2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式人教A版

數(shù)學(xué)必修第一冊1.了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.2.能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.課程標(biāo)準(zhǔn)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1

一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念及形式(1)概念:我們把只含有

未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

的不等式,稱為一元二次不等式.

(2)一般形式:一元二次不等式的一般形式中“a≠0”不可省略①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某個一元二次不等式成立的x的值叫做這個不等式的解,一元二次不等式的所有解組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.一個

2名師點(diǎn)睛1.一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)a有a>0或a<0兩種,注意a≠0.當(dāng)a<0時,我們通常將不等式兩邊同乘-1,化為二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式,但要注意不等號要改變方向,這樣我們只需要研究二次項(xiàng)系數(shù)大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定為整式不等式,例如,x2+<0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定義時,還需了解下列概念.(1)如果兩個不等式的解集相同,那么這兩個不等式稱為同解不等式;(2)將一個不等式轉(zhuǎn)化為另一個與它解集相同的不等式稱為不等式的同解變形.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)mx2-5x>0是一元二次不等式.(

)(2)若m是不為0的常數(shù),則mx2+5<0是關(guān)于x的一元二次不等式.(

)(3)不等式x2-5y<0是一元二次不等式.(

)2.從未知數(shù)的個數(shù)以及未知數(shù)的最高次數(shù)看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特點(diǎn)?3.a2b+2ab2+9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式嗎?×√×解

它們只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.解

可以,把b看作常數(shù),a看作未知數(shù),則是關(guān)于a的一元二次不等式;把a(bǔ)看作常數(shù),b看作未知數(shù),則是關(guān)于b的一元二次不等式.知識點(diǎn)2

一元二次不等式的解法1.二次函數(shù)的零點(diǎn):一般地,對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,我們把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的

.

零點(diǎn)

二次函數(shù)與一元二次方程的解、不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

2.二次函數(shù)與一元二次方程的解、不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系ax2+bx+c=0(a>0)的根處理a<0的情形,先將二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù),再套用此結(jié)論有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2(x1<x2)有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集

Rax2+bx+c<0(a>0)的解集

{x|x<x1,或x>x2}{x|x1<x<x2}??名師點(diǎn)睛分式不等式的解法(1)分式不等式的概念分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式.各種分式不等式經(jīng)過同解變形,都可化為標(biāo)準(zhǔn)形式

>0(或≥0)或

<0(或≤0)(其中f(x),g(x)為整式,且g(x)不為0).(2)分式不等式的解法解分式不等式的思路——轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)型的方法:移項(xiàng),通分,右邊化為0,左邊化為

的形式.將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式的同解變形如下表:思考辨析如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)無解,此時的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是否為空集?提示

不一定.當(dāng)a>0時,一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是R;當(dāng)a<0時,一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是空集.自主診斷1.不等式(x+1)2≥0的解集是

.

2.[人教B版教材例題]求不等式x2-x-2>0的解集.

R解

因?yàn)閤2-x-2=(x+1)(x-2),所以原不等式等價于(x+1)(x-2)>0,因此所求解集為{x|x<-1或x>2}.解

不等式等價于(x+1)(x-1)>0,且x-1≠0.因?yàn)榉匠?x+1)(x-1)=0的兩根為-1和1,畫出函數(shù)y=(x+1)(x-1)的圖象,所以原不等式的解集為{x|x<-1或x>1}.4.[蘇教版教材習(xí)題]畫出二次函數(shù)y=x2-x-2的圖象,并指出該函數(shù)的零點(diǎn).解

函數(shù)的零點(diǎn)為-1,2.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一一元二次不等式的求解角度1.解一元二次不等式【例1—1】

解下列不等式.(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;

解

不等式可化為3x2-6x+2<0.因?yàn)榉匠?x2-6x+2=0的判別式Δ=36-4×3×2=12>0,(3)4x2-4x+1≤0;

規(guī)律方法解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

變式訓(xùn)練1解下列不等式.(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;解

不等式可化為4x2-20x+25<0,對于方程4x2-20x+25=0,因?yàn)棣?0,且二次函數(shù)y=4x2-20x+25的圖象是開口向上的拋物線,所以不等式的解集是?.解

因?yàn)榉匠?x-3)(x-7)=0的兩個根是3和7,且對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)x(1-x)≥x(2x-3)+1.

