河北省石家莊市二中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGEPAGE14河北省石家莊市二中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）單項選擇題（每小題5分，共40分。下列每小題所給選項只有一項符合題意，請將正確答案的序號填涂在答題卡上）1、已知集合，，則（）A． B． C． D．2、若函數(shù)的圖象與直線一個交點的坐標(biāo)為，則()A． B．1 C． D．無法確定3、沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形態(tài)完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，起先時細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所須要的時間稱為該沙漏的一個沙時.如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為12cm，體積為的細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此錐形沙堆的高度為（）A．3cm B．8cm C．64、已知向量，，若，則實數(shù)（）A．-1 B．1 C．2 D．-25、已知m，n為不同的直線，α，β為不同的平面，下列四個命題中，正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，mα，則m∥α6、函數(shù)的部分圖像如圖中實線所示，圖中圓與的圖像交于，兩點，且在軸上，則下列說法中正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后關(guān)于原點成中心對稱7、將正整數(shù)12分解成兩個正整數(shù)的乘積有，，三種，其中是這三種分解中兩數(shù)差的肯定值最小的，我們稱為12的最佳分解.當(dāng)(且p?)是正整數(shù)n的最佳分解時，我們定義函數(shù)，例如，則數(shù)列的前2024項和為（）A． B． C． D．8、若函數(shù)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多項選擇題（每小題5分，共20分。下列每小題所給選項至少有一項符合題意，請將正確答案的序號填涂在答題卡上）9、已知等比數(shù)列中，滿意，，是的前項和，則下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列中，，，仍成等比數(shù)列10、，表示不超過的最大整數(shù).十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采納，因此得名高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱之為“取整函數(shù)”．則下列命題中正確的是（）A．， B．，C．， D．函數(shù)的值域為11、如圖，在邊長為4的正三角形中，E為邊的中點，過E作于D.把沿翻折至的位置，連結(jié).翻折過程中，其中正確的結(jié)論是（）A．；B．存在某個位置，使；C．若，則的長是定值；D．若，則四面體的體積最大值為12、已知定義在上的函數(shù)，定義函數(shù)（其中為實數(shù)），若對于隨意的，都有，則整數(shù)可以為（）A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷（共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每題5分，共20分；第16題第一個空2分，其次個空3分）13、已知函數(shù)，則____________．14、若直線：經(jīng)過點(2,4)，則的最小值是_______．15．已知在銳角中，，,則的取值范圍是.16.我國古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童有外接球，且，，，，平面與平面間的距離為，則該芻童外接球的體積為_____.解答題：（本大題共6小題，共70分;第17題10分，第18-22題12分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17、已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且滿意_____.（從①②成等比數(shù)列；③，這三個條件中任選兩個補充到題干中的橫線位置，并依據(jù)你的選擇解決問題）（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項和.18、在中，角所對的邊分別為，；（1）證明：為等腰三角形；（2）若為邊上的點，，且，，求的值．19、如圖，三棱錐中，側(cè)面是邊長為的正三角形，，平面平面，把平面沿旋轉(zhuǎn)至平面的位置，記點旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點為（不在平面內(nèi)），、分別是、的中點.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值.20、為了探討某種癌細(xì)胞的繁殖規(guī)律和一種新型抗癌藥物的作用，將癌細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進行試驗，經(jīng)檢測，癌細(xì)胞的繁殖規(guī)律與天數(shù)的關(guān)系如下表.已知這種癌細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過時小白鼠將會死亡，注射這種抗癌藥物可殺死其體內(nèi)癌細(xì)胞的.天數(shù)1234567…癌細(xì)胞個數(shù)1248163264…（1）要使小白鼠在試驗中不死亡，第一次最遲應(yīng)在第幾天注射該種藥物？(精確到1天)（2）若在第10天，第20天，第30天，……給小白鼠注射這種藥物，問第38天小白鼠是否仍舊存活？請說明理由.（注：）21、在四棱錐中，，，，，為正三角形，且平面平面.（1）求二面角的余弦值；（2）線段上是否存在一點，使異面直線和所成角的余弦值為？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.22、已知函數(shù)，．（1）求證：；（2）用表示，中的最大值，記，探討函數(shù)零點的個數(shù)．21、已知三棱錐中，與均為等腰直角三角形，且，，為上一點，且平面.（1）求證：；（2）過作一平面分別交，，于，，，若四邊形為平行四邊形，求多面體的表面積.22、已知函數(shù)，．（1）求證：；（2）用表示，中的最大值，記，探討函數(shù)零點的個數(shù)．選擇題1-4CBCB6-8DBAC多選題9.AC10.CD11.ACD12.AB填空題13、14、15、（0，,12）16、.17、（1）①由，得，即；②由，，成等比數(shù)列，得，，即﹔③由，得，即；選擇①②、①③、②③條件組合，均得、，即﹔（2）由（I）得，則，即18、（1），由正弦定理得：，由余弦定理得：；化簡得：,所以即，故為等腰三角形．（2）如圖，由已知得，，，，又，，即，得，由（1）可知，得．解法二：取的中點，連接．由（1）知，由已知得，，，．19、（1）如圖，連接、，因為，是的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以．因為為邊長為的正三角形，所以，又，所以由勾股定理可得，又，，，，則，，所以為直角三角形，且，又、分別是、的中點，所以，所以；（2）如圖，連接、，因為三棱錐與三棱錐為同一個三棱錐，且的面積為定值，所以當(dāng)三棱錐的體積最大時，則平面平面，，則，為的中點，則，平面平面，平面平面，平面，平面，此時點到平面的距離為，在中，因為，，所以，所以的最大值為，所以三棱錐的體積的最大值為．20、（1）依據(jù)表格可得癌細(xì)胞個數(shù)，成等比數(shù)列增長，首項為1，公比為2，其通項為，要使小白鼠在試驗中不死亡，可建立不等式.∴，即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.（2）設(shè)第次注射藥物后小白鼠體內(nèi)的這種癌細(xì)胞個數(shù)為，則，且.∴∴，即第3次注射后小白鼠體內(nèi)的這種癌細(xì)胞個數(shù)為.∴到第38天小白鼠體內(nèi)這種癌細(xì)胞個數(shù)為∴第38天小白鼠仍舊存活.21、設(shè)是中點，為正三角形，則，平面平面，面，又∵，，所以為正三角形，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，于是，，(1)設(shè)平面的法向量為，由得一個法向量為，平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則由圖知為銳角，所以，二面角的余弦值為.(2)設(shè)，則，，所以解得或，所以存在點M為線段PC的三等分點.22、（1）設(shè)，其定義域為，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的微小值點，也是的最小值點，即，故成立．（2）函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以是的微小值點，也是的最小值點，即．（?。┤簦?dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以此時，只有一個零點；（ⅱ）若，，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，，則．此時沒有零點；（ⅲ）若，當(dāng)時，依據(jù)（1）知，．而，所以，又，所以在上只有一個零點，從而肯定存在，使得，即，即．當(dāng)時，，所以，從而從而在上有一個零點，在上有一個零點1．此時，當(dāng)時，有兩個零點．綜上，當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)時，沒有零點；當(dāng)時，有兩個零點．21、（1）由，