2025高考數(shù)學一輪復習-6.1.2-兩個計數(shù)原理的綜合應用【課件】

第六章

6.1

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應用知識梳理知識點一兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題不同點針對的是“分類”問題不同點各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事各個步驟中的方法互相依存，只有每一個步驟都完成才算做完這件事用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細分析兩點：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步.(1)分類要做到“

”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理

，得到總數(shù).(2)分步要做到“

”，即完成了所有步驟，恰好完成任務.分類后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)

，得到總數(shù).知識點二兩個計數(shù)原理的應用不重不漏求和步驟完整相乘思考分類“不重不漏”的含義是什么？答案“不重”即各類之間沒有交叉點，“不漏”即各類的并集是全集.預習小測自我檢驗YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.一個科技小組中有4名女同學、5名男同學，從中任選1名同學參加學科競賽，共有不同的選派方法___種，若從中任選1名女同學和1名男同學參加學科競賽，共有不同的選派方法____種.9解析根據(jù)分類加法計數(shù)原理，從中任選1名同學參加學科競賽，共有5＋4＝9(種)選派方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從中任選1名女同學和1名男同學參加學科競賽，共有4×5＝20(種)選派方法.202.有一排四個信號顯示窗，每個窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號顯示窗所發(fā)出的信號種數(shù)是____.81解析每個信號顯示窗都有3種可能，故有3×3×3×3＝34＝81(種)不同信號.4.多項式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)＋(a4＋a5)(b3＋b4)展開式共有____項.103.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有____種行車路線.12解析起點為4種可能性，終點為3種可能性，則行車路線共有4×3＝12(種).解析共有3×2＋2×2＝10(項).題型探究一、組數(shù)問題解三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個).例1

用0,1,2,3,4五個數(shù)字.(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？解三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個).(2)可以排成多少個三位數(shù)？解被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.因而有12＋18＝30(種)排法.即可以排成30個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù).(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)？延伸探究由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的四位奇數(shù)？解完成“組成無重復數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1,3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，從1,2,3,4中除去用過的一個，從剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步乘法計數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個).跟蹤訓練1

用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？解完成這件事可分為三類：第一類是個位數(shù)字為0的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，這類數(shù)的個數(shù)為4×4×3＝48.第二類是個位數(shù)字為2的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0只有3個數(shù)字可以選擇，有3種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的首尾2個數(shù)字之后，還有4個數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.由分步乘法計數(shù)原理知，這類數(shù)的個數(shù)為3×4×3＝36.第三類是個位數(shù)字為4的比2000大的四位偶數(shù)，其方法步驟同第二類.對以上三類用分類加法計數(shù)原理，得所求無重復數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)有48＋36＋36＝120(個).二、占位模型中標準的選擇例2

(1)4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？解要完成的是“4名同學每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，4人都報完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有3×3×3×3＝81(種)報名方法.(2)4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每項限報一人，且每人至多報一項，共有多少種報名方法？解每項限報一人，且每人至多報一項，因此跑步項目有4種選法，跳高項目有3種選法，跳遠項目只有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法有4×3×2＝24(種).(3)4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？解要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步，而每項冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有4×4×4＝64(種)可能的結(jié)果.跟蹤訓練2某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左數(shù)第2個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這10個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復).若某車主第1個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他可選的車牌號碼的所有可能情況有A.180種

B.360種

C.720種

D.960種√解析按照車主的要求，從左到右第1個號碼有5種選法，第2個號碼有3種選法，其余3個號碼各有4種選法，因此共有5×3×4×4×4＝960(種)情況.三、涂色問題例3