角度2.解簡單的分式不等式【例1—2】

解下列不等式.規(guī)律方法

解簡單的分式不等式的一般步驟

變式訓(xùn)練2[2024上海徐匯高一期中]不等式

≤1的解集為

.{x|x≤-2或x≥1}探究點(diǎn)二三個“二次”之間的關(guān)系【例2】

若關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為

,求關(guān)于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.

規(guī)律方法1.一元二次不等式的解集的端點(diǎn)值就是對應(yīng)的一元二次方程的根,要充分利用這個關(guān)系解題.2.不等式解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)有直接的關(guān)系,對于關(guān)于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2);當(dāng)a>0時,其解集是{x|x<x1,或x>x2};當(dāng)a<0時,其解集是{x|x1<x<x2}.變式訓(xùn)練3(1)[2024河南鄭州高一期末](多選題)已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-3,或x>4},則下列結(jié)論正確的有(

)A.a>0B.不等式bx+c>0的解集為{x|x<-6}C.a+b+c>0AD解析

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-3或x>4},結(jié)合二次函數(shù)y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0以及不等式的關(guān)系,可得a>0,且-3,4是ax2+bx+c=0的兩根,A正確;所以bx+c>0即-ax-12a>0,所以x<-12,即bx+c>0的解集為{x|x<-12},B錯誤;由于關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x<-3或x>4},故x=1時,ax2+bx+c<0,即a+b+c<0,C錯誤;由以上分析可知不等式cx2-bx+a<0即-12ax2+ax+a<0,(2)已知關(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為{x|1<x<2},求關(guān)于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為{x|1<x<2},所以1,2是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的兩根.探究點(diǎn)三一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】

行駛中的汽車,在剎車時由于慣性作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫做剎車距離.在某種路面上,某種型號汽車的剎車距(1)求n的值.(2)要使剎車距離不超過12.6m,則行駛的最大速度是多少?因?yàn)閚∈N,所以n=6.(2)由于剎車距離不超過12.6

m,即s≤12.6,解得-84≤v≤60.因?yàn)関≥0,所以0≤v≤60,即行駛的最大速度為60

km/h.變式探究

例3中,條件不變,若該型號的汽車在某一限速為80km/h的路段發(fā)生了交通事故,交警進(jìn)行現(xiàn)場勘查,測得該車的剎車距離大于25.65m,試問該車是否超速行駛?解得v>90或v<-114.由于v≥0,所以速度v>90>80,因此該車超速行駛.規(guī)律方法用一元二次不等式解決實(shí)際問題的操作步驟(1)理解題意,搞清量與量之間的關(guān)系.(2)建立相應(yīng)的不等關(guān)系,把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題.(3)解這個一元二次不等式,得到實(shí)際問題的解.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1.不等式-x2+3x-2>0的解集是(

)A.{x|x<1} B.{x|x>2}C.{x|1<x<2} D.{x|x<1,或x>2}C解析

原不等式可化為x2-3x+2<0,即(x-1)(x-2)<0,解得1<x<2,所以原不等式的解集為{x|1<x<2}.2.[2024湖北高一期中]設(shè)關(guān)于x的不等式x2-ax+b<0的解集為A={x|-2<x<1},則a2+b2=(

)A.3 B.4

C.5

D.6C解析

因?yàn)椴坏仁絰2-ax+b<0的解集為A={x|-2<x<1},所以-2,1是方程x2-ax+b=0的兩根,所以a=-2+1=-1,b=-2×1=-2,所以a2+b2=5.故選C.A.{x|0≤x≤1} B.{x|0<x≤1}C.{x|x≤0或x≥1} D.{x|x<0或x=1}B解析

由原式得x(1-x)≥0且x≠0,解得0<x≤1,即不等式的解集為{x|0<x≤1}.故選B.4.[2024上海,3]設(shè)x∈R,則不等式x2-2x-3<0的解集為

.

(-1,3)解析

對于方程x2-2x-3=0,可解得其根為x1=-1,x2=3.∵x2-2x-3<0,∴可作圖如下:由圖象可知原不等式的解集為(-1,3).5.某地年銷售木材約20萬m3,每立方米的價格為2400元.為了減少木材消耗,決定按銷售收入的t%征收木材稅,這樣木材的年銷售量減少

t萬m3.為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元,則t的取值范圍是

.

{t|3≤t≤