教師資格認定考試高級中學數(shù)學模擬題11

教師資格認定考試高級中學數(shù)學模擬題11一、單項選擇題1.

已知曲面方程為x2+y2+z2-2x+8y+6z=10，則過點(5，-2，1)的切平面方程為______A.2x+y+2z=0B.2x+y+2（江南博哥）z=10C.x-2y+6z=15D.x-2y+6z=0正確答案：B[解析]方法一：設球面方程為=x2+y2+z2+2px+2qy+2rz+d=0，則過球面上點(x0，y0，z0)的切平面方程為：x0x+y0y+z0z+p(x+x0)+q(y+y0)+r(z+z0)+d=0。由曲面方程為x2+y2+z2-2x+8y+6z=10可知p=-1，q=4，r=3，d=-10，則過點(5，-2，1)(點在球面上)的切平面為5x-2y+z-(x+5)+4(y-2)+3(z+1)-10=0，整理得2x+y+2z=10。方法二：曲面x2+y2+z2-2x+8y+6z=10為球面，標準方程為(x-1)2+(y+4)2+(z+3)2=36，球心為(1，-4，-3)，半徑為6，由A、B、C、D四個選項中，只有B、C過點(5，-2，1)，故A、D排除。同時球心到切平面的距離應該等于球的半徑，選項B，球心到平面的距離為，等于球半徑，滿足題意，故選B。

2.

已知線性方程組AX=kβ1+β2有解，其中，則k等于______A.1B.-1C.2D.-2正確答案：D[解析]已知線性方程組是非齊次的，方程組有解，則系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，由此可以求出k。因為已知線性方程組AX=kβ1+β2，將AX=kβ1+β2的增廣矩陣作初等行變換，

，即-5k-10=0，得k=-2。故選D。

3.

有矩陣A3×2，B2×3，C3×3，下列運算正確的是______A.ACB.ABCC.AB-BCD.AC+BC正確答案：B[解析]兩個矩陣相乘要求前一個矩陣的列數(shù)與后一個矩陣的行數(shù)相同，矩陣加減要求矩陣要具有相同的列數(shù)和行數(shù)。所以矩陣A和C不能相乘，A錯；AB為3×3的矩陣，BC為2×3的矩陣，二者不能做減法運算，所以C項錯誤；同理D項也錯。故正確答案選B。

4.

二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定的充分必要條件是______A.a＜-1B.a≠-1C.a≠1D.a＞1正確答案：C[解析]根據(jù)二次型正定，即對任意x≠0，f(x)＞0，又由題干中f的結構，知恒有f≥0，題干中二次型正定等價于齊次線性方程組只有零解，即系數(shù)矩陣的行列式，得a≠1，故選C。

5.

設事件A，B相互獨立，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，則P(B-A)=______A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4正確答案：B[解析]P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)-0.5P(A)=0.5P(A)=0.3，所以P(A)=0.6，P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=0.2，故選B。

6.

設f(x)連續(xù)，，則F'(x)等于______A.f(x4)B.x2f(x4)C.2xf(x4)D.2xf(x2)正確答案：C[解析]f'(x)=(x2)'·f(x4)=2xf(x4)，故答案選C。

7.

設隨機變量X，Y不相關，且E(X)=2，E(Y)=1，D(X)=3，則E(X+Y-2)=______A.-3B.3C.-5D.5正確答案：D[解析]E(X(X+Y-2))=E(X2)+E(XY)-2E(X)=DX+(EX)2+EX·EY-2EX=5。故選D。

8.

設X是一個集合，ρ=X×X→R，如果關于任何x，y，z∈x，有(ⅰ)ρ(x，y)≥0，并且ρ(x，y)=0，當且僅當x=y；(ⅱ)ρ(x，y)=ρ(y，x)；(ⅲ)ρ(x，z)=ρ(x，y)+ρ(y，z)，則稱ρ是集合X的一個度量。此度量的定義方式是______A.公理式定義B.外延式定義C.屬種差異式定義D.遞歸式定義正確答案：A[解析]題干敘述的三條分別是度量的三條公理：正定性、對稱性和三角不等式。即此度量的定義方式是以公理的形式給出的，故選A。

二、簡答題(每小題7分，共35分)1.

