《空間向量的應(yīng)用》鏈接高考

高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《空間向量的應(yīng)用》鏈接高考一、解答題1.（2020全國(guó)I卷）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,為上一點(diǎn),.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.2.(2020北京卷)如圖,在正方體中,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.3.(2020山東卷)如圖,四棱錐的底面為正方形,底面.設(shè)平面與平面的交線為.(1)證明:平面;(2)已知為上的點(diǎn),求與平面所成角的正弦值的最大值.4.(2019北京卷)如圖,在四棱錐中,平面.為的中點(diǎn),點(diǎn)在上,且.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)設(shè)點(diǎn)在上,且.判斷直線是否在平面內(nèi),說(shuō)明理由.5.(2018北京卷)如圖,在三棱柱中,平面分別為的中點(diǎn),.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)證明:直線與平面相交.6.(2017江蘇卷)如圖,在平行六面體中,平面,且,.(1)求異面直線與所成角的余弦值;(2)求二面角的正弦值.答案解析解答題1.答案：見(jiàn)解析解析：(1)由題設(shè),知為等邊三角形,設(shè),則,所以,,又為等邊三角形,則,所以,,則,所以,同理,又,所以平面.(2)過(guò)作交于點(diǎn),因?yàn)槠矫?以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,,得,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得,所以.故,設(shè)二面角的大小為,則.2.答案：見(jiàn)解析解析：(1)如下圖所示:在正方體中,且且,∴且,所以,四邊形為平行四邊形,則,∵平面平面∴平面.(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則、,,設(shè)平面的法向量為,由得令,則,則..因此,直線與平面所成角的正弦值為.3.答案：見(jiàn)解析解析：(1)在正方形中,,因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面,又因?yàn)槠矫?平面平面,所以,因?yàn)樵谒睦忮F中,底面是正方形,所以,且平面,所以,因?yàn)?所以平面.(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?則有,,設(shè),則有,設(shè)平面的法向量為,則即，令,則,所以平面的一個(gè)法向量為,則.根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值,所以直線與平面所成角的正弦值等于,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.4.答案：見(jiàn)解析解析：(1)因?yàn)槠矫?所以.又因?yàn)?所以平面.(2)過(guò)作的垂線交于點(diǎn).因?yàn)槠矫?所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以.所以,.所以,.設(shè)平面的法向量為,則即令,則.于是.又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?所以.由題知,二面角為銳角,所以其余弦值為.(3)直線在平面內(nèi).因?yàn)辄c(diǎn)在上,且,所以,.由(2)知,平面的法向量.所以.所以直線在平面內(nèi).5.答案：見(jiàn)解析解析：(1)在三棱柱中,∵平面∴四邊形為矩形.又分別為的中點(diǎn),∴.∵∴∴平面.(2)由(1)知.又平面平面平面,∴.如圖建立空間直角坐稱系.由題意得,.∴,設(shè)平面的法向量為,∴∴令,則,∴平面的法向量,又∵平面的法向量為,∴.由圖可得二面角為鈍角,所以二面角的余弦值為.(3)平面的法向量為,∵,∴∴∴與不垂直,∴與平面不平行且不在平面內(nèi),∴與平面相交.6.答案：見(jiàn)解析解析：在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn).因?yàn)槠矫?所以.如圖,以為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?則,.(1),則因此異面直線與所成角的余弦值