將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？解第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.①當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有4×3＝12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×12×3＝180(種)不同的涂法.②當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×4×4＝80(種)不同的涂法.由分類加法計數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法.延伸探究本例中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？解依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色.第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成4步來完成.第一步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；第二步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；第三步涂③與第四步涂④時，分別有3種涂法和2種涂法.于是由分步乘法計數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3×2＝120(種).第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成.第一步涂①④，有5種涂法；第二步涂②，有4種涂法；第三步涂③，有3種涂法.于是由分步乘法計數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(種).綜上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(種).跟蹤訓練3如圖所示，將四棱錐S－ABCD的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點異色，現(xiàn)有5種顏色可供使用，求不同的染色方法.解由題意知，四棱錐S－ABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法.當S，A，B染色確定時，不妨設其顏色分別為1,2,3，剩余2種顏色分別為4和5.若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法.由分類加法計數(shù)原理知，當S，A，B染法確定時，C，D有7種染法.由分步乘法計數(shù)原理得，不同的染色方法有60×7＝420(種).四、種植問題例4

將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有____種.42

解析分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設放入a，再安排第二塊田，有2種方法b或c，不妨設放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法.(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c2種方法，①若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；②若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法.綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法.跟蹤訓練4從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法.解方法一(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法.故不同的種植方法共有6×3＝18(種).方法二(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有不同的種植方法24－6＝18(種).隨堂練習123451.現(xiàn)有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，則不同選法的種數(shù)是A.56

B.65C. D.6×5×4×3×2√解析每位同學都有5種選擇，共有5×5×5×5×5×5＝56(種).2.如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)是A.5 B.12 C.15 D.412345√解析當x＝1時，y的取值可能為0,1,2,3,4,5，有6種情況；當x＝2時，y的取值可能為0,1,2,3,4，有5種情況；當x＝3時，y的取值可能為0,1,2,3，有4種情況.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，滿足條件的(x，y)的個數(shù)為6＋5＋4＝15.123453.已知集合S＝{a1，a2}，T＝{b1，b2}，則從集合S到T的對應關(guān)系共有A.1個

B.2個

C.3個

D.4個√解析可分兩步，第一步，集合S中a1對應到集合T中的元素有2個不同的對應關(guān)系；第二步，集合S中a2對應到集合T中的元素，有2個不同的對應關(guān)系，由分步乘法計數(shù)原理知，從集合S到T的對應關(guān)系共有2×2＝4(個)，故選D.4.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有_____種.(用數(shù)字作答)12345750解析首先給最左邊的一個格子涂色，有6種選擇，左邊第二個格子有5種選擇，第三個格子有5種選擇，第四個格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共有6×5×5×5＝750(種)涂色方法.123455.如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有____個.40解析滿足條件的有兩類：第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有8個；第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有8×4＝32(個)，所以滿足條件的三角形共有8＋32＝40(個).對點練習1.把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有A.24種

B.4種

C.43種

D.34種解析第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法，只要把這3封信投完，就完成了這件事情.由分步乘法計數(shù)原理可得共有43種方法，故選C.基礎鞏固12345678910111213141516√123456789101112131415162.由數(shù)字1,2,3組成的無重復數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為A.15 B.12 C.10 D.5解析分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個；第三類組成三位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個.由分類加法計數(shù)原理知共有偶數(shù)5個.√123456789101112131415163.一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復，則不同的參觀路線共有A.6種

B.8種C.36種

D.48種√12345678910111213141516解析如圖所示，由題意知在A點可先參觀區(qū)域1，也可先參觀區(qū)域2或3，選定一個區(qū)域后可以按逆時針參觀，也可以按順時針參觀，所以第一步可以從6個路口任選一個，有6種結(jié)果，參觀完第一個區(qū)域后，選擇下一步走法，有4種結(jié)果，參觀完第二個區(qū)域，只剩下最后一個區(qū)域，有2種走法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×4×2＝48(種)不同的參觀路線.123456789101112131415164.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學哪個吉祥物都喜歡，三位同學按甲、乙、丙的順序依次選一個作為禮物，如果讓三位同學選取的禮物都滿意，那么不同的選法有A.360種

B.50種

C.60種

D.90種√12345678910111213141516解析①甲同學選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，選法有1×2×10＝20(種)，②甲同學選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，選法有1×3×10＝30(種)，所以共有20＋30＝50(種)選法.故選B.123456789101112131415165.有6種不同的顏色，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有A.4320種

