A作AP⊥FG，垂足為P，在AP上截取AH＝MN＝3米，連接HB交DE于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NM⊥FG，垂足為M，過點(diǎn)B作BC⊥AP，交AP的延長線于點(diǎn)C，交DE于點(diǎn)Q，根據(jù)題意可得：AH＝MN，AH∥MN，從而可得四邊形AHNM是平行四邊形，進(jìn)而可得AM＝HN，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可得此時(shí)AM+BN的值最小，且最小值即為HB的長，最后在Rt△HBC中，利用勾股定理求出HB的長，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)A作AP⊥FG，垂足為P，在AP上截取AH＝MN＝3米，連接HB交DE于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NM⊥FG，垂足為M，過點(diǎn)B作BC⊥AP，交AP的延長線于點(diǎn)C，交DE于點(diǎn)Q，由題意得：AH＝MN，AH∥MN，∴四邊形AHNM是平行四邊形，∴AM＝HN，∴AM+BN＝HN+BN＝HB，此時(shí)AM+BN的值最小，且最小值即為HB的長，在Rt△HBC中，BC＝12米，HC＝AC﹣AH＝5+3+4﹣3＝9（米），∴HB=B∴AM+BN的最小值為15米，∴AM+MN+NB的最小值＝15+3＝18米，故答案為：18．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（三）通過構(gòu)造全等轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”10．（2023秋?鲅魚圈區(qū)期末）如圖，AD為等腰△ABC的高，其中∠ACB＝50°，AC＝BC，E，F(xiàn)分別為線段AD，AC上的動點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF+CE取最小值時(shí)，∠AFB的度數(shù)為95°．【思路引領(lǐng)】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個(gè)三角形中，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)F的位置，即F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF+CE的值最小，求出此時(shí)∠AFB＝95°．【解答】解：∵∠ACB＝50°，AD⊥BC，∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，如圖1，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，∵AC＝BC，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝50°，∴∠ACH＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAC＝∠ACH＝40°，∵AE＝CF，在△AEC與△CFH中，AC=CH∠CAE=∠HCF∴△AEC≌△CFH（SAS），∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴當(dāng)F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，如圖2，BF+CE的值最小，此時(shí)∠FBC＝45°，∠FCB＝50°，∴∠AFB＝95°，故答案為：95°．【總結(jié)提升】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，最短路徑問題，關(guān)鍵是作出輔助線，當(dāng)BF+CE取得最小值時(shí)確定點(diǎn)F的位置．（四）費(fèi)馬點(diǎn)問題11．（2023秋?慈溪市月考）如圖，在△MNG中，MN＝42，∠M＝75°，MG＝3．點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是65．【思路引領(lǐng)】以MG為邊作等邊△MGD，以O(shè)M為邊作等邊△OME．連接ND，可證△GMO≌△DME，可得GO＝DE，則MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即當(dāng)D、E、O、N四點(diǎn)共線時(shí)，MO+NO+GO值最小，最小值為ND的長度，根據(jù)勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的長度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】解：如圖，以MG為邊作等邊△MGD，以O(shè)M為邊作等邊△OME．連接ND，作DF⊥NM，交NM的延長線于F．∵△MGD和△OME是等邊三角形，∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME，在△GMO和△DME中，OM=ME∠GMO=∠DME∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE，∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO，∴當(dāng)D、E、O、N四點(diǎn)共線時(shí)，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵M(jìn)G＝MD＝3，∴MF＝DF=22MD∴NF＝MN+