求由兩個圓柱而x2+y2=2與z2+x2=a2所圍成的立體的體積。正確答案：解：如圖所示為所求立體在第一卦限部分的圖象(占整體的八分之一)。對任一x0∈[0，a]，平面x=x0與這部分立體的截面是一個邊長為的正方形，所以截面函數(shù)A(x)=a2-x2，x∈[0，a]。由定積分的知識知，對截面函數(shù)A(x)在區(qū)間[0，a]上積分就是該立體在第一卦限部分的體積。所以。

2.

已知矩陣，求矩陣A的特征值和特征向量。正確答案：解：矩陣A的特征多項式為，所以，由λ(λ-1)2=0知A的特征根λ1=0，λ2=λ3=1。

當λ=0時，由得x1=2x3，x2=-x3，因此，屬于特征值0的特征向量為。當λ=1時，由得x1=x3，x2=0，因此，屬于特征值1的特征向量為

3.

在一次軍事演習中，某舟橋連接到命令要趕到某小河D岸為行進中的A部隊架設浮橋。假設舟橋連到達D岸的時間服從7點到7點30分這時間段內的均勻分布，架設需要20分鐘時間，A部隊到達D岸的時間服從7點30分到8點這時間段內的均勻分布。且舟橋連的到達時間和A部隊的到達時間相互獨立。則求A部隊到達D岸時能立即過橋的概率。正確答案：解：假設7點是零時，記x，y分別表示舟連橋與A部隊到達D岸的時間，則A部隊達到D岸時能立即過橋的充要條件是這是一個幾何概型(如圖所示)，所求概率是。

4.

為什么說平面向量改變了中學數(shù)學內容的結構?正確答案：向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，是溝通代數(shù)和幾何的一種工具。向量作為一個既有方向又有大小的量，在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展中有著不可替代的作用。

運算及其規(guī)律作為代數(shù)的基本研究對象，貫穿中學數(shù)學內容的始終。向量可以進行多種運算，并具有一系列豐富的性質，所以和數(shù)的運算相比，向量運算不僅擴充了運算的對象，還擴充了運算的性質。運算對象的不斷擴展是數(shù)學發(fā)展的一條重要線索。從小學開始，學生所接觸的運算對象就在不斷地擴展，從整數(shù)到分數(shù)，從正數(shù)到負數(shù)，從有理數(shù)到實數(shù)、復數(shù)，從數(shù)到字母、多項式等。數(shù)運算，字母、多項式運算，向量運算，函數(shù)、映射、變換運算，矩陣運算等都是數(shù)學中的基本運算。從數(shù)運算到字母運算，是運算的一次飛躍。從數(shù)運算到向量運算，是運算的又一次飛躍。

具體的圖形是中學數(shù)學內容的另一重要研究對象。向量可以用來表示空間中的點、線、面。如果以坐標系原點為起點，向量就與空間中的點建立了一一對應關系；一點和一個非零向量可以唯一確定一條直線，它通過這個點且與給定向量垂直。在高維空間中，這種表示十分有用，還可以表示曲線、曲面。因此，向量可以描述、刻畫、替代集合中的基本研究對象——點、線、面，它也是幾何研究的對象。向量是幾何研究對象，這種認識很重要。在立體幾何中，可用向量來討論空間中點、線、面之間的位置關系；判斷線線、線面、面面的平行與垂直，用向量來度量幾何體；計算長度、角度、面積等。

由此可見，平面向量擴展了中學的運算，豐富了圖形的研究方法，為學生今后進一步學習其他數(shù)學內容，體會數(shù)學的真浠奠定了基礎。

5.

簡述《普通高中數(shù)學課程標準》(實驗)中必修課程內容確定的原則和選修課程內容確定的原則。正確答案：必修課程內容確定的原則：滿足未來公民的基本數(shù)學需求，為學生進一步的學習提供必要的數(shù)學準備。

選修課程內容確定的原則：滿足學生的興趣和對未來發(fā)展的需求，為學生進一步學習、獲得較高數(shù)學素養(yǎng)奠定基礎。其中，系列1是為那些希望在人文、社會科學等方面發(fā)展的學生而設置的，系列2則是為那些希望在理工、經(jīng)濟等方面發(fā)展的學生而設置的。系列1、系列2內容是選修系列課程中的基礎性內容。系列3和系列4是為對數(shù)學有興趣和希望進一步提高數(shù)學素養(yǎng)的學生而設置的，所涉及的內容反映了某些重要的數(shù)學思想，有助于學生進一步打好數(shù)學基礎，提高應用意識，有利于學生終身的發(fā)展，有利于擴展學生的數(shù)學視野，有利于提高學生對數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值的認識。

三、解答題(10分)1.