B.2880種C.1440種

D.720種解析第1個區(qū)域有6種不同的涂色方法，第2個區(qū)域有5種不同的涂色方法，第3個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第4個區(qū)域有3種不同的涂色方法，第5個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第6個區(qū)域有3種不同的涂色方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×5×4×3×4×3＝4320(種)不同的涂色方法.√123456789101112131415166.如圖所示，在A，B間有4個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有____種.13解析4個焊接點共有24種情況，其中使A，B之間線路通的情況是1,4都通，2和3至少有一個通，此時共有3種可能，故焊接點脫落的情況有24－3＝13(種).123456789101112131415167.有10本不同的數(shù)學書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，共有_____種不同的取法.242解析分三類：第一類，取數(shù)學書和語文書，有10×9＝90(種)；第二類，取數(shù)學書和英語書，有10×8＝80(種)；第三類，取語文書和英語書，有9×8＝72(種).故共有90＋80＋72＝242(種).123456789101112131415168.某運動會上，8名男運動員參加100米決賽，其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有_______種.2880解析分兩步安排這8名運動員.第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以共有4×3×2＝24(種)方法；第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120(種)方法.所以安排這8人的方式共有24×120＝2880(種).123456789101112131415169.(1)有8本不同的書，任選3本分給3個同學，每人1本，有多少種不同的分法？解分三步：每位同學取1本書，第1,2,3位同學分別有8,7,6種取法，因而由分步乘法計數(shù)原理知，不同的分法共有8×7×6＝336(種).(2)4位旅客到3個旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？解每位旅客都有3種不同的住宿方法，因而不同的住宿方法共有3×3×3×3＝81(種).1234567891011121314151610.用6種不同的顏色為如圖所示的廣告牌涂色，要求在A，B，C，D四個區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色，求共有多少種不同的涂色方法？解方法一

分類，第一類，A，D涂同色，有6×5×4＝120(種)涂法，第二類，A，D涂異色，有6×5×4×3＝360(種)涂法，共有120＋360＝480(種)涂法.方法二

分步，先涂B區(qū)，有6種涂法，再涂C區(qū)，有5種涂法，最后涂A，D區(qū)域，各有4種涂法，所以共有6×5×4×4＝480(種)涂法.11.從集合{1,2,3,4，…，10}中，選出5個元素組成子集，使得這5個元素中任意兩個元素的和都不等于11，則這樣的子集有A.32個

B.34個

C.36個

D.38個綜合運用12345678910111213141516解析先把集合中的元素分成5組：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于選出的5個元素中，任意兩個元素的和都不等于11，所以從每組中任選1個元素即可，故共可組成2×2×2×2×2＝32(個)滿足題意的子集.√12.某公司新招聘進8名員工，平均分給甲、乙兩個部門，其中2名英語翻譯人員不能分給同一個部門，另外3名電腦編程人員也不能分給同一個部門，則不同的分配方案種數(shù)是A.18 B.24 C.36 D.7212345678910111213141516√12345678910111213141516解析由題意可得，分兩類：①甲部門要2名電腦編程人員，則有3種方法；翻譯人員的分配有2種方法；再從剩下的3個人中選1人，有3種方法，共3×2×3＝18(種)分配方案.②甲部門要1名電腦編程人員，則有3種方法；翻譯人員的分配有2種方法；再從剩下的3個人中選2人，方法有3種，共3×2×3＝18(種)分配方案.由分類加法計數(shù)原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(種).解析由題意知b≤4≤c<b＋4，當b＝1時，c＝4；當b＝2時，c＝4,5；當b＝3時，c＝4,5,6；當b＝4時，c＝4,5,6,7，故共有10個這樣的三角形.1234567891011121314151613.若三角形的三邊長均為正整數(shù)，其中一邊長為4，另外兩邊長分別為b，c，且滿足b≤4≤c，則這樣的三角形有A.