設f(x)，g(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，且f(0)=0，f'(x)≥0，g'(x)≥0。證明：對任何a∈[0，1]，有。正確答案：證：設，

則F(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，并且f'(x)=g(x)f'(x)-f'(x)g(1)=f'(x)[g(x)-g(1)]，由于x∈[0，1]，f'(x)≥0，g'(x)≥0，因此f'(x)≤0，即F(x)在[0，1]上單調遞減。

注意到，而

故F(1)=0。

因此x∈[0，1]時，F(xiàn)(x)≥0，由此可得對任何a∈[0，1]，有。

四、論述題(15分)1.

在講解立體幾何的有關概念時，我們常常借助實物模型或圖形，這體現(xiàn)了數(shù)學教學哪一原則的要求?并做簡要的分析。正確答案：這體現(xiàn)了數(shù)學教學中的具體與抽象相結合的原則。

從具體到抽象符合學生在學習過程中從感知到理解，從表象到概念的認識規(guī)律。學生認識數(shù)學理論時，是從生動直覺開始。理性知識的形成，必須具有感性知識基礎。只有在此基礎上，進一步區(qū)分這些研究對象所共有的，決定它們性質的本質屬性和僅是個別對象特有的非本質屬性，這樣才能在頭腦中形成理性知識。

例如：學習數(shù)學概念時，首先，可通過一定的感性材料得到具體對象的感知和表象，然后抽象概括出對象的本質屬性，再用概念去解決具體問題，這個過程體現(xiàn)了由具體到理性的抽象，由理性到更為廣泛的具體的認識。數(shù)學教學實踐表明，通過實物直觀、模型直觀、語言直觀使學生形成鮮明表象，是學生掌握數(shù)學理論知識的重要環(huán)節(jié)，也是貫徹抽象與具體相結合原則的前提。在數(shù)學教學中貫徹這一原則時，首先要著重培養(yǎng)學生的抽象思維能力。所謂抽象思維能力，是指脫離具體形象，運用概念、判斷、推理等進行思維的能力。按抽象思維不同的程度，可分為經(jīng)驗型抽象思維和理論型抽象思維。在教學中，我們應著重發(fā)展理論型抽象思維，因為只有理論型抽象思維得到充分發(fā)展的人，才能很好地分析和綜合各種事物，才有能力去解決問題。其次，要培養(yǎng)學生的觀察能力和提高抽象慨括能力。在教學中，可通過實物教具，利用數(shù)形結合，以形代數(shù)等手段。例如，講對數(shù)函數(shù)有關性質時，可先畫出圖象，再觀察圖象抽象出有關性質。

五、案例分析題(20分)某教師的例題解題課如下：

環(huán)節(jié)一：教師給出例題，已知橢圓C的左焦點F(-1，0)，且點在橢圓C上，求橢圓C的標準方程，接著老師請學生做大約30秒，教師站在講臺上觀察。

環(huán)節(jié)二：教師請學生甲站起來說解題過程，同時板書學生甲的過程，并及時矯正如圖一。

圖一

環(huán)節(jié)三：教師請學生乙站起來說解題過程，同時板書學生乙的過程，并及時矯正如圖二。

圖二

環(huán)節(jié)四：教師結合板書總結出關于橢圓方程的兩種求法：待定系數(shù)法、定義法，并板書在黑板上。

環(huán)節(jié)五：學生做課堂練習，求與橢圓方程4x2+9y2=36有相同焦點，且過(-3，2)的橢圓的標準方程。

隨堂觀察學生的課堂練習情況發(fā)現(xiàn)一種現(xiàn)象：學生求解例題用哪種方法，課堂練習依然使用同種方法，這說明案例中教學并沒有促進學生對解題方法進行優(yōu)化。

問題：1.

說明案例中這位教師在教學過程中哪些做法符合教學規(guī)律?正確答案：課程的內容不僅包括數(shù)學的結果，也包括數(shù)學結果形成的過程和蘊含的數(shù)學思想方法，老師讓學生獨立思考，處理好了直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關系，在教學活動中師生積極參與、交往互助、共同發(fā)展，在教學活動中讓學生獨立思考，激發(fā)了學生學習的興趣，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維，可以培養(yǎng)學生良好的學習習慣，掌握恰當?shù)膶W習方法，而且教師在學生給出結果后給予矯正，學生獲得正確的知識，掌握一題多解的方法。

2.

你認為這位老師還可以有哪些改進?正確答案：教師在此次教學過程中沒有讓學生自己總結得出結論，學生的主體作用及教師的學生學習的合作者、組織者和引導者的作用沒有發(fā)揮，教師板書總結缺乏了學生積極參與，而且在學習數(shù)學的過程中教師并沒有給學生足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。教師應該注重啟發(fā)式教學和因材施教，應當處理好教師教與學生自主學習的關系。引導學生獨立思考、主動探索、合作交流．使學生掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。

3.

本節(jié)內容蘊含了哪些數(shù)學思想方法?正確答案：數(shù)形結合思想、轉化化歸思想。

六、教學設計題(30分)請以“直線與平面平行的判定”為課題，完成下列教學設計。1.

設計本節(jié)課的教學目標；正確答案：教學日標：

知識與技能：理解并掌握直線與平面平行的判定定理，掌握直線與平面平行的畫法，并能準確使用數(shù)學符號語言、文字語言表述判定定理。

過程與方法：通過直觀感知—觀察—操作確認的認識方法，在過程中逐漸培養(yǎng)觀察、探究、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象能力、邏輯思維能力。

情感、態(tài)度與價值觀：在觀察、探究、發(fā)現(xiàn)中學習，在自主合作、交流中學習，體驗學習的樂趣，增強自信心，樹立積極的學習態(tài)度，提高學習的自我效能感。

2.

設計本節(jié)課的教學重難點；正確答案：教學重點與難點：

重點是判定定理的引入與理解，難點是判定定理的應用及立體空間感、空間觀念的形成與邏輯思維能力的培養(yǎng)。

3.

寫出新課引入和新知探究、鞏固應用等環(huán)節(jié)及設計意圖；正確答案：教學過程設計：

①知識準備，新課引入

提問1：根據(jù)公共點的情況，空間中直線a和平面α有哪幾種位置關系?學生小組內討論后，得出結論。

提問2：根據(jù)直線與平面平行的定義(沒有公共點)來判定直線與平面平行，你認為方便嗎?談談你的看法，并指出是否有別的判定途徑。

(設計意圖：通過提問，學生復習并歸納空間直線與平面位置的關系而引入本節(jié)課題，并為探尋直線與平面平行判定定理做好準備)

②判定定理的探求過程

a．)直觀感知

提問：根據(jù)同學們日常生活的觀察，你們能感知到并舉出直線與平面平行的具體事例嗎?

生1：日光燈與天花板，樹立的電線桿與墻面。

生2：門轉動到離開門框的任何位置時，門的邊緣線始終與門框所在的平面平行(由學生到教室門前做演示)，然后教師用多媒體動畫演示。

b．)動手實踐

教師取出預先準備好的直角梯形泡沫板演示：當把互相平行的一邊放在講臺桌面上并轉動，觀察另一邊與桌面的位置，給人以平行的感覺，而當把直角所在的腰放在桌面上并轉動，觀察另一邊與桌面給人的印象就不平行。又如老師直立講臺，則大家會感覺到老師與四周墻面平行，如老師向前或后傾斜則感覺老師與左、右墻面平行，如老師向左、右傾斜，則感覺老師與前、后墻而平行(老師也可用事先準備的木條放在講臺桌上做上述情形的演示)。

(設計意圖：設置這樣動手實踐的情境，是為了讓學生更清楚地看到線面平行與否的關鍵因素是什么，使學生學在情境中，思在情理中，感悟在內心中，學自己身邊的數(shù)學，領悟空間觀念與空間圖形性質)

c．)探究思考

上述演示的直線與平面位置關系為何有如此的不同?關鍵是什么因素起了作用呢?通過觀察感知發(fā)現(xiàn)直線與平